VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN (VERSJON DATERT 10/04/11)
ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN
Dette notatet inneholder ikke noe nyttpensumi kurset MAT112 i forhold til læreboken og er kun ment som et utfyllende notat til Kapittel 12 (og slutten på § 10.4 og begynnelsen på § 13.1.)
1. Definisjon av grenser (§ 1.5 og § 12.2)
Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjonerf definert på (delmengder av)Rn. Dette vil si at definisjonsmengden til funksjonen,
D(f) ={x|f(x)er definert}, er en delmengde av Rn, m.a.o. D(f)⊆Rn, og verdimengden
V(f) ={f(x)|x∈D(f) er en delmengde av R, m.a.o.V(f)⊆R.
For en slik funksjonf med definisjonsmengde D(f), skriver vi gjerne f :D(f)⊆Rn→R.
Vi vil nå generalisere grensebegrepet vi kjenner fra tilfellet n = 1. Vi starter med å repetere definisjonen i dette tilfellet.
Lac∈D(f)⊆R. Husk at når vi snakker om grensen nårx→c, krever vi at funksjonen er definert på begge sider avc, men ikke nødvendigvis ic(slik at vi virkelig kan “nærme oss c” innenfor definisjonsmengden D(f) til funksjonen f); vi utvider dessuten grensebegrepet også til tilfeller derf er definert kun på den ene siden avc(f.eks.D(f) = (a, c)eller(c, b)) og snakker da gjerne omensidige grenser. Felles er altså atf ihvertfall er definert på den ene siden avc. Det tilfellet vi ønsker å unngå, og der det ikke gir mening å snakke om grenser, er tilfellet der c er et isolert punkt i definisjonsmengden D(f). Et eksempel på dette er funksjonen i én variabel
(1.1) f(x) =x, D(f) ={0} ∪[1,2].
Vi er vel alle enige om at grensen tilf nårxnærmer seg null ikke gir mening. I dette tilfellet sier vi at 0 er et isolert punkt i definisjonsmengden. Den formelle definisjonen kommer i Definisjon 1.1 rett under.
Det er praktisk å formalisere disse begrepene og gi “små intervall rundtc” egne navn. De enkleste slike er intervaller av like stor lengde på begge sider av c:
Definisjon 1.1. La c∈R.
Enomegn1omc er et intervall på formen(c−δ, c+δ)for en δ >0. Merk at vi også kan skrive dette som
(1.2) (c−δ, c+δ) ={x∈R| |x−c|< δ}={x∈R|avtanden mellom x og c er < δ}.
Versjon datert 10.04.11.
1På engelsk er detteneighborhood, se slutten av § 10.2 i læreboken.
1
LaD⊆Rvære en delmengde (eksempelvis definisjonsmengden til en funksjon). Vi sier at cer etisolert punktiDdersom det finnes en omegn(c−δ, c+δ)slik at(c−δ, c+δ)∩D={c}, dvs. slik at omegnen inneholder kun c innenfor D.
Hvisc ikke er et isolert punkt iD, sier vi at c∈Der etikke-isolert punkt. Slike punkter tilfredsstiller at enhver omegn omc inneholder punkter i D utenom c.
I Eksempel (1.1) er 0 et isolert punkt i D(f), siden det finnes omegner rundt 0, feks.
(−12,12), som kun inneholder0i definisjonsmengden.
Vi kan nå gi definisjonen av begrepet grense for ikke-isolerte punkter, som også inkluderer begrepene høyresidig og venstresidig grense.
Definisjon 1.2. La f :D(f)⊆R→R ogc∈D(f) være et ikke-isolert punkt.
Vi sier at grensen tilf er Lnår punktetx nærmer seg punktetc(uttrykt som lim
x→cf(x) = L), hvis det til ethvert tall >0 finnes et tall δ=δ()>0 (som avhenger av) slik at (1.3)
n
x∈D(f) og 0<|x−c|< δ o
=⇒ |f(x)−L|< .
(Denne definisjonen inkluderer også begrepene høyresidig og venstresidig grense, fordi vi har med betingelsen om at x ∈ D(f). Hvis f.eks. D(f) = [a, c] vil betingelsen “x ∈ D(f) og 0<|x−c|< δ” bety “c−δ < x < c”.)
Merk at betingelsen0<|x−c|< δkan skrives somx∈(c−δ, c+δ)\c, der tegnet\betyr
“bortsett fra”. Vi merker hvorfor definisjonen ikke gir mening hvis cer et isolert punkt. For slike punkter vil det finnes enδ som er slik at (c−δ, c+δ)∩D(f) = {c}, slik at det ikke finnes x som tilfredsstiller betingelsen “x ∈D(f) og 0 <|x−c|< δ”. Betingelsen(1.3) vil derfor trivielt være oppfylt for isolerte punkter, hvilket betyr at vi kunne vise at grensen er en hvilken som helstL.
Definisjonen stemmer med det vi forbinder med grenser rent intuitivt: Vi kan sørge for at
(1.4) f(x) er så nær vi vilL
så lenge
(1.5) x er nær nokc (men x6=c).
Matematisk uttrykkes (1.4) og (1.5) ved hjelp av avstander som (1.6) |f(x)−L|< (for en vilkårlig gitt ) så lenge
(1.7) 0<|x−c|< δ (for en δ vi finner, gitt ).
Se Figur 1.
Vi tar utgangspunkt nettopp i avstandsbegrepet når vi nå generaliserer grensebegrepet til en funksjonf medD(f)⊆Rn for n≥2. Punktenex ogci Definisjon 1.2 er nå punkter (x1, . . . , xn) og(c1, . . . , cn)i rommetRn. Vi uttrykker gjerne n-tuplet av deres koordinater med fet skrift (som for vektorer, siden vi kan se på punkter i Rn nettopp som vektorer):
(1.8) x= (x1, . . . , xn) og c= (c1, . . . , cn).
Det eneste som gjenstår å modifisere (dvs. generalisere) i Definisjonene 1.1 og 1.2 er nå avstanden mellom x og c. For x, c ∈ R er dette enkelt og greit |x−c|, mens for x = (x1, . . . , xn) ogc= (c1, . . . , cn) er avstanden gitt ved
(1.9) d(x,c) :=p
(x1−c1)2+· · ·+ (xn−cn)2 (se § 10.1 i læreboken).
Figur 1. f(x)ligger mellom L−ogL+når punktetxer i avstand < δ frac.
Vi generaliserer først begrepene omegn og isolert punkt:
Definisjon 1.3. La c∈Rn. En omegn2 om c er en mengde på formen Bδ(c) :={x∈Rn|d(x,c)< δ},
for enδ >0, og består av alle punkter x i avstand < δ fra c.
LaD⊆Rn være en delmengde (eksempelvis definisjonsmengden til en funksjon). Vi sier atc er etisolert punkt iD dersom det finnes en omegnBδ(c) slik atBδ(c)∩D={c}, dvs.
slik at omegnen inneholder kun c innenfor D.
Hvis ikke, sier vi atcer etikke-isolert punkt. Slike punkter tilfredsstiller at enhver omegn omc inneholder punkter iD utenom c.
Eksempel 1.4. Forn= 1, medx=x ogc=cerBδ(c) = (c−δ, c+δ).
