ffi Vedlegg: Sidetall: rrn:

Hogskolen iTelemark

EKSAMEN

^OO1

41OO

MATEMATIKK ^{FOR OKOLOGER}

t3,12.2012

Eksamensresultata

btir offentliggiort pi Studentweb'

rrn: ^Bolqndl

Sidetall: ⁷ (inkludertdenneforsiden)

Hj

elpemiddel: ^egen kalkulator, formel

^{s aml}

ing

erknader: ^{Proven telter} 100% av endelig eksamenskaralaer' Alle

oP4gavene teller likt

Vedlegg: formel ^samling

ffi

,.nu,a". ror .ttmennvit.k.plcte ^fag'

1.

a) Hva menes med en statistikk populasjon, en sample-enhet, en sample, en observasjon, og ^en variabel? Gi et kort eksempel.

b) Forklar mflleskalaene nominal, ordinal, intervall, ^og ratio. Gi et kort eksempel'

2.

^{a) Beskriv de} matematiske egenskapene av ^en normalfordelingskurve, ^og

frll

ⁱⁿⁿ

manglende verdier

til

normalfordelingen (p, SD, proporsjonene)

i

figuren nedenfor.

b)

I

hvilken avstand fra gjennomsnittet av en normalfordelingskurve ligger ^{95% og}

99olo av observasjonene? Bnrk enheter av SD som avstandsmil'

c) Beskriv kort teknikkene man kan bruke

til

^A evaluere om ^en variabel er normalfordelt eller ikke.

3. Omitologer jobber med en populasjon av den utryddnigstruede stortrappen (O/ls

tarda,

verdens storste flygedyktige fugleart, ^se bildet)

pi

grensen mellom osterrike og Ungam. De er interessert

i

om det finnes <sexual size dimorphism>, dvs'

forskjell

mellom kjonnene

i

vekt i populasjonen. Forskeme har samlet inn data av 10 hanner og 10 hunner for 6 sammenligne vekten mellom kjonnene. Som tilleggsinformasjon ^er vedlagt histogrammene av hanner og hunner, og resultatene av en Shapiro-Wilk ^test for hanner og hunner.

a)

^{Sett opp H0 og}

^HA b)

^{Utfor testen}

c)

^Beskriv resullatet med ord.

Hunner ^Hanner

1n 2 1) )

1'1 A 1a 1

10.9

¹³

^.1 L2 ^11.9 10

¹²

tL.9 ^1,2.9 L2.2 ^]-L.4 12.3 ^12.r

11 1 1? ^q

L2 ^1-2.3

riD

:

> shapiro, test

^{( Dalaset $Hanner )}

Shapiro-Wi

1k normalitY

^ces

t data:

DatasetSHanner

W

= 0.9302, P-va1ue =

^0.45

> shapiro. t-."I oat.".c shl""t"t

⁾

Shapiro-Wilk normalitY test data: DatasetShunner

w = 0.9418, P-va1ue =

^0.5734

4.

^{En biolog} undersoker nytten av steinl||yet (Plecoptera) larver ^(se bildet) som indikator

pi

vannkvalitet

i

bekker. Data

fra

13 bekker er samlet inn. Biologen er interessert

i

om det finnes en sammenheng mellom vannhardhet (m6lt som konsenbasjon av

caco3 i milligram/liter)

og anrall Plecoptera larver. Som tilleggsinformasjon er vedlagt histogrammene av vannhardhet og nymfer, og resultatene av en Shapiro-Wilk test for vannhardhet og nYmfer.

a)

^{Sett opp H0 og}

^HA b) ^Utfor

^testen

c)

^Beskriv resultatet med ord

Vannhardhet ^Nlmf er

I7

⁴²

20 ⁴⁰

22 ³⁰

287 42 ^t2

)3 rv

55 I

757

80

90

]-70

7 5 4

I

la

3

f!

' "rr.pi.to. tJ (DataseegNlmfer Shapiro-Wi1k nonnalily ^Eest daEa:

Datsaset$Nltmfer

w = ^0.731?, P-value = ^0.001U

> shapiro.

