1 Cobb-Douglas nyttefunksjon

ECON342: Nytte-kostnadsanalyser Det mikroøkonomiske fundament

Arild Aakvik

Vår 2017

1 Cobb-Douglas nyttefunksjon

Anta at vi har to personer (A og B) og to goder (C og F). Vi velger å jobbe med en konkret Cobb-Douglas nyttefunksjon: U(C, F) = C^α ·F^β. Denne er lik for begge personene.¹

Hva er den deriverte av U(C, F)?

∂U(C, F)

∂C =αC^α−1·F^β og ∂U(C, F)

∂F =βC^α·F^β−1 Hva blir M RS_1C:F?

MRS1C:F = dF dC

U=konstant

=−M U_C

M U_F =−αC^α−1·F^β

βC^α·F^β−1 =−αF βC

som sier noe om hvor mye vi må endre konsumet avF dersom vi endrer konsumet av C med en enhet og vi skal ha samme nytte (være på samme indifferenskurve). Helningen på indifferenskurvene er avhengig av hva vi har på x-aksen og y-aksen. I dette tilfellet vilC være på x-aksen, ogF påy-aksen, men vi kan selvfølgelig snu på det og skrive

MRS_1F:C = dC dF

U=konstant

=−M U_F M UC

=−βC αF

1Andre typer spesifisering av konkrete nyttefunksjoner kan være U(C, F) = (C + 1)^αF^β eller U(C, F) =p

v(C) +F, hvorv(C) =aC−0.5bC².

hvor nå F er på x-aksen. Helningen på indifferenskurven i dette tilfellet sier hvor mye vi må gi opp av gode C når vi mottar en ekstra enhet av gode F og gitt at vi skal ha samme nytte.²

Helningen på indifferenskurvene

Hvorfor er MRS_1C:F = ^dF_dC|_U=konstant =−^{M U}_{M U}^C

F? I dette tilfellet kan vi tenke oss et C−F godediagram med C på x-aksen og F på y-aksen. Helningen langs en indifferenskurve er da ^∆F_∆C = ^dF_dC. Et uttrykk for denne helningen finner vi ved å totaldifferensiere nytte- funksjonU(C, F)og sette endringen lik null (fordi vi skal holde oss på samme nyttenivå):

dU = ∂U

∂CdC+ ∂U

∂FdF = 0

⇒ ∂U

∂FdF =−∂U

∂CdC

⇒ dF

dC =−

∂U

∂C

∂U

∂F

=−M U_C

M U_F =MRS1C:F

2 Nyttemaksimering og etterspørsel

Vi maksimerer nytte U(C, F) = C^α·F^β gitt budsjettbetingelsen p_CC +p_FF = I. Vi setter opp Lagrange-funksjonen:

L=C^α·F^β +λ[I−p_CC−p_FF] Vi har følgende førsteordensbetingelser:

∂L

∂C =αC^α−1 ·F^β −λp_C = 0

∂L

∂F =βC^α·F^β−1−λp_F = 0

∂L

∂λ =I−pCC−pFF = 0

2Helningen på indifferenskurvene vil alltid være negativ, men ved tolkning dropper vi gjerne mi- nustegnet, hvor vi antar at alle skjønner at kurvene har negativ helning. Det samme gjelder budsjet- tlinjene og det relative prisforholdet, hvor vi ofte dropper å presisere at disse har en negativ helning i et godediagram. Det korrekte er å skrive MRS=−pC/p_F, men ofte (også i dette dokumentet) ser en MRS=p_C/p_F.

Vi har fra de første to ligningene at

λ= αC^α−1·F^β pC

λ= βC^α·F^β−1 p_F Setter vi disse sammen får vi

αC^α−1·F^β

p_C = βC^α·F^β−1 p_F αC^α−1·F^β

βC^α·F^β−1 = p_C pF

dvs MRS_1C:F =−p_C pF

αF βC = p_C

p_F

som vi også kan skrive somp_FF = ^β_αp_CC. Vi kan plugge denne inn i budsjettbetingelsen.

Dersom vi antar at α+β = 1 får vi:

I = p_CC+p_FF =p_CC+ β

αp_CC =p_CC+

1−α α

p_CC

= p_CC

1 + 1−α α

= 1 αp_CC.

Etterspørsel og indirekte nytte

Løser vi denne får vi etterspørselsfunksjonene:

C^∗ = αI

p_C =C^∗(p_C, p_F, I) (1)

F^∗ = βI

p_F =F^∗(p_C, p_F, I) (2) Dette er de ukompenserte (Marshal) etterspørselsfunksjonene, hvor etterspørselen er en funksjon av priser og inntekt. Plugger vi disse inn i nyttefunksjonen får vi den indirekte nyttefunksjonen, dvs nyttefunksjonen definert i priser og inntekt:

V(p_C, p_F, I) =U(C^∗, F^∗) = αI

p_C α

· βI

p_F β

(3)

Dersom vi antar at α= 0.5 ogβ = 0.5, får vi:

V(p_C, p_F, I) = αI

p_C α

· βI

p_F β

= I

2p^0.5_C p^0.5_F .

Vi har altså atU(C, F) =V(p_C, p_F, I), som er to måter å uttrykke nytte på. Vi reptererer uttrykkene for Marshal etterspørsel og indirekte nytte:

C^∗(p_C, p_F, I) = αI

p_C (ukompensert etterspørsel)

F^∗(p_C, p_F, I) = βI pF

(ukompensert etterspørsel)

V(p_C, p_F, I) = I

2p^0.5_C p^0.5_F (indirekte nytte).