Forn= 2 erBδ(c) det indre av en sirkel med radiusδomc, som vist ixy-planet i Figur 2 under. Forn= 3 erBδ(c) det indre av en ball med radiusδ omc, osv. Av denne grunnen kalles mengdene Bδ(c) ogsååpne baller.
Definisjonen av grense blir da, med notasjonen (1.8):
Definisjon 1.5. La f :D(f)⊆Rn→R og c∈D(f) være et ikke-isolert punkt.
Vi sier at grensen til f er L når punktet (x1, . . . , xn) nærmer seg punktet (c1, . . . , cn) (uttrykt som lim
x→cf(x) = L), hvis det til ethvert tall >0 finnes et tall δ =δ()>0 (som avhenger av ) slik at
(1.10) n
x∈D(f) og 0< d(x,c)< δo
=⇒ |f(x)−L|<
(hvord(x,c) er som i (1.9)).
I tilfellet n = 2, får vi definisjonen i læreboken, nærmere bestemt Definisjon 2 i § 12.2.
(når vi skriver x= (x, y) og c= (a, b)):
Definisjon 1.6. La f :D(f)⊆R2 →R og(a, b)∈D(f) være et ikke-isolert punkt3.
2På engelsk er detteneighborhood, se slutten av § 10.2 i læreboken.
3At(a, b)er ikke-isolert er betingelse (i) i definisjonen i læreboken.
Vi sier at grensen til f er L når punktet (x, y) nærmer seg punktet (a, b) (uttrykt som
(x,y)→(a,b)lim f(x, y) = L), hvis det til ethvert tall > 0 finnes et tall δ = δ() > 0 (som avhenger av ) slik at
(1.11)
n
(x, y)∈D(f) og 0<p
(x−a)2+ (y−b)2 < δ o
=⇒ |f(x)−L|< . Figur 2 er generaliseringen av Figur 1 tiln= 2og viser geometrisk hva som skjer.
Figur 2. f(x, y) ligger mellom L − og L + når punktet P(x, y) er i avstand< δ fra P0(a, b).
Vi merker til slutt at dersom vi fjerner punktet c i Bδ(c), da får vi mengden i (1.10) i Definisjon 1.5, som vi betegner som4
Bδ(c)∗ := Bδ(c)\ {c}={x∈Rn|d(x,c)< δ og x6=c}
(1.12)
= {x∈Rn|0< d(x,c)< δ}.
Disse mengdene har også fått egne navn
Definisjon 1.7. La c ∈ Rn. En punktert omegn5 om c er en mengde på formen som i (1.12)for en δ >0, og består av alle punkter xi avstand < δ fra c utenom punktet c selv.
Uttrykket (1.10) i Definisjon 1.5 kan altså skrives som:
(1.13) x∈Bδ(c)∗∩D(f) =⇒f(x)∈B(L).
2. Definisjon av kontinuitet (§ 12.2)
Som i én-variabeltilfellet, definerer vi en funksjon f :D(f) ⊆Rn → Rtil å være konti- nuerlig i et ikke-isolert punktc∈D(f)dersom “grensen er lik funksjonsverdien”, dvs.
x→climf(x) =f(c).
Denne definisjonen er mer enn god nok til våre formål. La oss imidlertid for moro skyld bemerke at dersom vi setter dette sammen med den formelle definisjonen 1.5, da får vi den formelle definisjonen på kontinuitet:
4Husk at tegnet\betyr “bortsett fra”.
5På engelsk er dettepunctured neighborhood, men står ikke nevnt i læreboken.
Definisjon 2.1. La f :D(f)⊆Rn→R og c∈D(f).
Vi sier at f er kontinuerlig i c hvis det til ethvert tall >0 finnes et tall δ =δ() >0 (som avhenger av) slik at
(2.1) n
x∈D(f) og d(x,c)< δo
=⇒ |f(x)−f(c)|< .
Merk at dersom d(x,c) = 0, vil x= c, slik at |f(x)−f(c)|= 0 < er trivielt oppfylt.
Det gjør at vi ikke trenger å ha med ulikheten 0< d(x,c) i (2.1) i Definisjon 2.1.
Merk også at definisjonen fungerer like godt for isolerte punkter i definisjonsmengden, og gir atf automatisk er kontinuerlig i isolerte punkter. Dette fordi det vil finnes enδ slik at eneste punkt som oppfyller “x∈ D(f) og d(x,c)< δ” er c, slik at|f(x)−f(c)|= 0<
automatisk er oppfylt. Det kan virke snålt at funksjonen i (1.1) er kontinuerlig i null, men slik er det altså per definisjon. Slike snåle egenskaper vil imidlertid ikke ha noen betydning for oss. Kontinuitet og grenser i isolerte punkter er ikke interessante, og vi kommer ikke til å se noe mer på isolerte punkter.
Vi ser ellers at uttrykket (2.1) i Definisjon 2.1 kan altså skrives som:
(2.2) x∈Bδ(c)∩D(f) =⇒f(x)∈B(f(c)) (sammenlign med (1.13)).
Begrepet uniform kontinuitet har også sin helt naturlige generalisering til flere variable, men vi kommer ikke til å gå inn på det i dette kurset.
Generelt kan alle begrepene som involverer grenser og kontinuitet defineres på funksjoner mellom mengder som har et avstandsbegrep, dvs. der vi kan “måle avstand mellom punkter”.
Slike mengder kalles metriske rom, og studeres i ethvert innføringskurs i reell analyse6. 3. Egenskaper ved grenser og kontinuerlige funksjoner (§ 12.2) Siden Definisjon 1.5 er en rett frem generalisering av definisjonen forn= 1, og involverer egentlig kun den endringen at vi snakker om avstander mellom punkter i Rn istedenfor i R, vil bevisene for entydighet av grenser, grensesetningene, skviseteoremet og grenser av sammensatte funksjoner fra (oppgavene) i § 1.5 i læreboken fungere (uten annet enn de opplagte endringene). Vi oppsummerer egenskapene her:
Teorem 3.1. (Entydighet av grenser) La f :D(f)⊆Rn → R og c ∈D(f) et ikke-isolert punkt.
Grenser er entydige, dvs. at dersom lim
x→cf(x) =L og lim
x→cf(x) =M, da er L=M.
Teorem 3.2. (Grensesetningene) La f :D(f)⊆Rn →R, g :D(g)⊆Rn →R og anta at c∈D(f)∩D(g) er et ikke-isolert punkt.
Anta at begge grensene lim
x→cf(x) og lim
x→cg(x) eksisterer og k∈R. Da gjelder:
(i) lim
x→c
f(x)±g(x)
= lim
x→cf(x)±lim
x→cg(x);
(ii) lim
x→cf(x)g(x) =
x→climf(x)
x→climg(x)
;
(iii) lim
x→c
f(x) g(x) =
x→climf(x)
x→climg(x); (iv) lim
x→ckf(x) =klim
x→cf(x);
(iv) lim
x→c
f(x)m/n
=
x→climf(x)m/n
(hvor uttrykkene er definert).
6Her i Bergen dreier det seg om høstkurset MAT211-Reell analyse.
Teorem 3.3. (Skviseteoremet) Anta at grensene lim
x→cf(x), lim
x→cg(x) og lim
x→ch(x)eksisterer og at f(x)≤g(x)≤h(x) for alle x i en punktert omegn7 om et punkt c.
Da vil
x→climf(x)≤ lim
x→cg(x)≤ lim
x→ch(x).
