Oppgaveark Uke 47 (16/11-20/11) MAT111 - H09
Oppgave 1 (Eksamen NTNU)
Et firma dyrker og selger en bestemt bakteriekultur. Bakteriekulturen vokser med en rate som er proporsjonal (proporsjonalitetsfaktor k) med bakteriemengden til enhver tid, og fordobler seg i løpet av ett døgn.
(a) Finn proporsjonalitesfaktoren k.
N˚ar bakteriemengden har n˚add et visst niv˚a M0 kg, begynner en ˚a høste 10 kg pr.
døgn. Høstingen antas ˚a foreg˚a kontinuerlig og med konstant rate.
(b) Still opp differensialligningen som bakteriemengdenM =M(t) oppfyller etter at høstingen er begynt, og finn M(t) n˚ar en antar at høstingen starter ved tident= 0, dvs. M(0) =M0. Hvor stor m˚aM0 være for at bakteriemengden skal holde seg konstant?
Oppgave 2 (Eksamen NTNU)
I en innsjø er det en fiskebestand som p˚a grunn av en lekkasje fra en nærliggende fabrikk sluttet ˚a formere seg ved tidspunktet t = 0. M˚alinger viser at endringen i fiskebestanden pr. tidsenhet etter dette er omvendt proporsjonal med kvadratroten av fiskebestanden.
Det var 900 fisk i innsjøen da utslippet skjedde, og en m˚aling etter 657 dager viste at det da var 441 levende fisk i innsjøen. Hvor mange dager vil det ta før all fisk er død?
Oppgave 3 (Eksamen NTNU)
En boreplattform slepes med hastighet av 10 km/timen idet slepewiren ryker.
Plattformen siger videre, bent fram. Anta at intet gjøres for ˚a stoppe den, men at hastigheten avtar med en rate som er proporsjonal med kvadratet av hastigheten til enhver tid. Etter 5 minutter er hastigheten sunket til 8 km/timen. Hvor lang tid tar det før hastigheten er sunket til 0,5 km/timen?
Hvor lang strekning har da plattformen drevet?
1
2
Oppgave 4 (Eksamen UiO)
En fiskebestand er fredet og antas ˚a følge den logistiske vekstmodellen dN
dt =rN(K−N),
hvorN(t) er bestandens størrelse ved tident, og hvor rog K er positive konstanter.
Fredningen oppheves og ved avtale blir det vedtatt at det skal fiskes en mengde F per tidsenhet. Vi velger ˚a skrive
F =rsK2 4
hvor s er en konstant som oppfyller 0 < s < 1. (At s er liten betyr i praksis at vi
“ikke fisker for mye”.)
(a) Vis at funksjonenN n˚a vil oppfylle differensialligningen dN
dt =r(K1−N)(N −K2) hvorK1 ogK2 er gitt ved
K1 = K
2(1 +√
1−s), K2 = K
2 (1−√
1−s).
(b) Finn den løsningen av ovenst˚aende ligning som oppfyller initialbetingelsen N(0) =N0.
(c) Anta at N0 < K2. Vis at N er avtagende og avgjør n˚ar vi f˚ar “svart hav”, dvs. n˚arN(t) = 0.
Fasit/hint p˚a neste side
3
Fasit og hint til oppgavene
Oppgave 1.
(a) k = ln 2.
(b) dMdt =kM −10, M(t) = ln 210 +
M0−ln 210
2t, M0 = ln 210.
Oppgave 2. 1000 dager.
Oppgave 3. 6 timer og 20 min, 103 ln 20≈9,99 (km).
Oppgave 4.
(a) Differensialligningen er dNdt =rN(K−N)−F. Skriv ut og faktoris´er.
(b)
N(t) = (N0−K2)K1er(K1−K2)t−(N0−K1)K2 (N0−K2)er(K1−K2)t−(N0−K1) (c) N(t) = 0 n˚ar
t = lnK
2(N0−K1) K1(N0−K2)
r(K1 −K2)
Andreas Leopold Knutsen