Nuevas tecnologías aplicadas a la enseñanza del análisis en secundaria: Introducción al concepto de optimización

T rabajo F in al de G rad o

GRADO EN MATEMÁTICAS

Nuevas tecnologías aplicadas a la enseñanza del análisis en secundaria:

Introducción al concepto de optimización

Lucía Jiménez Jiménez

Tutores

Daniel Ruiz Ana Belén Petro

Escuela Politécnica Superior

Universidad de las Islas Baleares

Í NDICE GENERAL

Índice general i

Índice de figuras iii

Índice de cuadros iii

Resumen v

1 Introducción 1

2 Marco Teórico 3

2.1 Nuevas tecnologías en educación . . . 3

2.2 Nuevas tecnologías en matemáticas . . . 5

2.2.1 MOODLE . . . 7

2.2.2 GeoGebra . . . 7

2.3 Introducción de las nuevas tecnologías en Bachillerato . . . 9

2.3.1 Optimización en Bachillerato . . . 9

2.3.2 Nuevas tecnologías aplicadas en problemas de optimización. . 11

2.4 Metodologías en la enseñanza matemática . . . 11

2.4.1 Educación Matemática Realista . . . 12

2.4.2 Método de Polya para resolver problemas matemáticos . . . 13

3 Unidad Didáctica 15 3.1 Contexto y justificación. . . 15

3.2 Contribución a las competencias básicas . . . 16

3.3 Contenidos . . . 17

3.4 Metodología . . . 17

3.4.1 Problemas propuestos. . . 18

3.4.2 Desarrollo de las sesiones . . . 18

3.5 Evaluación . . . 19

3.6 Temporalización, material, grupos y organización de las sesiones . . . 20

4 Actividad Experimental 21 4.1 Grupos . . . 21

4.2 Desarrollo de las sesiones . . . 21

4.2.1 Grupo E . . . 22

4.2.2 Grupo D . . . 22

4.3 Desarrollo del trabajo autónomo . . . 22

4.4 Porcentajes de evaluación . . . 23

4.5 Observación . . . 23

5 Análisis de los resultados 25 5.1 Problemas planteados en las sesiones . . . 25

5.1.1 Problema de la multiplicación de números . . . 25

5.1.2 Problema de las fotos . . . 26

5.1.3 Problema del nadador . . . 28

5.1.4 Problemas 3D . . . 29

5.2 Análisis del trabajo autónomo . . . 31

5.3 Análisis de los exámenes . . . 33

5.4 Evaluación de los alumnos y de la profesora . . . 33

6 Conclusiones 37 A Cuestionario resolución de problemas 39 A.1 Bloque 1. . . 39

A.1.1 Problema multiplicación de números. . . 39

A.2 Bloque 2. . . 41

A.2.1 Problema imprimir fotos . . . 41

A.2.2 Problema del nadador . . . 43

A.3 Bloque 3D. . . 44

A.3.1 Problema 3D: caja sin tapa . . . 44

A.3.2 Problema 3D: lata de refresco . . . 45

B Cuestionarios Moodle 47 B.1 Cuestionario introducción . . . 47

B.2 Cuestionario contextualización . . . 50

C Entregas 51 D Problemas resueltos estudio 53 E Exámenes 59 F Cuestionarios evaluación 61 F.1 Cuestionario alumno . . . 61

F.2 Cuestionario profesor . . . 63

Bibliografía 65

Í NDICE DE FIGURAS

5.1 Enunciado del problema de los números. . . 26

5.2 Archivo GeoGebra del problema de los números . . . 26

5.3 Enunciado del problema de las fotos . . . 27

5.4 Archivo GeoGebra del problema de las fotos . . . 27

5.5 Enunciado del problema del nadador . . . 28

5.6 Casos particulares del problema del nadador, . . . 29

5.7 Caso general del problema del nadador . . . 29

5.8 Enunciado del problema de la caja sin tapa . . . 30

5.9 Archico GeoGebra del problema de la Caja sin tapa . . . 30

5.10 Enunciado del problema de la lata . . . 31

5.11 Archivo GeoGebra del problema de la lata . . . 31

5.12 Recursos subidos a la plataforma Moodle . . . 32

Í NDICE DE CUADROS

R ^ESUMEN

El siguiente trabajo tiene como propósito la experimentación, y posterior análisis, de una unidad didáctica orientada a la introducción del concepto de optimización a partir de la utilización de las nuevas tecnologías en las clases de matemáticas en primero de bachillerato. En particular, se emplearán el programa de geometría dinámica GeoGebra y la plataforma Moodle con el objetivo de favorecer la compresión y modelización de este tipo de problemas.

Para ello, en primer lugar, se realizará un estudio teórico sobre la implantación de las nuevas tecnologías en el transcurso de los últimos años, en especial sobre aquellas utilizadas en el desarrollo de la unidad didáctica. También, en este marco teórico, se presentan los principales problemas que encuentran los alumnos a la hora de entender y asimilar el concepto de optimización, así como una clasificación de los tipos de problemas que se proponen durante el bachillerato y las metodologías que se han utilizado para la elaboración de dicha unidad didáctica, la Educación Matemática Realista y el método de Polya.

Tras el marco teórico se procederá a la presentación de la unidad didáctica, que se ha llevado a cabo en dos cursos de primero de bachillerato del instituto IES Bendinat durante el tercer trimestre escolar. Esta unidad didáctica consta de tres bloques, Intro- ducción, Contextualización y Problemas 3D, cada uno de ellos correspondiente a una hora lectiva. En estos bloques se resolverán diferentes tipos de problemas de optimiza- ción, siguiendo la clasificación propuesta en el marco. Todos los problemas vendrán acompañados por un archivo GeoGebra específico y un cuestionario de resolución.

Como trabajo autónomo se propondrán tres cuestionarios online en la plataforma Moodle.

Por último, se realizará un análisis de los resultados obtenidos mencionando los puntos débiles y puntos fuertes de cada una de las sesiones realizadas y del trabajo autónomo propuesto, destacando la buena acogida que tuvo el programa GeoGebra y los inconvenientes que encontraron los alumnos al utilizar Moodle.

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I NTRODUCCIÓN

El siguiente trabajo viene motivado por lo cursado en la asignatura“Didattica della Matematica e nuove tecnologie”ofrecida por la Universidad de Pisa. Esta asignatura se basaba en el estudio, planteamiento y discusión de las actividades de mejora propuestas en elPiano Nazionale Qualità e Merito (PQM). Este proyecto fue creado en 2012 por el Istituto Nazionale di Documentazione, Innovazione e Ricerca Educativacon el objetivo de mejorar la educación en los centros italianos con una serie de actividades que sirvan de apoyo a los docentes a partir de metodologías innovadoras, en cuyos casos incluyen la utilización de las nuevas tecnologías como soporte didáctico, en muchas ocasiones el programa GeoGebra.

En algunas ocasiones, la enseñanza matemática deja de ser una asignatura en donde predomine el uso de la intuición. Las dificultades que presentan algunos alumnos a la hora de razonar conceptos abstractos provoca que los profesores se vean obligados a alejarse de los problemas y actividades de razonamiento para utilizar el “repite el ejercicio hasta que te lo sepas de memoria”.

Una de las principales propuestas que se plantean para solventar este problema es la utilización de las nuevas tecnologías con el objetivo, no solo de fomentar la atención y motivación de los alumnos, sino que puedan también alcanzar un nivel más alto de abstracción a partir de ellas. Las imágenes interactivas que ofrecen algunos programas didácticos, GeoGebra entre ellos, favorecen a la comprensión y generalización de ciertos aspectos matemáticos de manera rápida y visualmente atractiva, algo que no se podría alcanzar con la enseñanza tradicional de lápiz y papel.

Dentro de la educación secundaria se introduce el concepto de optimización de funciones de una variable, el cual, por lo general, suele ser de difícil comprensión para los alumnos. Esto es en parte debido a que este tipo de problemas requiere de una modelización a partir del enunciado y por tanto de cierto nivel de abstracción. Es por ello que el uso del programa de geometría dinámica GeoGebra puede ayudar a entender mejor este concepto y a resolver este tipo de problemas, gracias a sus múltiples vistas gráficas y sus herramientas interactivas, y, además, gracias a su condición de software libre y gratuito facilita su uso en la escuela.

