Oppfriskningskurs i matematikk Kompendium

i

Oppfrisknings kurs i matematikk

Kompendium

av

Amir Hashemi, UiB.

Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag

¹

Matematisk Institutt UiB

Innhold

1Sist oppdatert 26. juli 2017

Oppgaver – Selvtest ... 1

Fasit – Selvtest ... 3

Kapittel 1 Grunnleggende emner... 4

1.1Tallinjen og reelle tall ... 4

1.2 Mengder og tallmengder ... 4

1.3 Intervaller ... 4

1.4 Regnerekkefølge ... 4

1.5 Bokstavregning og brøkregning ... 5

1.6 Parentesregler ... 6

1.7 Brøkregning og brudden brøk ... 6

1.8 Faktorisering ... 6

1.9 Fellesnevner ... 6

1.10 Absoluttverdi ... 7

1.11 Potenser med heltallige eksponenter ... 8

1.12 Kvadratsetningene ... 8

1.13 Geometrisk rekke ... 8

1.13.1 Summetegnet ... 9

1.14 Aritmetisk rekke ... 10

Oppgaver – Kapittel 1 ... 11

Fasit – Kapittel 1 ... 13

Kapittel 2 Funksjoner, ligninger og ulikheter ... 14

2.1 Hva er en funksjon? ... 14

2.2 Grafen til en funksjon ... 14

2.3 Noen viktige begrep ... 15 2.4 Noen funksjoner ... 16

( ) f x  ax b 

2.5 Førstegradsfunksjoner ... 16 2.6 Ligninger ... 16 2.7 Førstegradsligninger ... 17 2

0 ax  bx c  

2.8 Andregradsligninger ... 17 ( ) 2 f x ax bx c 2.9 Andregradsfunksjoner ... 19

2.10 Inverse funksjoner ... 20 2.11 Rasjonale ligninger ... 21 2.12 Irrasjonale ligninger ... 21 2.13 Ulikheter ... 23 2.13.1 Enkle ulikheter ... 23

2.13.2 Doble ulikheter ... 24

2.14 Grafisk løsning ... 25 2.15 Rasjonale ulikheter ... 25 Oppgaver – Kapittel 2 ... 26 Fasit – Kapittel 2 ... 28 Kapittel 3 Eksponentielle funksjoner og logaritmer ... 31 3.1 Eksponentiell vekst ... 31

 

^log f x  x ^{f x}

 

^lnx 3.2 Logaritmer og ... 32 3.3 Regneregler for logaritmer ... 32 3.4 Den naturlige logaritmefunksjonen ... 32 3.5 y e^x og ylnx er inversfunksjoner ... 34

iii

3.6 Eksponentiale og logaritmiske ligninger ... 33 axb

3.6.1 Ligningen ... 33 3.6.2 Noen eksponentialligninger ... 34 3.6.3 Noen logaritmiske ligninger ... 34 Oppgaver – Kapittel 3 ... 35 Fasit – Kapittel 3 ... 36 Kapittel 4 Trigonometri i grader og radianer ... 37 4.1 Vinkelmål: grader og radianer ... 37 4.2 Rettvinklet trekant ... 37 4.3 Trekantberegninger ... 38 4.4 Trigonometri i radianer ... 38 4.5 Noen kjente vinkler ... 39 4.6 Grafene til sinus, cosinus og tangens ... 39 4.7 Trekantberegninger (trigonometri i grader) ... 40 4.8 Trigonometriske formler ... 40 4.9 Beskrivelse av et periodisk fenomen ved hjelp av en cosinus- /sinuskurve ... 41

( ) cos sin

f t a tb t

4.10 Den periodiske funksjonen: ... 41 sin( )

a x b 0 x 2

4.11 Ligninger på formen: der . ... 43 cos( )

a x c 0 x 2

4.12 Ligninger på formen: der . ... 44 Oppgaver – Kapittel 4 ... 46 Fasit – Kapittel 4 ... 50 Kapittel 5 Grenseverdi og kontinuitet ... 56 5.1 Grenseverdi ... 56 5.2 Grenseverdi ( ) 0

lim^{x a} ( ) 0 f x

 g x  ... 56 5.3 Ensidig grense lim

xa^ og lim

xa^... 57 5.4 Kontinuitetsbegrepet ... 57 5.5 Noen ord om grenseverdi når ( )

lim ( )

x

f x

g x



... 58 5.6 Asymptoter ... 58 5.7 Tallet e ... 59 Oppgaver – Kapittel 5 ... 60 Fasit – Kapittel 5 ... 62 Kapittel 6 Derivasjon ... 63 6.1 Vekstrate ... 63 6.2 Definisjon, vekstrate ... 63 6.3 Tolkninger ... 63 6.4 Derivasjonsformler og derivasjonsregler ... 64 6.5 Viktige derivasjonsregler ... 64 6.6 Den deriverte til a^x og x^r ... 65 6.7 Den deriverte med hensyn til : d

dx... 66 6.8 Oversikt over derivasjonsformler og -regler ... 68 6.9 Derivert, annenderivert og funksjonsdrøfting ... 68 6.10 Maksimum og minimum ... 69 6.11 Ligningen til tangenten og linearisering ... 70 Oppgaver – Kapittel 6 ... 72