Teorem 3.4. (Grenser av sammensetninger) La f :D(f) ⊆Rn →R slik at lim
x→cf(x) =L og F :D(F)⊆R→Rslik at L∈D(F) og F er kontinuerlig i L. Da vil
x→climF(f(x)) =F( lim
x→cf(x)) =F(L).
Spesielt gir Teoremene 3.2 og 3.4 sammen med definisjon av kontinuitet at summer, differanser, produkter, kvotienter og sammensetninger av kontinuerlige funksjoner er konti- nuerlige (på sin definisjonsmengde), på nøyaktig samme måte som i én-variabeltilfellet:
Teorem 3.5. (Kombinasjoner av kontinuerlige funksjoner) La f : D(f) ⊆ Rn → R og g:D(g)⊆Rn→Rvære kontinuerlige funksjoner.
Da vil funksjonene f +g, f −g, f g, f /g og fm/n, for m, n ∈ Z, være kontinuerlige funksjoner på sin definisjonsmengde.
Teorem 3.6. (Sammensetninger av kontinuerlige funksjoner)
Laf :D(f)⊆Rn→Rog F :D(F)⊆R→R være kontinuerlige funksjoner.
Da vil den sammensatte funksjonen8 F ◦f (definert ved at F ◦f(x) = F(f(x))) være kontinuerlig på sin definisjonsmengde.
La oss (som i én-variabeltilfellet) begynne med å finne grenser (og dermed vise konti- nuitet) for de enkleste funksjonene. I én-variabeltilfellet gjelder dette funksjonene f(x) = x og f(x) = k (konstant). I flere variable gjelder det “koordinatfunksjonene” f(x) = f(x1, . . . , xn) =xi for hveri= 1, . . . , xn og konstante funksjonerf(x) =f(x1, . . . , xn) =k.
Dette nevnes ikke i læreboken. For ikke å henge oss opp i for mye notasjon, vil vi fra nå av konsentrere oss om tilfellet n= 2 og bruke koordinatenex ogy, som vanlig.
Teorem 3.7. Funksjonene f(x, y) = x, g(x, y) = y og h(x, y) = k (konstant) er alle kontinuerlige, dvs. at
(x,y)→(a,b)lim x=a, lim
(x,y)→(a,b)y =b, lim
(x,y)→(a,b)k=k, for alle (a, b)∈R2.
Bevis. Vi ser først på funksjonen f(x, y) =x. Gitt >0, da lar vi δ=. Dersom vi har at 0<p
(x−a)2+ (y−b)2< δ, da vil
f(x, y)−f(a, b) =
x−a
=p
(x−a)2≤p
(x−a)2+ (y−b)2 < δ=, som viser at lim
(x,y)→(a,b)f(x, y) =f(a, b) =a.
Beviset for at lim
(x,y)→(a,b)g(x, y) =g(a, b) =b er (nesten) helt likt.
Til slutt ser vi på h(x, y) = k. Gitt > 0, da kan vi velge en hvilken som helst δ > 0, siden
f(x, y)−f(a, b) =
k−k
= 0
for alle(a, b)∈R2.
7Se Def. 1.7.
8Den sammensatte funksjonenF◦f er definert for allex∈Rnslik atf(x)∈D(F)
Et polynomi to variable x ogy er en endelig sum av ledd på formen cxkyl, der c∈Rog k, l∈N. Enrasjonal funksjoni to variable xog y er en kvotient av polynomer i to variable x og y. Ved hjelp av teoremene over, kan vi konkludere at alle polynomer og rasjonale funksjoner i to variable er kontinuerlige på sin definisjonsmengde. Og ikke nok med det:
siden alle potensfunksjoner (inkludert alle røtter) er kontinuerlige, vil også alle potenser av og uttrykk som innholder potenser av polynomer og rasjonale funksjoner være kontinuerlige.
Det samme gjelder når vi lager funksjoner med x og y som involverer funksjoner av én variabel som vi vet er kontinuerlige, som de trigonometriske og deres inverser, logaritme- og eksponensialfunksjonen. Alle slike funksjoner vi være kontinuerlige i sin definisjonsmengde slik at alle grenser finnes ved direkte innsetting. Eksempler på dette er gitt i Eksempel 1-2 i § 12.2 i læreboken. Alle funksjonene der er kontinuerlige på sine definisjonsområder.
La oss se på noen litt annerledes (og dypere!) eksempler der vi bruker resultatene over.
(Forsøk gjerne på oppgavene selv først. Dette er oppgaver som ikke har blitt gjennomgått på forelesning.)
Eksempel/Oppgave 3.8. Er funksjonen f :R2 →Rgitt ved f(x, y) =
(xcos 1
x2+y2
+y når(x, y)6= (0,0)
0 når(x, y) = (0,0)
kontinuerlig?
Løsning. Definisjonsområdet til funksjonen xcos
1 x2+y2
, og dermed også til funksjonen xcos
1 x2+y2
+y, er heleR2 bortsett fra origo. Her er funksjonen kontinuerlig, ved Teore- mene 3.5 og 3.6, sidenx, x2+y1 2,costog y er kontinuerlige funksjoner. I origo er f definert til å være null.
Vi undersøker først grensen lim
(x,y)→(0,0)xcos 1
x2+y2
. Vi har, for alle(x, y)6= 0,
cos
1 x2+y2
≤1, slik at
xcos
1 x2+y2
≤
x
, hvilket gir
− x
≤xcos 1
x2+y2
≤ x
, slik atSkviseteoremet 3.3 gir at
(x,y)→(0,0)lim xcos 1 x2+y2
= 0.
Dermed er (ved Teorem 3.2(i)):
(x,y)→(0,0)lim f(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)xcos 1 x2+y2
+y= 0 + 0 = 0 =f(0,0).
Følgelig erf også kontinuerlig i origo, og dermed er f kontinuerlig overalt.
Eksempel/Oppgave 3.9. Finn grensen
(x,y)→(2,0)lim
1−cosy xy2 , om den eksisterer.
Løsning. Vi observerer at funksjonen 1−cosxy2y er et produkt av funksjonene 1x og 1−cosy2 y, som er funksjoner av én variabel som vi kjenner grensen til. Vi har nemlig
(x,y)→(2,0)lim 1 x = lim
x→2
1 x = 1
2 og
(x,y)→(2,0)lim
1−cosy y2 = lim
y→0
1−cosy y2 = 1
2, ved l’Hôpital9. Ved produktregelen for grenser i Teorem 3.2 finner vi
(x,y)→(2,0)lim
1−cosy xy2 =
(x,y)→(2,0)lim 1 x
(x,y)→(2,0)lim
1−cosy y2
= 1 2 ·1
2 = 1 4.
Eksempel/Oppgave 3.10. Betrakt funksjonen g(x, y) = sin(xyxy 2).
(a) Hva er definisjonsmengden tilg?
(b) Har funksjonen en kontinuerlig utvidelse til heleR2?
Løsning. (a) Definisjonsmengden er alle (x, y) slik at xy 6= 0, dvs. slik at både x 6= 0 og y6= 0:
D(f) ={(x, y)∈R2|x6= 0 og y6= 0.}
(Dette er hele R2 bortsett fra koordinataksene.)
(b) Spørsmålet er: Finnes det en funksjon G definert på hele R2 som er slik at G = g på D(g). Dette er tilfellet hvis og bare hvis funskjoneng har veldefinerte grenseverdier inn mot ethvert punkt utenforD(g).
