Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016
Innleveringsfrist: Mandag 21. november 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen p˚a Realfagbygget.
Husk obligatorisk forside!
Oppgavesettet er p˚a 6 sider (med oppgavene 1-8) og best˚ar av 30 deloppgaver som alle teller likt ved sensurering.
Les nøye gjennom oppgavesettet. Alle svar skal begrunnes, men begrunnelsene skal være korte. Det m˚a være med nok mellomregning til at fremgangsm˚aten fremg˚ar tydelig av besvarelsen.
Direkte avskrift fra hverandre er ikke tillatt. Men det er fullt mulig og sterkt anbefalt ˚a diskutere oppgavene.
Oppgave 1
(a) En speilprodusent planlegger ˚a starte produksjonen av en ny serie. De nye speilene skal ha et areal p˚a 1m2 og være formet som et rektangel med en halvsirkel i høyre og venstre ende (se figur). Rundt hele speilet skal det være en ramme, og den krumme delen av rammen er dobbelt s˚a dyr per centimeter som den rette delen. Hvor stor m˚a radius i halvsirklene være for at rammen skal bli s˚a billig som mulig ˚a produsere?
(b) Et fly beveger seg i rettlinjet bevegelse fra kontrollt˚arnet. Ved et visst tid- spunkt er flyet 200 km fra t˚arnet og flyr med hastighet 800 km/h fra t˚arnet og med positiv akselerasjon 20 km/h2. Flytypen er dessuten slik at den mak- simale endringen i akselerasjon som kan oppn˚as til enhver tid er±120 km/h3. Laf(t) være avstanden fra kontrollt˚arnet, m˚alt i kilometer, ved tid t etter dette tidspunktet. Forklar hvorfor
200 + 800t+ 10t2−20t3 ≤f(t)≤200 + 800t+ 10t2+ 20t3. (Hint: Taylor)
1
Oppgave 2
(a) Bruk Taylorpolynomet tilf(x) = √
xav grad 2 om punktet 100 til ˚a finne en tilnærmet verdi for √
101. Skriv svaret som en brøk.
(b) Gi et overslag over nøyaktigheten av verdien du fant i (a). Skriv svaret igjen som en brøk.
(c) Begrunn spesielt – uten bruk av kalkulator– om den tilnærmede verdien du fant i (a) er for stor eller for liten i forhold til den virkelige verdien til √
101.
(d) Finn en formel for den n’te deriverte til funksjonen f(x) = √
x. Formelen skal bevises, f.eks. ved induksjon.
(e) Hvor stor bør n være for at Taylorpolynomet av orden n om 100 skal gi en tilnærmet verdi for √
101 med en feil som er mindre (i absoluttverdi) enn 10−10?
(f) En gammel metode (fra tiden før man hadde kalkulatorer) for ˚a finne en tilnærmet verdi for kvadratroten til et tall x, er som følger: Finn det største hele tallet y slik at y2 ≤x. Da er
√x≈ y 2+ x
2y.
Forklar denne tilnærmingen ved hjelp av Taylorpolynomer og vis at feilen F i denne tilnærmingen tilfredsstiller:
−(x−y2)2
8y3 ≤F ≤0.
Oppgave 3
La f være definert ved
f(x) = Z x2
1
e−sint dt, x∈R. (a) Avgjør hvor f er voksende og hvor f er avtagende.
(b) Finn grensen
x→1lim f(x)
lnx,
eventuelt begrunn at den ikke eksisterer eller er ∞ eller −∞.
Oppgave 4
Finn de ubestemte integralene i (a)-(c) nedendunder ved ˚a bruke passende substi- tusjoner (f.eks. p˚a formenu= 1/x, u=√
x,u= lnx i en eller annen rekkefølge).
(a)
Z dx x+√
x (b)
Z 1
x(1 + (lnx)2) dx.
(c)
Z 1 x2 cos
1 x
dx.
Oppgave 5
(a) Bestem arealet avgrenset av kurvene x=−y, x= 2−y2 og x-aksen, som vist i figuren nedendunder.
(b) Beregn det bestemte integralet Z 1
−1
x5−6x9+ sinx (1 +x4)2
dx p˚a (under) ti sekunder.