7.1 Det bestemte integralet som areal ... 78

7.2 Det bestemte integralet ... 79

7.3 Det ubestemte integralet ... 79

7.4 Integrasjonsformler ... 79

7.5 Regneregler for bestemt og ubestemt integral ... 79

7.6 Integrasjon ved substitusjon ... 80 7.7 Delvis integrasjon ... 81 7.8 Noen anvendelser av det bestemte integralet ... 82 Oppgaver – Kapittel 7 ... 83 Fasit – Kapittel 7 ... 84 Kapittel 8 Vektorer i rommet ... 85 8.1 Hva er en vektor? ... 85 8.2 Vektoralgebra ... 86 8.3 Skalar produkt ... 86 8.4 Vektor produkt ... 86 8.5 Ligningen til en linje i rommet ... 87 8.6 Ligningen til et plan i rommet ... 88 8.7 Avstanden fra et punkt til et plan ... 88 8.8 Projeksjonen av en vektor på en annen vektor ... 88 8.9 Noen kommentarer ... 88 Oppgaver – Kapittel 8 ... 89 Fasit – Kapittel 8 ... 90

Ikonbeskrivelser:

Innhold Definisjon Eksempel Løsning

Kommentar, hint, bemerk, husk

Vanskelig oppgave

1

Forord

Å lære matematikk er som å lære et annet språk; ved første øyekast virker det uforståelig og vanskelig, men etter hvert vil du oppleve at det blir gradvis lettere.

Mange begreper i matematikken er forbundet og bygger på hverandre. Å forstå innholdet i et bestemt begrep, vil dermed hjelpe deg til å forstå mange andre.

Å være usikker og frustrert i arbeidet med stoffet er en naturlig del av læringsprosessen. Husk at læring ikke

bare skjer ved god innsats, men også ved intens konsentrasjon.

Dette heftet er et oppsummeringsnotat fra noen utvalgte grunnleggende emner i matematikk.

Enkelte eksempler er ment som utfyllende forklaring til lærestoffet og viser hvordan lærestoffet blir benyttet til å løse konkrete oppgaver.

For hvert kapittel finner du en oppgavedel etterfulgt av fasit/løsningsforslag.

Når du skal lære et nytt emne er det ikke nok å få tak i hvordan ting skal gjøres. Det er like viktig å spørre seg hvorfor og prøve å forstå hvordan ting henger sammen. Da blir det lettere å lære. Jo bedre du forstår matematikken, desto lettere er det å bruke den til å løse aktuelle problemer i andre fagfelt.

Det er svært viktig at du leser nøye gjennom oppgavene før du prøver å løse dem. Hvis du står fast i en oppgave, les heller gjennom lærestoffet enn å se på fasit/løsningsforslag.

I kapittel 0 kan du teste og se om du innehar tilstrekkelig med basisferdigheter i matematikk.

Heftet er organisert på følgende måte:

Kapittel 0: Test deg selv (elementære regneferdigheter) Del 1: Algebra

Kapittel 1: Grunnleggende emner Del 2: Funksjonslære

Kapittel 2: Funksjoner, inversfunksjoner, ligninger og ulikheter Kapittel 3: Eksponentielle funksjoner og logaritmer

Kapittel 5: Grenseverdi og kontinuitet

Kapittel 6: Derivasjon, funksjonsdrøfting og en del anvendelser Del 3:

Kapittel 4: Trigonometri

Kapittel 7: Integrasjon og en del anvendelser Kapittel 8: Vektoralgebra

Amir Massoud Hashemi Matematisk institutt, UiB Juni 2013

Copyright © 2013 Forfatter

Kapittel 0 Test deg selv

Før du begynner å lese notatene og ta forkurset, kan du teste deg selv i grunnleggende emner.

Oppgaver – Selvtest

Oppgavene skal løses uten bruk av kalkulator.

Oppgave 0.1 Regn ut.

a) ^{4 3 24 2 4}



^{2 3}



^{b) 3 4 22}

^

^{ }

^

^{4 4 2}



^{ 2}



^c)

^{ }

^{2 5}



^{52 42 32}



^{  13}

^{ }

¹¹³

Oppgave 0.2 Regn ut.

a) ^{25 32}

16 50 b) ^{3 28}

7 15 c)

1 3 5 6

d) 4 7: 6 Oppgave 0.3

Regn ut.

a) 1 ^{5 7} 12 18

  b) 2 ^{1 2}

2 5

  

 

  c) ^{1 2} :²²

3 5 5

  

 

 

Oppgave 0.4 Regn ut.

a) 56 15 64 21

b) 1 1

2 2 1

3





c)

1 5

3 6

2 5

3 12



 Oppgave 0.5

Regn ut.

a) 2 2

5 x

x b) 3

5 9 x

c) 1

2 2

3

6 4

a a





d) 3 3

2 3 3

2 x

x





Oppgave 0.6

Multipliser og trekk sammen.

a) ^ab



^{1 2 b}



^{2a b}



^2b



^b)

^

^{2x1 2}

^

^{x 1}

^{ }

^{2x1 2}

^

^x1

^

c)



^a3b

 

^{2 a 3b a}



^{( 3 )b d) 1 1 1(2 )2 3 ( 2 1 2)}

2a b 2a b 2 b a b b 3a 12 a b

        

  

  

Forkurs i matematikk - UiB([email protected])

2

Oppgave 0.7

Skriv så enkelt som mulig.

a)

2 2

3a 6ab 3b

6(a b)

