Oppgave 1. ∆–resonansene

(1)

NTNU Institutt for fysikk

Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk

Løsningsforslag til eksamen i FY3403 PARTIKKELFYSIKK

Tirsdag 14. desember 2004 Dette løsningsforslaget er p˚ a 6 sider.

Oppgave 1. ∆–resonansene

a)

Beskriv de laveste spinn–³₂ tilstandene man kan lage av tre kvarker fra første generasjon (dvs. avu– og d–kvarker). Angi kvarkinnhold, navn og ladning for hver tilstand.

Se tabellen i neste punkt.

b)

Tilstandene i forrige punkt kan klassifiseres som en isospinn multiplett. Angi isospinn klassifiseringen,

|I Izi, for hver tilstand.

Navn Kvarkinnhold Ladning | I I

_z

i

∆

⁺⁺

uuu 2 |

³₂ ³₂

i

∆

⁺

uud 1 |

³₂ ¹₂

i

∆

⁰

udd 0 |

³₂

−

¹₂

i

∆

⁻

ddd − 1 |

³₂

−

³₂

i c)

Disse tilstandene er ganske ustabile, de viktigste henfallsmodene for f.eks. ∆⁺ er

∆⁺→π⁰+p og ∆⁺→π⁺+n.

Angi for de to tilfellene isospinn klassifiseringen|I1I1zi |I2I2ziav tilstanden p˚a høyresiden, der 1 refererer til pionet og 2 til nukleonet.

| π

⁰

p i = | 1 0 i |

¹₂ ¹₂

i (1)

| π

⁺

n i = | 1 1 i |

¹₂

−

¹₂

i (2) d)

P˚a grunn av isospinn symmetri vil amplituden for henfallsraten være proporsjonal med overlappet mellom |I Izi til starttilstanden og |I1I1zi |I2I2zi til sluttilstanden. Bruk tabellene vedlagt sist i opp- gavesettet til ˚a finne dette overlappet i de to tilfellene.

Vi leser ut av tabellen for 1 ×

¹

2

at

|

³₂ ¹₂

i = q

1

3

| 1 1 i |

¹₂

−

¹₂

i + q

2

3

| 1 0 i |

¹₂ ¹₂

i . (3) Overlappet er alts˚ a q

2

3

for | π

⁰

p i og q

1

3

for | π

⁺

n i .

(2)

e)

Hva er den relative hyppigheten av de to henfallsmodene?

Henfall til π

⁰

+ p vil skje dobbelt s˚ a ofte som til π + n.

f )

En forenklet modell for disse to henfallene er gitt ved Feynmanreglene nedenfor

∆

⁺

ig

₁

m

_∆

π

⁰

p ∆

⁺

ig

₂

m

_∆

π

⁺

n

der alts˚a den numeriske verdien tilordnet henfallsknutene er henholdsvis ig1m∆og ig2m∆.

Hva m˚a forholdet mellomg1 ogg2 være for at Feynmanreglene skal gi henfallsrater som er konsistent med isospinn symmetri? Vi setterm_π⁺=mπ⁰ ogmp=mn.

Siden Γ

_i

∝ |M

i

|

²

∝ g

_i²

m˚ a g

₁

/g

₂

= √

2. Vi kan derfor skrive g

₁

= q

2

3

g og g

₂

= q

1 3

g.

g)

Hva blir bevegelsesmengden|pπ|til pionet n˚ar et ∆⁺i ro henfaller? Regn med “naturlige enheter”, dvs.

enheter der~=c= 1.

Oppgitt:m∆= 1232 MeV,mp= 939 MeV,mπ= 139 MeV (i naturlige enheter).

Vi bruker konservering av firerimpuls, p

∆

= p

π

+ p

p

. I massesentersystemet har vi, siden p

p

= − p

π

,

m

²_∆

= p

²_∆

= p

²_π

+ p

²_p

+ 2p

_π

p

_p

= m

²_π

+ m

²_p

+ 2(E

_p

E

_π

+ p

²_π

), eller

m

²_∆

− m

²_π

− m

²_p

− 2p

²_π

2

= 4(m

²_π

+ p

²_π

) (m

²_p

+ p

²_π

).

