Parametric Portfolio Policies på det skandinaviske aksjemarkedet
En optimeringsmodell som eksponerer seg for risikopremier i aksjemarkedet
Stian Solhaug og Terje Øvereng Moe
Veileder: Tommy Stamland
Selvstendig arbeid, hovedprofil i finansiell økonomi
NORGES HANDELSHØYSKOLE
Dette selvstendige arbeidet er gjennomført som ledd i masterstudiet i økonomi- og administrasjon ved Norges Handelshøyskole og godkjent som sådan. Godkjenningen innebærer ikke at Høyskolen eller sensorer innestår for de metoder som er anvendt, resultater som er fremkommet eller konklusjoner som er trukket i arbeidet.
Bergen, Høst, 2015
Sammendrag
Denne utredningen presenterer en optimeringsmodell der porteføljevektene fastsettes direkte av en funksjon med karakteristikkene selskapsstørrelse, selskapsverdi og momentum.
Modellen ble introdusert av Brandt, Santa-Clara og Valkanov (2009), og kan vise til svært gode resultater på det amerikanske aksjemarkedet. Utredningen tar utgangspunkt i det skandinaviske aksjemarkedet fra 1981-2014, og datagrunnlaget består av 1429 unike selskaper i løpet av tidsperioden.
Utredningens første del presenterer teori og forskning relevant for utredningen. Store deler av denne litteraturen argumenterer for at det eksisterer risikopremier knyttet til karakteristikkene selskapsstørrelse, selskapsverdi og momentum. Resultatene viser at modellen oppnår svært høy risikojustert avkastning ved å utsette seg for disse risikopremiene. Utredningen presenterer også en rekke utvidelser for å ta hensyn til en restriksjon mot å ha negative posisjoner, tidsvarierende risikopremier og transaksjonskostnader. Vi finner at deler av den ekstraordinære avkastningen kan forklares av gearingeffekten fra de negative posisjonene.
Når man justerer for transaksjonskostnader reduseres avkastningen, men modellen oppnår fortsatt betydelig meravkastning sammenlignet med referanseindeksen. Videre analyseres sektoreksponeringen og hvilke risikopremier som gir avkastning på det skandinaviske aksjemarkedet. Resultatene viser tendenser til at det kun eksisterer en verdipremie i vårt investeringsunivers. I perioden 2006 til 2014 ser risikopremiene ut til å være fraværende, og modellen sliter med å oppnå meravkastning denne perioden. Avslutningsvis testes modellens sensitivitet og robusthet. Vi finner at muligheten for å oppnå en størrelsespremie begrenses av utsilingsprosessen, der de 20% minste selskapene utelukkes årlig. Ved å inkludere disse selskapene kommer størrelsespremien tydelig frem, og prestasjonen til modellen forbedres betraktelig.
Denne modellen representerer en ny fremgangsmåte som muliggjør eksponering mot selskapskarakteristikker og risikopremier på en enkel og oversiktlig måte. Etter vår kunnskap er dette første gang modellen har blitt testet på det skandinaviske aksjemarkedet.
Forord
Denne utredningen er skrevet som en avslutning på mastergraden i økonomi og administrasjon ved Norges Handelshøyskole. Masterutredningen er skrevet over et semester og utgjør 30 studiepoeng.
Vi har begge hovedprofil i finansiell økonomi, og bakgrunnen for valg av tema kommer fra vår interesse for porteføljeforvaltning. I denne utredningen har vi bygget videre på kunnskapen vi har tilegnet oss gjennom økonomistudiet, hvor spesielt fag som Kapitalforvaltning, Applied Portfolio Management og Financial Modelling har lagt et godt fundament for utredningen.
Utredningen tar utgangspunkt i et stort datagrunnlag, og implementeringen av modellen har vært omfattende og tidkrevende. I arbeidet med utredningen har vi fordypet oss i en ny optimeringsmodell, og arbeidet har gitt oss en bratt læringskurve, spesielt innenfor oppgaveskriving og databehandling. Alt i alt har dette vært et veldig interessant og givende semester.
Vi vil rette en stor takk til vår veileder Tommy Stamland for avgjørende innspill i valg av problemstilling, og gode og konstruktive tilbakemeldinger underveis i skriveprosessen. Videre vil vi takke familie og venner for støtte underveis i arbeidet.
_____________________________ _____________________________
Stian Solhaug Terje Øvereng Moe
Innholdsfortegnelse
SAMMENDRAG ... 2
FORORD ... 3
INNHOLDSFORTEGNELSE ... 4
FIGURER ... 6
TABELLER ... 7
1. INNLEDNING ... 8
2. TEORI OG RELEVANT LITTERATUR ... 10
2.1 NYTTEFUNKSJON ... 10
2.2 PRISINGSTEORIER OG RISIKOPREMIER ... 11
2.3 MARKEDSEFFISIENSHYPOTESEN ... 16
2.4 INVESTERINGSSTRATEGIER ... 18
3. PORTEFØLJEEVALUERING ... 22
3.1 AVKASTNINGENS DISTRIBUSJONSKARAKTERISTIKKER ... 22
3.2 SIKKERHETSEKVIVALENT ... 23
3.3 SHARPE RATIO ... 23
3.4 INFORMASJONSRATIO ... 24
3.5 KAPPA ... 25
4. PARAMETRIC PORTFOLIO POLICIES ... 26
5. METODE ... 28
5.1 ORIGINALMODELLEN ... 28
5.2 BARE LANGE POSISJONER ... 31
5.3 TIDSVARIERENDE KOEFFISIENTER ... 31
5.4 RULLENDE KOEFFISIENTER ... 32
5.5 TRANSAKSJONSKOSTNADER ... 32
5.6 TRANSAKSJONSKOSTNADER MED REBALANSERINGSGRENSE ... 33
6. DATA ... 35
6.1 UTSILINGSPROSESSEN ... 35
6.2 RENTE ... 36
6.3 TRANSAKSJONSKOSTNADER ... 37
7. RESULTAT ... 39
7.1 ORIGINALMODELLEN ... 40
7.2 UTVIDELSER ... 44
7.3 DELPERIODER OG SEKTOREKSPONERING ... 52
7.4 RISIKOPREMIER ... 56
7.5 OPPSUMMERING AV RESULTATENE ... 59
8. ROBUSTHETSTESTING ... 60
8.1 MODELLENS SENSITIVITET ... 60
8.2 KUN POSITIVE POSISJONER ... 67
8.3 REBALANSERINGSGRENSE ... 68
8.4 ANDRE BEMERKELSER ... 70
9. KONKLUSJON ... 72
REFERANSER ... 74
APPENDIKS ... 83
Figurer
FIGUR 1: SYSTEMATISK OG USYSTEMATISK RISIKO ... 11
FIGUR 2: MARKEDSEFFISIENSPARADOKSET ... 17
FIGUR 3: INVESTERINGSSTRATEGIER ... 18
FIGUR 4: SKJEVHET ... 22
FIGUR 5: KURTOSE ... 23
FIGUR 6: ANTALL SELSKAPER I INVESTERINGSUNIVERSET ... 36
FIGUR 7: KURSUTVIKLINGEN TIL PORTEFØLJENE I PERIODEN 1991-2014. ... 42
FIGUR 8: DIFFERANSE I CE SAMMENLIGNET MED REFERANSEINDEKSEN ... 43
FIGUR 9: REFERANSEINDEKSENS UTVIKLING OG HELNING PÅ TERMINSTRUKTUREN ... 45
FIGUR 10: KURSUTVIKLINGEN TIL PORTEFØLJE MED 2 ÅRS RULLENDE VINDU ... 48
FIGUR 11: KOEFFISIENTENES UTVIKLING... 53
FIGUR 12: AVKASTNINGEN FRA HVER ENKEL KOEFFISIENT... 57
FIGUR 13: INNDELING I KVANTILER BASERT PÅ KARAKTERISTIKKENE ... 58
FIGUR 14: KURSUTVIKLINGEN TIL PORTEFØLJENE MED ULIK OPPSTARTSTIDSPUNKT. ... 64
FIGUR 15: DIFFERANSE I CE SAMMENLIGNET MED REFERANSEINDEKSEN ... 67
FIGUR 16: KURSUTVIKLINGEN TIL PORTEFØLJENE MED REBALANSERINGSGRENSE ... 69
FIGUR 17: DIFFERANSE I CE SAMMENLIGNET MED REFERANSEINDEKSEN ... 69
Tabeller
TABELL 1: ORIGINALMODELLEN ... 40
TABELL 2: PORTEFØLJE MED KUN POSITIVE POSISJONER ... 44
TABELL 3: PORTEFØLJE MED TIDSVARIERENDE KOEFFISIENTER ... 46
TABELL 4: PORTEFØLJE MED RULLENDE KOEFFISIENTER ... 47
