Dihedral homologi på skjemaer og étale descent
av
Arthur Mårtensson
MASTEROPPGAVE for graden
Master i Matematikk
(Master of Science)
Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo
November 2012
Faculty of Mathematics and Natural Sciences University of Oslo
Sammendrag
Formålet med denne teksten er å innføre nødvendig teori og utvide definisjonen av dihedral homologi av enk-algebraAtil å gjelde generelle skjemaer over k, tilsvarende det Weibel har gjort for syklisk homologi.
Geller-Weibels om étale descent for syklisk homologi tilpasses også til dihedral homologi.
Innledning
I første kapittel kommer jeg med de algebraiske definisjonene som er nødven- dige. Jeg begynner med å gjengi Hochschild-homologi og syklisk homologi for en algebra Aetter Loday [Lod], og følger opp med dihedral homologi. Etter et avsnitt om spektralsekvenser fra [Wei] gjengir jeg resultatet on étale descent for syklisk homologi fra Geller-Weibel ([GW]) og viser at det samme holder for dihedral homologi.
I kapittel 2 innfører jeg den skjemateorien som trengs for kapittel 3 og 4. De første to avsnittene er hentet fra Hartshorne ([Hart, II.1-2]). Avsnittet om étale avbildninger er fra Milne ([Mil, I.2-3]). Kohomologiteorien til slutt er hentet fra Weibel ([Wei, 5.7]) og Hartshorne.
Kapittel 3 starter med gjengivelse av noen av definisjonene i [W], før jeg defi- nerer dihedral homologiHD∗(X),HD0∗(X)for et vilkårlig skjemaX, og beviser følgende teorem.
Teorem 0.1. Dersom X = SpecA er et affint skjema, har vi en isomorfi:
HD∗(X)≈HD∗(A) og tilsvarende for HD0∗(X).
Til slutt har jeg et lite kapittel hvor målet er å tilpasse noen av resultatene i [GW, §4] til dihedral homologi. Geller-Weibel bruker dette til å bevise algebraisk étale descent for syklisk homologi. Her bruker jeg det til å gi et alternativt bevis av étale descent, med indirekte bruk av Geller-Weibels resultat heller enn direkte som i kapittel 1.
1 Dihedral homologi
Stående antagelser
I dette kapittelet jobber vi over en unital, kommutativ grunnringk.k-algebraer er unitale med mindre annet er spesifisert, og med unntak av avsnitt 1.1 og 1.2 skalk-algebraer også være kommutative. Vi setter⊗=⊗k.
1.1 Hochschild- og syklisk homologi
Gitt en k-algebra A, består Hochschild-komplekset av A-moduler Cn(A) = A⊗n+1 hvorA⊗n+1betyr A⊗. . .⊗A, medn+ 1faktorer.
Definisjon (Hochschild-kantavbildningen). Kantavbildningen b i Hochschild- komplekset
C∗(A) : · · ·−→b Cn(A)−→ · · ·b −→b C1(A)−→b C0(A)→0 (1)
er definert som
b(a0, a1, . . . , an) =
n−1
X
i=0
(−1)i(a0, a1, . . . , aiai+1, . . . an) + (−1)n(ana0, a1, . . . , an)
Det er hensiktsmessig å dele oppbi de leddene som dukker opp i definisjonen over, slik:
di(a0, a1, . . . , an) = (a0, a1, . . . , aiai+1, . . . an) 0≤i < n dn(a0, a1, . . . , an) = (ana0, a1, . . . , an)
Vi har da atb=Pn
i=0(−1)idi.
I og med atb◦b= 0, kan vi ta homologi på komplekset, og vi får følgende definisjon:
Definisjon (Hochschild-homologi). Hochschild-homologien til A, HH∗(A), er definert som homologien på kjedekomplekset (1).
Definisjon. Om man bytter utbmedb0=Pn−1
i=0(−1)idi(legg merke til indek- sen) i Hochschild-komplekset, får manbarkomplekset C∗bar(A).
Avbildningens:Cnbar(A)→Cn+1bar (A)gitt ved
s(a0, a1, . . . , an) = (1, a0, a1, . . . , an),
er en sammentrekningshomotopi for barkomplekset [Lod, 1.1.12]. Barkomplekset er dermed asyklisk.
Definisjon (Dobbeltkompleks). Et (første kvadrants) dobbeltkompleks C∗∗ er gitt ved et diagram
... ... ... . ..
ydv
ydv
ydv C02
dh
←−−−− C12 dh
←−−−− C22 dh
←−−−− · · ·
ydv
ydv
ydv
C01 ←−−−−dh C11 ←−−−−dh C21 ←−−−− · · ·dh
ydv
ydv
ydv C00
dh
←−−−− C10 dh
←−−−− C20 dh
←−−−− · · ·
avA-modulerCpq(A)og avbildningerdv, dh slik atdhdv+dvdh = 0, dvdv = 0 ogdhdh= 0. Modulene gitt ved
(Tot∗C∗∗)n= M
p+q=n
Cpq
med differensialet dv+dh danner da et kjedekompleks Tot∗C∗∗ kalt totalkom- plekset tilC∗∗. Homologien til et dobbeltkompleks defineres vedHn(Tot∗C∗∗)
Latn :Cn(A)→Cn(A)gitt vedt(a0, a1, . . . , an) = (a1, a2, . . . , an, a0)være en syklisk permutasjon, og sett Nn = 1 +t+t2+· · ·+tn−1. Dette gir avbild- ninger N :C∗(A)→C∗bar(A)og (1−t) :C∗bar →C∗, definert i hver grad, og diagrammet
A⊗n ←−−−−1−t A⊗n ←−−−−N A⊗n
yb
yb
0
yb A⊗n−1 ←−−−−1−t A⊗n−1 ←−−−−N A⊗n−1
(2)
kommuterer.
Siden (2) kommuterer, får vi et dobbeltkompleks om vi bytter utb0med−b0. Definisjon (Syklisk homologi). Homologien til dobbeltkomplekset CC∗∗(A), gitt ved
... ... ... . ..
yb
y−b
0
yb
A⊗3 ←−−−−1−t A⊗3 ←−−−−N A⊗3 ←−−−− · · ·1−t
yb
y−b
0
yb
A⊗2 ←−−−−1−t A⊗2 ←−−−−N A⊗2 ←−−−− · · ·1−t
yb
y−b
0
yb
A ←−−−−1−t A ←−−−−N A ←−−−− · · ·1−t kalles densykliske homologien tilA, og skrivesHC∗(A).
