Hjelpetabeller til den høyere geodesi

H J E L P E T A B E L L E R T I L

DEN HØYERE GEC'DES I

ruv

p~f.es.s&~ dr. Paul Gl.ei~vik

INSTITUTT FOR LANDMÅLING

Ve'.i.lehekk 1964

Innholdsfortegnelse.

Side

Forord ¹

Hjelpetabell ved interpolering etter Newtons interpolasjonsformel.

Hjelpetabell for utregning av sfæriske overskudd, additamenter og korreksjoner for overgang fra

rettvinklede sfæroidiske koordinater til konforme. 3

2

Krumningsradier for den norske utgave av Bessels ellipsoide. 4 Meridianbuelengder på den norske utgave rav Bessels ellipsoide. 6 Omsetting av geografiske koordinater til rettvinklede

konforme koordinater:

X

y y

7

8 10 12 Omsetting av rettvinklede konforme koordinater til

geografiske koordinater:

q>

6A y

Transformering fra et Gauss-Kriigersk aksesystem til nabosystemet.

14

15 19 23

27

·,.

- 1 -

Forord.

Det foreliggende tabellverk er utarbeidet ved Institutt for landmåling ved NLH til stette for beregningsovingene innen den hoyere geodesi~

Hva de grunnleggende formler angår, vises til kompendiet

"Forelesninger i hoyere geodesi m.v.". Her er det brutt med den

"klassisken måte å strukturere disse formler på, idet en i storst mulig utstrekning har brakt dem på potensrekkeform - en form som etter for- fatterens mening i vesentlig grad forenkler den praktiske beregning~

forutsatt at beregningen kan stotte seg til tabeller over potensrekkenes koeffisienter, og det er i forste rekke dette behov som det nye tabell- verket tar sikte på å imotekomme. For å unngå at tabellverket skulle

bli for voluminost, er det nyttet så store intervaller at vanlig lineær interpolasjon ikke forer fram for hovedleddenes vedkommende. I slike tilfelle, er både 1. og 2P differensene angitt med sikte på ikke-lineær interpolasjon etter Newtons interpolasjonsformel.

Tabellverket tillater direkte beregning på den norske utgave av Bessels ellipsoide. Tidligere tabellverk som NG0¹s "Tabeller over Hjælpestorrelser ved Koordinatberegning¹¹ bygger på den offisielle ut- gave av Bessels ellipsoide (Bessels beregninger ble utfort i lengdeen- heten toise. Ved den senere omsetting til internasjonale meter ble det nyttet en litt feilaktig verdi for forholdet mellom toise og meter, slik at den offisielle Besselske ellipsoide ble tilsvarende feilaktig, De norske ellipsoideverdier baserer seg på et mer korrekt forhold mellom toise og meter enn det som ble nyttet ved utledningen av de offisielle ellipsoideverdier; de to ellipsoider blir folgelig likedannede), slik at det ble nodvendig med en omregningstransaksjon for å komme over til den norske ellipsoide.

Den foreliggende utgave av tabellverket er å betrakte som en forelopig utgave, Det er nemlig meningen etter hvert å utvide det til bl.a. også å omfatte tabeller til støtte for astronomiske beregninger.

" 2

HJELPETABELL VED INTERPOLERING ETTER NEWTONS INTERPOLASJONSFORMEL•

Ifølge Newtons interpolasjonsformel har vi

( ) z(l-z)

f X + OX :::: Y _O + Z • 6y O - 0 D. ² y o

= Yo + Z • b.y O - z ! • 6² Yo

hvor z er de.n brøkdel av intervallet som 6x svarer til. I den etter- følgende tabell er z' ^:= ½z(l-z) stilt sammen med z som argument.

z ^{0 1 2} 3 ⁴ ! ^I 5 ⁶ 7 8 9

I

o,oo 0,0000 0,0005 o,oolo 0' 0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040 0,0045 0,0050 o,99 , ol 0,0050 0,0054 0,0059 0,0064 0,0069 0,0074 0,0079 0,0084 0,0088 0,0993 0,0098 , 9t3 , o2 0,0098 o,olo3 o,olo8 0,0112 0,0117 0,0122 o,ol2'T 0,0131 0,0136 0' 0141 0,0146 ,97