Este trabajo pretende corroborar esta idea a partir de los siguientes objetivos:

• Elaborar un marco teórico sobre la implantación de las TIC en la educación secundaria, en particular con GeoGebra y la plataforma Moodle.

• Formular un conjunto de actividades orientadas a la asimilación de conceptos de optimización en la etapa de bachillerato.

• Implementar y evaluar los conocimientos teóricos con el análisis de los resultados obtenidos del conjunto de actividades en un grupo específico de bachillerato.

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M ^ARCO T ^EÓRICO

2.1 Nuevas tecnologías en educación

Cada año que pasa los avances en tecnología son cada vez mayores. La sociedad no solo está cada vez más integrada en el uso de esta tecnología, sino que ya forma parte de nuestro día a día. Este hecho se percibe especialmente en las generaciones más jóvenes, que han crecido y se han desarrollado en un entorno repleto de tecnología.

Esta generación recibe el nombre denativos digitales, término acuñado por Prensky [1].

En su libro,Enseñar a nativos digitales, Prensky distingue entre los nativos digitales de losinmigrantes digitales, que serían aquellas generaciones anteriores a la era Internet, es decir, aquellas generaciones nacidas antes de la década de los 80.

Una de las características principales que definen a losnativos digitaleses la atrac- ción natural que sienten hacía todo aquello que esté relacionado con la tecnología, ya sea como medio de comunicación, de información o, tal vez, de aprendizaje.

Es por este motivo que la utilización de las denominadas TIC (Tecnologías de la Información y la Comunicación) como herramienta de enseñanza y aprendizaje se ha convertido en un elemento muy importante en los ambientes educativos actuales. Se busca fomentar esta atracción natural que sienten losnativos digitalesorientándolo en un entorno educativo.

Existen muchas definiciones de TIC. Cabrero [2], las definió en su momento como aquellas tecnologías “que giran en torno a tres medios básicos: la informática, la micro- electrónica y las telecomunicaciones; pero giran, no sólo de forma aislada, sino lo que es más significativo de manera interactiva e interconexionadas, lo que permite con- seguir nuevas realidades comunicativas”. El elemento representativo de estas nuevas tecnologías es Internet, que ha generado un cambio drástico en la manera en la que el ser humano se comunica y se relaciona, además de ser una gran fuente de información.

Otra definición la encontramos en el artículo de López [3], el cual define las TIC como el “conjunto de tecnologías desarrolladas que están a disposición de las personas, con la intención de mejorar la calidad de vida y que nos permiten realizar distintas gestiones con la información que manejamos o a la que tenemos acceso, de manera que

además de gestionarla (recibirla-emitirla-procesarla), la podemos almacenar, recuperar y manipular”.

Con el tiempo se acuñó el términoSociedad de la Informacióncomo aquella socie- dad en la cual las nuevas tecnologías facilitan la creación, manipulación y distribución de la información y que desempeñan un papel muy importante en sus actividades sociales.

Es en el ámbito educativo donde la utilización de las TIC se ha ido desarrollando de manera natural, como apunta López “se ha establecido el paralelismo de que las tecnologías de la información han favorecido el acercamiento al conocimiento hasta llegar a gestionarlo, y esto ha provocado que hablemos de Tecnologías del Aprendizaje y del Conocimiento, también denominadas TAC. Por lo que podemos establecer que de la Sociedad de la Información en la que empezamos a manejar las TIC, con la intención de gestionar y acumular la información que se genera, pasamos a la Sociedad del Conocimiento, en la que el manejo de las tecnologías ya no es tanto el acumular y gestionar información, sino que su importancia radica en que esa información se transforma en conocimiento, por lo que las tecnologías deben facilitar el acceso al conocimiento y a su aprendizaje, de lo que se desprende que las tecnologías propias de la Sociedad del Conocimiento son las TAC. ”

De esta manera, en cuanto a enseñanza y aprendizaje se refiere, con el tiempo las TIC, que se introdujeron en nuestro sistema educativo como herramienta de in- tercambio de información y comunicación, se han desarrollado hasta las TAC, cuyo principal objetivo es transformar esta información en conocimiento y que sirven como herramientas de aprendizaje.

Por tanto, en un momento en el que los estudiantes, tanto de educación secundaria como primaria, son todosnativos digitales, la implantación de las TIC y las TAC se plantea como una herramienta educativa que motive al alumno y que sirva, en ciertas disciplinas, para crear un ambiente más realista y cotidiano de la disciplina en cuestión, al margen del ambiente puramente académico. Como explica Zamora [4]: “Si bien las TAC pueden promover el modo adecuado de usar las tecnologías en la apropia- ción de conocimientos; también colaboran en la comprensión y suscita la discusión de los temas que enlaza problemas reales con la búsqueda de soluciones creativas, especialmente a través de escenarios virtuales.”

Según un estudio de Marquès [5], algunas de las principales manifestaciones del impacto de las TIC en el mundo educativo son:

• Nuevos contenidos curriculares. Tal como se detalla en el artículo 4 del Boletín Oficial de las Islas Baleares (Mayo de 2015) [6]: “El Bachillerato tiene que contri- buir a desarrollar en los alumnos las capacidades que les permitan:h)Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y la comunicación.”

• Importancia creciente de la “escuela paralela”. Es decir, la enseñanza y el aprendi- zaje ya no solo se realizan en el centro en cuestión, sino que, al poder realizarse a través de los medios de comunicación y de las nuevas tecnologías, están presen- tes en todas partes.

• Nuevos entornos de aprendizaje online. Aprovechando las posibilidades que faci- litan las TIC, se pueden ofrecer nuevos métodos de enseñanza y aprendizaje que se escapan de las restricciones tradicionales, ofreciendo desde una comunicación

2.2. Nuevas tecnologías en matemáticas

continua entre alumno y profesor hasta una mayor visión de los conceptos que se están aprendiendo.

Por otro lado, existen numerosas ventajas por las que las TIC y las TAC favorecen tanto al aprendizaje como a la enseñanza. Numerosos estudios realizados en centros docentes destacan la utilización de la Pizarra Digital Interactiva (PDI) en el aula. La PDI es un sistema que consiste en un ordenador y una pantalla con dispositivo de control de puntero. Esta pizarra permite que el docente pueda manejar las proyecciones al mismo tiempo que el alumno modifica estas gracias al puntero. Esta herramienta sería un ejemplo de TAC.

Destacamos el estudio y la experimentación realizados por Coscollola y Marquès [7] en donde participaron 21 centros docentes. El estudio se basaba en “la formación, la reflexión y la experimentación en el aula de aplicaciones educativas de la PDI y de los ordenadores de los alumnos.” Dentro de las actividades en donde se hacía uso de la PDI destacan las exposiciones magistrales, la realización de ejercicios entre toda la clase y, posteriormente, la realización por parte de los alumnos de presentación de trabajos y materiales elaborados. Por otra parte, los alumnos realizaron con el ordenador ejercicios autocorrectivos y desarrollo de proyectos y, en menor medida, actividades realizadas con simuladores y plataformas educativas (Moodle o similar).

Durante la investigación el profesorado apreció muchas ventajas en la utilización de estos recursos. Por un lado, aumentó la motivación y la atención de los alumnos, aumentando su participación e implicación, al igual que facilitó la enseñanza, el apren- dizaje y el logro de los objetivos. En definitiva, el estudio mostró mejoras en el proceso de enseñanza utilizando estas herramientas.

Por otro lado, el estudio también reflejó inconvenientes al utilizar este tipo de recursos. Destacan la necesidad de dedicar más tiempo en la preparación de las clases y los problemas logísticos que ocasionan este tipo de herramientas.

2.2 Nuevas tecnologías en matemáticas

Hasta ahora hemos visto que la implantación de las TIC y las TAC en las aulas de la Edu- cación Secundaria es un hecho, con sus ventajas y sus inconvenientes. La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿se pueden implantar este tipo de tecnologías en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas de manera óptima?