 

 b)

2 2

2 2

a 6ab 9b

a 9b

 

 Oppgave 0.8

Bruk kvadratsetningene og regn ut.

a)



^x5

 

^{2 x 5}



^x5



^b)



^x3

 

^{2 x 3}



²

c)



^{3a2 2 3}



^{ a}



^d)



^{5 2}



^{5 2}

 

^{ 5 1}



²

Oppgave 0.9

Faktoriser uttrykkene.

a) 4x²2x b) x²81 c) 2t²8 d) x²2x1 Oppgave 0.10

Faktoriser uttrykkene ved hjelp av nullpunktene.

a) x²4x3 b) x² x 2 c)a²2a15 d) y²11y28 Oppgave 0.11

Forkort brøkene.

a)

2 1

2 2

x x



 b)

3 2 12

6 12

x x



 c)

3 2

2 1

x x x



 d)

2 2

3 2

2 4

4 x y xy x xy



 Oppgave 0.12

a) Prisen til en vare gikk opp fra 10 til 12 kr. Hvor mange prosent var prisstigningen?

b) En familie på to voksne og to barn betalte til sammen 220 kroner for å komme inn på et arrangement. En annen voksen og tre barn betalte til sammen 190 kroner.

Hva koster én barnebillett, og hva koster én voksenbillett?

c) En kinosal har 80 seter. En voksenbillett koster 100 kroner og en barnebillett koster 60 kroner. Ved en forestilling var salen fullsatt. De samlede billettinntektene var 6 000 kroner.

Hvor mange voksne og hvor mange barn var til stede på forestillingen?

d) Hvis



x y^



^2100 og x² y² 60, hva er da produktet x y ?

e) Summen til to positive tall er 10 og summen av deres kvadrater er 52. Bestem disse.

Fasit – Selvtest

0.1

a)78 b)22 c)-13

0.2

a)1 b) 4

5 c) 2

5 d) 2

21 0.3

a) 37

36 b)1 c) ¹

6 0.4

a) ⁴⁹

40 b) ⁹

10 c) 6

13 0.5

a) ⁵

4 b) 3

5

x c) ⁶



¹



2 9

a a



 d) 2

2 1

x x



 0.6

a) 3ab b) 4x2 c) 6 (3b b a ) d) 0 0.7

a)

2 2 2 2 (a b)

3a 6ab 3b 3(a 2ab b )

6(a b) 2 3(a b)

      

  

(a b) 2 (a b)





a b 2

 

b)

2 2 2

2 2

a 6ab 9b (a 3b)

a 9b

  

  (a 3b)

a 3b a 3b (a 3b)

 





0.8 a)10(x5) b) 12x c) 9a²12a4 d) 2 5 3 0.9 a) ^2x



^2x1



^b)



^x9



^x9



^{c) 2}



^t2



^t2



^d)



^x1



²

0.10

a)



^x1



^x3



^b)



^x1



^x2



^c)



^a3



^a5



^d)



^y4



^y7



0.11 a) ¹

2 x

b) 2 2 x

c)

2

1 x

x d) 2

2 y x y

0.12 a) 20% b) 40kr og 70 kr. c)30 voksne og 50 barn d) 20 e)4 og 6.

Forkurs i matematikk - UiB([email protected])

4

Kapittel 1 Grunnleggende emner

Dette kapittelet er en repetisjon av grunnleggende konsepter og prinsipper. Vi oppsummerer emner som:

- Tallmengder, intervall

- Bokstavregning og brøkregning - Regler for potensregning - Absoluttverdi

- Geometriske og aritmetiske rekker

1.1 Tallinjen og reelle tall

Reelle tall er mengden av de tall som tilsvarer alle punkter på en uendelig lang tallinje og betegnes eller R .

1.2 Mengder og tallmengder

En mengde inneholder visse objekter, kalt elementer. Elementene kan i prinsippet være hva som helst, for eksempel tall, personer, biler eller andre mengder.

x  M: x er et element i mengden M xM: et element x er ikke i mengden M

En mengde kan være tom. Den tomme mengden blir betegnet med Ø.

Kjente tallmengder:

 Mengden av alle naturlige tall: N

{

1, 2,3,

}

 Mengden av alle hele tall: Z

{

, 3, 2, 1, 0,1, 2,3,  

}

 Mengden av alle rasjonale tall: Q

{

^p|pogq er hele tall , q 0

}

 q 

 Mengden av alle reelle tall: R inneholder alle tall på reelle tallinjen

 Et reelt tall som ikke er rasjonalt kalles irrasjonalt, for eksempel: 2

Eksempel 1.1

Noen rasjonale tall: 0,18 , 2 3 ^,

3

7 , 5 Noen irrasjonale tall: 2 , 

1.3 Intervaller

Intervaller er deler av tallinjen. Et intervall kan være lukket eller åpent:

 Intervallet 0 x 3 er lukket og kan skrives som:



^{0 , 3}



 Intervallet 0 x 3 er åpent og kan skrives som: 0 , 3

 Intervallet x3 er halvt lukket/halvåpent og kan skrives som: [3, , eller [3 , 



Åpent intervall Intervall notasjon Grafisk framstilling xa

a x b

xa

xR

(x tilhører reelle tall)

,

  a

,

a b

,a

  

   ,

) ) (

(

a

a b

a

Halvt åpent intervall Intervall notasjon Grafisk framstilling xa

a x b

xa

[ ,a  

[ ,a b

, ]a

 

a

a b

a [

[ )

]

Lukket intervall Intervall notasjon Grafisk framstilling

a x b [ , ]a b _{[ ]}

a b

1.4 Regnerekkefølge

Kunnskaper om sammenheng mellom regneoperasjonene er svært viktig i algebra.