, o3 0,0146 0,0150 0,0155 0,0160 0,0164 0,0169 0,0174 0,0178 0,0183 0,0187 0,0192 , 96 , o4 0,0192 0,0197 o,o2ol 0,0206 0,0210 0,0215 0,0219 0,0224 o, o2 28 0,0233 0,0238 , 95 , o5 0,0238 0,0242 0,0246 0,0251 o, 0255 0,0260 0,0264 0,0269 0 J O 2 73 0,0278 0,0202 '911r-

I 06 0,0282 0,0286 0,0291 0,0295 0,0299 o,o3o4 0,0308 0,0313 0,0317 0,0321 0,0326 ,93 , o7 o,o.526 0,0330 0,0334 0,0338 0,0343 0,0347 0,0351 0,0355 0,0360 0,0364 o, 0368, ,921

, 08 0,0368 0,0372 0,0376 0,0381 0,0385 0,0389 0,0393 0,0397 o,o4ol o,o4o5 0,0410 ,911 , o9 0,0410 0,0414 0,0418 0,0422 0,0426 0,0430 0,0434 0,0438 0,0442 0,0446 0,0450 ,9oj

,lo 0,0450 0,0454 0,0458 0,0462 0,0466 0,0470 0,0474 0,0478 0,0482 0,0486 0,0490

, __ ·,_ I

,11 0,0490 0,0493 0,0497 o,o5ol o,o5o5 o,o5o9 0,0513 0,0517 0,0520 0,0524 0,0528 ,Hdi ,12 0,0528 0,0532 0,0536 0,0539 0,0543 0,0547 0,0551 0,0554 0,0558 0,0562 0,0566 ; r37j

,13 0,0566 0,0569 0,0573 0,0577 0,0580 0,0584 0,0588 0,0591 0,0595 0,0598 0,0602 , ns

I

,14 0,0602 0,0606 0,0609 0,0613 0,0616 0,0620 0, 0623 0,0627 0,0630 0,0634 0,0638 I 5j ,15 0,0638 0,0641 0,0644 0,0648 0,0651 0,0655 0,0658 0,0662 0,0665 0,0669 0,0672

' ^i-I

,16 0,0672 0,0675 0,0678 0,0682 0,0686 0,0689 0,0692 0,0696 0,0699 o,o7o2 0,0706 ^{~: 1}

' ^.r

,17 0,0706 o,o7o9 0,0712 'J, 0715 o, 0719 0,0722 0,0725 0,0728 o, oT32 o, o7'35 0,0738 ,,.2 ,18 0,0738 0,0741 0,0744 0,0748 0,0751 0,0754 0,075? 0,0760 0,0763 0,0766 0,0770 , ,,1 ,19 0,0770 0,0773 0,0776 0,0779 0,0782 0,0785 0,0788 0,0791 0,0794 0,0797 0,0800 ' (~ ;J

,20 0,0800 0,0803 0,0806 0,0809 o, o.c},12 0,0815 0,0818 0,0821 0,0824 0,0827 0,0830 ,7J , 21 0,0830 0,0832 0,0835 0,0838 0,0841 0,0844 0,0847 0,0850 0,0852 0,0855 0,0858 , 72 ,22 0,0858 0,0861 o,oG64 0,0866 0,0869 0,0872 o, 0875 0,0877 0,0880 0,0883 0,0886 ,77 ,23 0,0886 0,0888 0,0891 0,0894 0,0896 0,0899 o,o9o2 c,o9o4 o,o9o7 o,o9o9 0,0912 , 7G ,24 0,0912 0,0915 0,0917 0,0920 0,0922 0,0925 0,0927 0,0930 0,0932 0,0935 0,0938 , 75 ,25 0,0938 0,0940 o, o9,i2 o, o9-'+5 0,0947 0,0950 0,0952 o, c¹955 0,0957 0,0960 0,0962 , 74

,26 0,0962 0,0964 o, 0967 o, 0969 0,0972 0,0974 0,0977 c,0979 0,0981 0,0983 0,0986 , 73