Kompensert etterspørsel

Vi har nå funnet (Marshal) etterspørselsfunksjoner og indirekte nytte. For å finne de kompenserte (Hicks) etterspørselsfunksjonene, som er viktig når vi skal finne konsumen- toverskudd, løser vi de indirekte nyttefunksjonene mhp. I, for så å plugge denne inn i etterspørselsfunksjonene. Vi har

V(p_C, p_F, I) = I 2p^0.5_C p^0.5_F

⇒I =V(p_C, p_F, I)·2p^0.5_C p^0.5_F Deretter plugger viI inn i etterspørselsfunksjonene og får:

C^c= α·I

p_C = α·[V(p_C, p_F, I)·2p^0.5_C p^0.5_F ]

p_C =V(p_C, p_F, I)·p^−0.5_C p^0.5_F = V(·)·p^0.5_F p^0.5_C

F^c = β·I

p_F = β·[V(p_C, p_F, I)·2p^0.5_C p^0.5_F ]

p_F =V(pC, pF, I)·p^0.5_C p^−0.5_F = V(·)·p^0.5_C p^0.5_F

Vi kan bruker V = U, som bare er to forskjellige måter å uttrykke nytte på i tilpas- ningspunktet, og skrive

C^c(pC, pF, U) = α·I

p_C =p^0.5_F ·p^−0.5_C ·U(·) (4)

F^c(p_C, p_F, U) = β·I

p_F =p^0.5_C ·p^−0.5_F ·U(·) (5) som er de kompenserte etterspørselsfunksjonene. Notasjonsmessig kan vi også skrive F^c(p_C, p_F, U) = h_F(p_C, p_F, U) og C^c(p_C, p_F, U) = h_C(p_C, p_F, U) for å indikere at vi snakker om Hicks etterspørsel.

3 Utgiftsfunksjonen

Denne delen kan du hoppe over dersom du godtar at nyttemaksimering gir samme resul- tat som utgiftsminimering, og at ^∂E(p_∂p^C,pF,U)

C =C(·), hvor E(p_C, p_F, U) er utgiftsfunksjo- nen.

Nyttemaksimering har sin motpart i utgiftsminimering, som går ut på å allokere in- ntekt mest mulig effektivt (billigst mulig) for å oppnå et gitt nyttenivå. Vi starter med å minimere inntekt for å oppnå en gitt nytte. Deretter plugger vi inn FOB i inntekts- funksjonen, og får utgiftfunksjonen. Det kan være en fordel å operere med utgiftsfunksjon fordi dette er noe som kan observeres, mens nytte ikke kan det.

Utgiftsfunksjonen finner vi ved å minimere E = p_CC +p_FF gitt U¯ = U(C, F). Vi får daE(C, F, U). Generelt har vi at E =V⁻¹, dvs at utgiftsfunksjonen er den inverse av den indirekte nyttefunksjonen. Vi kan formulere minimeringsproblemet ved Lagrange metode. La oss anta som tidligere at U(C, F) = C^α · F^β. Vi setter opp Lagrange- funksjonen:

L = [I−p_CC−p_FF] +λ[ ¯U −C^α·F^β] Vi har følgende førsteordensbetingelser:

∂L

∂C =−p_C +λαC^α−1·F^β = 0

∂L

∂F =−p_F +λβC^α·F^β−1 = 0

∂L

∂λ = ¯U −C^α·F^β = 0

Vi har fra de første to ligningene at

λ= p_C αC^α−1·F^β λ= p_F

βC^α·F^β−1 Setter vi disse sammen får vi

αC^α−1·F^β

p_C = βC^α·F^β−1 p_F αC^α−1·F^β

βC^α·F^β−1 = p_C p_F αF

βC = pC

p_F som vi kan skrive som F = ^β·p_α·p^C·C

F . Vi plugger denne inn i siste ligning i FOB og får U¯ = C^α·F^β =C^α·

β·p_C ·C α·pF

β

= C^0,5·

0,5·p_C ·C 0,5·pF

0,5

=C·p_C^0,5·p_F^−0,5 Vi gjør tilsvarende for C = ^α·p_β·p^F·F

C . Vi plugger denne inn i siste ligning i FOB og får U¯ = C^α·F^β =

α·p_F ·F β·p_C

α

·F^β

=

0,5·p_F ·F 0,5·p_C

0,5

·F^β =p_F^0,5·p_C^−0,5·F

Vi har nåC = ¯U ·p_C^−0,5 ·p_F^0,5 ogF = ¯U·p_F^−0,5·p_C^0,5. Utgiftene er da gitt ved E(p_C, p_F, U) = p_C[ ¯U ·p_C^−0,5·p_F^0,5] +p_F[ ¯U ·p_F^−0,5·p_C^0,5]

= U¯·p_C^0,5·p_F^0,5+ ¯U·p_F^+0,5·p_C^0,5 = 2p_C^0,5p_F^0,5U

slik som tidligere. Plugger vi inn for den indirekte nyttefunksjonen, dvs V(p_C, p_F, I) =

I

2p^0.5_C p^0.5_F , få vi vi at E =I:

E(pC, pF, U) = 2pC0,5

pF0,5

[ I

2p^0.5_C p^0.5_F ] =I =pCC+pFF

slik at

∂E(p_C, p_F, U)

∂p_C =C^c(·).

siden vi holdeU konstant. I optimum vil C^∗ =C^c.

Slutsky-ligningen

Vi er interessert i å finne hvordan den kompenserte (Hicks) etterspørselen endrer seg når prisen på varen endrer seg. Den kompenserte etterspørselskurven kompenserer for at prisen går opp ved at vi er på samme indifferenskurve (nyttenivå). Den deriverte av den kompenserte etterspørselskurven mhp. pris, dvs ∂C^c/∂p_C, er helningen langs en enkel indifferenskurve, og gir oss substitusjonseffekten. Substitusjonseffekten er en viktig størrelse fordi den er relatert til effektivitetstapet ved f.eks. skattlegging.

Vi kan finne substitusjonseffekten ved å derivere de kompenserte (Hicks) etterspørsels- funksjonene [C^c(p_C, p_F, U) ogF^c(p_C, p_F, U)] mhp. pris. På samme måte som at U =V har vi at C^c = C^∗, dvs direkte versus indirekte nytte, og kompensert versus ukom- pensert etterspørsel, er bare ulike måter å uttrykke det samme på, og i optimum (tilpas- ningspunktet) vil de være like. Vi kan (per definisjon) skrive den kompenserte etter- spørselsfunksjonen som

C^c(p_C, p_F, U) =C[p_C, p_F, I)] =C[p_C, p_F, E(p_C, p_F, U)]

hvorE(p_C, p_F, U)er utgiftsfunksjonen, som gir minimumsbeløpet vi trenger for å oppnå nytte likU. Hvis vi partiell derivererC[p_C, p_F, E(p_C, p_F, U)]får vi

∂C^c

∂p_C = ∂C

∂p_C +∂C

∂E · ∂E

∂p_C som, hvis vi snur litt på ligningen, gir Slutsky-ligningen:

∂C

∂p_C = ∂C^c

∂p_C − ∂C

∂E · ∂E

∂p_C. (6)

