Oppgaveark Uke 38 (14/09-18/09) MAT111 - H09
Oppgave 1
(a) Vurd´er om grensene
x→0limsin1 x
og lim
x→0xsin1 x
eksisterer. (Siste grense er Oppgave 1.2.78, som dere fikk i uke 36) (b) La
f(x) =
(xsin
1 x
x6= 0
0 x= 0.
Vis at f er kontinuerlig i x= 0.
(c) Skriv ned uttrykket
f(h)−f(0) h og vurd´er om grensen
h→0lim
f(h)−f(0) h eksisterer.
(d) Vurd´er om f er deriv´erbar i x= 0.
(e) Skriv ned uttrykket for f0(x).
Figure 1. Grafen til f(x) i Oppgave 1
1
2
Oppgave 2
(i) Samme som Oppgave 1(b-d), men for funksjonen
f(x) =
(x2sin
1 x
x6= 0
0 x= 0.
(ii) Er f0 kontinuerlig i x= 0?
(iii) Med utgangspunk i det du nettopp har vist, vurd´er følgende p˚astand: “Om en funksjon er deriv´erbar i et punkt, da er den deriverte ogs˚a kontinuerlig i punktet.”
Denne oppgaven er i praksis lik Oppgave 2.8.18 i læreboken (2.6.18 i utg. 6) og Oppgave 6 i Eksamen MAT111-H04.
Figure 2. Grafen tilf(x) i Oppgave 2, forstørret til høyre
Fasit/hint p˚a neste side
3
Fasit og hint til oppgavene
Oppgave 1. (a) Den første eksisterer ikke. (N˚ar x → 0, vil sin
1 x
ikke nærme seg noen bestemt verdi men fortsette ˚a svinge mellom 1 og−1 uansett hvor nær innp˚a null x er.) Den andre er 0 (ved skviseteoremet); (b) limx→0f(x) = f(0) ved (a); (c) sin
1 h
slik at grensen ikke eksisterer ved (a); (d) Nei (ved (c) og definisjonen av den deriverte); (e) f0(x) = sin
1 x
− 1xcos
1 x
, x6= 0 (ved produktregel og kjerneregel).
Oppgave 2. (i) limx→0f(x) = f(0) vises som over med skviseteoremet, slik at f er kontinuerlig. Uttrykket er hsin
1 h
og grensen er null igjen ved skviseteoremet, slik atf er deriv´erbar ix= 0 ogf0(0) = 0. Hele uttrykket for den deriverte er derfor
f0(x) =
(2xsin
1 x
−cos
1 x
x6= 0
0 x= 0.
(ii) Nei, siden 2xsin
1 x
→ 0 n˚ar x → 0, mens limx→0cos
1 x
ikke nærmer seg noen bestemt verdi n˚ar x → 0 (som den første grensen i Oppgave 1(a)). Dermed eksisterer ikke grensen limx→02xsin
1 x
−cos
1 x
, ei heller ensidig.
(iii) Feil. Funksjonenf i oppgaven motsier p˚astanden.
Andreas Leopold Knutsen