Ved å studere funksjonsuttrykket, ser vi at vi kan skrive g(x, y) =y·sin(xy2)
(xy2)
og aner derfor at problemet kan løses ved hjelp av grensen til en velkjent funksjon i én variabel, nemlig lim
t→0
sint
t = 1. Dette betyr nemlig at funksjonen F(t) =
(sint
t nårt6= 0, 1 nårt= 0
er kontinuerlig på hele R. Siden funksjonen f(x, y) = xy2 er kontinuerlig (ved Teoremene 3.2(ii) og 3.7), er den sammensatte funksjonen
F(f(x, y)) =F(xy2) =
(sin(xy2)
xy2 nårxy2 6= 0, 1 nårxy2 = 0
kontinuerlig ved Teorem 3.6. Merk at xy2 = 0⇔ x = 0eller y= 0. Funksjonen G(x, y) = yF(x, y) er kontinuerlig ved ved Teorem 3.2(ii), og kan uttrykkes som
G(x, y) =
(sin(xy2)
xy nårx6= 0ogy6= 0, y nårx= 0ellery= 0.
Dette er derfor en kontinuerlig utvidelse av gtil hele R2.
9Merk at vi her bruker l’Hôpital på en funksjon av én variabel. Det finnes ikke en tilsvarende regel for funksjoner av flere variable.
Som i én-variabeltilfellet vil altså utfordringen i å finne grenser ligge i å finne grenser inn mot punkter der funksjonen ikke er definert, eller der funksjonsuttrykket er delt. Noen eksempler på dette er gitt i læreboken og vi skal se på noen flere i neste seksjon, samtidig som vi oppsummerer knepene vi bruker.
4. Å beregne grenser og avgjøre kontinuitet (§ 12.2)
Vi nevner først noen standardknep vi kan bruke for å vise at en grense ikke eksisterer eller for å finne en grense hvis vi ikke klarer å bruke grensesetningene direkte. Vi kommer til å konsentrere oss om grenser inn mot origo, siden alle andre grenser kan behandles likedan ved et koordinatskifte.
Vi starter med å merke at Definisjon 1.6 sier at dersom lim
(x,y)→(a,b)f(x, y) = L, da må f nærme segLuansett hvordan (x, y) nærmer seg punktet(a, b) innenfor definisjonsmengden D(f). F.eks. må grensen være den samme når vi nærmer oss (a, b) langs de rette linjene x=a,y=bog mer generelt langs alle andre kurver i planet. Substituerer vi inn i uttrykket for f(x, y) får vi en funksjon av én variabel, som er lettere å håndtere.
Dette gir oss en måte å vise at en grense ikke eksisterer:
Knep 4.1. (To-kurve-testen for ikke-eksistens av grense.)Dersomf nærmer seg to forskjel- lige verdier når(x, y)nærmer seg(a, b)langs to forskjellige kurver innenfor definisjonsmen- den til f, da kan ikke grensen lim
(x,y)→(a,b)f(x, y) eksistere.
Fornuftige kurver å bruke når (a, b) = (0,0) kan være x-aksen (hvor f(x, y) = f(x,0)) og y-aksen (hvor f(x, y) =f(0, y)), eller generelt rette linjer
y=kx, x=ly, parabler
y=kx2, x=ly2,
osv. Utgangspunktet er at vi velger kurver (=uttrykk i xogy) som gir oss et enklere uttrykk for f(x, y).
Dette knepet brukes i Eksemplene 3-4 i § 12.2 i læreboken.
Å sjekke grensen langs kurver kan uansett være nyttig selv om vi ikke får forskjellige verdier: dersom vi sjekker mange kurver og får hele tiden samme grenseL, kan vi begynne å ane at dette kan være grensen. Deretter kan vi forsøke å vise at grensen erL ved andre metoder, eksempelvis Knep 4.3 under.
Det neste knepet vi kan bruke, når vi undersøker grenser inn mot origo, både til å vise eksistens og ikke-eksistens, er å omforme til polare koordinater vedx=rcosθogy=rsinθ, med r > 0. At (x, y) → (0,0) er ekvivalent med at r → 0+, og grensen vi får kan være enklere å sjekke.
Knep 4.2. (Omforming til polare koordinater.) Sett x = rcosθ og y = rsinθ og under- søk grensen lim
r→0+f(rcosθ, rsinθ). Dersom denne finnes (uavhengig av θ), vil den være lik
(x,y)→(0,0)lim f(x, y), og dersom denne avhenger avθ, vil lim
(x,y)→(0,0)f(x, y) ikke eksistere (siden f da nærmer seg forskjellige verdier når vi nærmer oss origo i forskjellige retninger gitt ved vinkelen θ).
Dette knepet kan være spesielt lurt dersom uttrykket x2+y2 forekommer, siden dette blir tilr2 ved omforming.
Dette knepet står ikke nevnt i læreboken. Det er litt synd, fordi det kan være enkelt å bruke. Vær imidlertid obs på at dette knepet ikke alltid gir oss et svar (se Eksempel/Oppgave 4.8 under).
Til slutt nevner vi et annet knep som kan brukes til å vise at en grense eksisterer, brukt i læreboken i Eksempel 5 i § 12.2. Dersom vi har grunn til å tro at lim
(x,y)→(a,b)f(x, y) =L(f.eks.
ved at vi har sjekket grensen langs spesielle kurver inn mot(a, b)), kan vi forsøke å vise at uttrykket
f(x, y)−L
er mindre enn et uttrykk som går mot null: Hvis
f(x, y)−L
≤g(x, y) og lim
(x,y)→(a,b)g(x, y) = 0, da vil også lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y)−L
= 0 ved Skviseteoremet 3.3.
(Eventuelt kan vi bruke Definisjon 1.6 direkte: gitt >0, da vil denδ >0 som fungerer for g(x, y)fungerer også forf(x, y).) Dette knepet er det vi i praksis brukte i Eksempel/Oppgave 3.8.
Knep 4.3. (Skvis under en funksjon som går mot null.) Dersom
f(x, y)−L
≤g(x, y) (i en punktert omegn10om (a, b)) og lim
(x,y)→(a,b)g(x, y) = 0, da vil lim
(x,y)→(a,b)f(x, y) =L.
La oss se på noen eksempler i tillegg til Eksemplene 3-5 i § 12.2 i læreboken.
Eksempel/Oppgave 4.4. Vurdér om grensen
(x,y)→(0,0)lim − x px2+y2 eksisterer. (Se Figur 4 under.)
Løsning. Vi setter
f(x, y) =− x px2+y2.
Med polarkoordinater: Vi lar x=rcosθ ogy =rsinθ. Da vil, forr >0, når vi bruker at cos2θ+ sin2θ= 1:
(4.1) f(x, y) =f(rcosθ, rsinθ) =− rcosθ
pr2cos2θ+r2sin2θ =−rcosθ
|r| =−cosθ, som avhenger av θ (og antar alle verdier mellom −1 og 1 uansett hvor liten r er). Derfor vil grensen lim
(x,y)→(0,0)ikke eksistere.
(Hvis f.eks. θ = 0, dvs. langs den positive x-aksen, gir (4.1) oss at f(x, y) = −1; hvis θ= 0, dvs. langs den negativex-aksen, gir (4.1) oss atf(x, y) = 1; og hvis θ= π2,3π2 , dvs.
langs y-aksen, gir (4.1) oss at f(x, y) = 0. Dette ser vi tydelig i Figur 4 under.)
