Implementation of Non-Linear Advection Terms in a High Resolution Tidal Model

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2 (2N _i+1,j ^x − N _i+2,j ^x + 2N _i,j+1 ^x − N _i,j+2 ^x )

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(17)

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(18)

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Implementation of Non-Linear Advection Terms in a High Resolution Tidal Model

(1)

(2)

(1)

M 2

∂η

∂t = − ∂U

∂x − ∂V

∂y

∂U

∂t + ∂

∂x ( U 2 H ) + ∂

∂y ( U V

H ) − f V = − gH ∂η

∂x + F x + A x

∂V

∂t + ∂

∂x ( U V H ) + ∂

∂y ( V 2

H ) + f U = − gH ∂η

∂y + F y + A y

(U, V )

η

H = H 0 + η

H 0

g

f

F x

F y

F x = − c D U H

√ U 2 + V 2 H

F y = − c D V H

√ U 2 + V 2 H

c D

A x

A y

A x = ν ∇ 2 U

A y = ν ∇ 2 V

ν

ν = ql 2 [( ∂u

∂x ) 2 + 1 2 ( ∂u

∂y + ∂v

∂x ) 2 + ( ∂v

∂y ) 2 ] 1 2

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l

(u, v)

u = U

H , v = V H

q

2

ν

2

∂η

∂t = − ∂U

∂x − ∂V

∂y

∂U

∂t − f V = − gH 0 ∂η

∂x − c D U H 0

√ U 2 + V 2 H 0

∂V

∂t + f U = − gH 0

∂η

∂y − c D V H 0

√ U 2 + V 2 H 0

4 s

4 t

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4 s − V i,j+1 (t) − V i,j

4 s

U i,j (t + 4 t) − U i,j (t)

4 t = f V i,j (t) − gH 0 i i,j

η i,j (t + 4 t) − η i −1,j (t + 4 t) 4 s

− c D U i,j (t) H 0

i i,j

q

U i,j 2 (t) + V i,j 2 (t) H 0

i i,j

M ₂

∂x ( U ² H ) + ∂

∂x + F ^x + A ^x

∂y ( V ²

∂y + F ^y + A ^y

F ^x

F ^y

F ^x = − c ^D U H

√ U ² + V ² H

F ^y = − c ^D V H

√ U ² + V ² H

c ^D

A ^x

A ^y

A ^x = ν ∇ ² U

A ^y = ν ∇ ² V

ν = ql ² [( ∂u

∂x ) ² + 1 2 ( ∂u

∂x ) ² + ( ∂v

∂y ) ² ] ¹ ²

∂t − f V = − gH ₀ ∂η

∂x − c ^D U H 0

√ U ² + V ² H 0

∂y − c ^D V H 0

√ U ² + V ² H 0

− c ^D U i,j (t) H 0

4 t = − f U i,j (t + 4 t) − gH ₀ ^j _i,j η i,j (t + 4 t) − η i,j −1 (t + 4 t) 4 s

− c ^D V i,j (t) H 0

U _i,j

V _i,j

H _i,j U _i+1,j

V _i+1,j H _i+1,j U _i−1,j

V _i−1,j H _i−1,j

U _i,j+1

V _i,j+1 H _i,j+1

U _i,j−1

V _i,j−1

H _i,j−1 U _i+1,j−1

V _i+1,j−1 H _i+1,j−1 U _i−1,j−1

V _i−1,j−1 H _i−1,j−1 U _i−1,j+1

V _i−1,j+1

H _i−1,j+1 U _i+1,j+1

V _i+1,j+1 H _i+1,j+1

N _i,j ^x = 1

4 s ( U ⁱ _i,j ²

H i,j − U ⁱ _i _−1,j ² H i −1,j

4 s ( U ^j _i,j+1 V ⁱ _i,j+1

H i,j+1 − U ^j _i,j V ⁱ _i,j H i,j

N _i,j ^y = 1

4 s ( U ^j _i+1,j V ⁱ _i+1,j

H i+1,j − U ^j _i,j V ⁱ _i,j H i,j

4 s ( V ^j _i,j ²

H i,j − V ^j _i,j−1 ²

H _i,j−1 )

U ⁱ _i,j = 1

U ^j _i,j = 1

2 (U i,j + U i,j −1 ) V ⁱ _i,j = 1

2 (V i,j + V i −1,j ) V ^j _i,j = 1