Araya [8] destaca que “Las tendencias actuales en la enseñanza de la matemática han destacado la importancia del uso de la tecnología como un medio que permite al estudiante obtener conclusiones y realizar observaciones que en otros ambientes, por ejemplo “lápiz y papel”, sería difíciles de obtener.”

Uno de los principales objetivos que se plantean al implantar este tipo de tecnolo- gías en el aula de matemáticas es mejorar a partir de ellas la asimilación de conceptos de manera rápida y eficiente. En cuanto a la rapidez se refiere, se busca facilitar materiales visuales precisos para su comprensión sin la perdida de tiempo que se puede ocasionar al generarlos de manera no computacional. El ejemplo más claro lo encontramos en los conceptos ligados a la geometría: bisectriz, mediatriz, etc, que hoy en día ciertos programas dinámicos nos proporcionan y hacen su compresión más fácil. En cuanto a la eficiencia se refiere, se busca conseguir a partir de estos medios la comprensión a un nivel más abstracto de los conceptos matemáticos.

Araya resalta que “El uso de la tecnología ha generado cambios sustanciales en la forma en la que los estudiantes aprenden matemáticas. Cada uno de los ambien- tes computacionales que pueden emplear, proporcionan condiciones para que los estudiantes identifiquen, examinen y comuniquen distintas ideas matemáticas.”

Por otro lado, también se pretende que estas herramientas favorezcan el razona- miento de los alumnos y la reflexión de los conceptos estudiados de manera que se cree en ellos un sentimiento autodidacta. Velázquez [9] aclara que “Desde el punto de vista de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas se hace necesario desarrollar nuevas capacidades relacionadas con el acceso a las nuevas tecnologías de la infor- mación y la comunicación desde el aula, que podrían sintetizarse en dos: aprender a enseñar y aprender a aprender.”

Los elementos tecnológicos más utilizadas por los profesores de matemáticas hoy en día son:

• Programas de Geometría Dinámica. Estos programas nos permiten construir cualquier figura geométrica que se pueda realizar con regla y compás, utilizando únicamente el ratón. Este tipo de programas también permiten fijar objetos geométricos y relacionarlos entre si de manera que al mover o desplazar estos objetos podamos apreciar distintas propiedades geométricas de ellos. También es posible crear una herramienta o construcción determinada y guardarla para una posterior utilización. Entre los programas más utilizados de geometría dinámica destacan Cabri, Carmetal y GeoGebra, de los cuales hablaremos más adelante.

• Programas de Cálculo Simbólico. Este tipo de programas ofrecen un amplio con- junto de herramientas de cálculo, junto con opciones de representación gráfica.

Estos programas requieren del conocimiento de algún lenguaje de programación, por lo que su utilización en los cursos de Educación Secundaria y Bachillerato no es muy común, al contrario que en determinados cursos universitarios en los que se fomenta su utilización. Los programas de cálculo simbólico más utilizados son Maxima, Derive o Matlab.

• Internet. Por último encontramos la utilización de plataformas online, (E-learning), que permiten a los estudiantes realizar ejercicios y actividades de manera au- tónoma a partir de cuestionarios o preguntas cortas. Como destaca García [10]:

“Una característica sustancial del E-Learning es que la interacción entre los estu- diantes, y la de ellos con el docente es independiente del lugar geográfico en el que se encuentren”. Uno de los E-learning más utilizados es MOODLE, del cual hablaremos más adelante.

• Hojas de cálculo. Una hoja de cálculo es un programa que facilita la entrada, el tratamiento y la representación de datos a partir de una tabla. También permite modificar los datos numéricos a partir de fórmulas, lo que hace que sea una buena herramienta en la enseñanza y el aprendizaje de los conceptos estadísticos. La hoja de cálculo más utilizada, tanto en el ámbito académico como fuera de él, es excel.

• Pizarras Digitales Interactivas (PDI). Como se ha mencionado en la sección anterior, las PDI favorecen la interacción de los alumnos y del profesor al resto

2.2. Nuevas tecnologías en matemáticas

de la clase ya que, según Noda [11] “permite controlar y modificar cualquier recurso digital que se proyecte sobre ella, así como guardar en el disco duro o en un alojamiento virtual, todo lo que se ha realizado”. Las PDI a menudo son utilizadas junto a programas de geometría dinámica gracias a su parte interactiva ya que permite que el profesor o el alumno modifiquen la actividad al momento, haciéndolo visible al resto.

2.2.1 MOODLE

Como se ha comentado en la sección anterior, dentro de la utilización de platafor- mas online para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, la más utilizada es MOODLE, siglas en ingles de Module Object-Oriented Dynamic Learning Environment (Entorno Modular de Aprendizaje Dinámico Orientado a Objetivos), desarrollado por Martin Dougiamas a principio de siglo. Se trata de una aplicación web que permite la creación, gestión y edición de un curso, en los que incluye foros, recursos y actividades online.

Como describe Infante [12], se trata de “un campus virtual, entendido éste como una plataforma web, que se convierte en un espacio de intercomunicación entre todos los componentes del ámbito formativo (estudiantes, recursos, comunidad, profesores) al que se accede a través de internet”. De esta manera, argumenta que “se convierte en un servicio de complemento y apoyo en la docencia y aprendizaje, cuyo entorno es internet ”.

Por otro lado, como describe Poveda [13], MOODLE se puede dividir en tres módulos diferentes:

• Módulos de comunicación: su objetivo es facilitar la interacción entre los miem- bros de la comunidad, tanto estudiante-estudiante como estudiante-profesor. Se tratan de herramientas de comunicación.

• Módulos de contenidos materiales: en estos módulos se presentan los materiales de estudio propuestos por el profesor. A diferencia de los módulos de comunica- ción, la comunicación es estos módulos es unidireccional.

• Módulos de actividades: estos módulos atienden a “las cosas que hay que hacer”, es decir, aquellas tareas, actividades, trabajos, etc propuestos por el profesor para que los estudiantes realicen.

2.2.2 GeoGebra

Hoy en día los programas de geometría dinámica son unos de los más completos a la hora de enseñar conceptos matemáticos. Como explica De Villiers [14] “estos programas de geometría fueron diseñados con la intención específica de poner a disposición de los alumnos un ambiente del tipo micro mundo para la exploración experimental de la geometría plana elemental. En el pasado uno tenía que dibujar las configuraciones geométricas en una hoja de papel”.

En concreto, el programa GeoGebra, que se creó como un programa orientado exclusivamente a la enseñanza de la geometría, se ha ido desarrollando con los años

hasta convertirse también en un programa con opciones de cálculo simbólico, hojas de cálculo y simulador de probabilidad y estadística.

Pero GeoGebra no fue el primer programa de geometría dinámica que se creó como herramienta educativa. Uno de los primeros programas en desarrollarse fue Cabri [15], creado por la compañía francesa Cabrilog en 1986 como herramienta interactiva para los profesores de matemáticas. Su principal objetivo era desarrollar un programa que permitiera crear figuras geométricas, de manera similar a como se haría con lápiz, papel, regla y compás, pero con un ordenador de manera que se pudieran manipular y así conseguir que los alumnos exploraran la geometría de una manera más interactiva y activa. El principal inconveniente de Cabri es que no se trata de un programa gratuito.

Posterior a Cabri encontramos el programa C.a.R (Compass and Ruber) [16] desarro- llado por René Grothmann en 1989, el cual produjo algoritmos potentes y fiables para controlar los objetos y las relaciones geométricas, permitiendo elaborar construcciones geométricas complejas. En 1996 Grothmann creo la primera versión con Java 1.0, con el cual mejoró la calidad y la rapidez del programa.

En 2006, Eric Hakenholz, profesor de matemáticas de Millau (Francia), comenzó a desarrollar CaRMetal [17] a partir del motor matemático de C.a.R, al que añadió algunas mejoras, transformándolo en una interfaz gráfica basada en la manipulación directa.

Hoy en día, CaRMetal es un programa de geometría dinámica gratuito.