, 27 0,0986 0,0988 0,0990 0,0992 0,0995 0,0997 0,0999 o,loo2 ^0, 1 ;:)04 o,1006 o,1008 , 72 , 28 o, 1008 o, 1 olo o,lol2 o,lol5 o, lol 7 o,lol9 o,lo21 o,lo23 0, 1025 o,lo27 o,lo3o '71 , 29 o,lo3o o,lo32 o,lo34 o, 1036 o,lo38 o, 1 o4o o,lo42 o,lo44 o,lo46 o,lo48 o,lo5o , 7o ,3o o,lo5o o,lo52 o,lo54 o,lo56 o,lo58 o,1060 0,1062 o,lo64 o,1066 0,1068 o,lo?o , 69 , 31 o,lo?o o,lo72 o,lo74 o,lo76 o,lo78 o, 1080 0 J 1081 o,lo83 011084 o,1086 o,1088 ,6U ,32 o,1088 o,lo9o c,lo92 o,lo93 o,lo95 o,lo97 o,lo99 o,lloo o,llo2 o,llo4 o,1106 ,67 , 33 o,1106 o,llo7 o,llo9 o,1111 o,1112 o,1114 o,1116 o,1117 o,1119 0, 1120 o,1122 , 66 ,34 o,1122 o, 1124' o,1125 o,1127 o,1128 0₁1130 0' 1131 o, 1133 o,1134 o,1136 o,1138 T65 , 35 o, 1138 o, 1139 o,1140 o,1142 o, 1143 ci,1145 o,1146 o,1148 o, 1149 o,1151 o,1152 , , 64 ,36 o,1152 o,1153 o,1155 o,1156 o,1158 o,1159 0,1160 o,1162 o, 1163 o,1164 o,1166 ,63

I 37 10, 1166 o,ll67 o,1168 o,1170 o, 11 71 o,1172 0' 11 73 o,1174 o,1176 o,1177 o,ll 78 ,62

,38 ,0, 1178 o, 1179 o,llBo o,1182 o,1183 o,1184 o,1185 o,1186 o,1187 o,1188 o, 119·) , 61 ,39 ¹o,119o o, 1191 o,1192 o,1193 o, 1194 c,1195 o,1196 o,1197 0' 1198 o, 1199 o,1200 ,60

,4o o,1200 o, l 2ol 0,1202 o,12o3 o,12o4 o,12o5 o,1206 o,12o7 0' 1208 o,12o9 0, 1210 '5J , 41 o,1210 0, 1210 o,1211 o, 1212 o,1213 o,1214 o,1215 o,1216 o,1216 o, 121 7 o,1218 ,53

, 42 o,1218 o, 1219 o,1220 o,1220 o,1221 o,1222 o,1223 o,1223 o, 1224 o,1225 o,1226 ,57 ,43 ,o,1226 o,1226 o,1227 o,1228 o,1228 o,1229 0₁1230 o,1230 o,1231 o,1Z31 o,1232 , 56 , 44 o,1232 o, 1233 o,1233 o,1234 o,1234 o,1235 o,1235 o, 1236 n,1236 o,1237 o,1238 ,55 , 45 0₁1238 o,1238 o,1238 o,1239 o,1239 o,1240 o,1240 o,1241 o,1241 o,1242 o,1242 ,54 , 46 o,1242 o,1242 o,1243 o,1243 o,1244 o,1244 ,), 1244 o,1245 0' 1245 o,1245 o,1246 ,53 ,47 o,1246 o,1246 o,1246 o,1246 o,1247 o,1247 o,1247 o,1247 o,1248 o,1248 o,1248 ,52 , 48 o,1248 o,1248 o,1248 o,1249 o,1249 o,1249 o,1249 o,1249 o,1249 o,1249 o,1249 , 51 o,49 o,124S, o,1250 o,1250 o,1250 o,1250 o,1250 o,1250 o, 125 0 o,.1250 o,1250 o,1250 o,5o

9 8 7 6 5 4 3 ^{2 l 0} z

- 3 -

HJELPETABELL FOR UTREGNING AV SFmRISKE OVERSKUDD, ADDITAMENTER OG KORREK- SJONER FOR OVERGANG FRA RETTVHJKLEDE 3:F'ÆROIDISKE KOORDINATER TIL KONFORME: ~

(Tabellens angivelser refererer seg til den norske utgave av den Bessel- s ke ellipsoide.)

9 Cl1. q2 q3 q4

58° 1, 5 6 o7 o,5057 o,4086 117745 59 1, 56 o4 015 65 6 o, 4 085 1,7741

60 1,5600 o, 5o5 4 o,4o84 1,773 8

61 1,5597 0)15o53 o, 4o83 117734

62 .lr-5.594 Ch5o52 o,4o83 1,7731

·fr3 1,5591 0 9 5 051 o,4082 1,772B .64 ls5588 . o,5o51 0' 4-At81 l,7725 65 195585 o, 5 o5 o o,4080 1,7721

66. --L,--.~583 o,-5~49- · o,4o8o _l.t7718 67 1,5588 o,5o48 o,4o79 1,7715

68. 1.,5577 o"5o47 o,4o78 ls77l'J.