TABELL 5: PORTEFØLJE MED FASTE OG FALLENDE TRANSAKSJONSKOSTNADER ... 50
TABELL 6: PORTEFØLJE MED TRANSAKSJONSKOSTNADER OG REBALANSERINGSGRENSE ... 51
TABELL 7: VEKT OG AVKASTNING I SEKTORER I PERIODEN FØR DOTCOM-KRISEN ... 53
TABELL 8: VEKT OG AVKASTNING I SEKTORER UNDER DOTCOM-KRISEN ... 54
TABELL 9: VEKT OG AVKASTNING I SEKTORER I PERIODEN MELLOM KRISENE ... 54
TABELL 10: VEKT OG AVKASTNING I SEKTORER UNDER FINANSKRISEN ... 55
TABELL 11: VEKT OG AVKASTNING I SEKTORER I PERIODEN ETTER FINANSKRISEN ... 55
TABELL 12: HOVEDMODELLEN MED VARIERENDE RISIKOAVERSJON ... 60
TABELL 13: PORTEFØLJER MED ULIK OPTIMERINGSFUNKSJON ... 62
TABELL 14: HOVEDMODELLEN MED ULIKE OPPSTARTSTIDSPUNKT ... 63
TABELL 15: HOVEDMODELL INKLUDERT DE 20% MINSTE SELSKAPENE ... 65
TABELL 16: PORTEFØLJE UTEN EKSTREME OBSERVASJONER ... 66
TABELL 17: HOVEDMODELLEN MED BARE LANGE POSISJONER ... 67
TABELL 18: HOVEDMODELLEN MED REBALANSERINGSGRENSE ... 68
TABELL 19: ORIGINALMODELLEN (FULLSTENDIG) ... 83
TABELL 20: PORTEFØLJE MED KUN POSITIVE POSISJONER (FULLSTENDIG) ... 84
TABELL 21: PORTEFØLJE MED TIDSVARIERENDE KOEFFISIENTER (FULLSTENDIG) ... 85
TABELL 22: PORTEFØLJE MED RULLENDE KOEFFISIENTER (FULLSTENDIG) ... 86
TABELL 23: PORTEFØLJE MED FASTE OG FALLENDE TRANSAKSJONSKOSTNADER (FULLSTENDIG) ... 87
TABELL 24: PORTEFØLJE MED TRANSAKSJONSKOSTNADER OG REBALANSERINGSGRENSE (FULLSTENDIG) ... 88
TABELL 25: HOVEDMODELLEN MED VARIERENDE RISIKOAVERSJON (FULLSTENDIG) ... 89
TABELL 26: PORTEFØLJER MED ULIK OPTIMERINGSFUNKSJON (FULLSTENDIG) ... 90
TABELL 27: HOVEDMODELLEN MED ULIKE OPPSTARTSTIDSPUNKT (FULLSTENDIG) ... 91
TABELL 29: HOVEDMODELLEN INKLUDERERT DE 20% MINSTE SELSKAPENE (FULLSTENDIG)... 92
TABELL 28: HOVEDMODELLEN UTEN EKSTREME OBSERVASJONER (FULLSTENDIG) ... 93
TABELL 30: HOVEDMODELLEN MED REBALANSERINGSGRENSE (FULLSTENDIG) ... 94
TABELL 31: HOVEDMODELLEN MED BARE LANGE POSISJONER (FULLSTENDIG) ... 95
TABELL 32: VEKT OG AVKASTNING I INDUSTRISEKTOREN I PERIODEN FØR DOTCOM-KRISEN ... 96
TABELL 33: VEKT OG AVKASTNING I INDUSTRISEKTOREN UNDER DOTCOM-KRISEN... 96
TABELL 34: VEKT OG AVKASTNING I INDUSTRISEKTOREN I PERIODEN MELLOM KRISENE ... 96
TABELL 35: VEKT OG AVKASTNING I INDUSTRISEKTOREN UNDER FINANSKRISEN ... 96
TABELL 36: VEKT OG AVKASTNING I INDUSTRISEKTOREN I PERIODEN ETTER FINANSKRISEN ... 97
1. Innledning
Denne utredningen presenterer en optimeringsmodell som maksimerer investorens nytte gjennom å eksponere seg for risikofaktorer knyttet til selskapsstørrelse, selskapsverdi og momentum. Modellen ble introdusert av Brandt, Santa-Clara og Valkanov i artikkelen
«Parametric Portfolio Policies: Exploiting Characteristics in the Cross-Section of Equity Returns» i 2009. På amerikanske data i perioden 1974-2006 ga modellen svært høy risikojustert avkastning.
Hovedformålet med denne utredningen er å undersøke hvordan denne modellen gjør det på det skandinaviske aksjemarkedet i perioden 1981 til 2014.
Vi tar utgangspunkt i fremgangsmåten til Brandt et al. (2009) fordi den går innom flere interessante og dagsaktuelle temaer i finans. Det er stor diskusjon om aktiv forvaltning er lønnsomt, og mye litteratur er skrevet om at fond og porteføljemodeller sliter med å oppnå persistent risikojustert meravkastning etter transaksjonskostnader (Shukla, 2004; Petajisto, 2013). DeMiguel, Garlappi, og Uppal (2009) presenterte resultater til 14 ulike optimeringsmodeller. Deres resultater viste at ingen av modellene klarte konsistent å slå den likevektede 1/N porteføljen. De avsluttet artikkelen med å henvise til Brandt et al. (2009) som en modell med potensiale til å gi persistent meravkastning over passive porteføljer.
Videre har det blitt mye fokus på risikopremier i aksjemarkedet siden publiseringen av Fama- French sin trefaktormodell. Det har blant annet blitt funnet at fond med persistent meravkastning mot referanseindeksen ofte kan forklares av eksponeringen mot risikofaktorene knyttet til selskapsstørrelse, selskapsverdi og momentum (Carhart, 1997). Temaet er fortsatt svært dagsaktuelt, og senest den 25.11.2015 fikk Oljefondet kritikk i Dagens Næringsliv for å ikke ha fulgt rådet fra et «professorutvalg» fra 2009, om å utsette seg for systematiske risikofaktorer i aksjemarkedet. De mener at Oljefondet har gått glipp av mye avkastning ved å ikke ha fulgt dette rådet.
Utredningen presenterer en modell som, med vår kunnskap, ikke har blitt testet på det skandinaviske aksjemarkedet. Denne fremgangsmåten gjør det mulig å optimere over et stort antall selskaper, og den klarer å ta hensyn til et varierende antall selskaper gjennom tidsperioden. Modellen er lett anvendelig og kan enkelt tilpasses investorens egne preferanser.
Den kan også tilpasses andre markeder enn aksjemarkedet, som for eksempel obligasjons- og valutamarkedet.
Utredningen er delt opp i 9 ulike kapitler, der kapittel 2 presenterer relevant litteratur og forskning. Kapittel 3 introduserer prestasjonsmålene som blir benyttet i evalueringen av modellen. Videre gir kapittel 4 en nærmere presentasjon av artikkelen «Parametric Portfolio Policies: Exploiting Characteristics in the Cross-Section of Equity Returns» av Brandt et al.
(2009). I kapittel 5 og 6 presenteres metoden og datagrunnlaget, før kapittel 7 gir en presentasjon og analyse av resultatene. I kapittel 8 ønsker vi å teste hvor robuste resultatene er gjennom å endre ulike forutsetninger for modellen. Oppgaven blir avrundet med en konklusjon i kapittel 9.
2. Teori og relevant litteratur
I dette kapitlet gir vi først en kort presentasjon av sentral porteføljeteori for denne utredningen.
Deretter følger en gjennomgang av viktige aspekter og resultater for ulike investeringsstrategier.
2.1 Nyttefunksjon
En vanlig fremgangsmåte i porteføljeoptimering er å kvantifisere en investors nytte ved å bruke nyttefunksjoner som beskriver bytteforholdet mellom avkastning og risiko (Bodie, Kane, & Marcus, 2014). Den enkleste formen for nyttefunksjoner består av avkastning (Rp), volatilitet (σ) og risikoaversjon (γ).
𝑈 = 𝐸(𝑅𝑝) − 𝛾 2𝜎2
I dette tilfellet vil risikoaversjonen beskrive investorens preferanser for avkastning og risiko i porteføljen. Bodie, Kane & Marcus (2014) tolker denne nyttefunksjonen med at det må eksistere en markedspremie for å gi risikoaverse investorer incentiv til å holde aksjer istedenfor risikofri rente. Ut fra historiske data har aksjer gitt veldig høye markedspremier, noe som indikerer at den historiske investor har hatt en skyhøy risikoaversjon. Dette fenomenet er blitt kalt Equity Premium Puzzle (Mehra & Prescott, 1985).