I sammensatte uttrykk kan man regne ut uttrykket i følgende rekkefølge:

1. Regn ut alle parenteser 2. Regn ut potenser 3. Multipliser eller divider 4. Legg sammen eller trekk fra

Kapittel 1

5

Eksempel 1.2

Regn ut uten kalkulator:

2 3 2 3

12 5 3 2   7(5 3)  2( 3)  ( 2) Parenteser og potenser: 12 5 3 4 7 8       2 9 8

Multipliser: 60 12 56 18 8    Legg sammen: 60 12 56 18 8    2

1.5 Bokstavregning og brøkregning

Algebra er for mange det samme som bokstavregning. I matte brukes bokstaver spesielt i formler, ligninger og ulikheter, identiteter og funksjonsuttrykk.

2 3

a a a a a ² a³

 Et ledd

2x er et ledd, der 2 er koeffisient, er variabel og 3 er eksponent.3

To ledd atskilles fra hverandre med + eller – : 2x³ 3x

 En faktor ( 2)

x x består av 2 faktorer.

To faktorer atskilles fra hverandre med gangetegn: x y. Regneregler

Addisjon Multiplikasjon

Kommutativ lov

a  b b a a b  b a Assosiativ lov

( ) ( )

a b c ab c a  (b c) (a b ) c Distributiv lov

( )

a  b c abac Motsatte og

inverse tall

( ) 0

a     a a a 1 1

a a

a a

   

        der a0 Tallet 0 og 1:

0 0

a   a a a   1 1 a a

1.6 Parentesregler

 

a bc abac



^{ab c}



^{( d)acadbcbd}

1.7 Brøkregning og brudden brøk

²

 ^{b c b c}

a a a

   Husk: ^{a a a}

b c  b c



 ^{a c a c} b d b d

  

 Husk: a ^{b a b}

c c

  

 : c d a d

a a

d c c

    Husk: a : c d a d

a a

c d c c

d

    

 a c: a d ad

b d   b c bc Husk: : a

a c a d ad b

c b d b c bc

d

   

1.8 Faktorisering

Faktorisering er en prosess der man deler opp et matematisk uttrykk som for eksempel en ligning eller et tall i mindre enheter (faktorer) som kan ganges sammen for å få det

opprinnelige uttrykket.

Eksempel 1: x3x² 5xx² 2x² 6x2 (x x3) Eksempel 2: ^{4a b2 12ab2 8b3 4b a}



^{2 3ab2b2}



1.9 Fellesnevner

 Fellesnevner

Fellesnevner er det minste tallet som er delelig med alle nevnerne³.

Eksempel 1: 1 2 1 3 2 2 3 4 7

2a 3a 2a 3 3a 2 6a 6a

  

    

 

Eksempel 2:

 

   

   

2 2

1 2 1

1 2 2 2 2

1 1 ( 1) 1 1

x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x

 

          

    

2 En brudden brøk består av en brøk i telleren, en brøk i nevneren og en hovedbrøkstrek mellom dem.

3 For mer info kan du lese her: http://math.uib.no/forkurs/Primtall.pdf

Kapittel 1

7

1.10 Absoluttverdi

Absoluttverdien eller tallverdien til et reelt tall er den numeriske verdien til tallet uten hensyn til fortegnet. Den geometriske tolkningen av absoluttverdi kan være avstand på tallinjen.

| | 0

0 x x

x x x

 

  

Husk: x² | |x Grafen til y| |x :

Absoluttverdien av kan tolkes som avstanden fra 0 til på tallinjen.

Tilsvarende vil xy bli avstanden mellom og ypå tallinjen. Dermed har vi at de som tilfredsstiller ligningen x 1 2 er alle tall slik   1 x 3.

Noen regneregler som gjelder:

| | | || |

| | | |

( 0)

| | | | ab a b

a a

b b b

 

  



|x|   a x a

|x| 0  x 0

|x|    a a x a

|x|   a x a xa

Det kan vises:

|a b | | |a | |b a b  a b

Eksempel 1.3

a) Beregn: | 3 | 7 ||  b) Løs ligningen |x 2 | 3 c) Tegn grafen til y  |x 2 |

a) | 3 | 7 || | 3 7 | 4     b) |x 2 | 3

c) 2 2

| 2 |

( 2) 2

x x

y x

x x

 

      . Grafen er vist her:

Eksempel 1.4

Løs ligningene og ulikheten: a) |x 5 | 3 b) |x 5 | 3 c) |x| x a) x      5 3 x 2 x 8

b) |x       5 | 3 3 x 5 3 2 x 8

c) ^{0 0 eller}



^{, 0}



0 0

x x x x R

x x x x R x

x x x x

    

     

      



1.11 Potenser med heltallige eksponenter

an kalles potens (potensledd) og er definert som:

ganger n

n

a     a a a a der a er grunntall og n er et naturlig tall og kalles eksponent.