Siden annenhver kolonne har en sammentrekningshomotopis, kan en trekke sammen disse og lage et dobbeltkompleksB∗∗(A), kalt Connes’ kompleks, med bare Hochschild-komplekset som kolonner:
yb
yb
yb A⊗3 ←−−−−B A⊗2 ←−−−−B A
yb
yb A⊗2 ←−−−−B A
yb A
(3)
hvorB= (1−t)sN. HomologienH∗(Tot∗B∗∗(A))til dette dobbeltkomplekset er den samme som for det sykliske komplekset ([Lod, 2.1.7])
Vi ser at inklusjonen av den første kolonnen i (3) gir en kort eksakt sekvens av komplekser
0→Cn(A)→TotnB∗∗(A)→Totn−2B∗∗(A)→0
og gjentatt bruk av slangelemmaet gir da en lang eksakt sekvens kalt SBI- sekvensen tilA[Lod, 2.2.1]
· · · →HHn(A)−→I HCn(A)−→S HCn−2(A)−B→HHn−1(A)→ · · · (4)
Denne sekvensen, sammen med 5-lemmaet og induksjon på n, gir at en k- algebraavbildning f : A → A0 induserer en isomorfi på syklisk homologi hvis og bare hvis den induserer en isomorfi på Hochschild-homologi. Sekvensen kan også defineres fra inklusjonen av de to første kolonnene i det sykliske dobbelt- kompleksetCC∗∗(A).
Merknad 1.1.1. Dersom Aikke er unital kan man også definere Hochschild- og syklisk homologi, men barkomplekset er da ikke lenger sammentreknings- bart. For at SBI-sekvensen skal eksistere og være eksakt, defineres Hochschild- homologi da som homologien på totalkomplekset av de første to kolonnene til CC∗∗(A)([Lod, 1.4.5]).
1.2 Dihedral homologi
Dihedral homologi er en variant av syklisk homologi, og er definert i [Lod, 5.2].
Jeg gjentar her definisjonene gitt der. I dette avsnittet antar vi at2er invertibel ik, og atAhar en involusjonι:A→A, hvor vi skriverι(a) =a. En involusjon skal oppfylle
• a=a
• ab=ba
• ιer triviell påk. Spesielt er1 = 1
Eksempel 1.2.1. OmA er kommutativ er identitetsavbildningen påAen in- volusjon. Vi kaller dette den trivielle involusjonen.
Dersomker en kropp ogAer en endelig kroppsutvidelse, vil ethvert element i galiosgruppenGal(A/k)av orden 2gi en involusjon.
Ringen av kvadratiske matriser over k i en gitt dimensjon med konjugat- transponering er en involutiv algebra. Merk at invertering ikke kan være en involusjon da bildet avkikke er bevart.
Dersom12 ∈k, vil en involusjon iAha to egenromA+ogA−med egenverdier 1 respektive−1, og vi har:
A≈A+⊕A− For å se dette, observer at
a7→
a+a 2 ,a−a
2
er en bijeksjon med invers (a, b)7→a+b.
DersomA har en involusjon, kan vi definere en involusjonωn påCn(A): ωn(a0, a1, a2, . . . , an−1, an) = (a0, an, an−1, . . . , a2, a1)
Denne involusjonen består i å konjugere alle elementene, og permutere alle bort- sett fra det første. Fortegnet til denne permutasjonen er(−1)n(n−1)/2. Det vil vise seg hensiktsmessig å innføre notasjonen
yn = (−1)n(n−1)/2ωn
Proposisjon 1.2.2. Dersom k-algebraenA har en involusjon og 12 ∈k, vil yn splitte Hochschild-komplekset til Ai en direkte sum
C∗(A) =C∗+(A)⊕C∗−(A).
Homologien på hvert av disse kompleksene gir ved [Lod, 5.2.3] splittet Hochschild- homologi H∗(A) =H∗+(A)⊕H∗−(A)
For å definere en tilsvarende splitting for syklisk homologi, må vi i tillegg til ynha en involusjonzn påCnbar(A)som stemmer overens med kantavbildningen b0. Vi har involusjonen
τn(a0, a1, a2, . . . , an−1, an) = (an, an−1, an−1, . . . , a2, a1)
altså samme somωn, bortsett fra at nå er alle elementene med i permutasjonen.
Fortegnet til denne permutasjonen er(−1)(n+1)(n+2)/2, og vi setter zn = (−1)(n+1)(n+2)/2τn
Ved [Lod, 5.2.6] stemmeryn ogzn overens med også de horisontale kantavbild- ningene tilCC∗∗(A)på en slik måte at om vi lary∗ virke på partallskolonner og
−z∗ på oddetallskolonner, splitter dobbeltkomplekset til CC∗∗+(A)⊕CC∗∗−(A). Komplekset CC∗∗+(A)er gitt ved
... ... ... ... . ..
yb
y−b
0
yb
y−b
0
C2− ←−−−−1−t C2+ ←−−−−N C2− ←−−−−1−t C2+ ←−−−− · · ·N
yb
y−b
0
yb
y−b
0
C1− ←−−−−1−t C1+ ←−−−−N C1− ←−−−−1−t C1+ ←−−−− · · ·N
yb
y−b
0
yb
y−b
0
C0− ←−−−−1−t C0+ ←−−−−N C0− ←−−−−1−t C0+ ←−−−− · · ·N Legg merke til at kolonne0 er detnegative Hochschild-komplekset.
Definisjon. ([Lod, 5.2.7]) LaAvære en involutiv algebra overk(med 12 ∈k).
Den dihedrale homologien (respektive skakkdihedrale homologien) til A er da gitt ved
HDn(A) =Hn(Tot∗CC∗∗+(A)) (respektiveHD0n(A) =Hn(Tot∗CC∗∗−(A))) Ved dette tidspunktet ville det vært naturlig å definere et triangulært kom- pleks tilsvarende (3) for dihedral homologi. Problemet er at den resulterende horisontale kantavbildningen B ikke går så godt overens med involusjonen, da homotopien s ikke respekterer egenrommene til C∗bar. For å løse dette må vi innføre en ny homotopi påC∗bar, s0=12(s0+ (−1)ns1)hvor
s0(a0, a1, . . . , an) = (1, a0, a1, . . . , an) s1(a0, a1, . . . , an) = (a0, a1, . . . , an,1)
Proposisjon 1.2.3. Avbildningens0 er en sammentrekningshomotopi av C∗bar som respekterer egenrommene til zn, altså at s0(Cn±) ⊆ Cn+1± . Eventuelt, gitt zn(a) = (−1)jafor en vilkårliga∈Cn, så er zn+1(s0(a)) = (−1)js0(a).