69 115575 o, 5 046 o, 4 078 1, 77 o9 7o _l 9 5 572 o,5o45 o, 4o77 _{l_,-1706} 71 1~5570 0' 5 045 o,4n76 1,7702

·-- ·.,-

1. Bti)rcp7ning ^{av sfæriske} ~verskudd.

wc c == Ch • F'mil 2

eller

hvor F er flateinnh~ldet av det sfæriske triangel.

2~ Beregning av additabentsr etter Soldners metode.

a. numerisk re~nipg.:

hvor

S = S' + b, , r ^E~ sp. S ¹ = S - D.

bh .. _ 1 ogari traeregning _{log S ~ log S}¹_{+ 6log,} resp. log S^1;;;; log S - L,log

f\.log " ^{6 log}

som gir D.l~g i enheter av lJgaritmcns 7. desimal.

3. Beregning av kJrreksj )ner for overgang fra rettvinklede sfæroidiske k1ordinatcr til konf1rme og rmvendt.

a. numerisk regning : Yk= y + 6~ resp. y f = Yk - 6

sf . s

-- ~· Ykmu 3

b. logaritmeregning.:

l'Jg __ Yic :;;:_ log Ysf + b. log, resp. log Ys-r-z log Yk- L:i.log

hvor ,0.log ^li _D.log

som gir 6log i enheter av logaritmens 7. d~simal.

•.. 4 -·

KRUMNINGSRADIER FOR DEN IWHSKE UTGAVE AV BESSELS ELLIPSOIDE.

(yerdien~ son ~je~der for den offisielle Besselske ellipsoide tas veda mult1pl1sere tabellens angivelser med o,999985125.)

•.

M N ^l Hm M N---

. cp

__ _J;Jif ____ ^"'Qi!

58° of 6380814,1 6392853,6 638683110 ₃ 09 935059 ₃ ^{··- ·· · ..}

----...-

0 ,'99')42-;,- + 167,5 + 56,1 + lll 9 8 _{+ 813 + 271} lo 6381981,6 6392909,7 6386942,8 30,935872 30,993700

+ 167,2 + 5598 ₊ lll,~ + Slo

30,993§t1

2o 6381148,8 6392965, 5 6387054, 30,936682

+ 166,6 + 55,7 + 111,2 _{+ 807 + 270} 30 6381315,4 6393021,2 6387165,5 30,937489 3 o, 994241

+ 166,o ₊ 55,~ ⁺ llo,9 _{+ 806 +} 269 4o 6381481, 4 6393 076' 6387276,i+ 30,938295 30,997510

+ 165,8 ₊ 55,2 + llo,6 +

Boi

5o 6381647,2 6393131,9 6387387,o 3o,939o9 30,99477

+ 165,2 +

s 1

59 ⁰ 6381812,4 639318 , o 6387497,2 30,939899 3 o, 995 046 + 16,t, 6 ₊ 55,1 ₊ 1·19,1

3o,91oiii ⁺ 2f6 lo 6381977,o 6393242,1 6387607, 30,9953 2

+ 164,2 ₊

54,i

63i7~~ti ⁺ 793 ^{+ 266}

2o 6382141,2 6393296, 30,94149 30,995578

+ 16316 ₊ 54,~ ^'+ lo9,1 _{+ 7i3 +} 26;

3o 6382304,8 6393351, 6387825,7 3o~9422 6 30,9958¹-l-

+ 163, 1 + 5¹h 4 + lo8,9 + 711 + 26~

4o 6382467,9 6393405,9 638793,1, 6 3o,943o 7 3o,996lo + 162,5 + 54,3 + loB,4 +

1s9

5o 6382630,4 6393L1r/5o,2 6388043,o _{3o?943 "65} 30,996370 + 162,1 + 54,1 + loB,2 +

781

60 0 6382792,5 6,393514,3 6388151,2 3 o, 94465 3o,996 32

+ 161,6 ₊ 54,o + 1 o7, 8 + 783 + 262 lo 6382954,1 6393568,3 6388259,o 3o, 9,1.5434 3 o, 996894