^tesE (DaEasetsvann)

Shapiro-wi1k normaliEY test data:

DaEaset$Vann

w = ^{0.8848, P-va1ue} =

^0.0828L

5.

Et studie av p&kjorte elg

i

Hedmark ble

utfsrt. Antall

p&'kjorte elg er klassifisert etter dagene

i

uka. Fra utvalget

av

112

pA(orte

elg er det tilstrekkelig bevis

til i

fastsl& at antall phkjorte elg ikke

erjevnt

fordelt mellom ukedagene?

a)

Sett opp H0 og

HA

b) Utfor

testen

c)

^Beskriv resultatet m€d ord

t i rsdag onsdag

torsdag fredag

1-ordag

sondag ²⁴

l-o l-J 10

I4

20

za

mandag

6. Prosentregning, forenkling av

uttrykk,

og

likninger

Den svenske bjomebestanden er estimert

til

⁶

vere

3200 individer, hvorav ^{540lo er estimert}

til

A

vere

hunner.

Av

disse hunnene er det estimert at 23% er irsunger'

a)

Hvor mange hunner finnes det totalt

i

populasjonen?

b)

Av

disse hunnene, hvor mange er Arsunger?

c) Los folgende

likning

for

x:

x x*9 ,-t

-=-

xz-9 x*3

x -3

d)

^{Gjor folgende}

^ufykk

^se enkelt som

mulig:

G, -i)*2, ^{+Qt -?) +} t

Vedleee

¹

Formelsamline Matematikk for skoloeer 4100

Median Gjennomsnitt Varians

Standardawik

Middelverdiens standardfeil

Konfidensintervall omkring ^gi ennomsnittet Konfidensintervall for en ny observasjon

Kjikvadrat

test

MWUtest

Two sample t-test

t=

(n+r)/2

x=- -2x

_n

. 2(x-tl2 S' ₌

"":"""":-

n-a

t;;_^"

sD- _r{ l'e

_n-1

sEM =s#

iIz*SEM ilz*SD

" ^-

^(xi-Ei\z

x'= L-;-

Il1=

ⁿ¹ⁿ²

*t'@f,l - ^znr

n"(n" I l)

U2=n1n2+----'--

^ERz

T=

p=r_#

Pearson Korrelasjons Koeffi sient

Spearman Rang Korrelasjons

Koeffisient

_

_ ntry-txty

' - JFExz=@d|;'^tyr=CM

[lc]:irisl9\rq:st

\ n1+n2-2

_{J\ ^t^2}

t

Kii-kvadrat tabell

chi Disbibdion

Table

d.r. .t0

1

2 3 4 6 7

I I

10

11 1Z4a 14 15

'I 6 17 1S 'I S

20

21

22 23 24 25 26 27 28 23 30 40 50 60 70 80 s0 100

.w

^.(I)t

1.32 2.77 4.11 5.3S 6.63 7.84 s.04 o.2 1.4 2.>

3.?

2.71 4.61 6.2s 7.75 9.24 10.6 12.0 13.4 't4.7 16.0 17.3 18.5 19.8 21.1 22.3 23.5 24.5 26.0 27.2 28.4 2S.6 30.8 32.O 33.2 34.4 35.6 36.?

37.9 3S.1

40.3 51.S 63.2 74.4 85.5 s6.6 108 1't8

3.84 5.SS

?.81 s.4s 11.1 12.6 14.1 15.5 16.9 18.3 1S.?

21.O 22.4 23.7 25.0 26.3 27.8 28.S 30.1 31.4 32.7 33.S 35.2 36.4 37.7 3S.9 40.1 41.3 42.6 43.8 55.8 67.5

?s.1 s0.5 102 113 124

5.02

?.38 s.35 11.1 12.8 14.4 16.0 17.5 19.0 20.5 2't.s 23.3 24.7 26.1 2?.5 29.8 30.2 31.5 32.9 34.2 35.5 36.8 38.1 39.4 40.6 41 .S

43.2 44.5 45.?