Bevis. Avbildningen s0 er per definisjon en sammentrekningshomotopi dersom
b0s0+s0b0 =1 2
b0s0+s0b0+b0(−1)ns1+ (−1)n−1s1b0
=1 2
Xn
i=0
(−1)idis0+s0
n−1
X
i=0
(−1)idi
+
n
X
i=0
(−1)i+ndis1+s1
n−1
X
i=0
(−1)i+n−1di
er identitetsavbildningen. Vi har 12(d0s0+dns1) =idog ser at
n
X
i=1
(−1)idis0+s0 n−1
X
i=0
(−1)idi=
n−1
X
i=0
(−1)i+1di+1s0+s0(−1)idi= 0
n−1
X
i=0
(−1)n+idis1+s1
n−1
X
i=0
(−1)n−1+idi=
n−1
X
i=0
(−1)n+idis1+ (−1)n−1+is1di= 0 så s0 er en sammentrekningshomotopi.
For å se ats0 respekterer egenrommene, anta at
zn(a0, a1, . . . , an) = (−1)xn(an, . . . , a1, a0) = (−1)j(a0, a1, . . . , an) hvorxn= (n+1)(n+2)2 ogj = 0ellerj = 1avhengig av om vi er iCn+ eller Cn−. Vi har da atzn er multiplikasjon med(−1)xn+j.
zn+1(s0(a0, a1, . . . , an)) = 1
2zn+1 (1, a0, a1, . . . , an) + (−1)n(a0, a1, . . . , an,1)
=(−1)xn+1
2 (an, . . . , a1, a0,1) + (−1)n(1, an, . . . , a1, a0)
= (−1)xn+1
2 (−1)xn+j(a0, a1, . . . , an,1) + (−1)xn+j+n(1, a0, a1, . . . , an)
= (−1)xn+xn+1+j−n
2 (1, a0, a1, . . . , an) + (−1)n(a0, a1, . . . , an,1) Dette er lik(−1)js0(a0, a1, . . . , an)hvis og bare hvisxn+xn+1−ner et partall.
Dette er ekvivalent med at(n+ 1)(n+ 2) + (n+ 2)(n+ 3)−2ner delelig med 4, og vi ser at dette er tilfelle for allen.
Vi får dermed er ny avbildning,D= (1−t)s0N, og to triangulære dobbelt- komplekserD∗∗+
yb
yb
yb C2− ←−−−−D C1− ←−−−−D C0−
yb
yb C1− ←−−−−D C0−
yb C0− ogD∗∗− tilsvarende.
SBI-sekvensen (4) splitter i de to eksakte sekvensene
· · · →HHn+→HD0n→HDn−2→HHn−1− →HDn−1
→HD0n−3→HHn−2+ → · · ·
· · · →HHn−→HDn→HDn−20 →HHn−1+ →HD0n−1
→HDn−3→HHn−2− → · · · (5)
ved [Lod, 5.2.7.2, 5.2.7.3].
1.3 Glatte algebraer, differensialmoduler
I dette avsnittet skal jeg definere glatte algebraer, og den dihedrale homologien på disse. Alle utregningene finnes i [Lod], men ikke samlet. Jeg forutsetter at Q⊆k.
La Ω1A|k være A-modulen av differensialer over k. Den er generert av k- lineære symbolerdafora∈Amed relasjonen
d(ab) =a(db) +b(da).
Gitt idealetI ⊂A⊗Agenerert av (x⊗1−1⊗x), x∈A. Da erΩ1A|k isomorf somA-modul med I/I2ved avbildningen dx7→(x⊗1−1⊗x).
Vi får nå en kjedeΩnA|k av differensialformer overAgitt ved ΩnA|k = Ω1A|k∧A· · · ∧AΩ1A|k
mednfaktorer. Vi definererΩ0=A. Avbildningend: ΩnA|k→Ωn+1A|k er gitt ved d(a·da1∧da2∧ · · · ∧dan) =da∧da1∧da2∧ · · · ∧dan
Sidend(1) = 0, ser vi at dette danner et kompleks. Kohomologien av dette kalles forde Rham-kohomologien til Aog skrivesHDR∗ (A).
Definisjon. LaS være en kommutativ algebra overk med enhet. En sekvens (x0, x1, . . . , xn) ∈ S er regulær dersom multiplikasjon med xi gir en injektiv avbildning iS/(x0, . . . , xi−1)for allei.
ForAen unital, kommutativk-algebra, laµ:A⊗A→Avære avbildningen gitt ved produktet i A. DersomA er flat over k og kjernenJm i den avledede avbildningen
µm: (A⊗A)µ−1(m)→Am
er triviell eller generert av en regulær sekvens i(A⊗A)µ−1(m)for alle maksima- lidealer m⊂A, sier vi atAer glatt overk.
Eksempel 1.3.1. Fra [Lod, 3.4.3]. Lakvære en algebraisk lukket kropp og sett Atil å være koordinatringen til en varieté overk. Da korresponderer singulære punkter på varietéen til akkurat de maksimalidealene i A hvor kriteriet over ikke holder. Altså erAglatt overkdersom varietéen er ikke-singulær.
Ved [Lod, 3.4] er Hochschild-homologien til glatte algebraer gitt ved HHn(A) = ΩnA|k
og den sykliske homologien ved
HCn(A) = ΩnA|k/dΩn−1A|k ⊕HDRn−2(A)⊕HDRn−4(A)⊕ · · · hvor graden til det siste leddet er1 eller0 avhengig av pariteten tiln.
SBI-sekvensen (4) splitter opp i en direkte sum av en kopi av den eksakte sekvensen
0→HDRn ,→Ωn/dΩn−1−→d Ωn+1→Ωn+1/dΩn →0
for hvert naturlig talln, samt isomorfier0→HDRi →HDRi →0[Lod, 3.4.13].