Hvis a0, kan vi skrive a⁰ 1 og a a

n n

  1 Regneregler

a^maⁿ a^{m n} a b ⁿ aⁿbⁿ

m

m n n

a a

a

  a

b a b

n n

n



 

 

 

^{an m an m }

 

^{am n q ap aqp}

Husk:

a⁰ 1 a

a

n n

  1

a^{n n} a

1



Kvadratrot skrives slik: og

1

a a2. n’te rot skrives ⁿ og kan noteres:

1 na an

Eksempel 1.5

Skriv så enkelt som mulig: a) x 2

x

 

 

  b) x3

x a)

2 2

x x

x x x

 

 

 

  b)

1 5 4 1 1

3 (3 )

2 2

2 2 2 2

x x x x x x x x

x

 

    

1.12 Kvadratsetningene

ab² a² 2abb² (1. og 2. kvadratsetning)

  

2 2

a b  a b a b  (3. kvadratsetning)

1.13 Geometrisk rekke

Kjennetegnet til en geometrisk rekke er at forholdet mellom to påfølgende ledd er konstant.

3 2

1 2 1

n n

a a

a k

a  a   a _  (kvotient)

Summen av de n første leddene i rekken er: S = a₁ + a k₁ + a k₁ ²+ a k₁ ^n1 og kan utledes som ₁1

1 kn

S a k

 

 , husk at n er antall ledd i rekken.

Kapittel 1

9

Geometrisk rekke, ledd n ¹

1

 ⁿ

n ak

a k er rekkens kvotient

Summen av de n første leddene i en

geometrisk rekke ¹

1 1

kn

S a k

 



Gjelder for k 1.

Hvis k =1 er, S na₁ Summen av en uendelig

geometrisk rekke (konvergent) _k

s a

  1

1 Gjelder for   1 k 1

S = 0 når a₁ 0

Rentesrenteformelen _n

n

K p

K )

1 100

0( 

 Verdien K_n om n år av et beløp

K₀ i dag

Eksempel 1.6

Ved den første injeksjonen gir dosen 5 enheter.

Pasienten skal få 20 injeksjoner med en ukes mellomrom.

a)Hvor mye skal injeksjonen økes slik at den siste dosen er 100 000 enheter?

b)Hvor mange enheter mottar pasienten i løpet av de 20 injeksjonene?

a) ₀(1 ) ¹

100

n n

K K  p ^

19 1/19

100, 000 5(1 ) 1 (20, 000) 1, 684 0, 684 eller 68, 4 %

100 100

p p

       p .

b)Vi ønsker å bestemme summen til 30 ledd i en geometrisk rekke:

S = 5 + 5 (1,684) + 5(1, 684)² +

20

19 1 (1, 684) 5

5(1, 684) 5 2, 459 10

1 1, 684

     

 enheter

1.13.1 Summetegnet 

Summetegnet kan hjelpe oss til å omskrive en sum som følger en bestemt regel:

1 2 3

1 n

i n

i

a a a a a



    



Eksempel 1.7

Skriv summen 3(2)⁴3(2)⁵ 3(2)¹⁰ved hjelp av summetegnet. Regn ut summen.

10

4 5 10

4

3(2) 3(2) 3(2) 3(2)ⁱ

i

   



^{eller 4 5 10 7 3}

1

3(2) 3(2) 3(2) 3 (2)ⁱ

i





   



Summen er da lik:

7

4 5 10 41 2

3(2) 3(2) 3(2) 3(2) 6096

1 2

     



Bemerk: a₁ + a k₁ + a k₁ ²+ a k₁ ^{n1 1}

1

( )

n i i i

a k ^







 ^a1(1_1^_k^kn)

Eksempel 1.8

Bestem summen til den geometriske rekken:

5 10 20 640

For å bestemme n (antall ledd i rekken) kan vi benytte: ¹

1 n n

a k

a

 

1 1 7

640 128 2 2 2 8

5

n n

  n

     

Summen er da lik:

1 28

5 10 20 620 5 1275

1 2

      

 Bemerk: a₁ + a k₁ + a k₁ ²+ a k₁ ^{n1 1}

1

( )

n i i i

a k ^







 ^a1(1_1^_k^kn)

1.14 Aritmetisk rekke

Kjennetegnet til en aritmetisk rekke er at differansen mellom alle to påfølgende ledd er konstant. a₂ a₁ a₃ a₂  a_n a_n1 d

Summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved:

1 1 1 1 1 1

1

( ) ( 2 ) ( ( 1) ) ( ) (2 ( 1) )

2 2

n

i n

i

n n

a a a d a d a n d a a a n d



             



Eksempel 1.9

Bestem summen til den aritmetiske rekken:

5 9 13   49

Differansen d kan bestemmes: d   9 5 13 9 4

For å bestemme n (antall ledd i rekken) kan vi benytte: a_n a₁ (n1)d 4(n 1) 49 5   n 1 11 n 12

Summen er da lik: 5 9 13 49 ¹²(5 49) 324

     2  

Bemerk: _{1 1 1 1 1}

1

( ) ( 2 ) ( ( 1) ) ( )

2

n

i n

i

a a a d a d a n d n a a



          



Kapittel 1

11

Oppgaver – Kapittel 1

Oppgavene skal løses uten bruk av kalkulator.