+ 160,9 + 53,8 + 1 o7, 4 + 781 + 261 2o 6383115' 0 6393622,1 6388366~4 309946215 30,997155

+ 16094. ₊ 53,5 + 1o71 o + 778 + 219 30 6383275·, 4 6393675,6 6388473,4 3 o, 9Lt6993 30,9974 4 + 159,9 + 53,4 + 10696 l + 775 _{+ 259}

4o 6383435,3 6393729,o 6388580,0 3o,9~7768 ·30,997673 + 159,3 _{,., + 53,3} + 106' 3 + 772

3o,9~7~~~

5o 6383594, 6 0393782,3 6388686,3 :30,948540

+ 158,7 + 52,9 + 1 o5, 9 + 770 + 257 61 0 6383753,3 6383835,2 638879292 30,949310 3 o, 998188

+ 158,2 ₊ 52,7 + 10596 + 767 + 256 lo 6383911,5 6383887,9 6388897,B 3o,95oo77 3 o, 998444·

+ 157,6 + 52,7 + 1 o5, 1 + 764 + 255 2o 6384069,1 6383940,6 6389002,~ 301950841 309998699

+ 157,2 + 52,5 + lo/],7 _{+ 760} + 254 30 6384226,3 6383993,1 6389107,6 3o,,516ol 30,998953

+ 156,4 ₊ 52,3 + lo4,~ + 758 + 253

l~o 6384382,7 6384-o45,t1r 6389212,o 30,952359 3 "' 9992 06

+ 155,B ₊ 52,o + 1 o4, o ₊ l57 + 253 5o 6384538,5 6384097,4 6389316,o 309953 16 30,999459

+ 15593 + 51,8 ₊ 1o39 7 + 753 + 251 62 0 6384693,8 6394149,2 6389419,7 30,953869 30,999710

+ 15416 + 51,5 + lo3,2 ₊ 7fjo + 250 lo 6384848,4 6394200,7 63 89522, 9 3o,954 19 3o,99996c

+ 15491 + 51,4 ₊ 1 o2 "7 + 747 ₊ 210 2o 6385002,5 6394252,1 6389625,6 3o995536F 31,0002 0

+ 153,4 + 51,3 + lo2 3 ₊

t~3

30 6385155,9 6394303,4 6389727',-g 3o,956 69 31,. 000458 + 152,8 + 51?0 + lo2,o +7Lfl ₊ 24\

4o 6385308,7 639Lt354"4 6389829,9 30,956850 31, o c o7 o

+ 152,2 + 5o,8 + lol,6 + 738 _{+ 241} 5o 6385460,9 639-(fo5,2 6389931,5 30,957588 31,00095

+ 151,6 + 5o,6 + 1 o L, o + 735 + 24;

63 ⁰ 6385612,5 639¹l455,8 639¹032,5 30,958323 31,00119

+ l5o,9 _{+ 5 o, 4} + loo,8 + 732 ₊ 241 lo 6385763,4 6394506,2 6390133,3 3o,959o55 31, ool4L\

+ 15o,4 + 5o,2 ₊ loot3 + 729 + 243 2o 6385913" 8 639455694 6390233,6 30,959784 31, ool68tt

+ 149,6 + ,~9, 9 + 99,8 + 725 + 242 30 6386063,4 6394606,3 6390333,4 3o,96o5o9 31,001926

+ 149,o + 49,8 + 99,4 + 722 + 2~-1 4o 638621214 6394656,1 6390432,8 30,961231 31,002167

+ 148,2 ₊ 49,5 + 99,o ₊ 720 + 241 5o 6386360, 6 6394705,6 6390531,8 30,961951 31002408

64 ^{+ ll;-7,8 + Lt993} + 98,4 + 715 + 2_38

0 6386508,4 639475t,,9 6390630,2 3 o, 962666 31,oo2b46

+ 147,o + 49,o + 98,1 + 713 + 238 lo 6386655,4 63 9,1.803 '9 6390728,3 30,963379 31,002884

+ 146?4 + 48,8 _{+ 9716} + 7,')9 +

23l

2o G38G8ol98 639485 2, 7 6390825,9 30"964088 31,00312

+ 1 ~-5, 6 + L;.8, 6 + 97?3 + 7o7 + 236

5o 6386947,4 6394901, 3 6390923,2 30,964795 31,003357

.... 5 ""'

KR.UMNINGSEADIER FOH DEN NORSKE UTGAVE AV BESSELS ELLIPSOIDE.