Et forhold som vil påvirke investorens nytte er tidshorisonten for investeringen. Hvordan nytten påvirkes avhenger av hvordan man definerer risiko. Er risiko definert ved et årlig standardavvik eller sannsynlighet for et gitt tap, vil risikoen reduseres ved en lengre tidshorisont (Kritzman & Rich, 1998). Denne effekten kalles tidsdiversifisering, men dette temaet er omdiskutert. Haggstrom (2010) argumenterer for at det er den totale volatiliteten for hele tidsperioden som er mest relevant for en investor, og denne øker utover en lengre tidshorisont. En lang tidshorisont vil forsterke den totale volatiliteten på både positive og negative utfall (Kritzman & Rich, 1998; Vanguard Investment Counseling & Research, 2008).
2.2 Prisingsteorier og risikopremier 2.2.1 Kapitalverdimodellen
På 1960-tallet kom Sharpe, Lintner og Mossin, helt uavhengig av hverandre, frem til det som i dag er kjent som kapitalverdimodellen (CAPM) (Bodie et al., 2014). Denne modellen baserer seg på Markowitz sitt tidligere arbeid om diversifisering og valget av en effisient portefølje (Bodie et al., 2014). En portefølje er effisient når standardavviket er minimert til en gitt avkastning (Markowitz, 1952). Diversifisering handler om spredning av risiko ved å investere i forskjellige markeder som forventes å ha ulik korrelasjon. Denne mekanismen forklares av Store Talls lov1 (Store Norske Leksikon). Denne diversifiseringseffekten vil redusere risikoen til porteføljen uten å ofre forventet avkastning.
𝑟𝑝 = 𝑟𝑓+ 𝛽𝑝(𝑟𝑚− 𝑟𝑓)
CAPM forklarer prisingen av risikable aktiva gjennom forholdet til risiko og forventet avkastning. Risikoen til en portefølje består av to komponenter, systematisk og usystematisk risiko. Systematisk risiko representerer den ikke-diversifiserbare risikoen ved å holde markedsporteføljen. I CAPM beskrives den systematiske risikoen gjennom beta, der beta defineres som porteføljens kovarians til markedet. Den usystematiske risikoen er den risikoen til aktivumet som ikke er korrelert med markedsporteføljen. Lintner (1965) presiserer at CAPM kun gir kompensasjon for å holde systematisk risiko, og begrunner dette med at den usystematiske risikoen kan diversifiseres bort.
Figur 1: Systematisk og usystematisk risiko
1 Ved et stigende antall uavhengige forsøk av et tilfeldig lotteri, vil gjennomsnittet gå mot forventning.
Dimson, Marsh & Staunton (2011) analyserte markedspremiene i 19 land fra 1900 til 2010, og fant at alle landene hadde store og positive premier. De viste også til en fallende trend i risikopremiene i slutten av tidsperioden. Det er stor diskusjon om hvorfor disse premiene oppstår, og det finnes mange ulike forklaringer. En forklaring handler om troen på at det er risikopremier i aksjemarkedet (Fama & French, 1993; Liew & Vassalou, 1999; Vassalou M. , 2000). Dette innebærer at investorer er risikoaverse og villig til å ofre avkastning for å sitte på
«trygge» aksjer, for eksempel favorisering av motsykliske aksjer eller aksjer med lav volatilitet. En annen forklaring for premiene baserer seg på irrasjonell atferd i aksjemarkedet.
Dette kan komme av at aksjemarkedet systematisk over- eller underreagerer på ulike hendelser som nyheter og konjunktursvingninger (Bondt & Thaler, 1985; Lakonishok, Shleifer, &
Vishny, 1994; Haugen & Baker, 1996; Daniel & Titman, 1997). Andre forklaringer begrunner premiene med «data-dredging» eller «overfitting» (Lo & MacKinlay, 1990). Data-dredging handler om hvordan valget av en statistisk test kan påvirkes av forskerens kunnskap om datagrunnlaget. Et annet eksempel er at man velger ut et datagrunnlag med spesifikke karakteristikker. Dette er med å svekke troverdigheten, og modellen kan få urealistisk høy forklaringsgrad og signifikansverdi. Data-dredging er et eksempel på hvorfor akademikere foretrekker at hypotesen kommer før analysen (Dimson & Marsh, 1990). Et eksempel på overfitting kan være at en modell fungerer godt på det spesifikke datagrunnlaget, men at modellen ikke fungerer når man tester dette framover i tid eller på et annet datagrunnlag (Bailey, Ger, Prado, Sim, & Wu, 2014; Bailey, Borwein, Prado, & Zhu, 2014). Overfitting kan skyldes at datagrunnlaget har større kompleksitet enn det modellen tar hensyn til. Andre feilkilder kan være støy, tilfeldigheter eller et lite datagrunnlag.
2.2.2 Fama & Frenchs trefaktormodell
I en utvidelse av CAPM presenterte Fama & French (1992) en trefaktormodell som økte forklaringsgraden(R2) fra 0.7 til 0.95 (Fama Jr, 2006). Denne utvidelsen forklarer prisingen i aksjemarkedet gjennom faktorene markedspremie, selskapsstørrelse(SMB) og selskapsverdi(HML)2. Fama & French (1992) forsvarer premiene knyttet til selskapsstørrelse og selskapsverdi med at de representerer konkursrisiko. Trefaktormodellen er definert som følgende:
2 Small Minus Big og High Minus Low
𝑟𝑝,𝑡− 𝑟𝑓,𝑡 = 𝛼𝑡+ 𝛽(𝑟𝑚,𝑡 − 𝑟𝑓,𝑡) + 𝑠 ∗ 𝑆𝑀𝐵𝑡+ ℎ ∗ 𝐻𝑀𝐿𝑡+ 𝜀𝑡
SMB-faktoren måler meravkastningen til små selskaper i forhold til store selskaper, der denne meravkastningen ofte blir referert til som størrelsespremie (Fama & French, 1992). Denne faktoren skyldes at mindre selskaper har en tendens til å gi høyere avkastning enn større selskaper (Fama & French, 1992; Banz, 1981). En forklaring på denne meravkastningen er knyttet til at mindre selskaper ofte er mindre diversifiserte, og dermed har dårligere evne til å takle negative økonomiske hendelser (Tuck School of Business at Dartmouth, 2003).
Størrelsespremien kan også være med å inkludere en likviditetspremie i aksjemarkedet, der det er en tendens at mindre selskaper har lavere likviditet enn større selskaper (Pástor &
Stambaugh, 2003)
HML-faktoren måler meravkastningen til verdiselskaper over vekstselskaper, der denne meravkastningen ofte blir kalt verdipremie (Fama & French, 1992). Denne faktoren blir målt gjennom forholdet mellom bokført egenkapital (B) og markedsverdi (M) på egenkapitalen. Et verdiselskap er et selskap som har en høy B/M, mens et vekstselskap har lav B/M.
Meravkastningen knyttet til verdiselskaper kan forklares med at disse selskapene forventes å gjøre det dårligere enn vekstselskaper i økonomiske nedgangstider (Fama & French, 1992;
Vassalou, 2003). I en dypere analyse av datagrunnlaget og fremgangsmåten til Fama & French (1992) finner Knez & Ready (1997) at størrelsespremien forsvinner ved å fjerne de 1% mest ekstreme observasjonene. De viser også at størrelsespremien kan forklares av de 16 månedene med mest ekstreme koeffisienter. Som nevnt tidligere, argumenter Fama & French (1992) med at størrelses- og verdipremien er knyttet til konkursrisiko. Vassalou & Xing (2004) finner at størrelses- og verdipremien delvis forklares av denne konkursrisikoen. De viser også til at selskapsstørrelse forteller mer om konkursrisikoen enn forholdet mellom B/M.
Arbel & Strebel (1983) og Maug & Naik (1996) angriper Fama & French sin argumentasjon om at det er risikopremier i aksjemarkedet. Arbel & Strebel (1983) forklarer størrelsespremien gjennom agentteori, og hevder at mindre selskaper er vanskelige investeringsobjekter fordi det er lite tilgjengelig informasjon om disse selskapene. Maug & Naik (1996) forklarer også størrelsespremien gjennom agentteori og irrasjonell atferd. De mener at investorer mangler incentiv til å investere i mindre selskaper på grunn av at de ikke er inkludert i indeksporteføljer.