Denne ligningen viser at den totale endringen i etterspørselen som følge av en prisendring kan deles inn i en substitusjonseffekt og en inntektseffekt. Vi kan skrive inntektseffekten, dvs. siste ledd i ligning (6), som

Inntektseffekt =−∂C

∂E · ∂E

∂p_C =−∂C

∂I · ∂E

∂p_C =−∂C

∂I ·C^c=−C^c∂C

∂I

siden endring i inntekt (I) og utgifter (E) er det samme i etterspørselsfunksjonenC^c(p_C, p_F, I), og at ∂E/∂p_C = C^c (vises senere). Substitusjonseffekten kan vi formulere på følgende vis:

Substitusjonseffekt = ∂C^c

∂p_C = ∂C

∂p_C

U=konstant

. Vi kan nå skrive Slutsky-ligningen som

∂C

∂p_C = ∂C

∂p_C U= ¯U

− C∂C

∂I (7)

Husk at i nyttemaks har vi at C^∗ =C^c.

Cobb-Douglas parametrisering

Med Cobb-Douglas nyttefunksjon, hadde vi følgende etterspørselsfunksjoner:

C^∗ = αI

p_C og F^∗ = βI p_F. Indirekte nytte er gitt ved

V(pC, pF, I) = αI

p_C α

· βI

p_F β

jfr. ligningene (1)-(3). Dersom vi antar at α = 0.5 og β = 0.5, får vi V(p_C, p_F, I) =

I

2p^0.5_C p^0.5_F og I = V(p_C, p_F, I)·2p^0.5_C p^0.5_F Vi får da de kompenserte (Hicks) etterspørsels- funksjonene:

C^c= V ·p^0.5_F

p^0.5_C og F^c= V ·p^0.5_C p^0.5_F .

Slutsky-ligningen

Vi finner først de to substitusjonseffektene:

∂C^c

∂p_C = −0.5·V ·p^0.5_F p^1.5_C

∂F^c

∂p_F = −0.5·V ·p^0.5_C p^1.5_F

Vi kan plugge inn for V og får da:

∂C^c

∂p_C =

0.5·(_2p0.5^I

C p^0.5_F )·p^0.5_F

p^1.5_C = 0.5·I·p^0.5_F

p^1.5_C 2p^0.5_C p^0.5_F = 0.25·I p²_C

∂F^c

∂p_F =

0.5·(_2p0.5^I

C p^0.5_F )·p^0.5_C

p^1.5_F = 0.5·I·p^0.5_C

p^1.5_F 2p^0.5_C p^0.5_F = 0.25·I p²_F

som er substitusjonseffekten. Inntektseffekten finner vi ved å derivere mhp. inntekt:

−C∂C

∂I = −

0.5·I p_C

0.5 p_C

=−

0.25·I p²_C

−F∂F

∂I = −

0.5·I p_F

0.5 p_F

=−

0.25·I p²_F

hvor vi fremdeles antar atα = 0.5 ogβ = 0.5. Vi har da Slutsky-ligningen:

∂C

∂p_C = 0.25·I p²_C −

0.25·I p²_C

∂F

∂p_F = 0.25·I p²_F −

0.25·I p²_F

.

Ved første øyekast ser dette litt rart ut siden substitusjons- og inntektseffekten er nøyaktig den samme. Det er kjekt å jobbe med Cobb-Douglas-funksjoner, men det er ikke alltid uttrykkene er like realistiske, som at substitusjonseffekten er lik inntektseffekten.

Oppgave 1:

Finn Slutsky-ligningen nårU(C, F) = C^0.3·F^0.7 gitt budsjettbetingelsenpCC+pFF =I.

Oppgave 2:

Anta at nyttefunksjonen er gitt ved: U(C, F) = (C+ 1)^αF^β. Vis da at F^∗ = β(I+p_C)

p_F C^∗ = αI

p_C −β V = (I+p_C)

β pF

β α pC

α

E =U p_F

β β

p_C α

α

−p_C

Anta at C = 0 og at en investering gjør at vi kan konsumere positive mengder av C, men at det relative prisforholdet vil endre seg. Vi definererEV =E(p¹, U₁)−E(p⁰, U₁).

Vis at EV =E(p¹, U₁)−E(p⁰, U₁) =I−U₁B⁰+p^∗_C, hvor B = (^p_α^F)^α(^p_β^C)^β. Oppgave 3:

Vi antar at følgende (kvasi-lineære) nyttefunksjoner: U(C, F) = p

v(C) +F, hvor v(C) = aC −0.5bC². Vi har at v⁰(C) er marginal betalingsvillighet (marginal bene- fit) forC. Vis at MRS_1C:F = ^{M U}_{M U}^C

F =a−bC, og at (de inverse) etterspørselskurvene er gitt ved p_C =a−bC og p_F =a−bF.

4 Empiriske analyser

I empiriske analyser ønsker vi å estimere substitusjons- og inntektseffekten fra en (Mar- shal) etterspørselsfunksjon. Vi starter gjerne ut med følgende lineære additive regresjon- smodell:

C=β₀+β₁p_C +β₂p_F +β₃I+.

Vi vet fra ECON340 at effektene vil være avhengig av hvordan kvantum, priser og in- ntekt blir målt. For å gjøre effektene sammenlignbare (over land og tid), tar vi gjerne logaritmen av variablene:

lnC =β₀+β₁lnp_C +β₂lnp_F +β₃lnI +.

Betakoeffisientene tolkes da som elastisiteter: β1 er egenpriselastisitet (eC,pC), β2 er krysspriselastisitet (e_C,pF), og β₃ er inntektselastisitet (e_C,I).

Nå er ikke verden så enkel at vi bare kan estimere denne ligningen sånn uten videre.

Observert kjøp/kvantum er en likevektsstørrelse, slik at det vi observerer i et marked påvirkes både av etterspørsel og tilbud. Skal vi estimere en etterspørselsfunksjon, må vi

“holde tilbudssiden konstant”. Vi må da bruke InstrumentVariabel (IV) metoden.