(VerdienG _som gjelder for den offisielle Besselske ellipsoide fås ved å multiplisere tabellens angJy§lser med~o,9~9985]25.) ^I lVI ^f N

~·-

·cp M N Rm _{' qii Q!!}

64 o 3 0 I 6386947,4 6394901,3 6390923,2 30,964795 31,oo335J + 14570 + 48,4 + 96,7 _{+ 7o3 +} 23 4o 6387092,4 C394949, 7 6391019,9 3 0' 965498 31,003591

+ 14412 + 48,2 ₊ 96,3 + 700 + 233 5o 6387236,6 639499719 6391116,2 30,966198 31, 003824

+ 143,7 _{+ 4799 +} 95,8 + 696 + 232

65 0 638738od 6395045,8 6391212,o ₃ 0' 966894 31, 004056

+ 143,o + 4797 + 95,4 ⁺ 694- ·. + 232 lo 6387523,3 039509315 63913 o7 1 t;. 3 o, 967588 31,004288 + 142,3 + 47,5 + 94,8 + 689 + 230 2o 6387665,6 6395141,o 6391402,2 3o,96B277 31, 004518

+ Vrl 9 5 + 4712 + 94,4 + 686 + 229 30 6387807,1 639518812 63 91496, 6 '301968963 31,0047111-7

+ l(o,8 + 47,o + 9 .-; , l + 682 + 228 4o 6387947, 9 63952.35,2 6391590,7 30,969645 31,004975

+ 140,0 + 46,8 ₊ 93,4 + 679 + 227

5o 6388087,9 ₆₃₉¹_{)282' 0} 6391684,1 301970324 31, ')05202

+ 139,5 + 46,6 ₊ 92,9 + 676 + 226 66 0 6388227,5 6395328,6 6391777? 0 30,971000 31,005428

+ 138,7 + 46,2 + 92,5 + 672 + 224 lo 6388366,2 6395374,8 6391869,5 30,971672 31,005652

+ 137,8 + !,6, 1 + 92,o _{+ 670} + 223 2o 6388504,o 63951i20,9 6391961, 5 30,972342 31,005875

+ 137,2 ₊ ¹_~5' 8 + 91,5 ₊ 665 + 222 3o 6388641,2 6395466,7 6392053,o 3o,973oo7 31,006097

+ 136,5 + 45,5 + 91,o + 661 + 221

4o 6388777,7 6395512~2 639214-4,o 30:i973668 31,006318

+ 135,7 + 45,2 + 9o,6 + 659 + 219 5o 6388913,4 6595557,4 63922:-54,6 3 0' 97 ¹~-3 27 31,006537

+ 134,9 + 1;5,1 ₊ 9 o, 0 + 654 + 219 67 0 63890,rn, 3 6395602?5 6392324,6 30~974981 31,006756

+ 134,3 + 44, 8 + 89,5 + 650 ₊ 217 lo 6389582,6 6395647,3 63921;-lL]., 1 30,975631 31,006973

+ 133,6 + 44,6 + 89,o + 647 + 215 2o 6389316,2 6395691,9 6392503,1 30,976278 31, .)07188

+ 132,7 _{+ <-4, 2 + 88,5 + 64~5 + 215} 3o 6389448,9 639573671 6392591,6 "So,976921 3 l ' ,) 'J 7 4 0 3

+ 131,9 + 4410 + 88,o + 640 + 214 4o s3s9sso,s

I

+ 131,1 + 43,8 ₊ 87,6 + 637 + 212 5o 6389711,9 6395823,9 6392767,2 30,978198 31,007829

+ l~fod + !~ 3 ~ 6 ⁺ 87,o + 632 ₊ 211 68 0 6 3 8 9 f3 /i. 2 , 2 6395867,5 639285/'.')2 30,978830 31, 08040

+ 129,7 ₊ 43,3 + 8() 1 4 + 629 + 2o9 lo 6389971,9 6395910,8 6392940,6 3 ,979lt59 31,o 8249

+ 129,o + 4-3,o + 86,o + 625 + 208 2o 63:-Joloo,9 6395953, 8 6393026,6 30,980084 31,0)8457

+ 127,9 + 42,7 + 85,3 + 620 + 2o7 3o 6390228, 8 6395996,5 G':193111,9 3 o, 98o7 o4 31,008664