Det finnes støtte fra flere ulike studier om at investorer også viser irrasjonell atferd gjennom å systematisk feilprise verdi- og vekstselskaper (Porta, Lakonishok, Shleifer, & Vishny, 1997;
Skinner & Sloan, 2000). De nevner at en vanlig feilprising er å underprise (overprise) fremtidig inntjening for verdiselskaper (vekstselskaper).
En annen kritikk til Fama & French omhandler data-dredging (Black, 1993). Fama & French (1992) fant risikopremiene ved å lete etter forklaringer for meravkastning i ettertid. Kritikken argumenterer for at man alltid vil finne en forklaring hvis man leter lenge nok (Black, 1993).
2.2.2.1 Momentum
Etter publiseringen av Fama & Frenchs trefaktormodell fant Jegadeesh og Titman (1993) meravkastning ved å overvekte(undervekte) selskaper som har overprestert (underprestert) i forhold til referanseindeksen. Denne meravkastningen blir kalt momentumeffekten.
Momentumeffekten tyder på en svak form for markedseffisiens, og det er ingen klar teoretisk begrunnelse for denne effekten. Likevel har det blitt vanlig å inkludere en momentumfaktor i akademiske studier (Norges Bank, 2009). Carhart (1997) utvidet trefaktormodellen gjennom å introdusere en momentumfaktor (PR1YR)3.
𝑟𝑝,𝑡 − 𝑟𝑓,𝑡 = 𝛼𝑡+ 𝛽(𝑟𝑚,𝑡− 𝑟𝑓,𝑡) + 𝑠 ∗ 𝑆𝑀𝐵𝑡+ ℎ ∗ 𝐻𝑀𝐿𝑡+ 𝑢 ∗ 𝑃𝑅1𝑌𝑅𝑡+ 𝜀𝑡
Rasjonelle investorer argumenterer for at meravkastningen fra momentumstrategier kommer fra en risikopremie i aksjemarkedet. Dette begrunnes med at forrige periodes vinnere blir sett på som mer risikable enn taperne (Næs et al., 2008; Døskeland, 2014). Selv om det finnes forklaringer på momentum som en risikopremie, argumenterer mesteparten av litteraturen for at momentumeffekter er et tegn på irrasjonell atferd og et lite effisient aksjemarked (Jegadeesh
& Titman, 1993; Barberis, Schleifer, & Vishny, 1998; Grinblatt & Han, 2005). Noen av begrunnelsene for momentum kan være at man tror aksjemarkedet reagerer for lite på nyheter eller at aksjemarkedet vil få en forsinket overreaksjon. Det har blitt vist til at investorer kan ha en tendens til å kvitte seg med stigende aksjer for tidlig og beholde fallende aksjer for lenge (Grinblatt & Han, 2005).
2.2.2.2 Forskning på risikofaktorene i Norge og Skandinavia
Næs et al. (2008) undersøkte hvilke drivkrefter som systematisk påvirker kursutviklingen på Oslo Børs i perioden 1980 til 2006. De analyserte om selskapsstørrelse, selskapsverdi og momentum har vært relevante risikofaktorer i norsk sammenheng. Deres resultater viser at det
3 Prior 1-year Momentum
bare er selskapsstørrelse som har gitt meravkastning på Oslo Børs. Masterutredningen til Vinther (2008) analyserte prestasjonen til verdi- og vekstselskaper i det nordiske aksjemarkedet fra 1988 til 2006. Vinther fant signifikante verdipremier i alle de nordiske aksjemarkedene, der Sverige hadde størst avkastningsforskjeller mellom verdi- og vekstselskaper.
Solheim og Jensen (2011) undersøkte i deres masterutredning om momentum har eksistert i det norske aksjemarkedet over perioden 1998-2009. De konstruerte totalt 16 porteføljer hvor de rangerte aksjene avkastning over en 3, 6, 9, og 12 måneders periode. Aksjene ble holdt de påfølgende 3, 6, 9, og 12 månedene. Av de 16 konstruerte porteføljene ga 15 positiv avkastning, men med 90% sikkerhet var det kun 6 av porteføljene som var signifikant forskjellig fra null. Solheim og Jensen konkluderte med at deres resultater ikke var tilstrekkelige for å kunne forkaste nullhypotesen, men resultatene viser tegn til at momentum kan ha eksistert i dette markedet. De nevner også at deres resultater er i tråd med Rouwenhorst (1998) som forsket på momentum i Europa, og masteroppgavene til Kloster-Jensen (2006) og Myklebust (2007).
Det har også blitt testet om momentumeffekten eksisterer i det nordiske aksjemarkedet, blant annet i masterutredningen til Annerstedt og Schönström (2006). Ved å benytte metoden til Jegadeesh og Titman (1993) undersøkte de lønnsomheten til en momentumstrategi i det nordiske aksjemarkedet. Undersøkelsen deres baserer seg på månedlige aksjekurser i perioden 1991 til 2006. De fant at en momentumstrategi med en investeringshorisont på 3-12 måneder gir meravkastning i alle de nordiske aksjemarkedene. Strategier med en kortere investeringshorisont viste seg å gi signifikante negative momentumavkastninger. De konkluderer med at hvis momentumstrategier er lønnsomme gir dette klare indikasjoner på et lite effisient aksjemarked.
2.3 Markedseffisienshypotesen
Kapitalmarkedet defineres som effisient hvis prisene på finansielle eiendeler reflekteres av all tilgjengelig informasjon til enhver tid (Fama E. , 1970). Dette forstås ved at all informasjon allerede vil være priset inn i aksjekursen. Når ny informasjon ankommer vil denne øyeblikkelig bli priset inn i aksjekursen, og det vil ikke være mulig å tjene penger på informasjonen. Når et marked er effisient vil prisutviklingen ha en «Random Walk» (Fama E.
F., 1965).
Fama (1970) definerer begrepet tilgjengelig informasjon i tre ulike kategorier. Svak form for effisiens innebærer at prisene kun reflekteres av historiske aksjekurser. Dette betyr at historiske aksjekurser ikke kan benyttes for å predikere fremtidige aksjepriser ettersom dette allerede er priset inn i aksjekursen, og teknisk analyse vil ikke føre til meravkastning. Semi- sterk form for effisiens betyr at aksjeprisene reflekteres av historiske priser og all offentlig informasjon. I dette tilfellet er det verken lønnsomt med fundamental eller teknisk analyse (Fama E. F., 1995).Ved sterk form for effisiens vil aksjekursene reflekteres av historiske priser, offentlig informasjon og innsideinformasjon. I det tilfellet vil det være umulig å skape meravkastning med innsideinformasjon, teknisk- og fundamentalanalyse (Fama E. F., 1965).
Denne markedseffisienshypotesen skaper et paradoks (Grossman & Stiglitz, 1980). Det vil ikke være noen som ønsker å analysere aksjer hvis dette ikke er lønnsomt. Og når ingen analyserer kapitalmarkedet, vil ikke aksjeprisene reflekteres av all tilgjengelig informasjon.
For at noen skal analysere kapitalmarkedet må det finnes investorer som tror på et lite effisient marked, og som tror de kan skape meravkastning. Dette innebærer at et kapitalmarked kun er effisient hvis det finnes investorer som mener kapitalmarkedet ikke er effisient. Grossman &
Stieglitz (1980) løste dette paradokset med et modifisert begrep av effisiens;
«Det er mulig å få avkastning ved å lete etter brudd på markedseffisiens, men meravkastningen blir opphøyd av kostnadene ved å finne informasjonen og utnytte
feilprisingen».
Denne modifikasjonen medfører at gjennomsnittsforvalteren kun tjener nok til å dekke kostnadene. Dette åpner muligheten for at de aller beste forvalterne vil kunne tjene mye, mens de aller fleste vil tape (Høegh-Krohn, 2015). Ved en høyere grad av effisiens, kreves det mer informasjon for å kunne skape meravkastning. Det er vanlig at de beste forvalterne typisk lever
på feilvurderinger og spekulasjoner utført av privatpersoner. Konklusjonen vil være at aktiv forvaltning kan være lønnsomt, men er en krevende prosess (Høegh-Krohn, 2015).
Figur 2: Markedseffisiensparadokset
Markedseffisienshypotesen avgjør i stor grad valget mellom aktiv og passiv forvaltning.
Passiv forvaltning vil si at man holder en portefølje som tilsvarer referanseindeksen. For at noen skal kunne overvekte et selskap, må andre ha en undervekt i samme selskap. Da vil summen av aktiv og passiv forvalting tilsvare markedsvektene. Dette impliserer at gjennomsnittsinvestoren holder den passive porteføljen, og at aktiv forvaltning i gjennomsnitt ikke vil kunne skape meravkastning. Dette kalles for et nullsum-spill. Tar man høyde for forvaltningskostnader er aktiv forvaltning faktisk et negativsum-spill (Døskeland, 2014).