Oppgave 1.1 Regn ut.

a) ^{3 2 4 3 4}



^{2 4}



^{b) 32}

^

^42

^

^{4 2}



^{2 2}



^c)

^{ }

^{3 5}



^{52 42 32}



^{12 }

^{ }

¹¹⁹

Oppgave 1.2 Regn ut.

a) ^{36 32}

8 144 b) 3 35

7 30 c)

2 5 7 15

d) 2 3: 6 Oppgave 1.3

Regn ut.

a) ^{2 1 4}

2 3

x x x b) ^{1 1} ₂³

1 1 1

x  x  x

   c) 1 1 1

x : x x

  

 

 

Oppgave 1.4 Regn ut.

a) 15 3 a

a b) ²

2 3

b b b b





c) 2 5

5 2

a a a a



 Oppgave 1.5

Regn ut.

a) 1

1 x

x



 b)

2 2

2 x x



 c)

2

2 1 2 1

1

4 1

a a

x x

x

  

 Oppgave 1.6

Multipliser og trekk sammen.

a) ^a



^1b2



^{2a b}



^{2 b}



^{ab(2b) b)}

^

^{3x2 3}

^

^x2

^{ }

^{ 3x2 3}

^

^x2

^

c)



^a2b

 

^{2  a2b a}



^{( 2 )b d)}



^{2 x}



^{2 x}

 

^{ 2 x}



^{2 4 x}

Oppgave 1.7

Skriv så enkelt som mulig:

a)

2 2

4a 4ab b

(2a b)

 

 b)

2 2

2 2

a 4ab 4b

a 4b

 

 Oppgave 1.8

Bruk kvadratsetningene og regn ut.

a)



^x3

 

^{2  x3}



^x3



^b)



^xa

 

^{2  xa}



²

c)



^{3a2 2 3}



^{ a}



^{(3a2)2 d)}



^{3 2}



^{3 2}

 

^{ 2 1}



²

Oppgave 1.9

Faktoriser uttrykkene.

a) 9x² 3x b) 4x² 49 c) 4t² 9 d) x² 6ax9a² Oppgave 1.10

Faktoriser uttrykkene ved hjelp av nullpunktene.

a) x² 5x4 b) x² 2x3 c)a²  a 12 d) b²  b 6 Oppgave 1.11

Forkort brøkene.

a)

2 9

2 6

x x



 b)

2 36

4 24

x x



 c)

1 x x x

x



 d)

2 2

3 2

3 9

9 x y xy x xy



 Oppgave 1.12

Skriv så enkelt som mulig (a0) : a)

3 4

( 2 3) a a

a

 b)

3 3 2

a a a

c)

3

3 4

a a a

a

  

d)

3 2 6 4

3 4 3 4

a a a a

a a a

  

 Oppgave 1.13

Bestem summene:

a) 1 ^{2 4 8} 3 9 27

    b) 1 1₂ 1₃

1 x x  x  der x1 Oppgave 1.14

a) Løs ligningen: (x1)² 2. b) Tegn grafen til y  |x 1| .

c) Bestem største verdien til f x( )  5 |x 1|.

Kapittel 1

13

Fasit – Kapittel 1

1.1 a)12 b) 30 c) 12 1.2 a)1 b) 1

2 c) 6

7 d) 1

9 1.3

a) ^{6 2 3 1 2 4 1} 6 x 3 2x 2 3x 6x

     

   b) ₂1

1

x  c) x1

1.4 a) ¹

5 b)

3 2 2 9

5 10

2 3 3

b b

b

b b

b



 



c) ³ 7

1.5 a)  (1 x) b) x 2 c) 2a

1.6 a) a b) ^{4 3}



^x2



^{c) 4 (b a2 )b d)2x}

1.7 a) 2ab b) a 2b

a 2b





1.8 a) ⁶



^x3



^{b) 4ax c) 6 (3a a2) d)} 2( 2-1) 1.9 a) 3 (3x x1) b) (2x7)(2x7) c) (2t3)(2t3) d) (x3 )a ² 1.10 a) (x1)(x4) b) (x3)(x1) c)(a4)(a3) d) (b2)(b3) 1.11 a) 3

2 x

b) 6

4 x

c) x d)

2 2

3 2

3 9 3 ( 3 ) 3

( 3 )( 3 ) 3

9

x y xy xy x y y

x x y x y x y

x xy

   

  

 1.12

a)

7 5

3 4 2

2

2 3 6 5 2

2

1 1

( )

a a a

a a a a a

a

 

    b)

3 2 1 9 4 3 2

3 ( )

2 3 2 6 6 3

3 2

a a a a a

a a

   

   

c)

1 1 4

3 1

2 3 3

3 4

a a a

a a

a

  

  

  d)

2 1 1 1 7

3 2 6 4 ( ) (1 )

3 2 6 4 12 0

3 4 3 4

a a a a 1

a a

a a a

    

  

  



1.13 a) 2 4 8

1 3 9 27

S      ₁

1 ( )2

1 lim1 3 3

1 2

1 3

n n

n

S a k

k ^

 

  

 

b) 1 ^{1 1}₂ ¹₃

x x x

    der x1 ₁

1 ( )1

1 lim1

1 1 1

1

n n

n

k x x

S a

k x

x



 

  

  

der 1 1

lim( ) 0

n x

n x



 

1.14

a) x          1 2 x 1 2 x 3 x 1

b) 1 1

| 1 |

1 1

x x

y x

x x

 

     

c) Største verdien er 5 forx1.