47.0 59.3

71 .4

83.3 s5.0 107 118 130

6.63 s.21

?.88 10.6 12.8 14.S 16.7 18.5 20.3 22.O 23.6 25.2 26.8 28.3 29.8 31.3 32.8 34.3 35.7 37.2 38.6 40.0 41 .4 42.5 44.2 45.6 46.S 48.3 49.8

51 .0

>t.s

53.?

66.8

?9.s 92.0 104

'l 16 125 14D 1.3

3.3 5.1 6.8 8.5

0.8 3.8 o-J 8.5

14.8

28.1 21.7 23.2 24.7 26.2 27.7 29.1 30.6 32.0 33.4 34.8 36.2 37.6 38.9 40.3 41.6 32.0 44.3 45.6 47.0 48.3 4S.6 50.s 63.7 76.2 88.4 100 112 124 136

20.5 2?.5 24.3 26.1 2?.S 29.6 J I.J 32.9 34.5 36.1 37.7 39.3 40.8 42.3 32.8 45.3 46.8 48.3 4S.7 52.6 54.1 55.5 56.S 59.3 5S.?

73.4 86.?

9S.B

112 125 13?

149 6.0

?.1 8.2 9.4 20.5 21.6 22.1 23.8 24.9 26.0 27.1 28.2 2S.3 30.4

1t

<

32.6 33.7 34.8 45.6 56.3 67.0

??.6 88.1 98.6 10s

able ftom RonaH J. Wonracot a]]d Thomas

-?.ad!rfiis'l?rhr:r.ffiirn

ts R)trw

New York: John Wiley

ard

Sons, ¹ 982, p.352.

Mann-Whitney U test tabell

Criticnl

Values

for

the

Mnnn-Whitnev ll-Test

Level ofsignilicance: ^5olo (P = 0.05)

Size ofthe largest sample (n2)

8 9t0 ll 12 13 14 l5 16 l7 lt 19 20 21 22 ²³

J

4 5 6 7

t

9

l0

It

9rr

-12

E,n als Eru Er?

a, t8

E19 .!

²⁰

ll

22 23 21

t6

28

29 JO

I I { ^.l 5 5 6 6 1 1 8 8 9 9 10 l{, II l: IJ IJ

I .l 4 .l _{J 6 9} l0 1l II l: l-t l{ l5 l6 l7 l7 l8 t9 :0 :l

). l ^{5 6 8 9 ll} tl ^t3 I4 IJ 17 l8 l9 :0 :l l5 :7 :8 29 30 -l: -t-1

5 6 8 t0 ll t{ l6 l7 t9 2l 22 24 :5 21 :9 30 -t.i J5 .t8 ,to 42 4,1

8 l0 l4 l6 l8 :0 22 :6 :8 JO J.l J6 J8 .to 42 t4 {8 50 5l J.l

IJ l7 l9 :6 29 JI .,6 38 4l 4.r 45 .t8 50 53 J5 5? 60 62 65

t1 :0 :6 :8 .tl .t{ .t9 42 _'15 ,IE 50 5J 56 J9 6: 64 61 t0 7l ^'16

:6 l9 ]J .r9 ,|: _4J .tE J: 55 58 6l 64 1l 14 7'. 80 8.r 8?

JO JJ 40 t4 5l 55 58 62 65 69 l.r ^'16 80 E3 8l 90 9l 9E

J? 4l ^.t5 {9 5.] 57 0l 65 69 11 8l 85 89 9J 97 l0l 105 t09

45 50 5{ 59 ^.12 76 En 85 89 94 9E t0: toi llr lI6 l:0

J5 59 6l ^?8 EJ 88 9J 98 lo: l0l 2 ll8 r:: ^12.1 l-tt

64 10 7S 80 85 90 96 l0l 106 lll ll? t:: 125 lJl l.t8 l4l 8l 86 9Z 9E t0J 109 ll5 l:0 t:6 ^{IJE 14.1} t49 154