Posterior a CaRMetal nos encontramos ya con GeoGebra. Se trata de un software de matemáticas dinámicas para todos los niveles educativos que reúne geometría, álgebra, hoja de cálculo, gráficos, estadística y cálculo en un solo programa fácil de usar.

GeoGebra fue creado por Markus Hohenwarter en 2002 como parte de su trabajo final de máster en Educación Matemática y Ciencias Informáticas en la Universidad de Salzburg, Austria. Posteriormente, continuó desarrollando el software como parte de su tesis doctoral en educación matemática. Fue durante esta época en la que GeoGebra ganó varios premios reconocidos y fue traducido a más de 25 lenguas.

GeoGebra es un software libre y gratuito. En muchas ocasiones se confunden estos dos términos, creyendo que un software libre es gratuito por definición. Como explica Adell [18]: “El propietario de los derechos sobre el software libre garantiza a los usuarios, mediante una licencia, una serie de libertades que no otorga el propietario del software privativo, que se reserva numerosos derechos en base a la legislación sobre propiedad intelectual (por ejemplo, no permite el acceso al código fuente o no permite ninguna modificación y su subsecuente distribución). El usuario de software privativo en realidad paga por el derecho a usar, con numerosas limitaciones, el software”.

Es decir, un programa con software libre no es necesariamente gratuito, pero al obtener su licencia, de manera gratuita o pagando por ella, el propietario del mismo cede todos los derechos a la persona que la ha adquirido.

Por tanto,GeoGebraal ser un software libre, el usuario tiene pleno derecho a ejecutar, copiar, estudiar, mejorar y redistribuir el software y, al ser gratuito, no paga nada por estos derechos.

Desde 2006,Geogebracuenta con el respaldo del Ministerio de Educación austriaco para mantener su condición de software libre y gratuito para la educación matemática en colegios y universidades.

Las ventajas del uso de este programa son, principalmente:

• Al poseer una vista gráfica y una vista algebraica, permite establecer una conexión

2.3. Introducción de las nuevas tecnologías en Bachillerato

entre los símbolos algebraicos y las gráficas geométricas. De esta manera, en todo momento, el usuario puede ver la conexión existente entre ellos y entender mejor lo que está haciendo.

• Con los años ha ido mejorando su parte de geometría dinámica, incluyendo una vista gráfica en 3 dimensiones, pero también ha ido introduciendo opciones de cálculo simbólico, implantando un sistemaCAS (Computer Algebra System), en el que se incluyen herramientas de análisis, de cálculo y de evaluación, al igual que la posibilidad de realizar hojas de cálculo. De esta forma amplia su funcionalidad más allá de los conceptos geométricos y se convierte en una buena herramienta para el desarrollo de conceptos estadísticos, algebraicos y numéricos.

• Gracias a su traducción en diferentes idiomas, ha conseguido crear una comuni- dad en donde se puede compartir las propias realizaciones.

2.3 Introducción de las nuevas tecnologías en Bachillerato

En el Bachillerato existen dos modalidades distintas en las que se imparten matemá- ticas,Humanidades y Ciencias SocialesyCiencias de la Naturaleza y de la Salud y de Tecnología. En general, es en la modalidad de Ciencias en los que los alumnos presentan más dificultades de comprensión en los conceptos más avanzados de las matemáti- cas, debido en parte a su nivel de abstracción en comparación con las matemáticas impartidas en la otra modalidad.

Dentro de la rama de ciencias nos encontramos las materias de “Matemáticas I” y “Matemáticas II”, para los dos cursos del Bachillerato, respectivamente. En los dos cursos, el currículo se divide en cinco bloques: Procesos, métodos y actitudes en matemáticas, Números y Álgebra, Análisis, Geometría y Estadística y Probabilidad.

Este trabajo se centra en el estudio e investigación de los problemas del bloque de Análisis, en particular en los problemas de optimización.

2.3.1 Optimización en Bachillerato

Volviendo al Boletín Oficial de las Islas Baleares (2015), en el Bloque 3 (Análisis), en el apartado de Criterios de evaluación, aparecen las competencias que se deben asumir en lo referente a la aplicación del cálculo de derivadas para resolver problemas de optimización:

• “Utilizar el cálculo de derivadas para obtener conclusiones sobre el comportamien- to de una función, para resolver problemas de optimización sacados de situaciones reales de carácter económico o social y sacar conclusiones del fenómeno analizado.”

• “Aplicar el concepto de derivada de una función en un punto, su interpretación geométrica y el cálculo de derivadas al estudio de fenómenos naturales, sociales o tecnológicos y a la resolución de problemas geométricos.”

• “Aplicaciones de la derivada: problemas de optimitzación.”

Como se puede observar, después de introducir los conceptos de función, límite y derivada, se establece que un alumno de bachillerato tiene que ser capaz de aplicar estos conocimientos al estudio de situaciones “reales”, estableciendo una conexión entre problemas “reales” y problemas matemáticos. Es en este punto donde los alumnos demuestran más dificultades de entendimiento.

Si bien los problemas de optimización pueden ser muy diversos y de gran dificultad, en Bachillerato se limitan exclusivamente a problemas lineales que se pueden modeli- zar a partir de una función de una variable, continua y diferenciable en el intervalo de soluciones del problema. Este hecho hace que los problemas que se planteen a este nivel se puedan clasificar.

Para este trabajo se han clasificado los problemas de optimización en seis cate- gorías diferentes siguiendo la clasificación que propuso Camacho (1998) [19] en su artículo a partir de un estudio detallado de los enunciados de distintos problemas de optimización planteados en diversos libros de texto:

Tipo 1 Problemas de tipo numéricos: se trata de problemas descontextualizados basados en la búsqueda de diversos números minimizando o maximizando su producto, suma o resta.

Tipo 2 Problemas de vallado: problemas con contexto real en los que se requiere mini- mizar o maximizar el área o el perímetro de un terreno vallado.

Tipo 3 Problemas geométricos en dos dimensiones: problemas que pueden contener tanto un contexto real, como ser de índole puramente geométrico, en donde se pretende maximizar o minimizar figuras geométricas en dos dimensiones.

Tipo 4 Problemas geométricos en tres dimensiones: de nuevo problemas que pueden estar dotados de un contexto real o no y que tienen como objetivo maximizar o minimizar figuras geométricas en tres dimensiones.

Tipo 5 Problema del nadador: en este tipo de problemas se plantea una situación en un contexto real en donde una persona tiene que recorrer una cierta distancia a nado y después a pie, o viceversa, hasta llegar a un punto fijado. El objetivo de este tipo de problemas es minimizar el tiempo empleado en recorrer esa distancia.

Tipo 6 Problema de distancias en el plano: este tipo de problemas tienen como objetivo determinar los puntos en el plano que están a una distancia mínima de una función dada.

Como explica Gómez [20]: “Los artículos y artículos de investigación relaciona- dos con la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo nos muestran las dificultades que presentan los estudiantes en la solución de los problemas de optimización, así como traducir del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico para dar una solución a este tipo de problemas.”

En su estudio, Gómez también explica la importancia que tiene el profesor en este tipo de problemas, ya que, según él, en gran parte de los cursos de cálculo se enseñan estos problemas de manera tradicional: algoritmos, formas y estrategias de solución.

De esta forma, el alumno, como mero espectador, se limita simplemente a repetir de manera mecánica las soluciones, sin llegar a entender implícitamente, en muchos casos, los conceptos matemáticos utilizados y el por qué de ellos.

2.4. Metodologías en la enseñanza matemática 2.3.2 Nuevas tecnologías aplicadas en problemas de optimización

Con la intención de solventar estos problemas de entendimiento en la enseñanza del concepto de optimización muchos estudios abogan por el uso de las TIC y las TAC para facilitar la conexión entre el aspecto teórico-matemático del problema y su interpretación en la vida real.

En el estudio de Gomez (2004), mencionado en la sección anterior, nos encontramos un ejemplo del uso de las TIC/TAC en la modelación de problemas de optimización con la hoja de cálculo.

