7 Funksjonslære Løsning på kontrolloppgaver

Sinus R1 > 7 Funksjonslære • Løsning på kontrolloppgaver • CAPPELEN UNDERVISNING

1

Løsning på kontrolloppgaver

7 Funksjonslære

Oppgave 1 a) 1)

2 1 2

lim

^x

2

x x x x

→

−

+ −

^{= 1}

( 1) lim

x

x x

→

−

( x − 1)

¹

1 1

lim 2 1 2 3

( 2)

^x

x

x =

^→

x = =

+ +

+

2)

2 2

3 2

lim

^x

1

x x

→∞

x

−

−

⁼

2

2 2

2

2 2 2

3 2 2

3 3

lim lim 3

1 1 1

x x 1

x x

x x x

x x x x

→∞ →∞

− −

= = = −

− −

− b) 1)

f x ( ) = 3 x

³

−

³

x

=

1

3 3

3x − x

1 2

3 1

1

3 1 2

1

3

'( ) 3 3 9

3 3

f x = ⋅ x

⁻

− x

⁻

= x − x

⁻ = ² ₂ ²

3 2

3

1 1 1

9 9

3 3

x x

x x

− ⋅ = −

2)

2

₅

( )

f x = x

=

2x

⁻⁵

5 1 6

6

'( ) 2( 5) 10 10

f x x x

x

− − −

= − = − = −

Oppgave 2

a) Vi setter nevneren lik null.

4 − x

²

= ⇔ = − 0 x 2

eller x = 2

f x ( ) → ±∞

når

x → − 2 eller x → 2

f har vertikal asymptote når x = –2 eller x = 2.

b)

2 2 2

2 2 2

5 5

5 0

lim ( ) lim lim lim 0

4 4

4 0 1

x x x x 1

x

x x x

f x x x

x x x

→±∞ = →±∞ = →±∞ = →±∞ = =

− − − −

x-aksen (y = 0) er en horisontal asymptote for f.

Sinus R1 > 7 Funksjonslære • Løsning på kontrolloppgaver • CAPPELEN UNDERVISNING

2 c)

Oppgave 3

a) g er kontinuerlig for x = 1, fordi

^{2 2}

1 1

lim lim( 2 ) (1) 1

x x

x x x g

− +

→ = → − + = =

b)

2 , 1

'( ) 2 2, 1

x x

g x x x

⎧ <

= ⎨ ⎩ − + >

1

lim 2 2

x

−

x

→

=

og

1

lim( 2 2) 0

x

+

x

→

− + =

1 1

Ettersom lim '( ) lim '( ), er ikke deriverbar for 1.

x x

g x g x g x

− +

→

≠

→

=

c)

2, 1

''( )

2, 1

g x x

x

⎧ <

= ⎨ ⎩ − >

Vi tegner fortegnslinja for

g x ''( )

.

Ettersom g er kontinuerlig for x = 1 og g’’(x) skifter fortegn i x = 1, er x = 1 et vendepunkt for g.

Oppgave 4 a)

1

³

( 9 ) 0

6 x − x = ⇔ x x (

²

− = ⇔ 9) 0 x = 0 eller x

²

− = 9 0

⇔ x = 0 eller x + = 3 0 eller x − = ⇔ 3 0 x = 0 eller x = − 3 eller x = 3

Nullpunktene til f er x = 0, x = –3 eller x = 3.

Sinus R1 > 7 Funksjonslære • Løsning på kontrolloppgaver • CAPPELEN UNDERVISNING

3

b) 1) 1 ² 3 ² 1 ²

'( ) (3 9) ( 3) ( 3)

6 6 2

f x = x − = x − = x −

2)

1

''( ) 2 f x = ⋅ 2 x = x

c)

1

²

1

'( ) ( 9) ( 3)( 3)

2 2

f x = x − = x + x −

Vi tegner fortegnslinja for

f x '( )

.

vokser når 3 og når 3 f x < − x >

.

minker når 3 3

f − < < x

. d) Fra fortegnslinja for

f x '( )

får vi:

f har toppunkt i (

− 3

,

f ( − 3)

) =

( − 3, 3)

f har bunnpunkt i

( 3, ( 3)) f

= (

( 3, − 3)

e) Vi tegner fortegnslinja for

f ''( ) x

.

f vender den hule siden ned når x < 0, og den hule siden opp når x > 0.

f har vendepunkt når x = 0.

f) Vi finner stigningstallet a for tangenten til grafen i punktet (1, f(1)).

a =

1

²

'(1) (3 1 9) 1 f = 6 ⋅ − = −

Vi setter a inn i tangentlikningen y = ax + b

y = − ⋅ + = − + ( 1) x b x b

Sinus R1 > 7 Funksjonslære • Løsning på kontrolloppgaver • CAPPELEN UNDERVISNING

4

Punktet (1, f(1)) = (1, –

4

3

) må passe inn i likningen.

4

3 1 b

− = − +

4

3 1 b

− + =

1

b = − 3

Tangentlikningen er:

1 y = − − x 3

Oppgave 5

2 2

4 2 1 4

'( ) 3 2

7500 25 625 25

h t = − ⋅ t + ⋅ = − t t + t

x y

2 4

''( )

625 25 h t = − t +

Vi løser likningen

h t ''( ) = 0

.

2 4

625 t 25 0

− + =

2 4

625 25 t =

4 625 2 25 50 t = ⋅ =

⋅

Vi tegner fortegnslinja for

h t ''( )

.

Sinus R1 > 7 Funksjonslære • Løsning på kontrolloppgaver • CAPPELEN UNDERVISNING

5

Vi ser at h(t) vokser raskest når t = 50.

3 2

4 2

(50) 50 50 133

7500 25

h = − ⋅ + ⋅ =

1

2

4

'(50) 50 50 4

625 25

h = − ⋅ + ⋅ =

Planten vokser raskest etter 50 dager.

Planten er da 133 cm = 1,33 m høy.

Vekstfarten til planten er da 4 cm per dag.