UNIVERSITETET I BERGEN

BOKM˚AL

UNIVERSITETET I BERGEN

Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Eksamen i emnet MAT111 – Grunnkurs i Matematikk I Mandag 15. desember 2008, kl. 09-14

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator, i samsvar med fakultetets regler.

Oppgavesettet er p˚a 3 sider.

Les nøye gjennom oppgavesettet. Alle svar skal begrunnes. Det m˚a være med nok mellom- regning til at fremgangsm˚aten fremg˚ar tydelig av besvarelsen.

OPPGAVE 1

(a) Skriv opp det komplekse tallet w= 1 +ip˚a polarform og regn utw⁴. (b) Regn ut (dvs. skriv p˚a formen a+bi):

4 + 2i 3−i . (c) Finn alle komplekse løsninger av

z³ =−1.

OPPGAVE 2 (a) Hvorfor har ligningen

lnx= 1 x en løsning i intervallet [1, e]?

(b) Kan ligningen ha mer enn´en løsning i dette intervallet?

OPPGAVE 3 (a) Regn ut

x→0lim⁺ sin 2x e^x−1. (b) Regn ut

x→0limln(x+ 1) cos 1

x

.

(c) Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi (“−δ-definisjonen”) til ˚a vise at

x→3limx²= 9.

1

2

OPPGAVE 4 (a) Regn ut det ubestemte integralet:

Z e^x

√

1−e^2x dx (b) Regn ut det ubestemte integralet:

Z 3x+ 1 x²−4x+ 3 dx

(c) Beregn volumet av omdreiningslegemet vi f˚ar n˚ar omr˚adet i første kvadrant som ligger innenfor sirkelen x² +y² = 2 og over linjen y = x roteres om y-aksen.

(Omr˚adet er skravert i tegningen under.)

OPPGAVE 5 La f(x) = lnx.

(a) Bruk induksjon til ˚a vise at den nte derivertef⁽ⁿ⁾ er gitt ved f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿ⁻¹(n−1)!

xⁿ for allen≥1.

(b) Skriv ned Taylorpolynomet av grad (orden)n forf omx= 1.

(c) Finn tilnærmingen til ln 2 ved Taylorpolynomet av grad 3 for f om x = 1, og gi et estimat av absoluttverdien av feilen til denne tilnærmingen. (Skriv svarene som brøker.)

(d) Skriv ln 2 som et bestemt integral av funksjonen ¹_x. Hvor mange delintervaller m˚a man minst ha for ˚a være sikker p˚a at tilnærmingen til ln 2 ved Simpsons metode skal ha en feil som er mindre enn 0,005? Angi ogs˚a den tilnærmingen man da f˚ar (som brøk).

3

OPPGAVE 6

I denne oppgaven skal vi studere en bestand av edderkopper som lever p˚a en øy.

Vi lar y(t) være antallet edderkopper ved tid t (m˚alt i m˚aneder), og vi antar at en- dringsraten til bestanden ved tid ter gitt ved differensialligningen

dy

dt =kycos π

6t

, der k er en konstant. (Den periodiske faktoren cos

π 6t

skyldes endringene med ˚arstiden av faktorer som klima, paringstid og tilgjengelighet av næring.)

(a) Finn y(t) n˚ar vi lar y₀ være antallet edderkopper ved tid t = 0. (Svaret ditt vil inneholde konstantenk.)

(b) Dersom y₀ er ´en million og bestanden er dobbelt s˚a stor etter tre m˚aneder, hva er da det minste antallet edderkopper det til enhver tid vil være p˚a øya?

OPPGAVE 7

La f være en funksjon som er kontinuerlig p˚a [8,10], deriverbar p˚a (8,10), og slik at f(8) = 3 ogf(10) = 4.

Anta at f har en invers funksjon f⁻¹.

Vis at grafen tilf⁻¹ har en tangentlinje med stigning lik 2 i minst ett punkt.

LYKKE TIL!

Andreas Leopold Knutsen Per Manne