Dvs.

| p

π

| = 1 2m

_∆

q

m

⁴_∆

+ m

⁴_π

+ m

⁴_p

− 2m

²_∆

m

²_p

− 2m

²_∆

m

²_π

− 2m

²_p

m

²_π

= 226.8 MeV. (4) h)

Det er eksperimentelt kjent at den totale vidden til ∆-resonansene er Γ∆ = 120 MeV. Bruk dette

resultatet til ˚a bestemmeg1ogg2. (Du kan anta at begge parametrene er reelle og positive.)

Oppgitt: For henfall til to partikler er sammenhengen mellom partiell henfallsrate Γf i og amplitude Mf i gitt som

Γf i= |pf|

8πM_i²|Mf i|², (5)

derMier massen til den partikkelen (i ro) som henfaller, ogpf er bevegelsesmengden til en av partiklene i sluttilstanden.

Vi finner

Γ

∆

= Γ

1

+ Γ

2

= 1

8π | p

_π

| (g

₁²

+ g

₂²

) = 1

8π | p

_π

| g

²

. Dvs. at

g = s

8π Γ

∆

| p

π

| = 3.65, g

₁

= r 2

3 g = 2.98, g

₂

= r 1

3 g = 2.11. (6)

(3)

Oppgave 2. Nedbremsing av kosmiske protoner med veldig høy energi

I kosmisk str˚aling er det observert protoner med energi opptil 10²⁰eV. Det er samtidig kjent at protoner med veldighøy energi vil bli bremset ned p˚a grunn av kollisjoner med fotoner fra “3-graders str˚alingen” i universet.

De viktigste prosessene for denne nedbremsingen erπ-produksjon, spesielt prosessene

γ+p→∆⁺→π⁰+p og γ+p→∆⁺→π⁺+n. (7) der ∆⁺ partikkelen er virtuell (dvs. representert ved sin propagator).

a)

Anta at “3-graders str˚alingen” best˚ar av fotonerγ med energiω = 7×10⁻⁴ eV og isotrop retnings- fordeling.

Hvor stor m˚a energien til et høyenergetisk proton være for at prosessenγ+p→π⁰+pskal være mulig?

I massesentersytemet m˚ a vi minst ha tilstrekkelig energi til ˚ a produsere et proton og et pion i ro. Dette kan uttrykkes p˚ a invariant form,

s = (p

γ

+ p

p

)

²

= m

²_p

+ 2p

γ

p

≥ (m

p

+ m

π

)

²

.

Det beste er at fotonet kolliderer “front mot front” med protonet, dvs. p

_γ

= (ω, 0, 0, − ω), p

p

≈ (E

p

, 0, 0, E

p

), og

s ≈ m

²_p

+ (ω + E

p

)

²

− (ω − E

p

)

²

= m

²_p

+ 4ωE

p

≥ m

²_p

+ m

π

(m

π

+ 2m

p

).

Alts˚ a m˚ a

E

_p

≥ m

π

(m

π

+ 2m

p

)

4ω = 1.0 · 10

²⁰

eV. (8)

Kommentar: Merk at tilnærmingenpp≈(Ep,0,0, Ep), som man kanskje ville tro er svært god n˚ar Ep≈10¹¹mp, ikke m˚a gjøres for tidlig! Hvis vi setterpp+pγ≈(Ep+ω,0,0, Ep−ω) f˚as

s≈(Ep+ω)²−(Ep−ω)²= 4Epω, som avviker fra det riktige med leddetm²p.

b)

Hvor stor m˚a energien være for at prosessenγ+p→∆⁺ skal være mulig?

Vi finner ved tilsvarende regning som over at vi m˚ a ha E

p

≥ m

²_∆

− m

²_p

4ω = 2.27 · 10

²⁰

eV. (9)

Kommentar: P˚a grunn av denne nedbremsingseffekten burde man observere svært f˚a partikler med energi over ca. 10²⁰ eV. Det interessante og litt mystiske er at dette ikke ser ut til ˚a gjenspeile seg i observert kosmisk str˚aling!

(4)

c)

Vi antar n˚a at Feynmanreglene forγp∆⁺–knutepunktet og ∆⁺–propagatoren er som nedenfor

p iem

_∆

γ

∆

⁺

i q²−(m_∆+iΓ_∆)²

Her erepositronladningen, ogm∆og Γ∆henholdsvis massen og vidden til ∆, som oppgitt i punkt1g).

Tegn Feynmandiagrammene for prosessene (7).