A partir de la utilización de la hoja de cálculo se pretende “que los alumnos sean capaces de desarrollar la habilidad de elegir la representación más adecuada, pasar de una a otra y que reconozcan la importancia o valor de ver un cierto problema desde diferentes puntos de vista.” Por ese motivo, argumenta que “el uso adecuado de actividades de simulación y modelación diseñadas en la hoja de cálculo permite generar destreza en el planteamiento de los problemas, lograr que los alumnos se familiaricen con los procesos abstractos y desarrollen la habilidad de cambiar entre los distintos sistemas de representación.”

Es decir, con el soporte de la hoja de cálculo el alumno puede simular de manera rápida y eficiente diferentes soluciones del problema, llevándole progresivamente a la solución óptima (generalmente maximizar o minimizar un parámetro en concreto).

Por otro lado, un estudio realizado en un centro de educación secundaria en An- dalucía con alumnos de segundo de bachillerato (Laguardia (2013)) [21] propuso la utilización de GeoGebra para el estudio y análisis de problemas de optimización. “El objetivo del trabajo con los alumnos fue que reconocieran las regularidades, así como relacionar el análisis y la geometría en algunos casos.”

Estas regularidades se basaban en el cambio de las condiciones iniciales de los problemas a partir de la herramientadeslizadorde GeoGebra, con el fin de reestructurar el problema y volver a calcular la solución. Tanto el profesor como los alumnos valoran positivamente el trabajo realizado con GeoGebra.

2.4 Metodologías en la enseñanza matemática

Hasta el momento se ha mencionado el uso de las nuevas tecnologías como herramien- ta de enseñanza y aprendizaje en las matemáticas y en particular en los problemas de optimización. Pero es importante hacer hincapié en la forma en la que se pueden unir estos dos conceptos, es decir, en la metodología que se puede seguir para producir este hecho.

La metodología se puede definir como un conjunto de métodos que se siguen en una investigación científica, un estudio o una exposición doctrinal. La finalidad de la metodología es señalar los procedimientos que se tienen que seguir para alcanzar un determinado objetivo.

Las metodologías educativas son aquellas cuyo objetivo es el aprendizaje de concep- tos. Este tipo de metodologías indican al docente los métodos y técnicas de enseñanza, al igual que las herramientas necesarias, para introducir, profundizar o evaluar ciertos conceptos.

La Educación Matemática Realista y el método de Polya serán las dos metodologías utilizadas en la elaboración de las actividades que componen la unidad didáctica.

2.4.1 Educación Matemática Realista

La Educación Matemática Realista es una corriente didáctica desarrollada en Holanda por Hans Freudenthal en los años 70. Esta corriente nace a partir de la necesidad, por aquel entonces extendida en todo el mundo, de reformar la enseñanza de las matemá- ticas. Freudenthal fue un gran impulsor de un cambio en la enseñanza tradicional de la matemática, que consideraba en aquella época estancada.

Como remarca Bressan [22], basándose en el trabajo realizado por Goffree [23], la educación matemática realista “ no pretende ser una teoría general del aprendizaje, sino que es más bien una teoría global (una “filosofía” según Freudenthal) que se concretiza en un conjunto de teorías locales de enseñanza de tópicos de la matemática.”

Según Bressan la EMR se basa en tres ideas:

• Pensar la matemática como actividad humana (matematización), por lo tanto, debe existir una matemática para todos.

• Aceptar que el desarrollo de la comprensión matemática pasa por distintos nive- les donde los contextos y los modelos poseen un papel relevante. Dicho desarrollo se lleva a cabo por el proceso didáctico denominado reinvención guiada.

• Las dos ideas anteriores, matematización y reinvención guiada, requiere de la fenomenología didáctica como metodología de investigación, esto es, la bús- queda de contextos y situaciones que generen la necesidad de ser organizados matemáticamente.

Estas son las tres ideas o conceptos en los que se basa la Educación Matemática Realista descrita por Freudenthal. Como explica Alsina (2009) [24] en su artículo, la EMR se fundamenta en seis principios fundamentales:

• Principio de actividadComo ya hemos explicado, las matemáticas se consideran una actividad humana, con la finalidad de matematizar (organizar) el mundo. Ma- tematizar involucra principalmente generalizar y formalizar. Formalizar implica modelizar, simbolizar, esquematizar y definir, y generalizar conlleva reflexión.

• Principio de realidadLa mejor manera de aprender matemáticas es hacer mate- máticas en contextos reales, tanto situaciones problemáticas de la vida cotidiana o situaciones problemáticas que son reales en la mente de los alumnos. Pero es necesario que de manera progresiva los problemas se desprendan de la vida cotidiana para adquirir un carácter más general, es decir, para transformarse en modelos matemáticos.

• Principio de nivelesLos diferentes niveles de compresión por los que pasa el estudiante son:Situacional(contexto de la situación),Referencial(esquemati- zación a través de modelos),General(exploración, reflexión y generalización) y Formal(procedimientos estándares y notación convencional).

• Principio de reinvención guiadaCon este principio se pretende presentar si- tuaciones problemáticas abiertas que ofrezcan una variedad de estrategias de solución y una discusión abierta entre los estudiantes sobre el grado de eficacia de las estrategias utilizadas por cada uno.

2.4. Metodologías en la enseñanza matemática

• Principio de interacciónLa enseñanza de las matemáticas es considerada una actividad social. La interacción entre los estudiantes y entre los estudiantes y los profesores puede provocar que cada uno reflexione a partir de lo que aportan los demás y así poder alcanzar niveles más altos de comprensión.

• Principio de interconexiónLos bloques de contenido matemático (cálculo, ál- gebra, geometría, etc) no pueden ser tratados como entidades separadas, por tanto, las situaciones problemáticas deberían incluir contenidos matemáticos interrelacionados.

En resumen, la Educación Matemática Realista se basa por un lado en la contextua- lización de las matemáticas (matematización), por otro lado se basa en la necesidad de interacción entre los estudiantes de las distintas estrategias presentadas para la resolución de problemas, con el fin de conducirlos a la reflexión y de ahí a alcanzar niveles más altos de conocimientos.

2.4.2 Método de Polya para resolver problemas matemáticos

Otra de las metodologías que se pueden encontrar hoy en día es el Método de Polya, el cual se puede implantar junto con la Educación Matemática Realista para introducir nuevos conceptos matemáticos.

George Polya fue un matemático nacido en Hungría a finales del siglo XX conocido mundialmente por sus trabajos sobre la metodología a la hora de resolver problemas matemáticos. Su interés se centraba en el proceso del descubrimiento, es decir, en como se derivan los resultados matemáticos, y no solo en su resolución. En su libroComo plantear y resolver problemas[25] presentó un método de 4 pasos para la resolución de problemas de matemáticas. Este método se basa en preguntas que el alumno tiene que ir contestando de manera que gracias a ellas llegue por si solo a solución del problema:

• Comprender el problema:

– ¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?

– ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incóg- nita?, ¿Es insuficiente?, ¿Redundante?, ¿Contradictoria?

Lo primero que tenemos que hacer al enfrentarnos a un problema matemático es comprender el problema, esto se puede traducir como ver claramente lo que se pide.

• Concebir un plan:

– ¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?

– ¿Conoces algún problema relacionado con éste? ¿Conoces algún teorema que te pueda ser útil? Mira atentamente la incógnita y trata de recordar un problema que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.

– He aquí un problema relacionado al tuyo y que ya has resuelto ya. ¿Puedes utilizarlo? ¿Puedes utilizar su resultado? ¿Puedes emplear su método? ¿Te hace falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?

– ¿Puedes enunciar al problema de otra forma? ¿Puedes plantearlo en forma diferente nuevamente? Recurre a las definiciones.

– Si no puedes resolver el problema propuesto, trata de resolver primero al- gún problema similar. ¿Puedes imaginarte un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular?

¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? Considera sólo una parte de la condición; descarta la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puedes deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puedes pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógni- ta? ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que estén más cercanos entre sí?

– ¿Has empleado todos los datos? ¿Has empleado toda la condición? ¿Has considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Segundo, tenemos que captar las relaciones que existen entre los diversos ele- mentos, ver lo que liga a la incógnita con los datos a fin de encontrar la idea de la solución y poder trazar un plan.