5 Gevinst og tap ved kvantums- og prisendring

Equivalent variation (EV)

Anta at vi har et prosjekt som endrer priser og inntekt, f.eks. en skatteøkning. Prisene og inntekten før endringen er p⁰ og I⁰. I Figur 1 har vi at prisen på C går opp fra p⁰_C

tilp¹_C, mens prisen på F er uforandret. Det relative prisnivået endres da fra p⁰ =−^p_p^0C

F

til p¹ = −^p_p^1C

F, noe som fører til at vi får en brattere budsjettkurve i figuren. Prisene og inntekten etter endringen er p¹ og I¹. Indirekte nytte i de to tilstandene er gitt ved

Figur 1: Compensating variation, equivalent variation

henholdsvis V(p⁰, I⁰)ogV(p¹, I¹). Utgiftsfunksjonen er gitt ved E(p⁰, U₀) ogE(p¹, U₁), eller E(p⁰_C, p⁰_F, U₀) og E(p¹_C, p¹_F, U₁)om en vil. I figuren har vi at den (minste) utgiften som gir nytte likU₀ til prisenep₀ er gitt vedE(p⁰, U₀), som er punkt A i Figur 1. Dette er startpunktet vårt i figuren. Den minste utgiften som gir nytte lik U₀ men til nye prisenep_C er gitt ved E(p¹, U₀), som er punkt C i figuren. Den minste utgiften som gir det nye nyttenivået U₁ men til nye prisene p_C er gitt ved E(p¹, U₁), som er punkt B i figuren. Vi definerer compensating variation (CV) som

CV=E(p¹, U₀)−E(p⁰, U₀)

som sier hvor mye en person må kompenseres med inntekt for å komme på samme nyttenivå som før prisstigningen. Dersom prisen på C øker, så trenger vi mer inntekt for å komme på samme nyttenivå som tidligere (U₀). Vi leser av inntekten på y-aksen.

CV måler kompensasjonsbeløpet som gir oss samme nytte før og etter prisøkningen.

Substitusjonseffekten viser hvor mye vi vrir konsumet (i antall enheter) som følge av prisøkningen, hvor vi er på samme indifferenskurve. Kvantumsnedgangen, som vi leser av påx-aksen, kan vi så overføre til den kompenserte (Hicks) etterspørselsfunksjon.

Det er en sammenheng mellom CV og endring i konsumentoverskudd. Vi har at den deriverte av utgiftsfunksjonen mhp pris er den kompenserte etterspørselsfunksjonen (fra Shepards lemma). Vi har derfor at

CV=E(p¹, U₀)−E(p⁰, U₀) = Z p¹

p⁰

h(p, U₀)dp hvorh_C(p, U₀) = C^c(p_C, p_F, U₀) er Hicks/kompensert etterspørsel.

Det er viktig å presisere at ved måling av ulike former for effektivitetstap så er det den kompenserte etterspørselskurven som skal benyttes. Det er altså substitusjonseffek- ten som gir opphav til effektivitetstap. Dersom substitusjonseffekten er null, vil også effektivitetstapet bli null.

Compensating variation (CV)

CV er det maksimale beløpet en person er villig til å betale for å unngå en endring, f.eks.

en prisendring.

Effektivitetstap

Det samfunnsøkonomisk overskuddet deles inn i konsument- og produsentoverskudd. En skatt vil typisk gi et effektivitetstap i forhold til “first best” tilpasning, hvor effektivitet- stapet er forskjellen mellom det samfunnsøkonomisk overskuddet med og uten skatt.

Konsumentoverskuddet er forskjellen mellom hva vi som konsumenter er villige til å be- tale og hva vi faktisk må betale i et marked, som vi kan måle som et areal under den kompenserte etterspørselskurven, jfr. Figur 2. Areal beregnes vanligvis som et integral, hvor det skraverte området i figuren er gitt ved

CV = Z p¹_C

p⁰_C

C^c(p_C, p_F, U₀)d p_C

hvor vi vet at

C^c(p_C, p_F, U₀) = ∂E(p_C, p_F, U)

∂p_C

Fra Figur 2 ser vi at dette arealet kan beregnes som summen av et rektangel og en trekant. Dersom vi har konkrete funksjonsformer kan vi finne et uttrykk for arealet.

Figur 2: Endret konsumentoverskudd ved prisendring.

Dersom vi bruker ligning (4):

C^c= V(·)·p^0.5_F p^0.5_C

ogp¹_C = 4 ogp¹_C = 1, og antarp_F = 4 ogV = 2, så har vi CV =

Z 4

1

V ·p^0.5_F ·p^−0.5_C d pC = 2V p^0.5_F p^0.5_C

p_C=4

p_C=1

= 2·2·4^0.5·4^0.5−2·2·4^0.5·1^0.5 = 8

se side 162 i Snyder and Nicholson (11 ed). Dersom vi bruker Marshal etterspørsel, gitt i ligning (1) får vi:

tap = Z 4

1

αI

p_C d p_C = Z 4

1

0,5Ip_C⁻¹d p_C = 0,5Ilnp_C

pC=4

pC=1

= 0,5·8·ln 4−0,5·8·ln 1 = 5,55

Dersom prisendring i Figur 2 skyldes en enhetsskatt vil effektivitetstape være gitt ved forskjellen i redusert KO og skatteproveny, som blir arealet B (gitt flat tilbudskurve).

Marginalnytten av inntekt

Vi maksimerer nytte U(C, F) gitt budsjettbetingelsen pCC +pFF = I. Vi setter opp Lagrange-funksjonen:

L=U(C, F) +λ[I−pCC−pFF] Vi har følgende førsteordensbetingelser:

∂L

∂C =U_C⁰ −λpC = 0

∂L

∂F =U_F⁰ −λp_F = 0

∂L

∂λ =I −p_CC−p_FF = 0

Vi har nå en mulighet for å tolke Lagrange-multiplikatorenλfra førsteordensbetingelsene.

Vi har fra de første to ligningene at λ= U_C⁰

pC

og λ= U_F⁰ pF

Disse to ligningene sier at vi ved endret konsum av C eller F skal tilpasse oss slik at vi har samme marginalnytte per krone brukt på godene, noe som vi kan tolke som marginalnytte av inntekt. Forholdet mellom MB (U_C⁰ ) og MC (p_C) skal være lik for alle godene (i optimum). Vi antar gjerne at marginalnytten av inntekt (λ) er konstant over et lite intervall. Mer generelt er marginalnytten av inntekt stor dersom inntekten er lav, og vica versa. På marginen vil prisen reflekterer betalingsvillighet for en ekstra enhet av godet. Dette er viktig i anvendt velferdsteori fordi vi kan avlede betalingsvillighet fra variasjon i priser. Vi kan også skrive p_C = ^U

0 C

λ og U_C⁰ = p_C ·λ. Vi har altså at U_C⁰ kan tolkes som pris multiplisert med marginalnytten av inntekt. Dersom p_C = 1, dvs.

at godeC er numeraire, vil U_C⁰ være det samme som marginalnytten av inntekt. Det er ofte vanlig å definere en av prisene til å være lik 1.