Det er mulig å tjene penger på aktiv forvaltning, men historien har vist at forvaltere sliter med å skape systematisk meravkastning over tid (Shukla, 2004). Valget mellom aktiv og passiv forvaltning handler som sagt om investorens syn på markedseffisienshypotesen, som sier at i det fullstendig effisiente kapitalmarkedet vil det være umulig å slå referanseindeksen (Fama E. F., 1965).
2.4 Investeringsstrategier
Markedseffisienshypotesen understreker at aktiv forvaltning er vanskelig. Forskning underbygger dette med å presisere at fond og optimeringsmodeller sliter med å oppnå meravkastning (Goodwin, 1998; Cochrane, 1999, DeMiguel et al., 2009; Petajisto, 2013), og det er stor debatt om aktiv forvaltning er lønnsomt. I denne debatten er det viktig å skille mellom ulike investeringsstrategier innen aktiv forvaltning. Noen viktige forhold som er med på å forme investeringsstrategien er hvordan porteføljen rebalanseres, dens strategiske allokering, taktiske allokering og aksjeseleksjon. I dette delkapitlet ønsker vi derfor å presentere konkrete investeringsstrategier og deres resultater knyttet opp mot disse aspektene.
Figur 3: Investeringsstrategier
Rebalansering
En rebalanseringsstrategi innebærer at man må ta stilling til hvilke tiltak som skal utføres når porteføljevektene endrer seg. Her kan man dele opp i tre ulike strategier (Døskeland, 2014).
Ved en hold-strategi vil man fortsette å holde den aktuelle porteføljen, uavhengig av hvordan porteføljen endrer seg. Et annet alternativ er kjøpe(selge) seg inn i selskaper som er i oppgang (nedgang), altså en medsyklisk strategi. Det motsatte av dette er en motsyklisk strategi, hvor en kjøper(selger) selskaper som går dårlig(bra).
I praksis er en rebalanseringsstrategi ofte en kombinasjon av en hold- og motsyklisk strategi (Døskeland, 2014). Da vil man holde transaksjonskostnadene og rebalanseringen nede ved å vente til porteføljevektene er utenfor et bestemt intervall før man rebalanserer (Magill &
Constantinides, 1976). Oljefondet og Folketrygdfondet har vist at en slik kombinasjonsstrategi har vært lønnsom. Dette skyldes at aksjemarkedet viser tendenser til å være mean-reversion (Poterba & Summers, 1988). Meravkastningen fra en slik rebalanseringsstrategi er langt fra
Investeringsstrategier
Rebalansering Strategisk allokering Taktisk allokering Seleksjon
risikofri. Dette skyldes at man investerer i selskaper som er i nedgang, og som i verste fall går konkurs.
Strategisk allokering
Strategisk allokering er generelt definert som den langsiktige fordelingen mellom de ulike aktivaklassene og markedene (Sharpe, 1992). Å bestemme den strategiske allokeringen er en viktig avgjørelse som former porteføljens avkastning og risiko. Ibbotson & Kaplan (2000) viste at hele 90% av variansen til avkastningen blir bestemt av denne allokeringen. De viste også at allokeringen forklarer 40% av differanseavkastningen mellom fond, og at forskjellen mellom benchmark og gjennomsnittlig avkastning over alle fond kan beskrives 100% av allokeringsbeslutningen.
Carhart (1997) finner at fond med persistent meravkastning ofte kan forklares av eksponering mot risikofaktorene knyttet til selskapsstørrelse, selskapsverdi og momentum. Videre viste Carhart (1997) at risikopremier ofte er signifikante over lengre tidshorisonter, men at de kan forsvinne ved kortere tidsintervall. Blitz (2011) argumenterer for at man bør drøfte om risikopremier skal tas inn i valget av den strategiske allokeringen, og hvordan man vil utsette seg for disse ved allokeringsvalget. Et annet argument for å ta inn eksponering av risikopremier i allokeringsvalget er at man lettere kan kontrollere porteføljen i forhold til ønsket risiko.
Taktisk allokering
Taktisk allokering handler om å time markedet gjennom rotasjonsstrategier i blant annet aktivaklasser, sektorer, ulike risikopremier og land (Høegh-Krohn, 2015). Dette er en svært krevende prosess som innebærer stor risiko og krever høy grad av prediksjonsevne for å lykkes. Det har vist seg å være vanskelig å skape systematisk risikojustert merverdi over en lengre periode (Brinson, Singer, & Beebower, 1991). Liew & Vassalou (1999) presenterte bevis på at desilporteføljer med faktorene SMB og HML kunne være med å forutse fremtidig bruttonasjonalprodukt i både oppgangs- og nedgangstider. De argumenterer for at funnene deres støtter teorien om underliggende risikopremier, og at disse premiene inneholder informasjon om hvordan økonomien vil utvikle seg i fremtiden. Videre viser Liew & Vassalou (1999) at selskapenes karakteristikker holder seg stabile over tid. De finner at SMB, HML og
WML4 er økonomisk og statistisk signifikante i de fleste landene, og at HML og SMB gir høyest avkastning i de mest likvide markedene.
Vassalou (2000) viste at SMB- og HML-faktoren inneholder informasjon relatert til nyheter rundt bruttonasjonalproduktet. Dette ble videreutviklet av Cooper, Gulen og Vassaluo (2001) hvor de undersøkte om de makroøkonomiske variablene rente, dividende, konkurspremie og terminpremie kan forklare avkastningen i desilporteføljer inndelt etter selskapsstørrelse og selskapsverdi. Med et datagrunnlag fra 1963 til 1998 finner de tydelig sammenheng mellom informasjon i de makroøkonomiske variablene og porteføljer med selskapsstørrelse. Ved å handle på denne strategien fant man høy meravkastning. De fant en svakere sammenheng mellom avkastning og selskapsverdi. Videre konkludere de med at variabler relatert til rente og konkurspremie spår avkastningen i desilporteføljene best. De finner at makrovariablenes prediksjonsevne på faktorene SMB og HML er sterkt påvirket av fatningen til økonomien.
Deres resultater viser at HML gir høyere avkastning i nedgangstider enn i oppgangstider, mens SMB gir høyest avkastning i oppgangstider. Cooper et al. (2001) konkluderer med at det er tidsvarierende risikopremier i henhold til SMB og HML. Ferreira & Gama (2010) viste at korrelasjonen mellom sektorer er tidsvarierende, og at sektorer er mer korrelert i dårlig tider enn i gode tider. Dette gjør det spesielt viktig å skille mellom langsiktige korrelasjoner og krisekorrelasjoner.
Seleksjon
Aksjeseleksjon handler om å avgjøre hvilke aksjer man skal satse på innenfor de valgte markedene og sektorene. En fremgangsmåte for å finne vinneraksjene er å lage et rammeverk for å analysere selskapenes kriterier på en systematisk og rasjonell måte. Disse kriteriene kan for eksempel være selskapets tema, verdiskapning, verdsettelse, resultat og sentiment (Høegh- Krohn, 2015). Ved en aksjeseleksjon vil man holde en over- eller undervekt i aksjene i forhold til referanseporteføljen. Dette vil være med på å skape usystematisk risiko. For at seleksjon skal være lønnsomt, må man derfor få ekstra avkastning som kan forsvare den ekstra usystematiske risikoen. Petajisto (2013) finner at det gjennomsnittlige fondet ikke klarer å oppnå persistent meravkastning etter transaksjonskostnader. Videre viser Petajisto (2013) at de mest aktive fondene innen aksjeseleksjon klarer å skape meravkastning.
4 Winners Minus Losers
Abarbanell & Bushee (1998) oppnår meravkastning gjennom fundamental analyse, selv etter å ha justert for størrelses- og markedsfaktoren. Store deler av meravkastningen kommer av at denne fundamentalanalysen klarer å forutsi fremtidige resultatnyheter. Dette samsvarer med at analysen på fundamentale verdier i stor grad handler å forutsi fremtidige resultat og kontantstrøm. Barber, Lehavy, McNichols & Trueman (2001) undersøker om man kan få meravkastning ved å følge kjøps- og salgsanbefalinger fra analytikere på Wall Street i perioden 1986 til 1996. Risikojusterte prestasjonsmål viser at porteføljen basert på disse anbefalingene taper mot referanseindeksen etter transaksjonskostnader. Masterutredningen av Fagerli og Hole (2011) brukte en lignende metode med kjøpsanbefalinger på Oslo Børs i perioden 2009 til 2011. De brukte et rammeverk med Treynor-Black modellen og anbefalinger fra DNB Markets. De fant at porteføljen ga høyere avkastning sammenlignet med referanseindeksen etter transaksjonskostnader, men at porteføljen ble slått av en enkel likevektet strategi (1/N).