(c) Et areal er begrenset av grafen til funksjonen f(x) = e−x2, x-aksen og de to rette linjene x=a og x= 3a, hvor a >0. Finn et uttrykk for arealet uttrykt ved a og bestem verdien av a som gjør arealet størst mulig. (Hint: ikke forsøk ˚a finne en antiderivert til f)
(d) ArbeidetAen konstant kraftK utfører over en avstand ser definert i fysikk til
˚a væreA=K·s(“arbeid er lik kraft ganger vei”), n˚ar kraften peker i samme retning som bevegelsen. Dersom kraften varierer som funksjon av s, skriver vi kraften som
funksjon K(s), og arbeidet utført av kraften mellom punktene s = a og s = b er definert til ˚a være
A= Z b
a
K(s)ds.
En kloss dras bortover gulvet ved hjelp av et tau som g˚ar gjennom en trinse 1m over bakken (se figur). Kraften K fra tauet p˚a klossen er konstant lik 10N (kraft m˚ales i enheten N, som st˚ar for “Newton”), men det er bare den horisontale komponenten av kraften som utfører arbeid.
Vis at den horisontale komponenten av kraften n˚ar klossen er som p˚a figuren har størrelse
√10x 1 +x2
og bruk dette til ˚a beregne arbeidet som m˚a til for ˚a flytte klossen fra punktetx= 10 til punktet x= 2.
Oppgave 6
(a) Finn det ubestemte integralet Z
arctan√ x dx (b) Løs startverdiproblemet
y0 =yx3cos(x2), y(0) = 1 (c) Løs differensialligningen
xy0 = x2
√1−x2 +y
og angi for hvilke x løsningen gjelder. Finn deretter løsningen som oppfyller
x→1lim−y(x) =π.
(d) Finn alle funksjonene f som for x >0 oppfyller [f(x)]2 = 1
x Z x
1
f(t)dt.
Oppgave 7
Newtons avkjølingslov, som vi allerede møtte p˚a i obligatorisk innlevering 2, sier at en gjenstand avkjøles eller oppvarmes med en hastighet som er proporsjonal med differansen mellom omgivelsenes temperatur og gjenstandens temperatur.
Ved tiden t = 0 er temperaturen i et rom 0◦C. Rommet varmes opp med en jevn rate av 3◦C i timen. La T(t) være temperaturen til en gjenstand i rommet etter t timer.
(a) Forklar kort hvorfor
T0(t) +kT(t) = 3kt for en konstant k >0.
(b) Anta at T(0) = 0. Finn temperaturen til gjenstanden T(t), uttrykt ved k.
(c) Etter ´en time er temperaturen til gjenstanden nøyaktig 2◦C. Begrunn at dette entydig bestemmer konstanten k.
(d) BrukNetwons metodeellerfikspunktiterasjon med en passende valgt funksjon og et passende valgt startpunkt til ˚a bestemmekmed to desimalers nøyaktighet.
Det er ikke nødvendig ˚a føre inn alle beregninger, men besvarelsen m˚a in- neholde:
– hvilken metode som er valgt, hvilken funksjon den brukes p˚a, og den re- sulterende iterasjonsformelen, hvor det klart kommer frem hvilken startverdi x0 som er brukt, og hvordan x1 er beregnet;
– en matematisk begrunnelse p˚a at to desimalers nøyaktighet er oppn˚add.
Oppgave 8
(a) En kjegleformet vanntank (med spissen vendt oppover) med radius 1 meter og høyde 3 meter tømmes for vann. Vis at n˚ar vannhøyden er h meter, der 0≤h≤3, er volumet av vann i tanken gitt ved
V(h) = π
h− h2 3 + h3
27
.
(b) N˚ar vannhøyden i tanken er 2 meter, tømmes tanken med en fart p˚a 12 ku- bikkmeter i minuttet. Hvor fort avtar vanndybden ved dette tidspunktet?
(c) Tømmingen av beholderen skjer gjennom en ˚apning i bunnen. Torricellis lovimpliserer at volumendringen av vann per tidsenhet til enhver tid er pro- porsjonal med kvadratroten av vanndybden i tanken. Bruk (a) og (b) til ˚a vise at vanndybden h tilfredsstiller differensialligningen
−2√ 2π
1
√h −2 3
√ h+1
9h3/2 dh
dt = 1.
(d) Finn den generelle løsningen til differensialligningen i (c) uttryktimplisittved h ogt.
(e) Hvis tanken er full idet tømmingen starter, hvor lang tid tar det før tanken er tom?
LYKKE TIL!
Andreas Leopold Knutsen