Når vi skriverλ= ^U

0 C

pC så ser vi atλ er en slags nytte-kostnadsbrøk på marginen, hvor U_C⁰ er marginalnytten og p_C er prisen/kostnaden per enhet.

Vi kan også formulere Lagrange-funksjonen med indirekte nytte L =V(p_C, p_F, I) +λ[I −p_CC−p_FF]

Vi har da

∂L

∂p_C = ∂V

∂p_C −λC = 0

∂L

∂p_F = ∂V

∂p_C −λF =

∂L

∂I = ∂V

∂I +λ= 0 Plugger viλ fra siste ligning inn i de to første får vi

∂V

∂p_C =−∂V

∂IC ⇒C =−∂V

∂p_C/∂V

∂I

∂V

∂pF

=−∂V

∂I F ⇒F =−∂V

∂pF

/∂V

∂I

Dette er Roys identitet, som sier at i optimum, så er Marshal etterspørsel lik av marginal- nytten av prisen over marginalnytten av inntekt.

Indirekte nytte

Vi skriver

U =U[C(p_C, p_F, I), F(p_C, p_F, I)]

E(p_C, p_F, I) = p_CC(p_C, p_F, I) +p_FF(p_C, p_F, I) Vi har følgende deriverte mhp I, viaC:

∂U

∂I = ∂U

∂C

∂C

∂I + ∂U

∂F

∂F

∂I =λp_C∂C

∂I +λp_F∂F

∂I

= λ

p_C∂C

∂I +p_F∂F

∂I

=λ∂E

∂I siden λ=M U_C/p_C. Vi får da:

λ= ∂U

∂I ∂E

∂I = ∆nytte

∆utgift =skyggepris

5.1 Betalingsvillighet (WTP=B)

Anta at vi har følgende nyttefunksjon: U(C, F). Den totaldifferensierte kan skrives som dU = ∂U

∂C dC+∂U

∂F dF = 0 (8)

Vi antar at endringene er så små at de ikke påvirker prisene. dC (eller ∆C) sier noe om hvor stor endring vi har iC, ogdF sier noe om hvor stor endring vi har iF. Nytten endrer seg som en vektet sum av endringer i C og F. Vektene bestemmes av marginalnyttene.

Dersom vi f.eks. har lite av et gode (høy marginalnytte) vil det gi stort utslag på endret nytte å endre kvantum av dette godet.

Kan vi oversette dette til betalingsvillighet? Betalingsvillighetfor en endring (“med tiltak”) definerer vi som summen av penger en må ta vekk fra individet for at individet skal være på nøyaktig det samme nyttenivået som uten endringen (“ingen tiltak”). Det er altså to aspekt. Nyttenivået skal være konstant, dvs dU = 0. Vi tar vekk noe av C hvis en får mer av F, og vica versa. Hvor mye en må ta vekk av C er gitt veddC, dvs dC =WTP_1F:C. Dersom vi isolerer dC fra ligning (8) over, kan vi skrive

dC =WTP_1F:C =−

∂U

∂F

∂U

∂C

dF =−U_F⁰

U_C⁰ dF =MRS_1F:C dF =B_F

som er betalingsvilligheten for en enhetF. Vi kan skrive tilsvarende for en enhets endring iC:

dF =WTP_1C:F =−

∂U

∂C

∂U

∂F

dC =−U_C⁰

U_F⁰ dC =MRS_1C:F dC =B_C

Dersom vi har lite avC i utgangspunktet, vil betalingsvilligheten av en endring iC være stor sidenM UC er høy dersom nivået på Cer lavt. Dersom MRS1C:F = 2så betyr det at vi er villige til å gi fra oss 2 enheter avF dersom vi får en enhet ekstra av C, gitt av vi skal være på samme indifferenskurve, dvs. ha samme nyttenivå som tidligere. MRS_1C:F representerer den marginale betalingsvillighet for C, og MRS_1F:C representerer den marginale betalingsvillighet for F. Vanligvis vil vi tenke på MRS i antall enheter, men det er ingenting i veien for å måle C og F i sin pengemessige verdi (som kronebeløp), gitt at de relative prisene er konstante, og da vil den marginale betalingsvillighet måles i kroner og ører. Vi har at MRS_1C:F = MWTP_C og MRS_1F:C = MWTP_F. Generelt i optimum vil MRS være lik det relative prisnivå, dvs MRS_1C:F = MWTP_C = −^p_p^C

F eller MRS1F:C =MWTPF =−^p_p^F

C.

Anta nå at personene må betale et beløp dersom vi øker konsumet av F. Vi kaller

det beløpetB_C. Fra ligning (8) har vi

dU = U_C⁰ dC+U_F⁰ dF slik at

dU

U_C⁰ = −B_F +U_F⁰

U_C⁰ dF =−B_C +MRS_1F:C dF

= −B_F +MWTP_F dF =−B_C +WTP_F

= −B_F +p_F

p_C dF = NB_F

Vi kan tolke denne ligningen som nettogevinsten (net benefit=NB) ved økt konsum av F, dvs. NB_F. Nettogevinsten er gitt ved betalingsvillighet (WTP) minus det en faktisk må betale (B_C), enten i penger eller enheter. Vi har altså at dU /U_C⁰ = NB_F. Vi kan endre litt på denne og skrive

dU = NB_F ·U_C⁰ = (p_F

p_CdF −B_C)·U_C⁰ (9) Nettogevinst (net benefit) og nettobetalingsvillighet brukes om hverandre. Disse be- grepene er proporsjonal til endring i nytte, men som vi ser av ligning (9) ikke det samme som endring i nytte.