Ved [Lod, 4.6.10] og diskusjonen etter [Lod, 5.2.7] har vi at den dihedrale homologien for en glatt algebra overker gitt ved
HDn =
HDRn−2⊕HDRn−6⊕HDRn−10⊕ · · · n >0, npartall Ωn/dΩn−1⊕HDRn−4⊕HDRn−8⊕ · · · n >0, nodde og den skakkdihedrale ved
HDn0 =
Ωn/dΩn−1⊕HDRn−4⊕HDRn−8⊕ · · · n >0, npartall HDRn−2⊕HDRn−6⊕HDRn−10⊕ · · · n >0, nodde
hvor hver av følgene slutter med grad 0, 1, 2, eller 3, avhengig av resten tiln mod 4.
1.4 Spektralsekvenser
Jeg gjengir her definisjonen av spektralsekvenser i [Wei, 5.1, 5.2].
Gitt et dobbeltkompleksC∗∗ med abelske grupper:
... ... ...
ydv
ydv
ydv
· · · ←−−−−dh C(p−1)(q+1) ←−−−−dh Cp(q+1) ←−−−−dh C(p+1)(q+1) ←−−−− · · ·dh
ydv
ydv
ydv
· · · ←−−−−dh C(p−1)q ←−−−−dh Cpq dh
←−−−− C(p+1)q dh
←−−−− · · ·
ydv
ydv
ydv
· · · ←−−−−dh C(p−1)(q−1) ←−−−−dh Cp(q−1) ←−−−−dh C(p+1)(q−1) ←−−−− · · ·dh
ydv
ydv
ydv
... ... ...
er det generelt vanskelig å regne ut homologien til totalkomplekset. Men det skal ikke mye til for å komme til konklusjonen atHn(Tot∗C∗∗)bør ha en sam- menheng med den horisontale homologienHih(C∗j), og den vertikale homologien Hjv(Ci∗)fori+j=n. Spektralsekvenser er redskapet som kobler dem.
Om vi skriverEpq0 forCpq, og ignorerer de horisontale differensialene, får vi en familie med komplekser{Ep∗0 }. LaEpq1 være homologienHq(Ep∗0 ). Vi kan nå danne horisontale komplekserE∗q1 med avbildningene avledet avdh. Homologien Hp(E∗q1 )på disse kaller viEpq2
Det kan vises at vi har en kantavbildning d2 : Epq2 → E(p−2)(q+1)2 med d2◦d2 = 0. Vi kan da igjen ta homologi og få Epq3, og slik fortsetter det til generelle Epqr med kantavbildningdrpq : Epqr → E(p−r)(q+r−1)r . En slik samling {Epqr} kalles for enspektralsekvens.
Gitt en spektralsekvensE∗∗r , dersomdrpq= 0for alle storer, kalles spektral- sekvensenregulær. For alle slike rer da Epqr =Epqr+1, og vi kaller denne stabile verdien forEpq∞.
Vi sier at en spektralsekvenskonvergerer svakt tilH∗ dersom vi får en sam- ling abelske grupperHn, hver med en filtrasjon
· · · ⊆Fp−1Hn ⊆FpHn ⊆ · · · ⊆Hn
og isomorfier Epq∞ ≈ FpHp+q/Fp−1Hp+q. Vi sier den nærmer seg H∗ dersom
∪FpHn=Hn og∩FpHn= 0.
Vi sier at spektralsekvensenkonvergerer mot H∗dersom den er regulær, den nærmer segH∗, og vi harHn= lim
←−(Hn/FpHn). Notasjonen for å angi enH∗er Epqr ⇒Hp+q
hvor vi som regel larr= 2.
Merknad 1.4.1. En spektralsekvens konvergerer bare mot én H∗, men hva H∗ er kan være vanskelig å se kun ut fra gruppene i spektralsekvensen. Ta for eksempel en spektralsekvens som harEpq∞=Z/2forp, q≥0og0ellers. Da kan H3være Z8, men ogsåZ2×Z4 ellerZ32.
Nedenfor følger et lemma av egen produksjon for senere referanse. Beviset består kun i å skrive ut definisjonene og bekrefte at de holder, og er derfor utelatt.
Lemma 1.4.2. Gitt et endelig antall spektralsekvenseriE∗∗r for0≤i≤m, la spektralsekvensen E∗∗r være gitt ved den direkte summen aviE i hvert ledd. Da har vi at iE∗∗r er regulær for alle i hvis og bare hvis E∗∗r er regulær. Dersom
iE∗∗r for alleinærmer segiH∗, ogE∗∗r nærmer segLm
i=0iH∗, konvergereriE∗∗r motiH∗ for allei hvis og bare hvisE∗∗r konvergerer motLm
i=0iH∗.
I steden for å definereE∗∗1 ut fra vertikal homologi kan en starte med horison- tal. Vi bytter da om på rollene tilpogq, slik at for eksempeld2er en avbildning fraEpq2 tilE(p+1)(q−2)2 . Teorien for spektralsekvenser over dobbeltkomplekser av kokjeder, Er∗∗, er helt tilsvarende som for kjeder, men avbildningene dh og dv
går oppover og mot høyre i diagrammet over.
1.5 Étale descent
Definisjon. Etter [Lod, E.1] er en homomorfi av kommutative, unitale ringer φ:k→Aétale dersom tre kriterier holder. Det ene er atφer flat, med andre ord at A blir en flatk-modul med denne avbildningen. Det andre er atφgjør A til en endeliggenerertk-algebra. Det tredje er at den er uramifisert, som vil si atΩ1A|k= 0.
Dersom A er endeliggenerert over k er hypotesen om at φ er uramifisert ekvivalent med at følgende holder: For hvert primidealp⊂Aog inversbildetq= k∪p har vi en likhetqAp=pAp, og den avledede avbildningen av restkropper Ap/pAp⊃kq/qkq er en endelig separabel utvidelse.
Eksempel 1.5.1. Dersomker en kropp ogAer en endelig, separabel utvidelse avk, så erAétale overk. Et annet eksempel på en étale avbildning er gitt ved k→k[x]/(xr−a)dersomraer invertibel ik([Mil, 3.3.4]).