Kapittel 2 Funksjoner, ligninger og ulikheter

Her skal vi ta for oss sentrale begreper knyttet til funksjoner og deretter studere ligninger og ulikheter.

2.1 Hva er en funksjon?

En funksjon f er en regel som tilordner ethvert element, x, fra en mengde kalt definisjonsmengde, til et entydig bestemt element, y, i en mengde kalt verdimengde:

( )

y f x der xD_f og yV_f

x og y kalles henholdsvis uavhengig variabel og avhengig variabel.

Kravet for at en relasjon y f(x)er en funksjon er:

For enhver x i definisjonsmengden finnes én og bare én y i verdimengden:

1 2 1 2

x x y  y

Vertikallinjetesten: En linje parallell med y-aksen skjærer funksjonskurven høyst i ett punkt.

Eksempel 2.1

yx2 er en funksjon, mens y² x ikke tilfredsstiller definisjonen til en funksjon (grafen til yx²som er vist litt tykkere har bare ett skjæringspunkt med en vertikal linje, mens

y2 x har to).

2.2 Grafen til en funksjon

La f være en funksjon. Mengden av alle tallpar ( ,x f x( )) som vi får ved å la x gjennomløpe definisjonsmengden til f , kalles grafen til funksjonen y f x( ).

Eksempel 2.2

Grafen til y f x( )x² 1 er vist her:

Som vi ser, er denne relasjonen en funksjon.

Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])

15

2.3 Noen viktige begrep

 Monotoni

(i) En funksjon f er voksende dersom: x₂ x₁  f x( ₂) f x( )₁ (ii) En funksjon f er strengt voksende dersom: x₂ x₁  f x( ₂) f x( )₁ (iii) En funksjon f er avtagende dersom: x₂ x₁  f x( ₂) f x( )₁ (iv) En funksjon f er strengt avtagende dersom: x₂ x₁  f x( ₂) f x( )₁

 Kontinuitet

En funksjon y f x( ) er kontinuerlig dersom grafen er sammenhengende.

I kapittel 5 skal vi studere kontinuitetsbegrepet nærmere.

 En entydig funksjon

For enhver y i verdimengden finnes én og bare én x i definisjonsmengden. Vi kan bruke den såkalte horisontallinjetesten til å studere entydighet.

 Horisontallinjetesten

En linje parallell med x-aksen skjærer funksjonskurven høyst i ett punkt.

 Sammensatte funksjoner

For eksempel: y x² 1 kan anses som y  g x( ) der g x( )x² 1.

 Oppdelte funksjoner

En funksjon som er uttrykt ved hjelp av flere funksjonsuttrykk i forskjellige intervaller.

For eksempel:

2 0

( ) 2 0

x x

f x x x

 

  

 Odde og jamne funksjoner, og symmetriegenskaper (er foreløpig ikke pensum)

2.4 Noen funksjoner

Polynomfunksjoner: f x( )a₀ a x₁ a x₂ ²  a x_n ⁿ (polynom av n’te grad) (for eksempel førstegrads- og andregradsfunksjoner)

Rasjonale funksjoner: ( ) ( ) y f x

 g x ( ( )g x 0), der f og g er polynomfunksjoner Eksponentialfunksjoner: ya^x, a0

Logaritmefunksjoner: ylog_ax , der x0 , a0.

(for eksempel briggske logaritmer, y logx og naturlige logaritmer, ylnx ) Trigonometriske funksjoner: ysinx, ycosx,ytanx, y c asin(x), …

2.5 Førstegradsfunksjoner f x ( )  ax b 

En førstegradsfunksjon er en funksjon der funksjonsuttrykket er av første grad og kan skrives på formen: y ax b, der a kalles stigningstall og b er konstantleddet.

 Ettpunktsformelen: y y₀ a x( x₀)

(en rett linje med stigningstall a som går gjennom punktet (x₀ ,y₀))

 Topunktsformelen: ^{0 1 0}

0 1 0

y y y y

x x x x

 

  

(en rett linje gjennom punktene(x₀ ,y₀)og (x₁ , y₁)der stigningstallet da blir ^{1 0}

1 0

y y

a x x

 

 ) Grafen til yax b , der a kalles stigningstall og b konstant ledd, er en rett linje.

0

a  funksjonen er strengt voksende.

0

a  funksjonen er strengt avtagende.

0

a  funksjonen er konstant: y b.

2.6 Ligninger

En ligning består av to matematiske uttrykk som er satt lik hverandre, der uttrykkene inneholder minst én ukjent. Den ukjente betegnes ofte .

Når ett ledd (i en ligning) flyttes fra en side av likhetstegnet til den andre, må vi skifte fortegn ( , ) på leddet.

En ligning som alltid er oppfylt, uansett valg av den ukjente, kalles en identitet. For eksempel (x 1) (x 1) x2 1.

Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])

17

2.7 Førstegradsligninger

Når vi skal løse førstegradsligninger må vi prøve å samle x-ene på en side og tallene på den andre siden. Men for å få til det må vi legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sider, eller multiplisere eller dividere alle ledd på begge sider med det samme tallet.