6 Nediskontering av nytte ved flere perioder

Anta at neddiskontert nytte overT perioder er gitt ved U_T =

T

X

t=1

1 1 +ρ

t−1

U(C_t)

hvor vi bare har ett konsumgode C. Anta to perioder; hvor konsumet i de to periodene er gitt vedC₁ ogC₂. Vi kan totaldifferensiere nyttefunksjonen:

dUT = ∂U

∂C₁dC1+ ∂U

∂C₂dU2 = 0

⇒ ∂U

∂C₁dC₁ =−∂U

∂C₂dC₂

⇒ dC₂ dC1

=−

∂U

∂C1

∂U

∂C2

=−M U_C1 M UC2

=MRS_1C1:C2

hvorC1 er på x-aksen og C2 er på y-aksen i et C1−C2 godediagram. Diskonteringsfak- toren er definert som: 1 +r=MRS1C1:C2, hvorr er diskonteringsraten. Der er rimelig å anta at MRS_1C1:C2 >1, og dermed at r >0.

Hvis vi ønsker å jobbe med en konkret nyttefunksjon, kan vi anta følgende iso-elastiske nyttefunksjon:

U(C_t) =

1 1−

C_t¹⁻ =

C_t¹⁻

₁₋¹

hvor er en inntektsaversjonsparameter. Vi har at = 0 gir Benthamite og → ∞ gir Rawls. Vi har følgende deriverte

∂U

∂C1

= (1−)C₁⁻

1− =C₁⁻

∂²U

∂C₁² = (−)·C₁⁻¹⁻

For den andre perioden har vi

∂U

∂C₂ = (1−) C₂⁻

1−

1 1 +ρ

=C₂⁻ 1

1 +ρ

∂²U

∂C₂² = (−)C₂⁻¹⁻

1 1 +ρ

Forholdet mellom to marginalnytter blir

∂U

∂C1

∂U

∂C2

= C₁⁻

C₂⁻(1 +ρ) = C₂

C₁(1 +ρ) = C₂

C₁

(1 +ρ) =MRS1C1:C2

som definerer tidspreferansene. ρ er individets marginale tidspreferanserate (MRTP=.

Ideen vises i Figur 3. Jo brattere indifferenskurve, desto mer verdsetter vi konsum i dag Figur 3: Tidspreferanser

i forhold til i morgen. Vi er med andre ord villig til å gi opp mye av konsum i periode 2 mot å få en ekstra enhet konsum i dag. Dersom = 0 så vil indifferenskurven være en rett linje i figuren.³ Dersom = 0 og ρ = 0 så verdsetter vi konsum like mye i de to periodene, dvs MRS_1C1:C2 = 1. Helningen på indifferensekurven vil da være lik 45 graders linjen. Dersom er stor vil vi foretrekke “mye likhet” mellom de to periodene.

Optimal tilpasning er der hvor vi har tangering mellom markedsrenten (helning:

−(1−r)og tidspreferanseraten (helning: −(1−ρ). (Obs. Det er ikke−(1−r)linjen som er tegnet inn i Figur 3. Generelt vil denne kurven være brattere enn 45-graderslinjen som er tegnet inn i figuren.)

Vi kan finne et enkelt uttrykk for diskonteringsraten. Lag være vektsraten i konsum, dvs 1 +g = C₂/C₁. Dersom vi tar en Taylor ekspansjon av (1 +g) = (C₂/C₁), så får

3I det tilfellet vil vi få en hjørneløsning, med alt konsum i periode 1 dersomρ < r eller alt konsum i periode 2 dersomρ > r.

vi at(1 +g) ≈(1 +g) (vises ikke her). Vi har da at 1 +r = MRS_1C1:C2

= C₂

C₁

(1 +ρ)

= (1 +g)(1 +ρ)

= (1 +g)(1 +ρ)

= 1 +ρ+g+gρ

= 1 +ρ+g

dersom vi antar at gρ= 0. Vi har da at diskonteringsraten er gitt ved r=ρ+g.

Diskonteringsraten/-faktoren er gitt ved tidspreferanseraten/-faktoren og produktet av vekstraten i konsum og (konstant). Bare dersom = 0 vil tidspreferanseraten være lik diskonteringsraten, som bestemmes av markedsrenta. For videre diskusjon, se Creedy (2006) og Boardman et al side 248.

Sosial marginal tidspreferanserate

Vi kan også formulere en sosial velferdsfunksjon, som vi har gjort tidligere, og utlede forholdet mellom samfunnets avveining av konsum i dag (dagens generasjon) og konsum i framtiden (neste generasjon). Da får vi den sosiale marginale tidspreferanseraten.

7 Nåverdi over mange perioder

Vi starter med følgende nåverdiberegning av et fast beløp over tid hvor T går mot uendelig:

N V =

T

X

t=1

R_t (1 +r)^t

= R

(1 +r)¹ + R

(1 +r)² + R

(1 +r)³ +. . .+ R (1 +r)^T Vi multipliserer med1 +r og lar T → ∞:

N V(1 +r) = R

(1 +r)¹(1 +r) + R

(1 +r)²(1 +r) + R

(1 +r)³(1 +r) +. . .

= R+ R

(1 +r)¹ + R

(1 +r)² +. . .

= R+N V Vi har da at

N V(1 +r)−N V = R ⇐⇒ N V = R r Starter i periode 0:

Dersom vi starter i periode 0, får vi:

N V =

T

X

t=0

R_t (1 +r)^t

= R

(1 +r)⁰ + R

(1 +r)¹ + R

(1 +r)² +. . .+ R (1 +r)^T Vi multipliserer med1 +r og får

N V(1 +r) = R

(1 +r)⁰(1 +r) + R

(1 +r)¹(1 +r) + R

(1 +r)²(1 +r) +. . .+ R

(1 +r)^T(1 +r)

= R(1 +r) + R

(1 +r)⁰ + R

(1 +r)¹ +. . .=R(1 +r) +N V

⇒N V = R(1 +r) r .

Vi har altså at

T

X

t=1

1 (1 +r)^t =

Z T

1

1

(1 +r)^tdt= 1 r

når T → ∞. Dersom renten blir beregnet kontinuerlig kan vi skrive _(1+r)¹ t = _e¹rt =e^−rt, fordi det kan vises atlimn→∞(1 +_nt^r)^nt =e^rt når n er antall ganger renten blir beregnet per år. Vi har da:

Z T

0

e^−rtdt=−1 re^−rt

T

0

=−1

re^−rT −(−1 r) = 1

r(1−e^−rT).

som blir1/r når T → ∞.