Ved å sjekke grensen langs kurver: Vi sjekker grensen langs kurver gjennom origo.
Vi starter gjerne med de enkleste kurvene vi kommer på, nemlig linjer gjennom origo, som har formeny=kx. I dette tilfelle ser vi at dette er en god idé også fordi uttrykket i nevner blir spesielt enkelt når vi setter inny=kx:
f(x, kx) =− x
px2+ (kx)2 =− x
|x|√
1 +k2 =± 1 1 +k2,
avhengig av fortegnet til x, og dette uttrykket avhenger klart av k, dvs. av stigningen til linjen gjennom origo. Grensen lim
(x,y)→(0,0)f(x, y)kan derfor ikke eksistere.
10Se Def. 1.7.
Vi kunne også sjekket kun langs de to koordinataksene x = 0 og y = 0. Langs y-aksen (utenom origo) har vi
f(0, y) =− 0 py2 = 0, mens vi langs x-aksen (utenom origo) har
f(x,0) =− x
√ x2 =
(−1 hvisx >0 1 hvisx <0,
slik at vi har funnet tre forskjellige grenser om vi nærmer oss origo langs y-aksen (grense 0), langs den positivex-aksen (grense−1) og langs den negative x-aksen (grense 1). Dette ser vi tydelig i Figur 4 under.
Som vi ser, kan altså problemet løses på flere måter.
Figur 3. Grafen tilf(x, y) =−√ x
x2+y2. Eksempel/Oppgave 4.5. Hva er definisjonsmengden til
f(x, y) = 2xy(x2−y2) x2+y2 ?
Vurdér omf har en kontinuerlig utvidelse til heleR2. (Se Figur 4 under.)
Løsning. Vi ser med en gang at f er definert overalt bortsett fra i origo, dvs. at svaret på første del er D(f) = R2 \ {(0,0)} (det matematiske tegnet \ betyr “bortsett fra”).
På sin definisjonsmengde er f en kombinasjon av kontinuerlige funksjoner, slik at den er kontinuerlig. For å vurdere omf har en kontinuerlig utvidelse til origo, må vi finne ut om
lim
(x,y)→(0,0)f(x, y)
eksisterer. (Oppgaven kunne også ha vært formulert slik, men noen ganger liker vi å for- mulere oppgaver slik at vi sjekker flere sider av forståelsen.) Igjen kan dette løses på flere måter.
Med polarkoordinater:Vi lar x=rcosθ og y=rsinθ. Da vil, forr >0, f(x, y) = f(rcosθ, rsinθ) = 2(rcosθ)(rsinθ)(r2cos2θ−r2sin2θ)
r2cos2θ+r2sin2θ
= 2r4cosθsinθ(cos2θ−sin2θ)
r2 = 2r2cosθsinθ(cos2θ−sin2θ).
(Igjen har vi bruktcos2θ+ sin2θ= 1). Dette siste uttrykket→0nårr →0uansettθ, slik at
(x,y)→(0,0)lim f(x, y) = lim
r→0+f(rcosθ, rsinθ) = lim
r→0+2r2cosθsinθ(cos2θ−sin2θ) = 0.
Følgelig vil funksjonen
F(x, y) =
(f(x, y) når(x, y)6= (0,0) 0 når(x, y) = (0,0) være en kontinuerlig utvidelse av f til heleR2.
Ved å sjekke grensen langs kurver først og så bruke “skviseteknikken”:Vi skal finne ut av om grensen lim
(x,y)→(0,0)f(x, y) eksisterer. Langs rette linjer gjennom origo, på formen y=kx, har vi at
f(x, kx) = 2x(kx)(x2−(kx)2)
x2+ (kx)2 = 2kx2x2(1−k2)
x2(1 +k2) = 2kx21−k2 1 +k2
som→0 nårx→0uansettk. Vi kan nå fortsette ved å forsøke å sjekke langsy=kxm for m ≥2, men får alltid samme svar. Vi begynner derfor å ane at grensen kanskje er null og skriver uttrykket som en differanse og bruker Knep 4.3:
f(x, y)
=
2xy(x2−y2) x2+y2
=
2x3y
x2+y2 − 2xy3 x2+y2
≤
2x3y x2+y2
+
2xy3 x2+y2
≤
2x3y x2
+
2xy3 y2
= |2xy|+|2xy|=|4xy| →0 når (x, y)→(0,0).
Som forklart i Knep 4.3 (f.eks. vedSkviseteoremet3.3), vil dette medføre at lim
(x,y)→(0,0)f(x, y) =
0, som vist over.
Figur 4. Grafen tilf(x, y) = 2xy(xx2+y2−y22).
Bemerkning 4.6. Funksjonen F(x, y) =
(2xy(x2−y2)
x2+y2 når(x, y)6= (0,0) 0 når(x, y) = (0,0)
skal vi se litt mer på i Oppgave 16 i § 12.4 i læreboken. Den har nemlig den spesiell egenska- pen at de to høyere ordens partielt deriverte F12 og F21 tilfredsstillerF12(0,0)6=F21(0,0).
Dette skjer ikke for “tilstrekkelig pene” funksjoner: Husk Teorem 1 i § 12.4, som sier i to- variabeltilfellet atf12(a, b) =f21(a, b)dersomf1 ogf2 er kontinuerlige i en omegn om(a, b) og f12 ogf21 er kontinuerlige i (a, b).
Eksempel/Oppgave 4.7. Vurdér om
(x,y)→(0,0)lim
(x−y)2 x2+xy+y2 eksisterer.
Løsning. Vi setter
f(x, y) = (x−y)2 x2+xy+y2.
Med polarkoordinater:Vi lar x=rcosθ og y=rsinθ. Da vil f(x, y) =f(rcosθ, rsinθ) = 1−2 cosθsinθ
1 + cosθsinθ ,
som helt klart vil variere nårθvarierer (selv omr →0, sidenr ikke dukker opp i uttrykket), slik at grensen lim
(x,y)→(0,0)f(x, y) ikke eksisterer.
Ved å sjekke grensen langs kurver: Vi ser etter kurver (eller om vi vil, etter substi- tusjoner av x og y) som gir opplagte grenser. F.eks. ser vi med en gang at dersomy =x, så vil
f(x, x) = 0
3x2 = 0 (utenfor origo)
slik at f nærmer seg 0 når vi nærmer oss origo langs kurven y = x. Imidlertid vil vi når y= 0 ha
f(x,0) = x2 x2 = 1,
slik at f nærmer seg1 når vi nærmer oss origo langs kurven y= 0, dvs.x-aksen. Følgelig vil lim
(x,y)→(0,0)f(x, y) ikke eksistere.
I alle eksemplene over fungerte de polare koordinatene godt. Dette er dessverre ikke alltid tilfellet, som neste eksempel viser.
Eksempel/Oppgave 4.8. Vurdér om
(x,y)→(0,0)lim xy2 x2+y4 eksisterer. (Se Figur 4 under.)
Løsning. Vi setter
f(x, y) = xy2 x2+y4.