Gitt tok-algebraerA ogB, og en avbildningA→B, finnes et kompleks 0→A−→f B −→δ1 B⊗A2→ · · · →B⊗Ar δ−→r B⊗Ar+1→ · · · (6) hvorδr=Pr+1
i=0(−1)iei, med
ei(b0, . . . , br) = (b0, . . . , bi−1,1, bi, . . . , br)
Dette komplekset kallesAmitsurkompleksettilB/A, og dersomBer trofast flat overA, så er komplekset en eksakt sekvens ([Mil, 2.18]).
Anta nå at vi har en kovariant funktor F fra kategorien av k-algebraer til kategorien av k-moduler. Vi sier atF tilfredsstiller trofast flat descent dersom den avledede sekvensen
0→F(A)−−−→F(f) F(B)→F(B⊗A2)→ · · ·
er eksakt for alle k-algebraer A og B, hvor B er trofast flat over A. Dersom sekvensen ikke er eksakt får vi en homologi H∗(B/A, F) på dette komplekset.
Den kallesAmitsurkohomologien tilB/Amed hensyn påF.
Geller-Weibel viste i [GW] at Hochschild-homologi tilfredsstiller trofast flat descent for étale utvidelser. De viser også at syklisk homologi ikke tilfredsstiller dette kriteriet, og gir i steden følgende resultat:
Teorem 1.5.2 ([GW, 3.4]). Gitt en nöthersk, endeligdimensjonertk-algebraA og en trofast flat, étale utvidelse B avA, finnes en spektralsekvens
Epq2 =Hp(B/A, HC−q)⇒HCp+q(A) (7) som konvergerer dersom et av følgende er oppfylt:
1. Q∈k.
2. A=k0[x1, . . . , xn] fork0 en algebraisk lukket kropp.
3. Aer en endeliggenerert algebra over Z[12]/n ellerZ[i]/n.
4. B er Nisnevich overA. Det vil si at for ethvert primideal p⊂A finnes et primidealq⊂B overp slik at Ap/pp≈Bq/qq.
5. B=B1× · · · ×Bn og hver Bi er en lokalisering av A.
Teorem 1.5.3 (Étale descent for dihedral homologi). Gitt en nöthersk, ende- ligdimensjonert k-algebra A og en trofast flat, étale utvidelse B av A, dersom spektralsekvensen (7)konvergerer, konvergerer også spektralsekvensene
Epq2 =Hp(B/A, HD−q)⇒HDp+q(A), Epq02 =Hp(B/A, HD−q0 )⇒HDp+q0 (A) Bevis. Vi har at
Hp(B/A, HC−q) =Hp(B/A, HD−q⊕HD0−q)
=Hp(B/A, HD−q)⊕Hp(B/A, HD0−q).
og resultatet følger av 1.4.2.
2 Skjemaer
Stående antagelser
I denne seksjonen er ringer alltid kommutative med enhet. Knipper tar verdier i objekter av algebraisk natur (ringer, grupper, moduler, algebraer, etc.) og er presisert der det er nødvendig.
2.1 Knipper
I studiet av skjemaer ser man, i tillegg til topologien på et rom, på “funksjoner”
på dette rommet. Knipper er det begrepet om funksjoner som blir brukt.
Definisjon. Gitt et topologisk rom X, la Top(X) være kategorien av åpne mengder iX med inklusjonsavbildninger. Da vil et preknippe være en kontra- variant funktor F fra Top(X) til kategorien av kommutative ringer. Dersom s∈ F(U)ogV ⊆U, las|V, eventueltρU V(s)være bildet avsgitt ved inklusjo- nen. Vi skriver ofteΓ(U,O)forF(U), eventuelt med et av argumentene utelatt dersom de er underforstått.Γ(X,F)kalles for den globale seksjonen avF.
Denne funktoren kalles etknippe dersom den er bestemt av lokale data, det vil si at:
• ForU ⊆X åpen, dersom{Vi}er en åpen overdekning avU, ogs∈ F(U) er et element slik ats|Vi = 0for allei, så ers= 0.
• For U ⊆X åpen, dersom {Vi} er en åpen overdekning av U, og vi har elementersi∈Vislik atsi|Vi∩Vj =sj|Vi∩Vj for allei, j, så finnes ens∈U slik ats|Vi =si.
Definisjon. DersomF er et preknippe påX, ogxer et punkt iX, definerer vi stilken Fx avF omxsom den direkte grensen av objekteneF(U)for alle åpne U 3x, via restriksjonsavbildningene ρ. Det betyr at et element i stilken rundt xer representert av et par(U, u), bestående av en omegnU omxog et element u∈ F(U). Et annet par (V, v)representerer det samme elementet dersom det finnes en omegnW ⊆(U∩V)omxslik at u|W =v|W.
Nå som vi har definert objektene i kategorien av knipper over X, vil det være naturlig å definere morfier mellom dem.
Definisjon. Gitt to (pre-)knipperF ogG over X, består en morfi φ:F → G av en ringhomomorfi φ(U) :F(U)→ G(U)for hver åpen mengde U ⊆X, slik at nårV ⊆U så kommuterer følgende diagram:
F(U) −−−−→ G(Uφ(U) )
y
ρU V
yρ
0 U V
F(V) −−−−→ G(Vφ(V) )
Prekjernen i denne avbildningen er preknippetU 7→ker(φ(U)), og prebildet og prekokjernen er definert tilsvarende. En isomorfi av knipper er en morfi med en tosidet invers.
DersomF ogG i definisjonen over er knipper, vil prekjernen i avbildningen mellom dem også være et knippe, kalt kerφ. Generelt er derimot prebildet og prekokjernen bare preknipper. Det leder til følgende definisjon.
Definisjon. Gitt et preknippeF, finnes et knippeF+og en avbildningθ:F → F+ slik at for ethvert knippeGog enhver avbildning φ:F → G, finnes en unik morfi ψ:F+ → G slik atψ◦θ=φ. F+ kalles knippefiseringen av preknippet F.
DersomF er et knippe, vil den være isomorf medF+ved universalitet. For en knippemorfi φ : F → G, er bildet im(φ) definert som knippefiseringen av prebildet, og kokjernencoker(φ)som knippefiseringen av prekokjernen.
Definisjon. La f : X → Y være en koninuerlig funksjon mellom topologiske rom. For ethvert knippe F på X definerer vi knippet f∗F på Y ved å sette (f∗F)(V) =F(f−1(V))for alle åpneV ⊆Y.