• Ejecutar un plan:

– Al ejercutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos – ¿Puedes ver claramente que el paso es correcto? ¿Puedes demostrarlo?

Tercero, poner en ejecución el plan trazado en el paso anterior, comprobando paso a paso que estamos haciendo lo correcto. Es en este paso donde se ponen de manifiesto los conceptos adquiridos, hábitos de pensamiento y concentración.

• Visión retrospectiva:

– ¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes el razonamiento?

– ¿Puedes obtener el resultado en forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe?

¿Puedes emplear el resultado o el método en algún otro problema?

Por último es muy importante verificar que el resultado obtenido es el correcto. A pesar de que en la fase anterior hayamos ido comprobando que todos los pasos que seguíamos del plan eran correctos siempre se pueden cometer errores en el proceso, por tanto es de vital importancia comprobar si la solución es correcta.

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U ^NIDAD D ^IDÁCTICA

3.1 Contexto y justificación

Esta unidad didáctica se basa en la enseñanza de problemas lineales de optimización a partir de archivos de GeoGebra, con la finalidad de que los alumnos, de acuerdo con el Decreto 35/2015 sean capaces de plantear los problemas relacionados con la geometría y las ciencias experimentales y sociales, resolverlos e interpretar el resultado obtenido dentro del contexto del problema. A pesar de que el currículum de las Islas Baleares establece que este contenido corresponde a la asignatura Matemáticas II, impartida en segundo de Bachillerato, se llevará a cabo en la asignatura Matemáticas I de primero bachillerato como la última parte del contenido del bloque de Análisis Matemático.

Se espera que a partir de esta unidad didáctica los alumnos sean capaces de:

• Saber interpretar correctamente los enunciados de los problemas de optimiza- ción clásicos citados en el marco teórico.

• Conocer y comprender la utilidad de los problemas de optimización.

• Expresar matemáticamente los datos del problema.

• Relacionar correctamente las variables.

• Traducir correctamente el enunciado del problema al lenguaje de las funciones para poder resolverlo a partir de herramientas de cálculo diferencial.

• Saber interpretar la solución del problema en su contexto.

La unidad didáctica se llevará a cabo en dos clases diferentes de primero de ba- chillerato del instituto IES Bendinat. Los dos cursos pertenecen a la modalidad de bachillerato Cientifico-Técnico y tienen a la misma profesora, lo cual implica que se ha impartido el mismo temario en las dos clases y de manera muy similar.

3.2 Contribución a las competencias básicas

En lo que respecta a las competencias matemáticas esta unidad didáctica tiene como objetivo contribuir en el razonamiento del alumno a partir de los problemas planteados siguiendo el método de Polya. Por otro lado pretende contribuir también a la utilización de un lenguaje matemático formal y a la construcción de modelos matemáticos como son la resolución de los problemas de optimización. Por último, gracias a la introduc- ción en las actividades de la Educación Matemática Realista, se busca que los alumnos sean capaces de plantear y resolver problemas de la vida cotidiana.

A continuación se presentan en su totalidad las dimensiones y subdimensiones de las contribuciones a las competencias matemáticas:

• Pensar, razonar y argumentar:

– Seguir procesos de pensamiento (inductivo, deductivo, ...)

– Aplicar procedimientos y elementos de la lógica para identificar la validez de los razonamientos, así como valorar el grado de certeza asociado a los resultados de los que derivan.

• Utilizar el lenguaje técnico, formal y simbólico y los diferentes sistemas de repre- sentación:

– Traducir del lenguaje natural al lenguaje simbólico/forma, y entender las relaciones entre uno y otro.

• Utilizar y construir modelos matemáticos:

– Interpretar modelos matemáticos en función de la realidad.

– Identificar situaciones y traducirlas a estructuras matemáticas.

– Trabajar con modelos matemáticos.

• Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana y del mundo laboral:

– Identificar situaciones cotidianas y del mundo laboral que se pueden resol- ver utilizando los elementos y razonamientos matemáticos.

– Comunicar el planteamiento de un problema, los procesos seguidos en su resolución y los resultados obtenidos.

Por otro lado, al utilizar las nuevas tecnologías en las actividades propuestas, esta unidad didáctica también contribuye en la utilización de la información y competencia digital, en particular:

• Transformar la información en conocimiento:

– Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación como herra- mienta para organizar la información, procesarla y orientarla, para conse- guir objetivos y finalidades de aprendizaje, de trabajo y de ocio previamente establecidos.

3.3. Contenidos

3.3 Contenidos

En lo que se refiere a los contenidos que se trabajaran durante el desarrollo de las actividades propuestas tenemos:

• Determinación de la solución de manera intuitiva a partir de la herramienta deslizador.

• Realización de razonamientos y reflexiones sobre los problemas propuestos.

• Planteamiento de problemas contextualizados de manera cercana al alumno.

• Comprobación mediante representaciones gráficas de la función.

• Determinación, a partir de los datos del enunciado, si se debe maximizar o mini- mizar la función obtenida.

• Relación con conocimientos previos o materias:

– Continuidad de una función, cálculo de derivadas y puntos críticos. Deter- minar si los puntos críticos son máximos y mínimos.

– Problemas en los que aparecen conceptos de física y geometría.

3.4 Metodología

Se pretende que el alumno vaya construyendo su propio aprendizaje a partir de la resolución de los problemas guiado por los cuestionarios de resolución y los archivos GeoGebra determinados de cada problema. El profesor asumirá un papel de guía durante todo el aprendizaje, interviniendo únicamente cuando algún alumno haya cometido un error en la interpretación del cuestionario.

Cada problema propuesto dispone de un archivo GeoGebra específico y una serie de diapositivas en donde se encuentra el cuestionario de resolución. Se pretende que se resuelvan los problemas siguiendo el método de Polya. Cada cuestionario de resolución está divido en cuatro partes:

1. Comprender el problemaEn esta primera parte el alumno solo dispone, a parte del cuestionario, del enunciado del problema. A partir de las preguntas el alumno debe aprender a interpretar el enunciado y comprender el objetivo del problema.

2. Concebir un planEn esta parte es cuando se introduce el archivo GeoGebra, de manera que, junto al cuestionario, el alumno sea capaz de obtener la función objetivo del problema.

3. Ejecutar el planEn esta parte, una vez definida la función objetivo y determinado el objetivo del problema, el alumno debe obtener la solución a partir de los conocimientos adquiridos previamente de calculo de derivadas y máximos y mínimos.

4. Visión retrospectivaEn esta última parte el alumno debe ser capaz de juzgar si la solución obtenida en el apartado anterior es la correcta a partir del archivo GeoGebra del problema con el soporte de la imagen que modela el problema (vista gráfica 1) y la gráfica de la función (vista gráfica 2).

3.4.1 Problemas propuestos

En el transcurso de la unidad didáctica se propondrán en clase 5 problemas diferentes pertenecientes a 4 tipos diferentes de la clasificación planteada en el marco teórico.

El primer problema es el clásico problema de la multiplicación máxima de dos números con la suma fijada (problema Tipo 1 en la clasificación).

El segundo es un problema en el que se quiere imprimir dos fotos, una cuadrada y otra rectangular, en una misma hoja cuadrada pero utilizando la menor cantidad posible de tinta (problema Tipo 3).

En cuanto al tercero, se trata del problema del nadador: un nadador se encuentra en el mar enfrente de una caseta situada en la playa y desea ir hasta un punto B situado también en la playa a una cierta distancia de la caseta, la pregunta es a que lugar, de entre la caseta y el punto B se tiene que dirigir a nado para para llegar a B en el menor tiempo posible (problema Tipo 5).

Los dos últimos problemas describen en los dos casos objetos tridimensionales.

En el caso del cuarto, se trata de construir una caja de volumen máximo sin tapa a partir de una cartulina cuadrada recortando los bordes de esta. Por otro lado, el quinto problema, busca definir las dimensiones de una lata con un volumen fijado, con forma cilíndrica, de manera que la chapa empleada para construirla sea la menor posible (problemas Tipo 4).