Med polarkoordinater:Vi lar x=rcosθ og y=rsinθ. Da vil f(x, y) = f(rcosθ, rsinθ) = (rcosθ)(rsinθ)2
(rcosθ)2+ (rsinθ)4 = r3cosθsin2θ r2(cos2θ+r2sin4θ)
= rcosθsin2θ cos2θ+r2sin4θ.
Dette uttrykket vil → 0 når r → 0, såfremt ikke cosθ → 0, samtidig, dvs. at θ → ±π2. Hvis dette er tilfellet, kan vi ikke si hva som skjer. (Husk at vi må sjekke at grensen er den samme uansettθ). Denne fremgangsmåten fungerer dessverre ikke, dvs. vi klarer hverken å vise at grensen finnes og er uavhengig avθ, ei heller at grensen faktisk avhenger av θ.
Ved å sjekke grensen langs kurver: Prøver vi med linjerx=ly får vi f(ly, y) = ly3
l2y2+y4 = ly l2+y2,
som vil →0 nåry→0. Det samme skjer langs linjen y= 0. Vi kan kanskje bli fristet til å tro at grensen skal være null og sløse bort masse tid på å vise dette. Imidlertid bør vi heller se mer på funksjonsuttrykket for å se om det finnes kurver langs hvilke funksjonsuttrykket til f forenkles. Et viktig spor kommer av at uttrykket inneholder y med doble potenser i forhold til x. Vi forsøker derfor med å sette x =ly2, dvs. å sjekke grensen langs parabler istedenfor rette linjer:
(4.2) f(ly2, y) = ly4
l2y4+y4 = l l2+ 1,
og vi ser at grensen når (x, y) → 0 langs x = ly2 avhenger av l. (Ta en titt på Figur 4.
Langs f.eks. x = y2, dvs. for l = 1, gir (4.2) at f(x, y) = 12 utenom origo, og nærmer seg derfor z = 12 på z-aksen, som vi tydelig ser. Langs f.eks. x = 0 (som er y-aksen), dvs. for l= 0, gir (4.2) at f(x, y) = 0utenom origo, og nærmer seg derforz= 0 påz-aksen, som vi også ser.)
Følgelig eksisterer ikke grensen lim
(x,y)→(0,0)f(x, y).
Så moralen er: Let etter kurver som gjør at funksjonsuttrykket, etter forkort- ninger/forenklinger, blir enkelt, f.eks. en konstant, som i dette tilfellet.
Figur 5. Grafen tilf(x, y) = x2xy+y24.
5. Noen eksempler med partielt deriverte (§ 12.3), retningsderriverte (§ 12.7) og derivérbarhet (§ 12.6)
Vi henviser til læreboken for definisjon av partielt deriverte (§ 12.3), retningsedriverte (§ 12.7) og derivérbarhet (§ 12.6). Som med grenser og kontinuitet ligger det en ekstra utfordring i å beregne og vurdere disse begrepene i spesielle punkter der funksjonen skifter uttrykk. Læreboken gir noen oppgaver om dette, men mangler eksempler. Vi skal derfor se på et par eksempler, der vi bruker noen av funksjonene fra forrige seksjon og lar igjen det spesielle punktet være origo.
Eksempel/Oppgave 5.1. La F(x, y) =
( xy2
x2+y4 når(x, y)6= (0,0), 0 når(x, y) = (0,0).
(i) Avgjør hvorF er kontinuerlig.
(ii) Finn de partielt deriverteF1(x, y)og F2(x, y).
(iii) Finn den retningsderiverte i origo i en vilkårlig retning gitt ved en enhetsvektor u=ui+vj.
(iv) ErF derivérbar i origo?
(v) ErF derivérbar utenfor origo?
Løsning. (i) Funksjonen F er definitivt kontinuerlig utenfor origo, siden x2xy+y24 er en kom- binasjon av kontinuerlige funksjoner. I Eksempel/Oppgave 4.8 viste vi at lim
(x,y)→(0,0)
xy2 x2+y4 ikke eksisterer, såF kan ikke være kontinuerlig i origo.
(iv) Vi svarer med en gang på spørsmålet om F er derivérbar i origo: Nei, F er ikke derivérbar i origo, siden F ikke er kontinuerlig i origo. Det er et veldig viktig resultat (i to variable som i én variabel) at derivérbarhet medfører kontinuitet (Oppgave 21 i § 12.6 i lærebokens utg. 7, evt. Oppg. 17 i utg.6, som er pensum).
(ii) Utenfor origo erF gitt ved ett uttrykk, slik at vi kan bruke de vanlige derivasjonsregle- ne (dvs. derivasjon mhp. én av variablene om gangen, der vi betrakter den andre variabelen som en konstant):
F1(x, y) = ∂
∂x xy2
x2+y4 =−y2 x2−y4 (x2+y4)2, F2(x, y) = ∂
∂y xy2
x2+y4 = 2xy x2−y4 (x2+y4)2.
Men i origo må vi bruke definisjonen på de partielt deriverte. Per definisjon har vi F1(0,0) = lim
h→0
F(h,0)−F(0,0)
h = lim
h→0
0−0 h = lim
h→00 = 0, F2(0,0) = lim
k→0
F(0, k)−F(0,0)
k = lim
k→0
0−0 k = lim
k→00 = 0.
Uttrykkene for de partielt deriverte blir derfor også delte uttrykk, og er:
F1(x, y) =
(−y(x2(x2+y2−y4)42) når(x, y)6= (0,0) 0 når(x, y) = (0,0)
og
F2(x, y) =
(2xy(x2−y4)
(x2+y4)2 når(x, y)6= (0,0) 0 når(x, y) = (0,0).
Merk spesielt at begge de partielt deriverte eksisterer i origo, selv om F ikke er kontinuerlig der. Dette kan komme som en overraskelse når man sammenligner med én-variabeltilfellet. Men vi må huske på at de partielt deriverte bare måler endringen til funksjonen langs to utvalgte retninger, x-aksen og y-aksen, og er derfor mye mer restriktive i sin definisjon enn begrepet kontinuitet, som tar hånd om alle retninger inn mot punktet. I dette konkrete tilfellet viste vi i Eksempel/Oppgave 4.8 over at F(x, y) = 0 langs både x-aksen og y-aksen, noe som vi også ser av Figur 4, og som nettopp gir at de to retningsderiverte er null. Men dette gir altså ikke et korrekt bilde av funksjonen utenfor x-aksen og y-aksen.
(v) Vi kan nå allerede svare på spørsmålet omF er derivérbar utenfor origo uten å måtte bruke definisjonen: det skyldes at begge de partielt deriverte F1 og F2 er kontinuerlige funksjoner utenfor origo (siden de er rasjonale funksjoner der). Dette medfører at F er derivérbar utenfor origo (ved Teorem 4 i § 12.6 i læreboken). At kontinuerlige partielt deriverte i en omegn om et punkt medfører derivérbarhet er igjen et veldig viktig resultat, og er det vi som oftest bruker i praksis for å konkludere at en funksjon er derivérbar i et punkt.
(iii) For å finne den retningderiverte kunne det være fristende å bruke Teorem 7 i § 12.7 i læreboken11. Dette teoremet kan vi imidlertid ikke bruke, sidenF ikke er derivérbar i origo.