Vi bruker overst˚ aende Feynmanreglene, og de fra oppgave 1f ).

p p

π

⁰

iem

_∆

ig

₁

m

_∆

γ ∆

⁺

(a)

p n

π

⁺

iem

_∆

ig

₂

m

_∆

γ ∆

⁺

(b)

d)

Anta at protonet har en firervektorp=E(1,0,0,1) (energien er s˚a stor at vi kan neglisjere protonets masse) og fotonet en firervektork=ω(1,−sinϑ,0,−cosϑ).

Skriv ned amplitudeneMf i for prosessene (7).

Vi f˚ ar etter kansellering av i’er (og n˚ ar vi tar i betraktning at Feynmanreglene gir oss det algebraiske uttrykket for − i M

^{f i}

).

M

^(a)f i

= eg

₁

m

²_∆

q

²

− (m

_∆

+ iΓ

_∆

)

²

, M

^(b)f i

= eg

₂

m

²_∆

q

²

− (m

_∆

+ iΓ

_∆

)

²

, (10) der

q

²

= (p

_p

+ p

_γ

)

²

= p

²_p

+ p

²_γ

+ 2p

_p

p

_γ

= m

²_p

+ 2p

_p

p

_γ

= m

²_p

+ 2ωE

_p

+ 2ωE

_p

cos ϑ

= m

²_p

+ 4ωE

p

cos

²

ϑ/2.

e)

For ˚a beregne tverrsnittene til disse prosessene er det best ˚a g˚a til massesentersystemet. Skisser hvordan du vil g˚a fram for ˚a finne energieneω^cogE^ctil henholdsvis foton og proton i massesentersystemet (n˚ar ω,E, og cosϑer kjent).

I massesentersystemet m˚ a vi ha

p

^c_γ

= (ω

^c

, 0, 0, − ω

^c

), p

^c_p

= (E

^c

, 0, 0, ω

^c

), med E

^c

= q

ω

^c2

+ m

²_p

. Dette gir oss to uttrykk for den Lorentz invariante størrelsen q

²

q

²

= m

²_p

+ 4ωE

p

cos

²

ϑ/2 =

ω

^c

+ q

ω

^c2

+ m

²_p

2

, (11)

som kan løses med hensyn p˚ a ω

^c

.

Kommentar: Denne løsningen blir ω^c2=

`q²−m²p

´2

4q² = 4ω²Ep²cos⁴ϑ/2 m²p+ 4ωEpcos²ϑ/2, men husk at dette er utledet under forutsetning om atEpmp.

(5)

Oppgave 3.

Den normerte spinn-flavor bølgefunksjonen for ∆⁺⁺med spinnSz= ³₂ er gitt som

|∆^{++ 3}₂i=|u↑i|u↑i|u↑i. (12)

a)

Finn den normerte spinn-flavor bølgefunksjonen for ∆⁺ med spinnSz =³₂.

Vi anvender isospinn stigeoperatoren I

⁻

= I

₁⁻

+ I

₂⁻

+ I

₃⁻

p˚ a ligning (12), og normerer for h˚ and. Dette gir

| ∆

^{+ 3}₂

i = q

1

3

( | d ↑i | u ↑i | u ↑i + | u ↑i | d ↑i | u ↑i + | u ↑i | u ↑i | d ↑i ) . (13) b)

Finn den normerte spinn-flavor bølgefunksjonen for ∆⁺ med spinnSz =¹₂.

Vi anvender spinn stigeoperatoren S

⁻

= S

₁⁻

+ S

₂⁻

+ S

⁻₃

p˚ a ligning (13), og normerer for h˚ and. Dette gir

| ∆

^{+ 1}₂

i = 1

3 ( | d ↓i | u ↑i | u ↑i + | d ↑i | u ↓i | u ↑i + | d ↑i | u ↑i | u ↓i ) + 1

3 ( | u ↓i | d ↑i | u ↑i + | u ↑i | d ↓i | u ↑i + | u ↑i | d ↑i | u ↓i ) (14) + 1

3 ( | u ↓i | u ↑i | d ↑i + | u ↑i | u ↓i | d ↑i + | u ↑i | u ↑i | d ↓i ) . c)

Det magnetiske momentet til et baryon med spinn-flavor bølgefunksjon|Ψier definert som

µz=hΨ|X

i

eQi

2mi

Siz|Ψi, (15)

der summen er over de tre posisjonene i bølgefunksjonen. (Merk atQi, mi ogSiz eroperatorer som tar forskjellige verdier avhengig av hvilke tilstander de virker p˚a.)