2.2 Skjemaer
Gitt en ring A er det topologiske rommet SpecA definert slik: Et punkt i SpecA er et primideal p ⊂ A. En basis for de lukkede mengdene er gitt ved {V(a)|aideal iA}, hvor V(a) er unionen av alle primidealer q slik at a ⊆ q.
Tilsvarende kan en gi en basis for de åpne mengdene ved {D(f)|f ∈ A}, hvor D(f)er komplementet tilV((f)).
En kan definere et knippe av ringer O på SpecA, ved å la O(D(f)) = Af, ringen A lokalisert på {1, f, f2, f3, . . .}. Vi får da en naturlig restriksjons- morfi D(f) → D(f g) for alle f, g ∈ A. Gitt en vilkårlig åpen mengde U = S
i∈ID(fi)⊆SpecAhar vi atO(U)er gitt ved knippeaksiomene.
Definisjon. La A være en ring. Spekteret til A er et par bestående av det topologiske rommet SpecA, sammen med knippet Obeskrevet over.
For å komme videre, trenger vi å definere kategorien vi jobber i, nemlig lokalt beringede rom.
Definisjon. Etberinget romer et par(X,OX), bestående av et topologisk rom X og et knippe OX av ringer over X. En morfi (f, f#) : (X,OX)→ (Y,OY) er gitt ved en kontinuerlig funksjon f : X → Y, og en knippeavbildning f# : OY →f∗OX overY.
Det beringede rommet(X,OX)er lokalt beringet dersom stilkenOX,p er en lokal ring for ethvert punktp∈X, med maksimalidealmp. For en morfi(f, f#) av lokalt beringede rom kreves det at for ethvert punktp∈X, er den avledede morfienfp#:OY,f(p)→ OX,pen lokal homomorfi av lokale ringer.
En isomorfi av lokalt beringede rom har en tosidet invers. Det vil si at dersom (f, f#) er en isomorfi, så er f en homeomorfi av de underliggende topologiske rommene, ogf# en isomorfi av knipper.
Proposisjon 2.2.1. Spektra av ringer er en underkategori av kategorien av lo- kalt beringede rom, og funktoren som tarAtil(SpecA,OSpecA)er kontravariant, som kommer frem fra følgende punkter [Hart, II.2.3].
• Gitt en ring A, er (SpecA,OSpecA)et lokalt beringet rom.
• Gitt en ringhmomorfi φ : A → B, gir den en naturlig morfi av lokalt beringede rom
(f, f#) : (SpecB,OSpecB)→(SpecA,OSpecA)
• Gitt to ringerA, B, er enhver morfi av lokalt beringede rom fra SpecB til SpecA avledet av en ringhomomorfiφ:A→B som over.
Vi kan nå definere skjemaer.
Definisjon. Etaffint skjemaer et lokalt beringet rom(X,OX), som er isomorft med spekteret (SpecA,OSpecA) av en ring A. Et skjema er et lokalt beringet rom(X,OX), slik at det for ethvert punktp∈X finnes en åpen omegnU ⊆X om pslik at(U,OX|U)er et affint skjema. Vi kaller en slik omegn for en affin omegn, og den resulterende topologien for Zariskitopologien på X. OX kalles strukturknippet til skjemaet. Vi kaller et skjemaX for etskjema over k for en ringkdersom hvert punkt har en omegn isomorf med spekteret til enk-algebra.
Gitt et skjemaX og et punktx∈X, så skriver vi mx for makimalidealet i den lokale ringen OX,x. Kroppenk(x) =OX,x/mx kaller vi for restkroppen til x.
Vi sier at en skjemaavbildningf :X →Y er lokalt av endelig type dersom det finnes en affin overdekning{SpecBi}avY, slik atf−1(SpecBi)kan dekkes
av affine åpneSpecAij, hvorAij er endeliggenerert som algebra overBifor alle i, j.
En viktig type skjemaer er de projektive rommene. Gitt en gradert ring S=L∞
i=0Si, definerS+ til å være idealet generert avSifori >0. Vi lar meng- den ProjS være mengden av alle homogene primidealerp som ikke innholder S+. Dersomf er et homogent element iS+, lar viD+(f) ={p∈ProjS|f /∈p}. Da danner{D+(f)|f homogen iS} en basis for en topologi på ProjS. Struk- turknippetOpåProjS er gitt ved den affine overdekningen
(D+(f),O|D+(f)) = SpecS(f)
hvorS(f)er underringen av elementer av grad0 i den lokaliserte ringenSf. Definisjon. Gitt en ring A, definerer vi det projektive n-rommet over A til å være PnA= ProjA[x0, . . . , xn], med den vanlige graderingen av polynomringer.
2.3 Étale avbildninger
Vi sier at en avbildning mellom skjemaer er étale dersom den er både flat og uramifisert.
Definisjon. En skjemaavbildning f : X → Y er flat dersom den avledede stilkavbildningen fp# : OY,f(p) → OX,p er en flat homomorfi for alle p ∈ X. Ekvivalent erf flat dersom gitt affine åpneU ⊆X ogV ⊆Y slik atf(U)⊆V, så er homomorfienΓ(V,OY)→Γ(U,OX)flat.
En skjemaavbildningf : X → Y er uramifisert i et punkt x∈ X dersom den er av lokalt endelig type og OX,x/(mf(x)OX,x) er en endelig, separabel kroppsutvidelse av restkroppenk(f(x)). Avbildningen f er uramifisert dersom den er uramifisert i alle punkter iX.
Siden vi har to forskjellige typer avbildninger vi kaller for étale, er det øns- kelig at de stemmer overens der det gir mening.
Proposisjon 2.3.1. Gitt to algebraer A, B over k og en étale avbildning φ : A→B, så er den avledede avbildningenf : SpecB→SpecAogså étale.
Bevis. Dette er egentlig bare en oversettelse av definisjoner fra ringteori til skje- mateori. DersomBer flat overA, erf også flat, ogB endeliggenerert som alge- bra overAgir atf er av lokalt endelig type. En inspeksjon viser atφuramifisert også girf uramifisert, ved kommentarene etter definisjonen i kapittel 1.
Eksempel 2.3.2. Enhver åpen immersjon av skjemaer er étale. Proposisjonen over lar oss også lage eksempler ut fra 1.5.1. For eksempel er skjemaavbildningen Spec (A[x]/(xr−a))→SpecAétale dersomraer invertibel iA.