Vekstrate g

Anta nå at inntektene vokser over tid med en vekstrateg. Vi har da N V =

T

X

t=1

R_t(1 +g)^t (1 +r)^t

På samme måte som at _(1+r)¹ t = _e¹rt = e^−rt, har vi at (1 +g)^t = e^gt. Vi har da at

(1+g)^t

(1+r)^t = ^e_e^gtrt =e^−(r−g)t. Vi har da:

Z T

0

e^−(r−g)tdt=− 1

r−ge^−(r−g)t

T

0

=− 1

r−ge^−(r−g)T −(− 1

r−g) = ( 1

r−g)(1−e^−(r−g)T).

som blir1/(r−g)når T → ∞.

8 Beslutningsregel og NNV med integralregning

Se Gines de Rus, Gines (2011): “The BCA of HSR: Should the Government Invest in High Speed Rail Infrastructure?” For at et prosjekt skal være lønnsomt må følgende betingelse være oppfylt:

Z T

0

B(Q)e^−(r−g)tdt > I+ Z T

0

Cfe^−rtdt+ Z T

0

Cq(Q)e^−(r−g)tdt hvor

Q= kvantum, f.eks. passasjer-reiser B(Q)= årlige fordeler av prosjektet

Cf = årlige faste vedlikeholds- og driftskostnader

C_q(Q)= årlige vedlikeholds- og driftskostnader som er avhengig av Q r = sosial diskonteringsrate

g = årlig vekst i fordeler og kostnader

Vi kan konkretisere fordelene ved prosjektet på følgende måte:

Z T

0

B(Q)e^−(r−g)tdt = Z T

0

[ν(τ¹−τ⁰)Q₀+C_C](1 +α)e^−(r−g)tdt (10) +

N

X

i=1

Z T

0

δ_i(q_i¹−q_i⁰)e^−(r−g)tdt hvor

ν = (gjennomsnittsverdien) av tid τ⁰ = tidsbruk uten investeringen τ¹ = tidsbruk med investeringen

Q₀ = avledet etterspørsel etter HSR første året CC = årlig variabel kostnad for konvesjonell reise α = andel ekstra passasjerer med prosjeket

δ_i = “distortions” i andre markeder (i), hvor det er i alt N markeder i økonomien q_i⁰ = likevektsetterspørsel i marked i uten prosjektet

q_i¹ = likevektsetterspørsel i marked i med prosjektet

Det siste uttrykket i ligning (10) er de indirekte effektene fra andre markeder.

Forenklet eksempel

Vi gjennomfører prosjektet dersom følgende betingelse er oppfyllt:

Z T

0

[B(Q)−Cq(Q)]e^−(r−g)tdt− Z T

0

Cfe^−rtdt > I Vi antar r > g og løser ligningen. Vi får da

B(Q)−C_q(Q) r−g

(1−e^−(r−g)T)− C_f

r

(1−e^−rT)> I Hvis vi deler påI og omarbeider ligningen får vi:

B(Q)−C_q(Q) I

>

r−g 1−e^−(r−g)T

+

C_f I

r−g r

1−e^−rT (1−e^−(r−g)T)

som kan forenkles videre dersomT → ∞.

Indirekt effekter

Hvilke indirekte effekter skal inkluderes i en CBA. Svaret ligger i uttrykket:

N

X

i=1

Z T

0

δ_i(q¹_i −q_i⁰)e^−(r−g)tdt

Dersom alle markedene er kompetitive og upåvirket av skatter og subsidier, vil δ = 0.

For at vi skal inkludere andre markeder i CBA må vi ha markedssvikt i disse markedene (arbeidsledighet, eksternaliteter, skatter, subsidier, markedsmakt, og andre forhold som gjør av SMC ikke er lik WTP i likevekt).

En alternativ måte å se det på er følgende:

Z T

0

(p_A−c_A)q_AAH∆p_H

p_H e^−(r−g)tdt hvor

p_A = full/generalisert pris i alternativt marked c_A = MC i alternativt marked

q_A = etterspørsel i alternativt marked

_AH = krysspriselastisitet i alternativt marked

pH = full/generalisert pris i markeded vi ser på (HSR)

9 Betalingsvillighet: revealed and stated preferences 10 Skatter i CBA

Lekkasje = Effektivitetstap/Skatteproveny

11 Sosial velferdsfunksjon

Vi skriver den sosial velferdsfunksjonen på generell form som W =W(U₁, U₂, . . . , U_N) Den totaldifferensierte av denne er gitt ved

dW = ∂W

∂U₁dU₁+ ∂W

∂U₂dU₂+. . . ∂W

∂U_NdU_N

= W₁⁰dU₁+W₂⁰dU₂+. . . W_N⁰ dU_N (11) hvorW_i⁰ er sosiale vekter i den sosiale velferdsfunksjonen. dU1 er totalendringen i nytte (målt i kroner). Denne kan dekomponeres i henhold til ligning (9). Vi kan derfor skrive ligning (11) over som

dW = W₁⁰ ·U₁⁰ ·NB1+W₂⁰ ·U₂⁰ ·NB2+. . . W_N⁰ ·U_N⁰ ·NBN

=

N

X

i=1

(W_i⁰ ·U_i⁰·NB_i) =

N

X

i=1

(W_i⁰ ·λp·NB_i)

dvs at endringen i sosial velferd av en endring er gitt som et veid snitt av nettogevinsten, hvor vekten er gitt vedW_i⁰ ·U_i⁰, dvs. velferdsvekt og marginalnytte.

Velferdsfunksjon med ulikhetsaversjon

En litt mer konkret velferdsfunksjon kan se slik ut

W = 1

1−

N

X

i=1

U_i¹⁻ = ^N

X

i=1

U_i¹⁻

₁₋¹

hvorer en inntektsaversjonsparameter hvor = 0 gir Benthamite og → ∞gir Rawls.

Hva om W =P

iU_i hvor U_i = ₁₋¹ I_i¹⁻. Vi har følgende deriverte:

∂U_i

∂I_i = (1−) I_i⁻

1− =I_i⁻

∂²U_i

∂I_i² =−I_i⁻¹⁻

Forholdet mellom to marginalnytter blir

∂U1

∂I1

∂U2

∂I2

= λ1

λ₂ = I₁⁻ I₂⁻ = I₂

I₁ = I2

I₁

som er en slags MRS, som sier noe om det inntektsmessig bytteforhold mellom to per- soner gitt at vi skal være på samme velferdsnivå. Uttrykket viser helningen på den sosiale velferdsfunksjonen. Vi kan definere velferdsvekten i forhold til et gitt nivå (f.eks.

medianinntekten). Dersom person 1 har en inntekt under medianinntekten, vil vekten være større enn 1. For høye inntekter vil vekten være liten, og personen vil telle lite i den sosiale velferdsfunksjonen.