Finn det magnetiske momentet til ∆⁺⁺med spinnSz= ³₂. Angi svaret i enheter av kjernemagnetonen, µkm=_2m^e

p.

Oppgitt:Du kan anta atmu=md= 336 MeV.

µ

z

= 2

3 × 1 2 + 2

3 × 1 2

e 2m

u

= m

_p

m

u

e 2m

p

= 2.795 µ

_km

. (16) d)

Finn det magnetiske momentet til ∆⁺med spinnSz=¹₂.

µ

z

=

¹₉

−

¹₃

× −

¹₂

+

²₃

×

¹₂

+

²₃

×

¹₃

× 3 + −

¹₃

×

¹₂

+

²₃

× −

¹₂

+

²₃

×

¹₂

× 6

e 2mu

= 1 6

m

p

m

_u

e 2m

_p

= 0.466 µ

_km

. (17)

Tips til punkt a–b):Bruk stigeoperatorene.

(6)

! "$#%'&

()+*-,/.021435,4687"9;:8<8=4>;?@,A:B02CDCFEG,HEG0I?KJA35LM3ON6P0I<BEG,Q>K.R6S>;<8TU:B?SE,43VL

>K?;=UWACDXK?P,QJQEG:B?P3

YZ\[]\^_2`a\bdce]%feZZ\[`gh\ig`[Zj]$bkil]me`[ZZklZno]me$prq!prsmtMu%Z]%vu%g]mio[!wpmxy!xwozZ\eM{|o}k~re]rcol5{$ |o}k~r

$

FI

o

u%Z\`

{

|\

`gim

$

o

u%Z\`

M{

~

d

{

~r

|\

`giGu%Z\`Gr

~

~r

`gi

G

+d

I

{~!

M

rok

o" 2¡

2

{$~r¢

d£¤d£¥ 2¡

¦

-§

o

!¨G©

~

¦£

ª§

«

{$~r

$ ª

¦G£

$§ª

¦£

$§dMª

¦ §

umZ\`d ¦

m¬m

§

m¬m

u%Z\`

¦

m¬m

§

m¬r

{`gi ¦

§

~ © u%Z\`d

¦

§ { `gi

¦

§

~{u%Z\`

¦G®

¬r

®

¬r

§®

¬m

~ © u%Zo`d

u%Z\`

¦ ®

¬r

®

¬r

§

m¬m

{ ~ © u%Z\`

`gi

¦ ®

¬r

®

¬r

§

m¬m

~{u%Z\`

u%Zo`

¦ ®

¬r

®

¬r

§®

¬m

{

~{u%Z\`

`gi

¦ ®

¬r

m¬r

§

m¬m

/

umZ\`M{F~

u%Z\`

¦ ®

¬r

m¬r

§

m¬m

{ u%Z\`

© ~

`gi ¦ § ~ ©

u%Z\`d

'