Vi må bruke definisjonen på retningsderivert. La da u=ui+vj være en enhetsvektor. Da vil
DuF(0,0) = lim
h→0+
F(hu, hv)−F(0,0)
h = lim
h→0+
(hu)(hv)2 (hu)2+(hv)4
h
= lim
h→0+
h2uv2
h2(u2+h2v4) = lim
h→0+
uv2 u2+h2v4. Her må vi være litt forsiktige. Dersomu6= 0, har vi
h→0lim+
uv2
u2+h2v4 = uv2 u2 = v2
u. Dersom u= 0, måv= 1, siden u er en enhetsvektor, og vi har
h→0lim+
uv2
u2+h2v4 = lim
h→0+
0
h2 = lim
h→0+0 = 0.
(Dette visste vi egentlig allerede, siden u = j og DjF(0,0) = F2(0,0).) Oppsummerer vi, får vi:
DuF(0,0) = (v2
u hvisu6= 0, 0 hvisu= 0.
11Dette teoremet gir formelenDuF(a, b) =u• ∇F(a, b) dersomF er derivérbar i(a, b). I vårt tilfelle ville dette gitt svaretDuF(0,0) =u• ∇F(0,0) = 0for alleu, siden∇F(0,0) =0. Men dette er feil svar, som vi vil se.
Eksempel/Oppgave 5.2. La F(x, y) =
(2xy(x2−y2)
x2+y2 når(x, y)6= (0,0) 0 når(x, y) = (0,0).
(Denne funksjonen er kontinuerlig overalt, som vist i Eksempel/Oppgave 4.5.) Finn de partielt deriverte i origo og avgjør omF er derivérbar i origo.
Løsning. Vi bruker igjen definisjonen på de partielt deriverte og får F1(0,0) = lim
h→0
F(h,0)−F(0,0)
h = lim
h→0
0−0 h = lim
h→00 = 0, F2(0,0) = lim
k→0
F(0, k)−F(0,0)
k = lim
k→0
0−0 k = lim
k→00 = 0.
Så sjekker vi grensen i definisjonen på derivérbarhet (Definisjon 5 i § 12.6):
(h,k)→(0,0)lim
F(h, k)−F(0,0)−hF1(0,0)−kF2(0,0)
√h2+k2
= lim
(h,k)→(0,0)
F(h, k)−0−0−0
√h2+k2
= lim
(h,k)→(0,0)
2hk(h2−k2) h2+k2 −0
√
h2+k2
= lim
(h,k)→(0,0)
2hk(h2−k2) (h2+k2)3/2 .
Denne grensen ligner den vi regnet ut i Eksempel/Oppgave 4.5 og kan faktisk regnes ut på samme måte. Også her kan vi innføre polare koordinaterh=rcosθog k=rsinθ og få
2hk(h2−k2)
(h2+k2)3/2 = 2r4cosθsinθ(cos2θ−sin2θ)
r3 = 2rcosθsinθ(cos2θ−sin2θ) som →0 nårr→0 uansettθ. Vi har dermed vist atF er derivérbar i origo.
Vi kunne også brukt Knep 4.3 for å beregne lim
(h,k)→(0,0)
2hk(h2−k2)
(h2+k2)3/2 , som i Eksem- pel/Oppgave 4.5. Vi har nemlig
2hk(h2−k2) (h2+k2)3/2
=
2h3k
(h2+k2)3/2 − 2hk3 (h2+k2)3/2
≤
2h3k (h2+k2)3/2
+
2hk3 (h2+k2)3/2
≤
2h3k h3
+
2hk3 k3
=|2k|+|2h| →0 når (h, k)→(0,0).
Eksempel/Oppgave 5.3. Finn de partielt deriverte til funksjonen f(x, y) =
(xcos 1
x2+y2
+y når(x, y)6= (0,0)
0 når(x, y) = (0,0).
i origo. Erf derivérbar i origo?
(Denne funksjonen er kontinuerlig overalt, som vist i Eksempel/Oppgave 3.8.)
Løsning. Vi bruker igjen definisjonen på de partielt deriverte og får F1(0,0) = lim
h→0
F(h,0)−F(0,0)
h = lim
h→0
hcos 1
h2
−0
h = lim
h→0cos 1
h2
som ikke eksisterer (vi husker dette igjen fra én-variabeltilfellet, fordi cos
1 x2
vil svinge mellom1 og −1 uansett hvor nær x er null). Imidlertid vil den partielt deriverte m.h.p. y eksistere:
F2(0,0) = lim
k→0
F(0, k)−F(0,0)
k = lim
k→0
(0 +k)−0
k = 1.
Svaret på siste spørsmål er enkelt: For atf skal være derivérbar i origo måper definisjon begge de partielt deriverte eksistere (se igjen definisjonen på derivérbarhet Definisjon 5 i
§ 12.6). Derfor er f ikke derivérbar i origo.
6. Litt mer mengdelære i Rn (slutten av § 10.4 og begynnelsen på § 13.1) Vi definerte begrepet omegn om et punkt c ∈ Rn i Definisjon 1.3 og brukte det til å definere hva vi mener med et isolert punkt, siden vi trengte det i definisjonen av grense.
Men omegner spiller også en annen sentral rolle: de er nemlig utgangspunktet for å kunne definere hva vi mener medåpne og lukkede mengderiRn.
Motivasjonen for dette (innenfor pensum av MAT112) er at vi vil generalisere resultater om ekstremalverdier som vi kjenner fra én-variabeltilfellet til flere variable (nærmere bestemt Teoremene 1 og 2 i § 13.1). Stoffet vi går gjennom her står på slutten av § 10.1 og begynnelsen av § 13.1 i læreboken. Vi går gjennom det her mest for å slå fast hva de norske uttrykkene er.
Vi starter med å gjenta Definisjon 1.3 (se også Eksempel 1.4) Definisjon 6.1. La c∈Rn. Enomegn om c er en mengde på formen
Bδ(c) :={x∈Rn|d(x,c)< δ}, for enδ >0, og består av alle punkter x i avstand < δ fra c.
For n = 1 er altså Bδ(c) lik det åpne intervallet (c−δ, c+δ). For n = 2 er Bδ(c) det indre av en sirkel med radius δ om punktetc= (a, b), dvs.
Bδ(c) ={(x, y)∈R2 |x2+y2 < δ2}.
Vi kaller dette gjerne enåpen sirkel elleråpen disk. For å skille mellom denne åpne sirkelen og denlukkede sirkelen
{(x, y)∈R2 |x2+y2 ≤δ2}
(der randenx2+y2 =δ2 er med i mengden), kan vi tegne den åpne sirkelen med en stiplet rand og den lukkede med en heltrykket rand, som vist i Figur 6 under.
Figur 6. En åpen sirkel (til venstre) og en lukket sirkel (til høyre)
Begrepet omegn spiller en viktig rolle i definisjonen av lokale ekstremalverdier, selv om læreboken utelater å bruke omegner i definisjonen helt i begynnelsen av § 13.1. Her er samme definisjon uttrykt med omegner:
Definisjon 6.2. La f :D(f)⊆Rn→R og c∈D(f).
Vi sier at f har enlokal maksimalverdi i c hvis det finnes en omegn Bδ(c) omc slik at f(x)≤f(c) for alle x∈D(f)∩Bδ(c).
Vi sier at f har enlokal minimalverdi ic hvis det finnes en omegnBδ(c) om c slik at f(x)≥f(c) for alle x∈D(f)∩Bδ(c).