Det finnes ofte enklere seleksjonsprosesser enn fundamental analyse. Dette kan være en strategi der man investerer i selskaper med stort vekstpotensial, dividendeselskaper eller teknisk analyse. Litzenberger & Ramaswamy (1982) finner en positiv korrelasjon mellom dividende og meravkastning «ex-ante». Dette samsvarer blant annet med Rozeff (1984) og Fama & French (1988).
Forskning har også vist at teknisk analyse er lønnsomt. Det har blitt funnet positiv korrelasjon mellom absoluttendringer i aksjekursen og endringer i handelsvolumet (Epps, 1975; Smirlock
& Starks, 1985). Rogalski (1978) konkluderte med at aksjepris og handelsvolum ga mer innsikt over fremtidig kursutvikling enn aksjekursen alene. Pruitt & White (1988) viste en teknisk handlingsstrategi som ga risikojustert meravkastning, selv etter justering for transaksjonskostnader opp til 2 % for hver handel.
3. Porteføljeevaluering
I dette kapitlet presenteres ulike prestasjonsmål som benyttes for å vurdere modellens resultater. Vi ønsker å benytte de samme prestasjonsmålene som benyttet av Brandt et al.
(2009). I tillegg ønsker vi å legge til noen prestasjonsmål som vurderer avkastning og risiko annerledes.
3.1 Avkastningens distribusjonskarakteristikker
De ulike prestasjonsmålene er bygget under ulike forutsetninger rundt avkastningens distribusjonskarakteristikker. For å kunne finne det best passende prestasjonsmålet er det viktig at man kjenner til og vurderer disse distribusjonsmomentene. De to første distribusjonsmomentene er avkastningens gjennomsnitt og standardavvik. Avkastningens gjennomsnitt kan måles på flere måter. To vanlige metoder er å benytte aritmetisk eller geometrisk gjennomsnitt. For å måle historisk avkastning vil det geometriske gjennomsnittet være best beskrivende. Det geometriske snittet representerer den faktiske vekstraten med rentes-rente-effekten. I denne utredningen benyttes aritmetisk gjennomsnitt for at man lettere kan sammenligne mot resultatene til Brandt et al. (2009). Standardavviket måler størrelsen på spredningen i distribusjonen.
Skjevhet representerer tredjemomentet i distribusjonen, og beskriver en asymmetrisk distribusjon og hvilken retning observasjonene heller mot (Li, 1999). En negativ skjevhet indikerer at den venstre halen til distribusjonen er lengre og tykkere enn den høyre. Dette tyder på at massen er på den høyre siden i distribusjonen (Li, 1999). Hvis distribusjonen har en negativ skjevhet, vil standardavviket kunne undervurdere risikoen.
Figur 4: Skjevhet
Fjerdemomentet, kalt kurtose, er et mål som beskriver distribusjon rundt gjennomsnittet. En høy kurtoseverdi betyr at fordelingen har tykke haler, om man vil ha en høyere sannsynlighet
for å få ekstreme observasjoner enn ved en normalfordeling (Li, 1999). En lavere kurtose betyr at distribusjonen i større grad er fordelt rundt gjennomsnittet.
Figur 5: Kurtose
3.2 Sikkerhetsekvivalent
Sikkerhetsekvivalenten (CE) representerer det nivået på risikofri rente som vil gi tilsvarende nytte som den risikable porteføljen, gitt en spesifikk nyttefunksjon (DeMiguel et al., 2009).
CE kan kalkuleres ved å benytte denne formelen (Bengtsson, 2015):
𝑢(𝐶𝐸) = 𝐸[𝑢(𝑋)]
En investor vil bare foretrekke den risikable porteføljen dersom porteføljens CE overstiger det risikofrie alternativet. CE kan også benyttes for å rangere risikable porteføljer, der den porteføljen som gir høyest CE vil bli foretrukket (Bodie et al., 2014).
3.3 Sharpe Ratio
Sharpe ratio (SR) er et mål på porteføljens meravkastning i forhold til risikofritt aktivum per enhet risiko i porteføljen (Simons, 1998).
𝑆𝑅 =𝑟𝑝− 𝑟𝑓 𝜎𝑝
Dette prestasjonsmålet er basert på en avveining mellom avkastning og risiko. En høyere SR betyr at porteføljen leverer en høyere avkastning per enhet av porteføljens risiko. I akademisk litteratur er det vanlig å bruke aritmetisk gjennomsnitt når man beregner SR (Simons, 1998).
Dette skyldes at det aritmetiske gjennomsnittet har bedre statistiske egenskaper. Produktet av den aritmetiske Sharpe ratioen og kvadratroten av antall observasjoner gir en statistisk t-verdi.
Denne t-verdien viser om man kan forkaste nullhypotesen, og konkludere med at porteføljens meravkastning er signifikant forskjellig fra null, gitt et bestemt konfidensintervall (Simons, 1998).
𝑡𝑆𝑅= 𝑆𝑅√𝑛
SR bygger på forutsetningen om at avkastningen er normalfordelt, og at både skjevhet og eksess kurtose er lik null (Kaplan & Knowles, 2004).
3.4 Informasjonsratio
Informasjonsratio (IR) er et prestasjonsmål som ser på porteføljens aktive avkastning (αp) i forhold til dens aktive risiko. En høyere IR betyr at forvalteren er dyktig til å frembringe risikojustert meravkastning (Goodwin, 1998).
𝐼𝑅 = 𝛼𝑝 𝜎(𝑒𝑝)
Den aktive meravkastningen defineres gjennom prestasjonsmålet Jensens alfa. Dette måler porteføljens risikojusterte meravkastning ved å ta differansen mellom porteføljens avkastning og den predikerte avkastningen i CAPM (Jensen, 1967; Bodie et al., 2014).
𝛼𝑝= 𝑟𝑝− (𝑟𝑓+ 𝛽𝑝(𝑟𝑚− 𝑟𝑓))
Residualrisikoen (σ(ep)) er porteføljens usystematiske risiko. Den representerer risikoen til den aktive porteføljen som kommer som et resultat av aktiv forvalting. Residualrisikoen kalles ofte «tracking error», siden den representerer et avvik fra risikoen til referanseindeksen man følger (Grinold & Kahn, 2000):
𝜎(𝑒𝑝)2= 𝜎𝑝2− 𝛽𝑝2𝜎𝑚2
IR er et prestasjonsmål som vil være utsatt for støy og usikkerhet i estimeringen, spesielt ved en kort tidsperiode (Goodwin, 1998). Ved å kalkulere en t-verdi kan man avgjøre om IR er signifikant forskjellig fra null (Goodwin, 1998).
𝑡𝐼𝑅= 𝐼𝑅√𝑛
Den statistiske testen formaliserer hvor sikker man kan være på at den kalkulerte verdien på IR. Formelen over kan også omformuleres til å vise hvor mange år med observasjoner som er nødvendig for å si at et gitt nivå på IR er statistisk signifikant. Dersom man har en IR på 1, er man nødt til å ha 4 år med observasjoner. Da kan man med 95% sikkerhet påstå at IR er signifikant forskjellig fra null. En IR-verdi på 0,25 krever derimot 64 år med observasjoner for å være statistisk signifikant.
3.5 Kappa
Kappa-rammeverket er et sett av prestasjonsmål som tar hensyn til de høyere grads momenter (Kaplan & Knowles, 2004). En av de største forskjellene fra SR til Kappa ligger i at man skiller mellom avkastningens oppside og nedside over en bestemt minimumsgrense (τ). Denne minimumsgrensen blir satt av investoren, og er med på å inkludere investorens preferanser.
Kappa vil betrakte avkastningen over (under) minimumsgrensen som positivt (negativt).