8r- 93 99 105 t u7 I:J l:9 5 l,ll t4i ^{154 160 166}

99 l06 lt: lt9 t:I ll: 138 t45 lJl 158 t61 l7l |;7 ll3 9 l:6 l3J 140 l{? l5.t l6l 168 l?5 l8: t89 t27 l.l4 t4l t,t9 t16 t6J l7l r78 lE6 l9-l ¹⁰⁰

l{: l-s0 l5? r65 t73 l8l ^{188 196 :OJ 2t2}

t58 166 t74 l8l 191 199 :07 ll! ::J

175 t8J l9: :00 :09 :18 226 :-r5

l9: :0t _-rl0 :19 ::8 ?.t8 217

2ll 220 :JO .t39 ?49 158 :-10 :40 :50 260 270 :50 261 271 :8:

:8: :91 :94 305

.t 17

Two sample t-test tabell

f ^Table

1.1 0,stt

l1 0.10 0.20

ts

^trll1

0,05

^0.025

0.0t ^{11 0.005 lls}

^{0,t 01}

^lrr

^t.ror

0.000

1.flr0

0.qr0

^0.816

0.m0

^0.765

0.000

^0.741

0.000

^0.727

1,1 1.1

025

^0,20

o.flt 0i0

1.376 't.061 0.978 0.941 0.920

t11 0.15 0.3tt

0.878

^1.088

0.873

1.083

0.870

1.070

0.66E

^1.076

3.5n

3.505 3.,t85 3.167 3..15{t 0.608

0.685 0.685 0.C8,1

1.963 1.386

1.2$

t.tq)

0.10

3.0?8

^6.314

r.886

^2.Cm

1.638

^2.353

t.533

^2.152

1.176

^2.015

12.71

31.C2

4.303

^0.965

3.182

1.*1

2.776

^3.747

2.571

3.365

o.ooorl

4.31E 4.?,2r 4.140 4.073

3.8'r9 3.7tt2 3.768 3.7,15

3.78

0,01 0,002

0.001

4.032

63.68

3t8.3r

^636.62 9.925

2..*t

^31.5fi

5.84r

10.215 ^12.921

1.W 7.173

^8.610

1.1

0.qt0

^0.695

0.(xl0

0.69,t

0.000

^0.692

2.179

^2.@1

2.16

^2.6fi

2.115

z.OU

3.100

4m5

3.055

^3.930

3.012

^3.852

2.en t:tcl

1

0.m0 0.qto 0.qto 0.(n0

0.858 0.858 0.857 0.856

1.(F1 l.o€o r.050

1.721 1.717 1.711 1.711 1.708

2.83r 2.819 2.&7 2.797 1.356

1.350 t.345

t

1.93

1.321 1.31S 1.318 1.316

1.742 1.n1

1.761 1.753

2.074

2.508

2.069

2.5@

2.M

^2AC2

2.060

^2.16

4

Pearson produkt moment korrelasjons tabell

Critical Values for Pearson's Correlation Coetficient

DF .50

hoportiou iu Trlo ^Tails

.10

^.05

.9969 .9500 .8783 ,8t l.t I

2

6 7 8 9

l0

.1011 .5m0 .4u0

.-r4?3 .3091

.t8l I

.2596 .21t3 .2281 .2161 .:058 .1968 .1890 .1610

.951I .8000 .6870 .6084

.5061 .47 t6 .,t.u8 .4187

.9811 .90m .E054 .7193

.6: l5 .5822 .5d94 .5214 .1973 .4162 .4575 .4409 .,u59 .4t24

.706'l .666t .6319

.60:l

.5760 ,5529 .5324 .51{0 .t973

.9995 .9800 .9343 .88:2 .83?9 .7887 .7498 .7155 .6851 .6581

_9999 .9900 ,9587 .9171

.83d1 .7977 .7646 .7318 .7079

tl 2l

24

:5

t4

35

ll l:

t.l I

4l l2 {3 {-l J5 l6 t7 IE t9 :0

16

t8 39 40

,{6 .t757

.l?00 .1649

.l60l

.1558

.1481

.l.l.l7 .l,r l5 .1384 .1356

.4000 .1887 .3783 .1687 .1598

..1681 .4555 ..t43E .1129 .4227

.5415 .5285 .5155 .501.1

.4815 .4716 .4622 ..t53d ..t{51 .4372 .'1297 .4226

.