¦ § { ~ © u%Z\`

`gi

¦

§

¯

`gi

¦ § {

~{°u%Zo`d

`gi

¦ §

~{u%Z\`

¦

§ ~ © u%Z\`

±

u%Z\`d{²~r

¦

§ { `giu%Z\`d

¦

§

~{u%Z\`

u%Z\`

©

~r

¦ §

umZ\`

{

~

+1

5/2 5/2 +3/2

3/2 +3/2 1/5 4/5

4/5

−1/5 5/2

5/2

−1/2 3/5 2/5

−¹

−2 3/2

−1/2 2/5 5/2 3/2

−3/2

−3/2 4/5 1/5−^4/5

1/5

−1/2

−2 1

−^5/2 5/2

−3/5

−^1/2 +^1/2 +1−1/2 2/5 3/5

−2/5

−1/2 2 +2 +3/2 +3/2

5/2 +5/2 5/2

5/2 3/2 1/2

−1/21/3

−1 +1 0 1/6 +1/2

+1/2

−1/2

−3/2 +1/2

2/5 1/15

−8/15 +1/2 1/10 3/10

3/5 5/2 3/2 1/2

−1/2 1/6

−1/3 5/2

−5/25/2 1 3/2

−3/2

−3/5 2/5

−3/2

−3/2 3/5 2/5 1/2

−1

−1 0

−1/2 8/15

−1/15

−2/5

−1/2

−3/2

−1/2 3/10 3/5 1/10 +3/2

+3/2 +1/2

−1/2 +3/2 +1/2 +2+1

+2 +1

0 +1

2/5 3/5

3/2 3/5

−2/5

−1 +1 0 +^3/2 +¹ 1

+3

+1 1 0

3 1/3 +2

2/3 2 3/2

3/2 1/3 2/3 +^1/2

−01 1/2 +^1/2 2/3

−1/3

−1/2 +1/2 1 +1 1

0 1/2 1/2

−1/2 0 0 1/2

−1/2 1 1

−1

−1/2 1 1

−1/2 +1/2 +1/2+1/2

+1/2

−1/2

+1/2 −1/2

−1 3/2

2/3 3/2

−3/2 1 1/3

−1/2

−1/2 1/2

−1/32/3 +¹+^1/2

+1 0

+3/2

2/3 3

3

3 3

−1 1

−2

−3 2/3 1/3

−2 2 1/3

−2/3

−2 0

−1

−2

−1 0 +1

−1 2/5 8/15 1/15

2

−1

−2

−1 0 1/2

−1/6

−1/3 1

−1 1/10

−3/10 3/5 0

2 0

1 0 3/10

−^2/5 3/10 0 1/2

−1/2 1/5 1/5 3/5 +1

+¹

−1 0 0

−¹ +1 1/15 8/15 2/5

2

+2 2 +1 1/2 1/2

1 1/2 2

0 1/6 1/6 2/3

1

1/2

−1/2 0

0 2

2

−²

−1 1

−1 1/2

−^1/2

−1 1/2 1/2 0 0

0

−¹ 1/3 1/3

−^1/3

−1/2 +1

−1

−1 0 +1

0 0

+1

−1 2 1 0 0+1 +1 +1

+1 1/3 1/6

−^1/2 1 +1 3/5

−^3/10 1/10

−1/3

−1 +¹ 0

0 +2 +¹ +2 3

+^3/2

+1/2 +1

1/4 2

2

−1 1

2

−2 1

−1 1/4

−1/2 1/2

1/2

−1/2−1/2 +1/2

−3/2

−3/2 1/2

1 0 0 3/4 +1/2

−1/2 −1/2 2

+1 3/4

3/4

−3/4 1/4

−1/2 +1/2

−^1/4 1

+^1/2−1/2 +^1/2 1

+1/2 3/5

0

−1 +1/2 0

+1/2 3/2 +1/2 +5/2

+²−^1/2 +1/2 +2

+1 +1/2 1

2×1/2

3/ 2×1/2

3/ 2×1 2×1

1×1/2 1/ 2×1/2

1×1

Notation: _M^J _M^J ...

...