La nå R⊆Rn være en delmengde. Vi ønsker å definere hva det vil si atR er åpen eller lukket. (Som for intervaller, trenger en mengde imidlertid hverken å være åpen eller lukket.) Definisjon 6.3. La R⊆Rn.
• Et punkt x ∈ R er et indre punkt dersom det finnes en omegn Bδ(x) om x slik at Bδ(x) ⊂R. (I R2 betyr dette at vi kan slå en sirkel innenfor R med sentrum i x= (a, b), se Figur 6.)
• Mengden av alle indre punkter i R kalles det indre avR og betegnes12med int(R).
• Mengden R kalles åpen dersom alle x ∈ R er indre punkter; ekvivalent dersom int(R) =R. Dette betyr at alle punkter iRhar en omegn om seg som ligger innenfor R. (I R2 betyr dette at alle punkter i R har en sirkel rundt seg som ligger innenfor R.)
Figur 7. Et indre punkt
Bemerkning 6.4. Det er lett å se at mengden Rn er åpen. Per definisjon er også den tomme mengden ∅ åpen. (Siden mengden er tom, oppfyller den trivielt kravet om at alle dens punkter er indre punkter, fordi punktene ikke finnes!)
Eksempel 6.5. Mengden(0,1) er åpen siden, rundt enhver x ∈(0,1)finnes en liten nok omegn(x−δ, x+δ)⊂(0,1). Imidlertid er(0,1]ikke åpen, siden enhver omegn(1−δ,1 +δ) om1 vil inneholde punkter utenfor (0,1].
12Etter engelskinterior.
Mengden R ={(x, y) ∈ R2 | x >0, y > 0} er åpen. Dette er 1. kvadrant uten aksene, og vi kan slå en sirkel rundt ethvert punkt som ligger helt innenfor mengden. Imidlertid er R={(x, y)∈R2 |x ≥0, y > 0} ikke åpen, siden enhver sirkel rundt et punkt påy-aksen vil inneholde punkter med x <0, dvs. punkter utenforR.
Vi definerer en mengde som lukket dersom mengden av alle punkter utenfor mengden er åpen:
Definisjon 6.6. La R⊆Rn.
• Komplementet tilR er mengden av alle punkter i Rn som ikke er inneholdt iR, og betegnes som Rc. Formelt har vi
Rc=Rn\R={x∈Rn|x6∈R}.
Merk også at
Rn=R∪Rc,
som betyr helt enkelt at ethvert punkt i Rn er enten iR eller utenfor R.
• Mengden R kalles lukketdersom komplementet Rc er en åpen mengde.
Eksempel 6.7. Mengden [0,1] er lukket fordi komplementet er (−∞,0)∪(1,∞), som er åpent. Av samme grunn er mengden[0,∞)lukket, fordi komplementet er (−∞,0).
Mengden[0,1)er ikke lukket, fordi komplementet(−∞,0)∪[1,∞) ikke er åpent: enhver omegn om punktet 1vil inneholde punkter utenfor [1,∞).
Mengden R = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0} er lukket. Rundt ethvert punkt i komple- mentet Rc={(x, y) ∈R2 |x < 0ellery <0} kan vi slå en sirkel som ligger helt innenfor mengden.
MengdeneRnog∅er lukket, siden komplementene (hhv.∅ogRn) er åpne ved Bemerkning 6.4. Så disse to mengdene er både åpne og lukkede.
Fra tilfelletn= 1 er vi imidlertid kanskje mest vant til å tenke på en mengde som lukket dersom det inneholder sine endepunkter: slik ser vi f.eks. at[0,1]og [0,∞) er lukket, mens (0,1]og(0,∞) ikke er lukket. Det finnes en generalisering av begrepet “endepunkter” iRn: Definisjon 6.8. La R⊆Rn.
• Et punkt x ∈ Rn er et randpunkt til R hvis enhver omegn om x innholder både punkter i R og utenfor R. (I R2 betyr dette at enhver sirkel vi slår med sentrum i x= (a, b), vil inneholde punkter både i og utenfor R, se Figur 6.) Et randpunkt til R kan være med i R eller ikke, men det er lett å se at et indre punkt i R ikke kan være randpunkt.
• Mengden av alle randpunkter til R kalles randen til R og betegnes13 med bdry(R).
Merk at bdry(R) = bdry(Rc).
Vi har følgende resultat, som også kan tas som ekvivalent definisjon på det å være lukket:
Sats 6.9. En mengde R er lukket ⇐⇒ R inneholder alle sine randpunkter.
Løsning. Vi har
Rlukket ⇐⇒ Rcåpen⇐⇒ alle punkter i Rc er indre punkter
⇐⇒ Rcinneholder ingen av sine randpunkter⇐⇒bdry(Rc)⊂R,
og vi er ferdig siden bdry(R) = bdry(Rc).
13Etter engelskboundary.
Figur 8. Et randpunkt
Eksempel 6.10. Hver av mengdene(0,1),[0,1),(0,1]og[0,1]har0og1som randpunkter.
Bare [0,1]er lukket, siden bare denne inneholder begge randpunktene.
Mengden R = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0} har rand bdry(R) = {(0, y) |y ≥ 0} ∪ {(x,0) |x ≥ 0}, som er unionen av de to ikke-negative delene av koordinataksene. Siden bdry(R)⊂R, erR lukket.
MengdenR={(x, y)∈R2 |x≥0, y≥0ogx2+y2 <1}har rand bdry(R) ={(x, y)∈ R2 |y= 0,−1≤x≤1 eller y≥0, x2+y2 = 1}, som er en halvsirkel. Men øverste del av denne halvisirkelen er ikke med i R, slik at R ikke er lukket.
Til slutt trenger vi å generalisere hva vi mener med at en mengde er begrenset:
Definisjon 6.11. En delmengdeR⊆Rnerbegrensetdersom det finnes en konstantK≥0, slik at alle punktene i R har avstand ≤K fra origo. Ekvivalent er R begrenset dersom det finnes en lukket ball
B ={x∈Rn|d(x,0)≤K}
som inneholder R. (Her er d som definert i (1.9).)
I R får vi at en mengde R begrenset dersom det finnes en K slik at |x| ≤ K for alle x∈R, som er det vi er vant til.
IR2 vilR være begrenset dersom vi kan slå en sirkel som inneholder mengdenR.
Eksempel 6.12. Et intervall er begrenset hvis og bare hvis “endepunktene” ikke er −∞
eller∞.
Mengden R = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0} fra Eksempel 6.10 er ikke begrenset, mens mengden R={(x, y)∈R2 |x≥0, y≥0ogx2+y2 <1} fra Eksempel 6.10 er begrenset.
Studiet av åpne og lukkede mengder og deres egenskaper kalles generalt fortopologi. Oevr har vi definert hva vi mener med åpne og lukkede mengder ved hjelp av begrepetomegn, som igjen bygger på at vi har et avstandbegrep iRn. Det viser seg imidlertid at det finnes en mer generell, aksiomatisk definisjon på åpne og lukkede delmengder av en mengde. Mengder der vi har en slik aksiomatisk definisjon på hva det vil si at en delmengde er åpne eller lukket kalles topologiske rom. Generelt kan faktisk begrepet kontinuitet defineres på funksjoner mellom topologiske rom14.
Matematisk institutt, Universitetet i Bergen, Johannes Brunsgate 12, 5008 Bergen.
14Her i Bergen er innføringskurset i topologi høstkurset MAT242-Topologi.