2.4 Knippekohomologi
Definisjon. Gitt en abelsk kategoriA, så kalles et objektI∈Ainjektivt, dersom det for enhver avbildningf :A →I og enhver injektiv avbildning g : A→ B med A, B ∈A, finnes en avbildningh: b →I slik atf =hg. Dersom det for enhverC ∈Afinnes en injektiv avbildningC →I med I injektiv, sier vi at A harnok injektiver.
En sekvens med injektive elementer I0 → I1 → · · · kalles en injektiv reso- lusjon av et objektK, dersom det finnes en augmentering :K →I0 slik at sekvensen
0→K−→ I0→I1→I2→ · · ·
er eksakt. Gitt to injektive resolusjoner av K, finnes en unik kjedehomotopi mellom dem.
Siden kategorien av knipper over et topologisk rom X er abelsk med nok injektiver, kan definisjonen ovenfor anvendes på denne. FunktorenΓ(−)som tar et knippe til den tilsvarende globale seksjonen, vil ta den injektive resolusjonen til et kokjedekompleks. Vi får da følgende definisjon.
Definisjon. Gitt et knippeK over et topologisk romX, og en injektiv resolu- sjonIn avK, erknippekohomologien H∗(X, K)tilKgitt ved kohomologien på kjedekomplekset
0→Γ(I0)→Γ(I1)→Γ(I2)→ · · ·
SidenΓ(−)er en venstreeksakt funktor, er0→Γ(K)→Γ(I0)→Γ(I1)eksakt, såH0(X, K)≈Γ(K). Derfor er kohomologien ukjent kun i de positive gradene.
Om vi i stedet for ett enkelt knippe, har et kokjedekompleks av knipper over et topologisk rom X, vil en “god” generalisering av knippekohomologi ta opp i seg både kohomologien over kokjedekomplekset, og knippekohomologien til hvert enkelt element. Dette er ideen bak hyperkohomologi.
Definisjon. Gitt et (horisontalt) kokjedekompleksK∗i en abelsk kategori med nok injektiver, er enCartan-Eilenbergresolusjon avK∗ et dobbeltkompleksI∗∗
(i øvre halvplan) sammen med en augmentering p : Kp → Ip0, slik at for hver kolonne er Ip∗ en injektiv resolusjon avKp, i tillegg til at de horisontale avbildningene induserer injektive resolusjoner på kokantene og kohomologien til K∗. DersomKp= 0, erIpq= 0for alleq≥0. En slik resolusjon er unik opp til kjedehomotopi.
For kategorien av knipper over et topologisk rom er kohomologien til ko- kjedekomplekset Γ(Tot∗(I∗∗)) = Tot∗(Γ(I∗∗)) kalt hyperkohomologien til K∗, og skrivesH∗(X, K∗).
Lemma 2.4.1. Gitt et skjemaX og to knipperF,G påX, har vi en isomorfi Hn(X,F ⊕ G)≈Hn(X,F)⊕Hn(X,G)
Gitt to knippekomplekserF∗,G∗ påX, har vi isomorfier Hn(X,F∗⊕ G∗)≈Hn(X,F∗)⊕Hn(X,G∗)
Bevis. Siden vilkårlige direkte produkter av injektive objekter er injektive, kom- mer begge resultatene fra en inspeksjon av de tilsvarende resolusjonene.
2.5 Cech-kohomologi
Cech-kohomologi over et skjemaX er basert på en overdekning U avX. Men siden den vanlige topologien påX er så grov, vil overdekninger i klassisk topo- logisk forstand ikke være tilstrekkelig. Her følger definisjonen av overdekninger, slik de er brukt videre i denne oppgaven.
Definisjon. Gitt et skjema X, er en overdekning U av X en samling kollek- tivt surjektive skjemaavbildninger Ui → X, for i ∈ I en generell indeks. Med kollektivt surjektiv menes her at alle punkter i X blir truffet av minst én slik avbildning. Dersom alle avbildningene oppfyller en egenskapE, kaller viU for enE-overdekning avX. Ved missbruk av notasjon, dersom avbildningenU →X er med iU, sier vi atU ∈U.
Eksempel 2.5.1. En klassisk åpen overdekning av et skjema X, kan sees på som en samling åpne immersjoner, og kalles da en Zariskioverdekning avX.
Cech-kohomologi kan defineres ut fra klassiske overdekninger, og da er snittet av åpne mengder en sentral del. For å få en analog til snittet som fungerer for våre overdekninger trenger vi pullback i kategorien av skjemaer.
Definisjon. Gitt skjemaerX, U, V og to avbildningerφ:U →Xogψ:V →X, finnes det et skjema (unikt opp til unik isomorfi)U ×XV, kalt fiberproduktet av U og V, og avbildninger θU : (U ×XV) → U, θV : (U ×X V) → V, slik at φ◦θU = ψ◦θV. Disse avbildningene er slik at for ethvert skjema Y med avbildningerφ0 :Y →U og ψ0 :Y →V slik at φ◦φ0 =ψ◦ψ0, finnes en unik avbildningθ:Y →(U×XV)slik at θU◦θ=φ0 ogθV ◦θ=ψ0.
Dette eksisterer ved [Hart, II.2], og nårU ogV er underskjemaer avX, er U×XV isomorft medU∪V. Vi har også, gitt enk-algebraavbildningA→B, atSpec (B⊗AB) = SpecB×SpecASpecB.
LaXvære et skjema med overdekningU ={Ui→X}, i∈I, og laFvære et preknippe påX. Sett en ordning påI, og settUi0,...,iq=Ui0×XUi1×X· · ·×XUiq. Cech-kompleksetCˇ∗(U,F)er da gitt ved
Cˇq(U,F) = Y
i0<...<iq
F(Ui0,...,iq)
En kokjede α∈Cˇq(U,F)er dermed bestemt ved å angi et element αi0,...,iq ∈ F(Ui0,...,iq)
for ethvert(q+1)-tuppeli0, . . . , iq av elementer iI. Avbildningend: ˇCq →Cˇq+1 er gitt ved
(dα)i0,...,iq+1=
q+1
X
j=0
(−1)jαi
0,...,ˆij,...,iq|Ui0,...,iq+1
hvorˆij betyr at vi utelater ij. Vi har atd◦d= 0
Definisjon. Homologien Hˇ∗(U,F) på komplekset Cˇ∗(U,F) kalles Cech-ko- homologien tilF med hensyn på overdekningen U.
