Kap. 6+7 Arbeid og energi. Energibevaring.

Kap. 6+7

Arbeid og energi. Energibevaring.

• Definisjon arbeid, W

• Kinetisk energi, E

• Potensiell energi, E

Konservative krefter

• Energibevaring

• Energibevaring når friksjon.

Konstant kraft Lineært økende kraft (f.eks.

fjær som strekkes)

W = F (x₂-x₁)

W = ½ kx₂x₂

F

x

x

x

x₂ – x₁

F

x

0

F = kx F

kx₂

Arbeid = areal under

kurve F(x)

F gjør positivt arbeid på kula

F gjør negativt arbeid på kula

F gjør null arbeid på kula cos θ > 0

cos θ < 0

cos θ = 0

W = F ∙ s = F s cos θ

θ

F

s

θ

F

s

θ

F

s F

θ=π/2

F F

ΔE

= W

Kap. 6+7. Oppsummert:

Arbeid og energi. Energibevaring.

• Arbeid av F: dW = F ∙ ds

• Kinetisk energi: E_k = ½ m v²

• Effekt = arbeid/tid = P = dW /dt = F ∙v

• En krafts arbeid på legeme øker E_k :

• Potensiell energi E_p (x,y,z)

(Tyngdefelt: E_p = mgz; Fjærpotensial: E_p = ½ k x²)

• Arbeid av konservativ kraft

reduserer tilhørende potensiell energi:

• Energibevaring i konservativt felt:

d(E_k + E_p) = 0

dW = dE_k

dW = - dE_p E_k + E_p (x,y,z) = konstant Energisymbol:

Kinetisk energi: E_k eller K Potensiell energi: E_p eller U

mgh = ½ mv

mgh = ½ mv

h er lik for begge => samme fart v i bunn av bakken

v_b = ? v_a = ?

h h

Eks: Skli på kurvet bane uten friksjon

Eks. 1: Skli på halvkule uten friksjon

Skli med friksjon: Gir diff.likning som må løses numerisk.

v(θ) = ? A

B

Oppg. 7.55 i Y&F: Hvor mistes kontakt med underlaget?

= E

= ½ k x

p

s.f.a posisjon

F = - kx < 0

F = - kx > 0

Veg A Veg B

Veg C Konservativ kraft F:

1) Har tilhørende E_p

2) F’s arbeid = -(endring i E_p) 3) Total mekanisk energi bevart 4) Arbeid uavhengig vegen

5) Arbeid over lukket bane er null

Oppsummert: Potensiell energi

• Potensiell energi tilhører en kraft. Def:

• Tyngdens pot. energi E_p = mgz

• Fjærkraftas pot. energi E_p = ½ k x²

• Energibevaring i konservativt felt:

½ m v² + E_p (x,y,z) = konstant

• Konservativ kraft:

• Konservativ kraft er den deriverte av tilhørende potensial:

• Eks. tyngdekraft F = - dE_p/ dz = - m g

• Eks. fjærkraft F = - dE_p/ dx = - k x

• Arbeid av konservativ kraft er uavhengig av vegen, bare avhengig av start- og sluttilstand.

• Kun konservative krefter har et tilhørende potensial E_p

p p

, , ( , , ) ( , , )

F E x y z E x y z

x y z

    

 

      





2

p,2 p,1 12

1

d E  E  W  



= E

= ½ k x

p

s.f.a posisjon

F = - kx < 0 F = - kx > 0

F = - dE_p/dx > 0

F = - dE_p/dx < 0

1

2

Veg B

Veg A

Eks:

• friksjon

• luftmotstand

• magnetisk motstand

Energi overføres til:

• varme

• lyd

• lys

• kjemisk

Δ(E

+E

) = W

< 0

W(vegA) > W(vegB) (med friksjon)

Ikke-konservativ kraft:

1) Har ikke tilhørende E_p 2) Arbeid = -(endring i E_p)

3) Total mekanisk energi avtar 4) Arbeid avhengig vegen

5) Arbeid over lukket bane er null

Høyverdig energi

(≈100% utnyttelse til mekanisk energi):

• Oppspent fjær

• Pot.en. i vannmagasin

• Elektrisk energi i batteri og lignende

Lavverdig energi

(0-60% utnyttelse til mekanisk energi):

• Varme,

f.eks. i vannet i vannmagasin eller i sjøvann

(Sentralt emne i termisk fysikk; måles med entropi)

Eks. 2 Energi og friksjon.

Friksjon μ

og μ

for kloss m

. Finn v når m

treffer golvet.

Energibalanse:

E

– E

= W

< 0

Eks. 1B: Skli på halvkule MED friksjon

v(θ) = ? A

B

Uten friksjon: E_k(B) + E_p(B) – (E_k(A) + E_p(A)) = 0

eller infinitesimalt: d(E_k + E_p) = d(1/2 m v² + mgR cosθ) = 0 som gir mvdv - mgR sinθ dθ = 0

Med friksjon: E_k(B) + E_p(B) – (E_k(A) + E_p(A)) = ∫F_f ds = - ∫F_f ds

eller infinitesimalt: d(E_k + E_p) = d(1/2 m v² + mgR cosθ) = -F_f ds

Med ds = R dθ

og F_f = μ F_N = μ (mg cos θ - mv²/R)

Se videre: «Frivillig ekstraøving» lagt ut på øvingssida.

Kap. 6+7. Oppsummert:

Arbeid og energi. Energibevaring.

• Arbeid av F: dW = F ∙ ds

• Kinetisk energi E_k = ½ m v²

• Effekt = arbeid/tid = P = dW /dt = F ∙v

• En krafts arbeid på legeme øker E_k :

• Potensiell energi E_p (x,y,z)

(Tyngdefelt: E_p = mgz; Fjærpotensial: E_p = ½ k x²)

• Konservative krefter kan avledes fra pot.energi:

(Tyngdekraft: F = - mg; Fjærkraft: F = - k x )

• dE_p = - F ∙ ds

• Arbeid av konservativ kraft

reduserer tilhørende potensiell energi:

• Energibevaring i konservativt felt:

d( ½ m v² + E_p (x,y,z)) = 0

• Energibevaring når friksjon:

p p

, , ( , , ) ( , , )

F E x y z E x y z

x y z

    

 

   

   

 





dW = dE_k

dW = - dE_p

d( ½ m v² + E_p (x,y,z)) = dW_f = friksjonsarbeid < 0

E_k + E_p (x,y,z) = konstant

Energisymbol:

Kin. en.: E_k eller K Pot. en.: E_p eller U