Kappa-rammeverket er definert på følgende måte (Kaplan & Knowles, 2004):
𝐾𝑛(𝜏) = 𝑟𝑃− 𝜏
√𝐿𝑃𝑀𝑛(𝜏)
𝑛
Hvor LPM står for det nedre partielle moment, og blir regnet ut på denne måten (Wright, 2014):
𝐿𝑃𝑀𝑛(𝜏) = 1
𝑇∑ 𝑚𝑎𝑥[𝜏 − 𝑟𝑡, 0]𝑛
𝑇
𝑡=1
Omega ratio er et prestasjonsmål som inngår i Kappa-rammeverket som betrakter den nedre partielle førstemomentet, LPM1. Tanken bak LPM er at bare verdier som ligger under minimumsgrensen satt av investorens preferanser blir vurdert som negative. En verdi på Omega ratio som overstiger 1 impliserer et større oppsidepotensiale enn nedsiderisiko. Omega ratio tar hensyn til alle distribusjonsmomentene i avkastningen (Wright, 2014; Kaplan &
Knowles, 2004):
𝛺 = 𝑟𝑝− 𝜏 𝐿𝑃𝑀1(𝜏)+ 1
Et annet prestasjonsmål innenfor Kappa-rammeverket er Sortino ratio. Dette målet benytter det nedre partielle andremomentet (LPM2) i vurderingen av nedsiderisiko (Kaplan & Knowles, 2004). Andremomentet følger samme tankegang som førstemomentet. Forskjellen er at her ligger fokus på variansen til observasjonene som kommer under minimumsgrensen. Siden man her kvadrerer de negative observasjonene vil man i større grad straffe de største negative avvikene fra minimumsgrensen i forhold til de minste:
𝑆𝑜𝑟𝑡𝑖𝑛𝑜 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜 = 𝑟𝑝− 𝜏
√𝐿𝑃𝑀2(𝜏)
2
4. Parametric Portfolio Policies
Denne utredningen tar utgangspunkt i en modell introdusert av Brandt, Santa-Clara &
Valkanov i artikkelen Parametric Portfolio Policy: Exploiting Characteristics in the Cross- Section of Equity Returns fra 2009. Denne modellen implementerer en praktisk optimal portefølje basert på karakteristikkene selskapsstørrelse, selskapsverdi (book-to-market) og momentum. Denne fremgangsmåten parametriserer porteføljevekten i hvert enkelt selskap som en funksjon av selskapets karakteristikker og estimerer koeffisientene ved å maksimere investorens gjennomsnittsnytte. Ved hjelp av denne metoden kan man eksponere seg for risikofaktorer, og modellen muliggjør optimering av svært mange aktiva på en enkel og oversiktlig måte.
Brandt et al. (2009) tar utgangspunkt i Brandt sitt tidligere arbeid om å sette optimale porteføljevekter uten å eksplisitt modellere avkastningens fordeling. Brandt (1999) og Ait- Sahalia & Brandt (2001) konstruerte en modell som fant allokering mellom aksjer, obligasjoner og kontanter gjennom variablene utbytte, konkurspremie, terminpremie og forrige periodes meravkastning. Brandt og Santa-Clara (2006) studerte videre markedstiming med aksjer, obligasjoner og kontanter gjennom en funksjon av predikerende makroøkonomiske variabler. Mer spesifikt modellerte de vektene i hver aktivaklasse som separate funksjoner med et felles sett av variabler, derav utbytte, kortsiktig rente, terminspredning, kredittspredning. Brandt et al. (2009) har samme utgangspunkt, men her er hovedfokuset på hvordan man kan finne optimale porteføljevekter i aksjemarkedet basert på karakteristikkene selskapsstørrelse, selskapsverdi og momentum.
Artikkelen til Brandt et al. (2009) tar utgangspunkt i det amerikanske aksjemarkedet fra 1964 til 2006. De begrunner valget av karakteristikkene selskapsstørrelse, selskapsverdi og momentum med at disse er mye brukt i litteraturen og tidligere empiriske funn viser at disse risikopremiene eksisterer. Ved å utsette seg for risikofaktorene oppnår modellen høy gjennomsnittlig avkastning, Sharpe ratio, informasjonsratio og sikkerhetsekvivalent både in- og out-of-sample selv etter at transaksjonskostnader er implementert. Out-of-sample fungerer som en robusthetstest for å sjekke hvordan denne porteføljen ville ha prestert ex-ante. Dette betyr at man fastsetter porteføljevektene for tidspunkt t, med informasjonen som ville vært tilgjengelig på dette tidspunktet. In-sample er en form for back-testing. Dette betyr at man sitter med all informasjon om hele datagrunnlaget når man fastsetter porteføljevektene for hver enkelt periode.
Modellen har flere fordeler sammenlignet med tradisjonelle metoder som CAPM og Black- Litterman. For det første reduseres kompleksiteten ved at de optimale porteføljevektene blir bestemt direkte av en funksjon basert på selskapenes karakteristikker. Mer spesifikt vil man unngå å modellere avkastningen, variansen og kovariansen. Videre er CAPM og Black- Litterman følsomme for inputs og støy, og dette resulterer ofte i ekstreme og ustabile vekter (Brandt et al., 2009). Denne svakheten er forbedret i modellen innført av Brandt et al. (2009), der man sjelden ser ekstreme vekter.
Det har tidligere vært svært komplisert og tidkrevende å utsette seg for risikofaktorer i porteføljeoptimering, og det er veldig lite publikasjoner om slike optimeringsmodeller (Brandt et al. 2009). Et forslag har vært å innføre et flerdimensjonalt optimeringsproblem for å ta hensyn til faktorer som selskapsstørrelse, book-to-market og resesjoner (Cochrane, 1999), men på grunn av denne metodens kompleksitet blir det vanskelig å gjennomføre over et stort antall selskaper. Fremgangsmåten til Brandt et al. (2009) representerer derfor et gjennombrudd for å utsette seg for risikopremier i porteføljeoptimering.
Brandt et al (2009) viser også hvordan modellen kan gjøres mer realistisk ved å ta hensyn til transaksjonskostnader, både i avkastningen og i fastsettingen av porteføljevektene. En annen fordel med modellen er at den er anvendelig for å analysere hvilken eksponering ulike porteføljer har mot spesifikke risikopremier.
Til slutt vil vi påpeke at modellen også kan brukes mot andre aktivaklasser enn aksjer. Man kan for eksempel benytte modellen mot obligasjoner ved å bruke obligasjonskarakteristikker som durasjon, konveksitet, kupong, kredittrating og gjeldsgrad. Vi vil oppsummere med at modellen har mange styrker og fordeler sammenlignet med tradisjonelle optimeringsmodeller, og at modellen virker svært anvendelig og lovende for videre analyse.
5. Metode
Denne utredningen tar utgangspunkt i fremgangsmåten til Brandt et al. (2009). Første del av kapitlet vil beskrive metoden for utredningens originalmodell, som er modellen uten utvidelser. De neste delkapitlene presenterer metodene for utvidelsene av modellen.
Fremgangsmåtene i denne utredningen er laget for praktisk anvendelse, og representerer kun en approksimasjon for den teoretisk optimale porteføljen (Brandt et al., 2009).
5.1 Originalmodellen
De optimale porteføljevektene blir i Brandt et al. (2009) fastsatt gjennom karakteristikkene selskapsstørrelse (me), selskapsverdi (btm), og momentum (mom). Tidligere forskning og utredninger har funnet tendenser til at disse karakteristikkene representerer risikopremier på det skandinaviske aksjemarkedet (Kloster-Jensen, 2006; Annerstedt & Schonstrom, 2006;
Myklebust, 2007; Næs et al., 2008; Vinther, 2008; Solheim & Jensen, 2011), og denne utredningen tar derfor utgangspunkt i de samme karakteristikkene. Beregningen av disse karakteristikkene gjøres på følgende måte:
𝑚𝑒𝑖,𝑡= 𝑙𝑜𝑔(𝑆𝑒𝑙𝑠𝑘𝑎𝑝𝑠𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒𝑖,𝑡) 𝑏𝑡𝑚𝑖,𝑡= 𝑙𝑜𝑔 (1 + 𝐵𝑜𝑘𝑓ø𝑟𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑖𝑖,𝑡−6
𝑆𝑒𝑙𝑠𝑘𝑎𝑝𝑠𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒𝑖,𝑡) 𝑚𝑜𝑚𝑖,𝑡 = ( 𝑃𝑖,𝑡
𝑃𝑖,𝑡−2)
1/2
− ( 𝑃𝑖,𝑡 𝑃𝑖,𝑡−13)
1/13
For å kunne være sikre på at informasjonen i årsrapportene er offentlig tilgjengelig legges det inn en forsinkelse på seks måneder for bokførte verdier. Dette medfører at selskapenes bokførte verdier holder seg fast i ett år før det blir oppdatert 30.juni hvert år5. Videre blir tallene for selskapsstørrelser og aksjekurser oppdatert månedlig6. Det benyttes en logaritmefunksjon i utregningen av me og btm for å gjøre distribusjonen av karakteristikkene mer symmetrisk og for å redusere effekten av ekstreme observasjoner. Videre blir momentum definert som differansen mellom selskapets avkastning de siste 2 og 13 månedene.
5 Bokført verdi for selskapene notert i Sverige og Danmark vil variere i takt med månedlige valutakursendringer. Årsaken til dette er at alle tall i denne utredningen er i NOK.