⁵⁸

.4032 .3972 .3916 .3861 .,1810 .3802

.36.t6 .3507 .3181 .3211

.t9t

.l170 .1077 .2992 .?91.1

.18{l

.63t9 .6t:0

.5913

.6835 .66 tJ

.6,t I t

.6055 .589?

.5?51 .561,1 .5.18?

.5366

28

t0

{6 t'l t6 t9

50

.1330

.ll05 .l:81 .l]58 .l2-r7

.lI7

.1197 .1 179 .l t6l

.l t44

.2491

.l.l5t

.2.101 .1366

.t289 .2254 .1110 .2t87

.-3172

.ll l5

.3061 .t009 .2960

rotl

.2869 .2826 .2785

.-r739

.36t0 .3550 .3494 .3,1.10 ,3,188 .3318 ..l]91 .3216 .2774

.21 | |

.1651 .2598 .15.t6

.t515 .l.t3E .3365 .3:97

.{132 .{0.t4 .1961 .1881 .-r809

.5:56

.51-s l

.5051 .195E ..1869 ..1785 ..t705 .1629 .-t556 .4487 .4421 .4357 .4296 .J138

..

⁸²

.4128 ..t076 .-1026 .3978

.3887 .i8J3

l80t

.1121 .3683 .36J6 .3610 3575 ,35.t1 .l !28

.ll13

.1098 .loE.l .1070 .1057

.l0.t,l

.1032 .t020 .100E

.:l:6

.2097 .:070 .:0.13

.:0r8

.t202 .3160 .3120 .3081

,:8r5 .:816 .2181 .:759

.37&

t?r't

.1665 .-1621 .3578 .2109

.2673 .2638 .2605

.199-1 .1970 .19.t7 .19:5

.190-1 .1881 .186.r

.l8.tl

.18:5 .1806

.2542,

tl t't

.2.t81 .1J55

.3536 .1.t96 .-1.157

.3{?0 .33M .3008

.t973 .t9t0

.2907 .:876 .@97

.0987 .@76 .0966 .0956

.:J03 .2377 .215,1

tl10

.13J8 .3114 .-1281 .32J9 .-3218

Spearman rang korrelasj ons tabell

Table l: Critical

^{values f<rr}

Spearman's rank srrrelation cueflicient.

F<rr a

sample of

siz,e

n, two-sided critical

values are

given for signifimnce lercls .10, .05, and .01. Reject the null hypothesis of independence if the absolute

value

of the sample

Spea^rman

correlation srefticient

exceeds

the tabled

valrre.

Two-sided

a

.10 .05

^.01

n 5 ^.9m

6 .829

^.8E6

7 .714 .786

^.929

E ^{.643 .7SE}

^.EEl

I ^{.600 .700}

^.63:t

l0 .564 .64E ^.794

ll .536 .618

^.816

12 .497 .59r

^.780

r3 .475 .566 ^.743

14 ^.4:o7 .545

^.716

l5 .ur .525

^.6E9

16 ^.421, .5t)7

^.666

r7 .412 .490

^.645

lE ^{.399 .476 .625} r9 ^{.386 .462}

^.608

n 377 .450 .59r

2r ^{.36E .43E}

^.576

v2 .359 .428

^.562

23 35r .4lE

.549

24 ^{.343 .409}

^.537

'26 .336 .400 .i,',$

26 .329 .392 ^.5r5

27 .323 .3E5

^.505

28 .3r7 .377

^.496

N .311 .370

^.487

30 ^{.305 .364 .478}