3 Dihedral homologi av skjemaer
Stående antagelser
I dette kapittelet erk alltid en kommutativ, unital ring med2 invertibel,Aer alltid en kommutativk-algebra med enhet og utstyrt med den trivielle involu- sjonen, og vi setter⊗=⊗k.
3.1 Definisjoner
Gitt et skjema (X,OX), la C∗ være knippefiseringen av preknippekomplekset U 7→ OX(U)⊗∗+1, med kantavbildning gitt ved Hochschild-kantavbildningen på hver seksjon. Ved misbruk av notasjon skriver vi også denne avbildningen som b.
Hochschild-homologien tilX overk er gitt ved hyperkohomologien tilC∗= C−∗:
HHn(X) =H−n(X,C∗) =H−n(X,C−∗)
For et affint skjemaX = SpecA, stemmerHHn(X)overens med Hochschild- homologienHHn(A)ved [GW, 4.1].
Vi har også et knippe HHn definert som knippefiseringen til preknippet Hn(U) = HHn(OX(U)), og en isomorfi HHn(A) ≈ H0(X,HHn), samt at Hi(X,HHn) = 0, i6= 0for alle affineX = SpecA.
Connes’ dobbeltkompleks kan også tilpasses strukturknippet til et skjema, slik som for Hochschild-komplekset over. Knippefiseringen av resultatet blir et dobbeltkompleks B∗∗ av knipper. Syklisk homologi er hyperkohomologien på totalkomplekset, med en passende omindeksering:
HCn(X) =H−n(X,Tot∗B∗∗(X)).
For ethvert skjema X har vi også en SBI-sekvens helt tilsvarende den for alge- braer:
· · ·HCn(X)−→S HCn−2(X)−B→HHn−1(X)−→I HCn−1(X)· · · (8) Teorem 3.1.1([W, 2.5]). Gitt et affint skjemaX = SpecA, har vi en isomorfi:
HCn(X)≈HCn(A) Her følger en skisse av beviset:
Bevis. Connes’ kompleks (3) overAkan trunkeres i radrtil et endelig kompleks med homologi HCnhri(A) som er lik HC∗(A) for ∗ < r og 0 for ∗ > 2r−2. Det tilsvarende dobbeltkomplekset for X kan også trunkeres på samme måte.
En kan også trunkere Hochschild-kompleksene tilAogX, og en får da for hver ren trunkert SBI-sekvens (AogX er utelatt av plasshensyn)
HHnhri −−−−→ HCnhri −−−−→ HCn−2hr−1i −−−−→ HHn−1hri
y≈
y
y
y≈ HHnhri −−−−→ HCnhri −−−−→ HCn−2hr−1i −−−−→ HHn−1hri hvor avbildningene merket med ≈ er isomorfier. Vi får da ved induksjon på r og 5-lemmaet en isomorfi HCnhri(A)≈ HCnhri(X) for alle r. Det endelige resultatet følger fra grensebetraktninger.
3.2 Splitting av Hochschild-homologi
Akkurat som for algebraer, finnes det for skjemaer en splittet variant ikke bare av syklisk homologi, men også av Hochschild-homologi. I dette avsnittet kon- struerer jeg splittet Hochschild-homologiHH∗±(X)til et skjema, og viser at når
X = SpecA er et affint skjema, så er dette lik HH∗±(A). Jeg har ikke funnet noe om dette i litteraturen, men det er mulig at det allerede er kjent.
Gitt et skjema X, la yn virke på OX⊗n+1 på følgende måte: Gitt en åpen U ⊆X, og en seksjon(s0, s1, . . . , sn)∈ OX⊗n+1(U), er
yn(s0, s1, . . . , sn) = (−1)n(n−1)/2(s0, sn, sn−1, . . . , s2, s1)
Siden 12 ∈ k, og y2n = idn, vil OX⊗n+1 ha et positivt egenrom O⊗n+1,+X og et negativt egenrom OX⊗n+1,− med hensyn på yn. Vi har også at diagrammet
O⊗n+1X −−−−→ Ob X⊗n
y
yn
y
yn−1
O⊗n+1X −−−−→ Ob X⊗n kommuterer. Sammen gir dette følgende definisjon.
Definisjon. Gitt et skjemaX, er knippekomplekset C∗+(X)gitt ved knippefi- seringen av preknippekomplekset (O⊗∗+1,+X , b). Tisvarende er C∗−(X) gitt ved (O⊗n+1,−X , b). DefinérHHn+(X)som hyperkohomologien
HHn+(X) =H−n(X,C∗+(X)) og sett tilsvarende
HHn−(X) =H−n(X,C∗−(X))
Ved universalegenskapen til knippefisering, får vi samme resultat dersom vi først knippefisererO⊗n+1X tilCn(X)og så bruker avbildningen avledet frayn til å splitteCn(X)iC+n(X)ogCn−(X).
Denne homologien spiller samme rolle for skjemaer som homologien definert i 1.2.2 gjør for algebraer. Et naturlig spørsmål blir da om disse stemmer overens for affine skjemaer.
Lemma 3.2.1. Gitt et skjema X definér preknipper H+n,H−n på X ved å set- te H+n(U) = HHn+(U) og H−n(U) = HHn−(U). Skriv deres respektive knippe- fiseringerHH+n ogHH−n. DersomX = SpecAer affint, har vi isomorfier
H0(X,HH+n)≈HHn+(X)
og tilsvarende for HHn−(X). Vi har også Hi(X,HH+n) =Hi(X,HH−n) = 0 for i6= 0.
Bevis. La I+∗∗ være en Cartan-Eilenberg-resolusjon av C+∗ =C−∗+ , og tilsvaren- de I−∗∗ av C−∗. Siden endelige direkte summer av injektive objekter igjen er et injektivt objekt, vil I+∗∗⊕I−∗∗ være en resolusjon av C∗. Spektralsekvensene til Γ(X, I+∗∗ ⊕I−∗∗) er gitt ved E2p0 = HHq(A) og E2pq = 0 for q 6= 0 ved [GW, 0.4(iv)]. Her følger det siste resultatet umiddelbart.
Siden spektralsekvensen til I+∗∗ ⊕I−∗∗ degenererer, må det samme gjelde I+∗∗ og I−∗∗, og resultatet følger fordi for hvert av disse er E1p∗ det tilsvaren- de knippekohomologi-komplekset.