Dersom I₂ = 2I₁ og = 1,5, så er det nødvendig bare å gi person 2 35% ekstra i inntekt hvis vi tar 1 enhet fra person 1 for å være på samme iso-velferdskurve. Vi sier da at lekasjonen er 65%. Dersom = 1vil en lekasje på 50% tolereres (leaking bucket).

Dersom = 0 vil bytteforholdet alltid være 1:1.

12 Skyggepriser

Nyttemaksimering gir opphav til noen førsteordensbetingelser som indikerer optimal tilpasning. Prismekanismen sikrer at vi oppnår denne tilpasningen. I mange tilfeller har vi ikke vanlig fungerende markeder hvor relative priser er sentrale. Vi kan likevel tenke oss en sosial planlegger løse ulike optimeringsproblem. Alle ressurser har en alter- nativ verdi, ved at vi kan oppnå noe ved å bruke ressursene på noe annet som generer nytte og dermed betalingsvillighet. I tillegg er det oftes slik at vi har markedssvikt som gjør at vi ikke kan oppnå first-best tilpasningen, f.eks. ved at vi har skatter for å finansiere offentlige goder.

Skyggepriser er priser vi ikke observerer men som sier noe om hva prisene ville ha vært i et marked. Vi snakker om priser på arbeid, kapital og offentlig finansiering.

13 Betalingvillighet og enkel integralregning

Vi ser på en enkel modell med ett konsumgode C. Vi antar at C er en liten del av det totale konsumet, slik at vi kan ignorere inntektseffekter (Hicks og Marshal etterspørsels- funksjoner er tilnærmet identiske). Formålet er å repetere litt enkel integralregning. Vi holder formue og alle priser konstante og antar følgende etterspørselsfunksjon:

Q= 60−P.

Dersom, for eksempel, prisen på C er 20, vil konsumentene kjøpe 60−20 = 40 enheter av C. I dette eksempelet regner vi ikke på nytte, men på betalingsvillighet (WTP), siden den kan utledes fra (den kompenserte) etterspørselsfunksjonen. WTP er arealet under etterspørselskurven. Med lineære etterspørselskurver er det enkelt å regne ut disse arealene, og vi bruker enkel integralregning.

Vi kan invertere etterspørselskurven slik at vi får pris som funksjon av kvantum:

P = 60−Q.

Det betyr at betalingsvilligheter for en C er 59, for to C 58, osv. Hvor mye er de villig til å betale for Qenheter av C? Svaret er gitt ved arealet under etterspørselskurven:

WTP(Q) = Z Q

0

P(Q)

= Z Q

0

(60−Q)dQ

= 60Q− Q² 2 +c

Q

0

Betalingvilligheten for f.eks. 40, 20 og 19 enheter er gitt ved:

WTP(40) = 60Q− Q² 2 +c

Q

0

= 60·40−40²/2 = 2400−800 +c−c= 1,600 WTP(20) = 60Q− Q²

2 +c

Q

0

= 60·20−20²/2 = 1200−200 +c−c= 1,000 WTP(19) = 60Q− Q²

2 +c

Q

0

= 60·19−19²/2 = 1140−180,5 +c−c= 959,5 Når vi ser på Figure 4 under, så ser vi hvordan arealet lett kan regnes ut ved f.eks.

Q = 40 ved å kombinere arealet av det nederste rektangelet (40 · 20) og trekanten over (40·40/2), som blir 1600. Hvis prisen er 20 vil konsumentoverskuddet bli 800.

Marginal betalingsvillighet er gitt ved f.eks. WTP(20)-WTP(19)=40,5, som nettopp er den (inverse) etterspørselskurven.

Regneeksempel Q= 40−P

Hva blir WTP for kvantum lik 40, 20 og 19 nårQ= 40−P, og hva blir MWTP?

Figur 4: Etterspørselskurve og betalingsvillighet for P = 60−Q

14 Notasjon til tiltaksevaluering og empirisk spesifikasjon

Størrelsene Y¹ og Y⁰ i tiltaksevaluering

StørrelseneY¹ og Y⁰ spiller en viktig rolle i tiltaksevalueringslitteraturen. Vi kan tenke på “1” og “0” som to tilstander; 1 indikerer med tiltak og 0 indikerer uten tiltak. Y¹ viser utfallet (inntekt, helse, formue, forurensning, makroøkonomiske størrelser, etc) med tiltak og Y⁰ viser utfallet uten tiltak, uten å vise til hvem som faktisk har deltatt på tiltak. Y¹ ogY⁰ er altså potensielle utfall, og er de første størrelsene i det som går under betegnelse “potential outcome model” eller “Rubin model”. Y¹ kan være livtidsinntekt med en mastergrad i samfunnsøkonomi, ogY⁰kan være livtidsinntekt uten en mastergrad i samfunnsøkonomi, men for eksempel med en bachelorgrad i samfunnsfag.

Effekten av en mastergrad i samfunnsøkonomi for individikan vi skrive somY_i¹−Y_i⁰. Vi kan ikke observere disse to størrelsene samtid for individ i. Vi er derfor interessert i å estimere en tiltakseffekt: E(Y_i¹−Y_i⁰).

En måte å finne effekten av tiltaket på er å randomisere. En vil da få en kausal tolkning av koeffisienten en er interessert i å estimere. Vi harE(Y_i¹−Y_i⁰) =E(Y_i¹|Di = 1)−(Y_i⁰|D_i = 0) =α₁ fra regresjonenY_i =α₀+α₁D_i+_i, dersom E(_i|D_i) = 0.⁴ Når det er snakk om å finne effekten på inntekt av å ta en mastergrad i samfunnsøkonomi sier det seg selv at randomisering ikke er et aktuelt forskningsdesign. Hovedformålet med empirisk analyse er å kontrollere for utelatte variabler siden disse gir opphav til

4Dersom vi har med andre bakgrunnsvariabler så trenger vi ikke å anta atE(_i|Xi, D_i) = 0, men vi trenger å anta at E(_i|X_i, D_i) =E(_i|X_i). Forklar hvorfor. Vi kan videre spesifisere E(_i|X_i)som en lineær additiv funskjon, dvsE(_i|X_i) =γX_i.