3.4.2 Desarrollo de las sesiones

Las sesiones se agrupan en tres bloques: Introducción, Contextualización y Problemas 3D (Ver AnexoA). Los problemas pertenecientes a los dos últimos bloques tienen un contexto real, siguiendo el principio de realidad de la Educación Matemática Realista.

Después de cada una de las sesiones se realizará una parte de trabajo autónomo (deberes) a partir de un cuestionario Moodle.

A continuación se hará una breve descripción de los bloques y del trabajo autóno- mo:

• Bloque 1:El primer bloque será una introducción a la optimización a partir del problema de la multiplicación de números. Se introducirán los pasos que se de- ben seguir para resolver problemas de optimización a partir de la determinación de la solución de manera visual e intuitiva con la utilización de la herramienta deslizador. Una vez determinada la solución del problema se guiará al alumno a obtener la función que modela el problema a partir del cuestionario y del archi- vo GeoGebra, y posteriormente, determinar de nuevo la solución, pero en este caso utilizando la función. Se cerrará la sesión con el planteamiento del mismo tipo de problema pero en este caso con números que conlleven cierta dificultad calcularlos mentalmente y de esta manera hacer hincapié en la importancia que tiene resolver este tipo de problemas de manera analítica.

3.5. Evaluación

• Bloque 2: En el segundo bloque, a diferencia del primero, no se obtendrá la solución exacta de manera visual. Se proponen problemas con contextos reales atractivos para los alumnos. En el primer problema, el problema de las fotos, a partir de la imagen del archivo GeoGebra y junto con el cuestionario, se pretende que el alumno sea capaz de intuir la solución a partir del deslizador y determinar si se trata de un problema de maximizar o minimizar, ya que no aparece de manera explícita en el enunciado. Posteriormente, de manera similar al bloque anterior, con la ayuda del cuestionario obtener la función objetivo, calcular la solución y comprobar que es la correcta. El segundo problema, el problema del nadador, incluye nociones básica de física. Para facilitar la obtención de la función objetivo se plantean en primer lugar dos casos particulares del problema.

Una vez obtenida la función se calcula el resultado y se comprueba la solución.

• Bloque 3:En el último bloque se introducen problemas en tres dimensiones con contexto real, el problema de la caja sin tapa y el problema de la lata. En este caso las funciones objetivo tienen más de un punto crítico, de manera que el alumno, a partir del cuestionario y junto con la interpretación del enunciado debe decidir cual de estos puntos críticos es la solución.

• Cuestionarios Moodle:Se desarrollará como actividad autónoma obligatoria y consistirá en una serie de cuestionarios, (Ver AnexoB), con preguntas tipo test y calculadas donde el alumno deberá indicar la respuesta correcta para cada uno de los problemas. Algunos de los problemas estarán acompañados por imágenes en GeoGebra para facilitar la comprensión. En estos cuestionarios se plantearán problemas de todos los tipos mencionados en la clasificación hecha en el marco teórico a excepción de los problemas tipo 6, ya que al realizar la unidad didáctica en las clases de Matemáticas I los alumnos no disponen de los conocimientos necesarios para desarrollar este tipo de problemas.

3.5 Evaluación

Se realizarán tres cuestionarios Moodle obligatorios después de cada uno de los blo- ques. El primer cuestionario se corresponderá con un 5 % de la nota final. El segundo cuestionario con un 10 % y el tercer cuestionario con un 15 %. Se realizará un examen final, (Ver AnexoE), que corresponderá con el porcentaje restante de la nota, es decir, un 70 %.

Los criterios de evaluación que se seguirán para las correcciones de los cuestiona- rios y del examen son:

• Interpretar correctamente los enunciados de los problemas.

• Relacionar los datos que proporciona el enunciado con conceptos matemáticos.

• Saber definir la función objetivo.

• Saber comprobar e interpretar los resultados obtenidos.

3.6 Temporalización, material, grupos y organización de las sesiones

Cada bloque corresponderá con una hora de clase lectiva y en total se utilizarán tres clases para el desarrollo de todos los problemas propuestos, más una clase para la reali- zación de la evaluación final. Como trabajo autónomo se mandarán los cuestionario Moodle al finalizar cada bloque.

Los materiales utilizados durante la realización de las clases serán:

• Recursos materiales:

– Ordenador portátil – Proyector

– Calculadora

• Recursos Web:

– Enlace a la plataforma Moodle:http://tinyurl.com/enlacemoodle – Enlaces a la página web de GeoGebra:

* Problema multiplicación de números:http://tinyurl.com/GeoNum

* Problema de las fotos:http://tinyurl.com/GeoFot

* Problema del nadador:http://tinyurl.com/GeoNad

* Problemas 3D:http://tinyurl.com/Geo3DProm(Debido a un pro- blema con la página web de GeoGebra los problemas 3D están colgados es un dropbox a parte.)

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A ^CTIVIDAD E XPERIMENTAL

4.1 Grupos

Como ya se ha mencionado, el desarrollo de la unidad didáctica se llevó a cabo en dos grupos distintos de primero de bachillerato del instituto IES Bendinat durante el tercer trimestre del curso.

Los dos cursos habían estudiado hasta la fecha las definiciones de derivada, conti- nuidad de una función y puntos críticos, junto con las aplicaciones de la derivada y las rectas tangentes.

A pesar de ser dos grupos del mismo instituto y con la misma profesora eran bas- tante dispares. El grupo E se trataba de una clase bastante reducida (18 alumnos) con alumnos por lo general tranquilos y con un alumno diagnosticado con altas capacida- des. Por otro lado el grupo D era una clase más numerosa (26 alumnos) y en general menos tranquila.

4.2 Desarrollo de las sesiones

En el trascurso de las sesiones se tuvo que modificar ligeramente la metodología plan- teada en la propuesta didáctica. En un principio se planteó que las preguntas del cuestionario de cada uno de los problemas se proyectaran como diapositivas de mane- ra que los alumnos fueran contestándolas una a una sin ver las siguientes preguntas (de esta manera se evitaba que la siguiente pregunta planteada condicionara la respuesta de la que se había planteado en ese momento). Desde el principio de la primera sesión quedó constancia que el hecho de tener que ir cambiando de ventana en el proyector, de la imagen GeoGebra a las diapositivas con las preguntas y luego vuelta a la imagen, no favorecía a que el alumno razonara debidamente, por lo que se optó por plantear las preguntas en voz alta a la clase siempre con la imagen GeoGebra en el proyector. A partir de ahí todas las demás sesiones se hicieron siguiendo esta metodología.

4.2.1 Grupo E

En la primera sesión se planteó, como estaba programado, el problema de la multipli- cación de números (Tipo 1). En menos tiempo del esperado los alumnos contestaron correctamente a todas las preguntas del cuestionario de resolución, por lo que se tuvo que adelantar parte del material propuesto como trabajo autónomo. Se planteó un pro- blema Tipo 3 (dimensiones de un rectángulo de perímetro fijado y área máxima) que estaba programado como parte del cuestionario Moodle de Introducción. De nuevo los alumnos no encontraron ningún tipo de dificultad a la hora de resolver el ejercicio, por lo que se optó por adelantar el primer problema programado para la segunda sesión, problema de las fotos (Tipo 3).

Debido a que durante la primera sesión se planteó el problema de las fotos, la segunda sesión se centró únicamente en resolver el problema del nadador, ya que, debido a la complejidad del enunciado, se tuvo que invertir mucho más tiempo en la resolución del mismo.

Por último, el transcurso de la tercera sesión fue tal y como se había programado en un principio, con el planteamiento del problema de la caja sin tapa y el problema de la lata.

4.2.2 Grupo D

Al igual que con el grupo E, durante la primera sesión con el grupo D se resolvió antes de tiempo el primer problema programado, por lo que se optó por adelantar, como se había hecho anteriormente con el otro grupo, el problema de las dimensiones del rectángulo (Tipo 3). No dio tiempo para plantear ningún problema más.

En la segunda sesión se planteó, como estaba programado, el problema de las fotos. Debido a la complejidad del enunciado y al hecho de que los alumnos estaban especialmente dispersos, habían tenido un examen de otra asignatura la clase anterior, se invirtió toda la hora en entender y en resolver este problemas, sin que diera tiempo a que se planteara el problema del nadador.