.. . .. . m1 m2

m1 m2 Coefficients

−^1/5 ²

2/7 2/7

−3/7 3 1/2

−1/2

−1

−2

−1

0 4

1/2 1/2

−3 3

−1/21/2

−2 1

−4 4

−2 1/5

−27/70 +1/2 +7/2^7/2 ^7/2

+^5/2 3/7 4/7 +² +1 0 1 +2 +1

+4 1

4 4 +2 3/14 3/14 4/7

+2 1/2

−1/2 0

+2

−1 0 +1 +2 +2 +1

−01

3 2

4 1/14

1/14 3/7 3/7 +1

3

1/5

−1/5 3/10

−3/10 +1

2

+2 +1 0

−1

−2

−1 0 +1 +2 3/7

3/7

−1/14

−1/14 +1

1

4 3 2

2/7

−2/7 1/14

1/14 4

1/14

1/14 3/7 3/7

3 3/10

−^3/10

−1/51/5

−1

−2

−1 0

−01

−2

−1 0 +1 +1

−01

−²

−1 2

4 3/14 3/14 4/7

−² −² −² 3/7

3/7

−1/14

−1 1 1/5

−3/10 3/10

−1

1 0

0 1/70

1/70 8/35 18/35 8/35

0 1/10

−1/10 2/5

−2/5 0

0 0

0 2/5

−2/5

−1/10 1/10

0 1/5 1/5

−1/5

−1/5 1/5

−1/5

−3/10 3/10 +1 2/7

2/7

−3/7 +³

1/2 +2 +1 0 1/2 +²+²

+2 +1+2

+1 +³ 1/2

−1/2 0 +1 +2 3 4

+1/2 +3/2 +^3/2

+² +^5/2

4/7 7/2 +3/2 1/7 4/7 2/7

5/2 +3/2

+² +1

−1 0 16/35

−18/35 1/35

1/35 12/35 18/35 4/35 3/2

+3/2 +3/2

−^3/2

−1/2 +1/2

−2/52/5 7/2

7/2 4/35 18/35 12/35 1/35

−1/2 5/2 27/70 3/35

−^5/14

−6/35

−1/2 3/2

7/2

−^5/2 4/7 3/7

5/2

−^5/2 3/7

−4/7

−3/2

−2 2/7

4/7 1/7

−5/23/2

−1

−2 18/35

−1/35

−^16/35

−3/2 1/5

−2/5 2/5

−^3/2

−1/2

−3/2 3/2

7/2 1

−7/2

−1/2

−2/51/5 0 0

−1

−² 2/5

−1/21/2 1/10 3/10

−1/5

−2/5

−3/2

−1/2 +1/2 5/2 3/2 1/2

+1/2 2/5 1/5

−3/2

−1/2 +1/2 +3/2

−1/10

−3/10 +1/2

2/5

2/5 +1

−01

−2 0 +3

3 +32

2 +2 +3/2 1

+3/2

+^1/2+1/2 1/2

−^1/2

−1/2 +^1/2 +^3/2

1/2 3 2

3 0 1/20

1/20 9/20 9/20

2 1

3

−1 1/5 1/5 3/5

2

3 3 1

−3

−2 1/2 1/2

−3/2 2 1/2

−1/2

−3/2

−2

−1 1/2

−1/2

−3/2 0

1

−1 3/10 3/10

−2/5

−3/2

−1/2 0

0 1/4

−1/41/4

−1/4 0 9/20

9/20 +1/2

−1/2

−3/2

−1/20

−1/20 0 1/4 1/4

−1/4

−3/2

−1/2 +1/2 1/2

−^1/2 0

1 3/10 3/10

−3/2

−1/2 +1/2 +3/2 +3/2 +1/2

−1/2

−3/2

−^2/5 +¹ +¹ +¹ 1/5 3/5 1/5 1/2 +3/2 +^1/2

−^1/2 +^3/2 +3/2

−1/5 +1/2 6/35 5/14

−3/35 1/5

−3/7

−1/2 +1/2 +3/2

2×3/2 5/2

2×2

3/ 2×3/2

−3

³´µd¶·¸+¹º»¼d^½¾k]`gh\i5u%Z\in\]mi[gZ\ig`[¾c[Z\z¿Dghoik]me

rÀ

sÁ\ÂrÃÄÅp%Ásmtw_Mumc\l]rÆguMÇe]m``!wdY]mÈÊÉZ\eËw~rÌ\oÌ\mwkcÍ`Zbk`]rlOjÎ+ÏZoilZ\icilOÐ¾kZ\e[Í]mÎ

ÄÅp

ÄÅp%ÁsmtÁÑÒMÓÁ\Ô-ÕÖM×\ÃkpÖmÓsØ\wkÏc\Æjkeglkh\]ÙikgndÇe]m``!wdY]mÈDÉZ\eËdw~rÌo

mwÚZ\`] ÛÜ

pmÔ+pmÝÓØsmtÄÅp%Ásmt+ÁÑÒÝyÂ

Ü

ØsMÞ5ÁÔ+pmÝÓÂoÔwk¿DgÍ]mÎwoY]mÈDÉZ\eËdw~rÌo\ß\mw

cilOÏZ\¾k]mi

ÄØ\à

Ü

p%áMÁÑMÓÅkp$â

Ü

p!à%árÖ%Åoã

À

Ás%ä\ØÝ°âÁrpåDÖrÕpmÝÓá%wkYZoe[¾O_Æ]megumc\iÚZkuËÈ]mÍÍ"Ðku%g]miu%]-Ï]mi[]merwk½¾kZobk`cilOæMc\Ëo`!wÏcÍgzwk~rÌoßor½¾k]$u%Zo]%vu%g]mi[`