6 Dette avviker fra fremgangsmåten til Brandt et al. (2009) hvor selskapsstørrelse oppdateres en gang i året.
Modellen tar utgangspunkt i et investeringsunivers hvor det ved hver periode t er et gitt antall selskaper (Nt) tilgjengelig for investering. Avkastningen til hvert selskap fra periode t til t+1 er gitt ved ri,t+1. Modellen optimerer investorens betingede nytte basert på porteføljens avkastning, rp,t+1.
𝑚𝑎𝑥
{𝑤𝑖,𝑡}𝑖=1𝑁𝑡
𝐸𝑡[𝑢(𝑟𝑝,𝑡+1)] = 𝐸𝑡 [𝑢 (∑ 𝑤𝑖,𝑡
𝑁𝑡
𝑖=1
𝑟𝑖,𝑡+1)]
Videre forutsettes det at det er en lineær sammenheng mellom de optimale porteføljevektene og selskapskarakteristikkene (Brandt et al., 2009).
𝑤𝑖,𝑡= 𝑤̅𝑖,𝑡+ 1 𝑁𝑡𝜃⊤𝑥̂𝑖,𝑡
Funksjonen tar utgangspunkt i vektene til den verdivektede referanseindeksen (𝑤̅𝑖,𝑡)7. For at formelen skal kunne gjelde med et tidsvarierende antall selskaper, multipliserer vi dette uttrykket med 𝑁1
𝑡. Uten dette leddet vil en økning i antall selskaper føre til en mye mer aggressiv allokering uten at det har skjedd fundamentale endringer i porteføljen. Produktet av den transponerte vektoren med koeffisientene (𝜃⊤) og selskapskarakteristikkene (𝑥̂𝑖,𝑡) avgjør om det enkelte selskapet over- eller undervektes i porteføljen. Alle selskapene vil ha en felles koeffisient for hver av karakteristikkene selskapsstørrelse (𝜃me,), selskapsverdi (𝜃btm) og momentum (𝜃mom).
Karakteristikkene blir implementert inn i modellen ved å bruke deres standardiserte residualer.
Dette gjøres ved å ta en regresjon på tvers av selskapene for hver enkelt karakteristikk mot de to andre karakteristikkene for hvert tidspunkt t. Denne regresjonen fjerner alle likhetstrekk mellom den avhengige og de uavhengige variablene, slik at hver selskapskarakteristikk blir ortogonalisert mot de to andre karakteristikkene. De standardiserte residualene har gjennomsnitt lik 0 og standardavvik lik 1. Dette gjør at produktet av vektorene (𝜃⊤𝑥̂𝑖,𝑡) alltid har et gjennomsnitt lik 0, slik at summen av porteføljevektene alltid summerer seg til 1. Videre vil de standardiserte residualene gjøre det mulig å sammenligne de ulike selskapskarakteristikkenes påvirkningskraft på den endelige porteføljesammensetningen. De
7 Den verdivektede referanseindeksen består av alle selskapene i investeringsuniverset etter utsilingsprosessen i kapittel 6, der vektene tilsvarer deres relative verdi i forhold til dette investeringsuniverset.
opprinnelige karakteristikkene vil ha en ulik fordeling og størrelse etter hvert som karakteristikkene endrer seg fra periode til periode. Ved å benytte de standardiserte residualene vil denne fordelingen være stasjonær over tid med standardavvik lik 1.
Et av de viktigste aspektene ved denne parametriseringen er at koeffisientene (θ) er konstante både for alle selskapene og over tid (Brandt et al., 2009). Konstante koeffisienter for alle selskapene innebærer at koeffisientene for selskapsstørrelse, selskapsverdi og momentum er lik for alle selskapene. Dette betyr at over- eller undervektingen i selskapene avgjøres kun av deres respektive karakteristikker. Dette gir en implisitt forutsetning om at disse karakteristikkene fanger opp alle aspekter rundt avkastningens fordeling som er relevant for å forme den optimal porteføljen. To selskaper med like karakteristikker vil derfor ha samme vekt uavhengig av alle andre forhold. Konstante koeffisienter over tid innebærer at koeffisientene brukt i maksimeringen av investorens betingede nytte på et tidspunkt, tilsvarer koeffisientene for alle andre tidspunkt. Dette vil derfor maksimere investorens ubetingede nytte. Disse to forholdene gjør at vi kan skrive om formelen for den betingede nyttemaksimeringen til å være en ubetinget maksimering med hensyn på koeffisientene (Brandt et al., 2009).
𝑚𝑎𝑥𝜃 𝐸[𝑢(𝑟𝑝,𝑡+1)] = 𝐸 [𝑢 (∑ 𝑓(𝑥𝑖,𝑡; 𝜃)
𝑁𝑡
𝑖=1
𝑟𝑖,𝑡+1)]
Dette uttrykket kan skrives om, slik at koeffisientene (θ) kan estimeres ved å maksimere gjennomsnittsnytten for hele perioden:
𝑀𝑎𝑥𝜃
1
𝑇∑ 𝑢(𝑟𝑝,𝑡+1)
𝑇−1 𝑡=0
= 1
𝑇∑ 𝑢 (∑ 𝑓(𝑥𝑖,𝑡; 𝜃)𝑟𝑖,𝑡+1
𝑁𝑡
𝑖=1
)
𝑇−1
𝑡=0
Forutsetningen om en lineær sammenheng mellom porteføljevektene og selskapskarakteristikkene gjør det mulig å definere det konkrete maksimeringsproblemet:
𝑀𝑎𝑥𝜃
1
𝑇∑ 𝑢 (∑ (𝑤̅𝑖,𝑡+ 1
𝑁𝑡𝜃⊤𝑥̂𝑖,𝑡) 𝑟𝑖,𝑡+1
𝑁𝑡
𝑖=1
)
𝑇−1 𝑡=0
I denne utredningen har vi tatt utgangspunkt i følgende nyttefunksjon.
𝑢(𝑟𝑝,𝑡+1) = (1 + 𝑟𝑝,𝑡+1)1−𝛾 1 − 𝛾
ℎ𝑣𝑜𝑟 𝑟𝑝,𝑡+1 = ∑ (𝑤̅𝑖,𝑡+ 1
𝑁𝑡𝜃⊤𝑥̂𝑖,𝑡) 𝑟𝑖,𝑡+1
𝑁𝑡
𝑖=1
5.2 Bare lange posisjoner
Brandt et al. (2009) viser en fremgangsmåte for å implementere en restriksjon som bare tillater positive vekter i porteføljen. Ved implementeringen av denne restriksjonen vil man fjerne alle negative posisjoner. Dette gjør at man må skalere de gjenstående porteføljevektene slik at de skal summeres til 1.
𝑤𝑖,𝑡= 𝑚𝑎𝑥[0, 𝑤𝑖,𝑡]
∑𝑁𝑗=1𝑡 𝑚𝑎𝑥[0, 𝑤𝑗,𝑡]
5.3 Tidsvarierende koeffisienter
Det har vist seg at risikopremiene endrer seg gjennom tid, og at aksjekursene til en viss grad kan predikeres av ulike variabler som inneholder informasjon om blant annet makroøkonomiske utsikter og konkursrisiko (Keim & Stambaugh, 1986; Hodrick, 1992).
Flere forskningsartikler har funnet bevis på at det finnes ulike premier i oppgangs- og nedgangskonjunktur (Santis & Gerard, 1997; Cooper et al., 2001). For å ta hensyn til tidsvarierende risikopremier bruker Brandt et al. (2009) helningsgraden til terminstrukturen, og mer spesifikt differansen mellom kort og lang rente. På amerikanske data har en negativ helning på terminstrukturen ofte vist seg å være et tegn på svake økonomiske utsikter (Vassalou & Xing, 2004; Bernanke, 1990; Filardo, 1999; Stock & Watson, 1989).
Tidsvarierende koeffisienter blir implementert inn i modellen ved å ha ulike funksjoner avhengig av om helningsgraden til terminstrukturen er positiv eller negativ for hver respektive periode. Forskjellen i funksjonene ligger i at det benyttes ett sett med koeffisienter (θ𝑛𝑒𝑔⊤ ) ved negativ helningsgrad og et annet sett ved positiv helningsgrad (θ𝑝𝑜𝑠⊤ ). I periodene med negativ helningsgrad vil vektene bestemmes av denne funksjonen.
𝑤𝑖,𝑡= 𝑤̅𝑖,𝑡+ 1
𝑁𝑡𝜃𝑛𝑒𝑔⊤ 𝑥̂𝑖,𝑡
Ved motsatt tilfelle, vil vektene for alle årene med positiv helningsgrad på terminstrukturen bestemmes av denne funksjonen.