Durante el desarrollo de la última sesión, en lugar de continuar con el segundo problema del Bloque 2, se decidió no plantear este problema y pasar a los problemas del Bloque 3 como estaba programado.

4.3 Desarrollo del trabajo autónomo

En un primer momento se plantearon como ejercicios de trabajo autónomo tres cues- tionarios moodle, uno por cada sesión de clase. Debido a que el último cuestionario planteado, después de la tercera sesión, no iba a resultar práctico, ya que no daba posibilidad a resolver dudas antes del examen, se decidió eliminar ese cuestionario y colgar dos pdf en la plataforma moodle, uno con los enunciados de tres problemas propuestos y otro con las soluciones de estos tres problemas.

Con el grupo D hubo una serie de problemas con los cuestionarios Moodle. Después de la primera sesión se planteó el primer cuestionario, debido a que este grupo no estaba acostumbrado a realizar ningún tipo de actividad a través de esta plataforma y teniendo en cuenta que cinco alumnos no tenían las credenciales para acceder a ella se

4.4. Porcentajes de evaluación

decidió que tras la segunda sesión en lugar de un cuestionario Moodle se tendrían que realizar tres ejercicios para entregar en clase en la siguiente sesión.

En cambio, con el grupo E, no hubo ningún problema con la utilización de la plataforma Moodle, la habían estado utilizando durante todo el curso en otra asignatura.

Por lo tanto se pudo realizar sin ningún contratiempo los dos cuestionarios propuestos.

4.4 Porcentajes de evaluación

Debido al cambio que se tuvo que hacer con respecto a los cuestionarios, eliminar el último cuestionario y plantear una entrega al grupo D, se decidió modificar los porcentajes de evaluación propuestos en la unidad didáctica. En lugar de contar los cuestionarios un 30 %, 5 %, 10 % y 15 % por cada cuestionario, se decidió que el examen final contara el 100 % de la nota y que las entregas y cuestionarios realizados se tuvieran en cuenta a la hora de puntuar el examen.

4.5 Observación

Antes de realizar la experimentación hubo varias reuniones con la profesora de los alumnos para aclarar los horarios, las sesiones y preparar el material.

Para poder analizar posteriormente todos los comentarios de los alumnos durante las sesiones, estas se grabaron en pistas de audio con el móvil.

Además, unos días después del examen se les proporcionó un cuestionario de evaluación que incluía cuatro preguntas numéricas y dos preguntas donde tenían que indicar que era lo que más les había gustado de las clases y lo que menos . También se le proporcionó a la profesora un cuestionario específico de opinión, con un apartado para que diera su opinión en general sobre la experimentación.

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A NÁLISIS DE LOS RESULTADOS

A continuación se hará un análisis de los resultados obtenidos, comentando los puntos fuertes y los puntos débiles de cada uno de los problemas propuestos durante las sesiones, así como del trabajo autónomo y la evaluación final llevada a cabo. Por último se analizarán los comentarios y resultados de la encuesta evaluación personal de la unidad didáctica proporcionada tanto a alumnos como a la profesora.

5.1 Problemas planteados en las sesiones

En general, durante el desarrollo de todas las sesiones con los dos grupos se pudo apreciar una mayor motivación de la clase por la utilización del programa GeoGebra.

Esto concuerda con la justificación que hacía Prensky (2001) con respecto a utilizar las nuevas tecnologías como herramienta de aprendizaje con los nativos digitales.

5.1.1 Problema de la multiplicación de números

El primer problema que se les planteó a los alumnos fue un problema de tipo numérico, tipo 1 en la clasificación, para introducir el concepto de optimización. Como se ha comentado anteriormente, se trata de un problema descontextualizado. En primer lugar se les presentó el enunciado como se muestra en la Figura5.1:

La principal dificultad que encontraron los alumnos fue trasladar el enunciado a lenguaje matemático y de ahí obtener la función objetivo del problema. Esta dificul- tad se solventó mostrando directamente la modelización del problema y a partir de ahí explicándoles el concepto de restricción y función objetivo de los problemas de optimización:

½ x+y=10 Restricción x·y m´ax Función objetivo

A pesar de esta dificultad, los alumnos fueron perfectamente capaces de encontrar la solución mentalmente cuando la suma de las dos variables era 10. En cuanto se les

Figura 5.1: Enunciado del problema de los números

preguntó por la respuesta en el caso en el que la suma de las dos variables fuera 1235, un alumno comentó que en este caso el problema no se podía calcular tan fácilmente.

Fue en ese momento cuando, gracias a la ayuda del archivo GeoGebra se les enseñó a calcular la solución de manera analítica.

Una vez obtenida la función objetivo se les planteó la gráfica de dicha función en la vista gráfica 2 del archivo GeoGebra, como se puede ver en la Figura5.2:

Figura 5.2: Archivo GeoGebra del problema de los números

A la pregunta de por qué la gráfica de la función estaba definida entre 0 y 10 un alumno contestó:“Porque es el valor en el que se mueve la variable x”.

Al volver a mover el deslizador, con el puntoP de la gráfica moviéndose sobre la misma, los alumnos vieron claro que la solución del problema era, en realidad, un máximo de la función planteada.

A partir de aquí, con los conocimientos que tenían de calculo de máximo y mínimos de una función fueron capaces de obtener la solución de manera analítica.

5.1.2 Problema de las fotos

Como en el problema anterior, se les presentó en primer lugar el enunciado a partir de una diapositiva, como se puede ver en la Figura5.3.

5.1. Problemas planteados en las sesiones

Figura 5.3: Enunciado del problema de las fotos

La principal dificultad que se encontraron los alumnos durante el desarrollo de este problema fue el enunciado. Al tratar de darle un contexto realista se incrementó dema- siado la dificultad de comprensión del problema y, por consiguiente, la modelización del mismo.

A los alumnos les costó bastante primero entender el problema, no entendían el significado de una foto a escala, y después definir las variables y crear la función objetivo a partir de ellas.

A pesar de estas dificultades iniciales, una vez que entendieron y obtuvieron la fun- ción objetivo, los alumnos fueron capaces de determinar perfectamente la restricción del enunciado y de ahí despejar las variables para que la función objetivo solo tuviera una variable y así poder sacar la solución de manera analítica.

Por otro lado, el hecho de haber planteado para este problema un cuestionario den- tro del archivo GeoGebra, como se puede ver en la Figura5.4, ayudó a que entendieran poco a poco el enunciado del problema, a pesar de las dificultades ya mencionadas, y de que vieron mejor los casos extremos del problema. También supieron interpretar correctamente el hecho de que si a la impresora casi no le quedaba tinta implicaba que se trataba de un problema de minimizar.

Figura 5.4: Archivo GeoGebra del problema de las fotos

5.1.3 Problema del nadador

Como se ha comentado en la sección anterior, este ejercicio, propuesto como segundo ejercicio en la segunda sesión, no se pudo llevar acabo en uno de los grupos por problemas de tiempo.

Una vez presentado el enunciado, Figura5.5, se les dejó unos minutos para que pensaran en la solución.

Figura 5.5: Enunciado del problema del nadador

La principal dificultad que se encontraron los alumnos durante el desarrollo de este problema fue a la hora de derivar la función. Tuvieron bastantes problemas con los denominadores de la función:

f(x)=

p9+x²

3 +6−x 5

Debido en parte a que no habían practicado suficiente este tipo de derivadas.

En cuanto a la compresión del enunciado, si bien se trataba de un problema con un enunciado complicado, gracias a los casos particulares propuestos, Figura5.6, en el archivo GeoGebra los alumnos fueron capaces de determinar mejor la función objetivo.

Con el primer caso particular los alumnos entendieron que para saber el tiempo que tardaba el nadador en llegar al punto B, primero se tenía que calcular el tiempo que tardaba a nado utilizando la fórmula,v=^e_t, y después de la misma forma calcular el tiempo que corría.

Con el segundo caso particular pudieron ver que se necesitaba utilizar el Teorema de Pitágoras para expresar la distancia que se recorría a nado.