Eksempel 2.3

Løs ligningene:

a) 8x 7 88 x b) 11

2 3

x x

x c) 1 ¹(3 ) ² 4

2 5

x x

a) b)

6 11

2 3

x x

x 3x 2x 66 6x 11x 66

6 x

c)

1 2

10 1 (3 ) 4

2 5

x x

10 5(3 x) 2(2 )x 40 10 15 5x 4x 40 9x 45 x 5

2.8 Andregradsligninger ax

²

 bx c   0

Vi har å gjøre med en andregradsligning når en ligning har en ukjent som er opphøyd i 2. Den skrives ofte på denne formen: ax² bx c 0 , der a, bog c er reelle tall og a 0.

 Løsningene til andregradsligningen: ax² bx c 0 kan skrives som:

2 1,2

4 2

b b ac

x a

  



2 2 2

4 0 2 foskjellige reelle løsninger 4 0 dobbel løsning

4 0 ingen reell løsninger b ac

b ac b ac

  

  

  



 Hvis b0 , kan ligningen ax²  c 0 ha løsningene _1,2 c x   a

 Hvis c0 , kan ligningen ax² bx0 ha løsningene ₁ 0 , ₂ b

x x

  a

 En andregradsfunksjon f x( )ax² bxcsom har nullpunkt, kan faktoriseres med dens nullpunkt(er):

2

1 2

( )( )

ax bx c a xx xx , der x₁ og x₂ kan bestemmes ved:

2 1,2

4 2

b b ac

x a

  



8 7 88

8 88 7

9 81

81 9

9

x x

x x x x

Det er hovedsakelig tre tilfeller av ligningene:

Eksempel

Ingen konstantledd 0

c ² 0

( ) 0

0 0

0 ax bx x ax b

x eller ax b x eller x b

a Ingen førstegradsledd

0 b

2 2

2

0 ax c

ax c

x c

a x c

a

Generell ²

2

0 4 2 ax bx c

b b ac

x a

2 4 0

b ac : 2 reelle løsninger

2 4 0

b ac : en dobbel løsning

2

2

6 0

1 ( 1) 4 1 ( 6)

2 1

1 5

2

2 3

x x

x x

x eller x

Eksempel 2.4

Løs følgende andregradsligning 4x² 10x 24 0

SVAR: Bruker abc-formelen. Her er a = 4, b = 10 og c = 24.

2 1,2

10 10 4 4 ( 24) 10 484 10 22

2 4 8 8

x

Dette gir de to løsningene _{1 2} 3 4 og

x x 2

2 0

0 4 2 0

0 ) 4 2 (

0 2 4

2





















x eller x

x eller x

x x

x x

2 2

2

4 9 0

4 9

9 4

9 4 3 2 x x x x x

2

2

4 4 0

4 4 4 1 4

2 1

4 0

2 2

x x

x x x

Forkurs i matematikk – UiB ([email protected])

19

Eksempel 2.5

Løs ligningene:

a) x² 3x 4 b) x² 5x c) x² 5 0

a) b)

2 5

x x

( 5) 0

x x

0 5

x x

c)

2 5 0

x

2 5

x

5 x

2.9 Andregradsfunksjoner

f x( )ax² bx c

 Dersom a0, smiler grafen, mens grafen er sur når a0.

 Skjæringspunkt med y-aksen er ( x = 0 , y = c ).

 Nullpunktene til grafen (skjæringspunkt med x-aksen) er

2 4

( , 0)

2

b b ac

x y

a

  

  .

 Husk at andregradsfunksjonen kan faktoriseres hvis den har løsning(er):

2

1 2

( )( )

ax bx c a xx xx

 Grafen er symmetrisk om linjen:

2 x b

a

 .

For å tegne grafen til en andregradsfunksjon kan vi tenke slik:

1) Er grafen sur eller smiler den?

2) Bestem symmetrilinjen:

2 x b

a

  og ( ) 2 f b

a

 . Faktisk er punktet: ( , ( )

2 2

b b

x y f

a a

 

  )

koordinatene til maksimumspunktet (a0) eller minimumspunktet (a0).

3) Bestem eventuelle nullpunkt.

4) Bestem skjæringspunktet med y-aksen (0 , )c .

2

2

3 4 0

3 3 4( 4)

2

3 5

2

1 4

x x

x x

x x

Eksempel 2.6

Tegn grafen til y x² 4x3 1) Nullpunktene :

2 4 3 0

x  x  og dermed er x  1 x 3

2) Symmetrilinjen: ⁴ 2

2 2

x b

a

     . 3) a 1 0 grafen smiler og dermed er

(2 , f(2))(2 , 22 4(2)  3 1)lokalt minimum.

2.10 Inverse funksjoner

En invers funksjon til en funksjon y f x( ) der xD_f og yV_f er en relasjon som tilordnery-verdien tilbake til x-verdien.

Dermed er: y f^1( )x der _{1 f}

Df_ V og _{1 f} Vf_ D Kravet for at en funksjon har en invers funksjon er at funksjonen er entydig (monoton).

Husk: f^1( ( ))f x x og f f( ^1( ))x x

 Hvordan kan vi bestemme den inverse funksjonen til y f x( )?

1) Bestem x med hensyn til y.

2) Bytt om x og y.

Eksempel 2.7

Bestem den inverse funksjonen til y f x( )x²1 gitt x0 1) Finner x uttrykt ved y:

2 1

x  y og siden x0, får vi: x y1 2) Bytter om x og y:

1

y x dermed er: y f^1( )x  x1 Bemerk: _{1 f} [1,

Df_ V    og _{1 f} [0, Vf_ D    .