+ 127,2 + ·1-2, 3 + 84,9 + 617 ₊ 206

11-0 6390356,o 639603818 _6393196,8 30,981321 31,008870

+ 126,4 + 42,1 + 84, 3 + 613 + 2o5 5o 63 9os-82 ⁹ 6 6396080, ₉ 6393281,1 30,981934 3l!loo9o75

+ 125,6 ₊ ¹_~-1, 9 + 83,9 + 609 + 2o4 69 0 639 06 08' 2 6396122,8 6393365,o 30,982543 31, o·.;9279

+ 124-,9 + 41,7 + 83,2 + 605 + 202 lo 6390733,1 6396164,5 63934/:.8, 2 301983148 31,009481

+ 124,o + 41, 0· + 82,7 + 602 + 200 2o 6390857,1 6396205,9 6393530,9 30,983750 31,009681

+ 123,2 1- 41,1 ₊ 82,3 + 598 + 199 3o 639o98o,3 6396247?0 6393613,2 30,984348 31,009880

+ 122,5 + 4o,9 + 81,6 ₊ 593 + 198

4o 6391102,8 6396287,9 6393694,8 30,984941 31,oloo78

+ 121,6 ₊ 4o,6 + 81,1 ₊ 589 + 197 5o 6391224, ^11r 639632815 6393775,9 3 o, 98553 0 31,olo275

+ 12o,7 ₊ 40,3 + Bo,5 ₊ 586 + 195 7o 0 639111:5,1 639636818 6393856,4 30,986116 31,olo47o

+ 20,0 + -~-o,o + 80,0 + 581 + 194 lo 6391465,1 6396408, 8 6393936,4 30,986697 31, olo664

+ 119, 1 ₊ 39,8 + 79,5 + 578 + 192 2o 6391584,2 6396448,6 6394015,9 30,987275 31,olo856

+ 118, 1 + 7 ~ L1

63940~~;~ ^{+ ~T +}

1i2

3o 6391702,5 _63964-~

:o

49

+ 11~,

i

561

4o 639181 , - 6394173,1 30,98841 31,011238

+ 11~ 6 ₊

38,t 639t2~'li:6

988~§~

181

5o 639193~;5 _63965M1, 31, 01142

+ 11~,6 + 38,9 ₊

3i,

71 0 639205' ,1 63 966 OLi, 63943 '0 3o,989?4ti- 31, 011614

-

-

MERIDIANBUELENGDER B PÅ DEN NORSKE UTGAVE AV BESSELS ELLIPSOIDE.

(Verdiene som gjelder for den offisielle Besselske Ellip3oide fås ved å nul. tipl is erc tabellens an;:ivelser med o, 999985125.)

cp B .6B L~²B cp B LB 11, .~.:: I

-~---- ·~--~· I 56° ^{01 0,000}

64°

+18561,279 +1s57q,oss

lo 18561,279 +09486 _4o 742815,68D ·:· 0, 'i,:<

"61,765 ¹¹ 79 ~ 5 ,J8

+o,<19

2o 37123,044 +o,485 _5o 761395,188

li 621250 ¹¹ 79~927

3o 55685,294 +o,484 65 ⁰ 779975, 115 +01¹:18

" 62,73t'r

798555,460 " 80, 3[;.5

4o 74248,028 +o, ,~84 lo +o, 15

"63,218 "8oy76o

+o, ,il2 ,50 92811,246 +o, 483 2o 817136, 220

" 639701 ^Il 819172

+ ^0, :ill

59') 0 11137~1947 +o,!c80 ₃₀ 835717.392

fl 6 I+ 1181 ¹¹ 81,583

os

lo 12993'.J,128 +o,477 4o 854298,975 +o,

li 64,658 "81,992

2o 1485 03, 786 +o,476 _-5o 872880, 967 + 0' ,' 06

11 65,13^{1~ 11} 82,398

3o 167068,920 +o, 05 66'" 0 891,'l63, 365 + 0 ~ 0/;

li 615,609 ¹¹ ₈₂ 9 802

+ o, / o2

4o 185G3A,529 +o, ¹1-7 ¹l lo 910046,167

li 66' 083 ^li 83,204

+ o, :) ol

· 5o 2o42o),612 +o,473 2o 928629, 371

"66,556

gi: 72121 976

11 83, 6 o5

+o, 3 98

60 0 222767,168 +o,471 3o

!I 671027 " 8cq 003

lo 241334~195 +o,468 4-o 965796,979 +o,3%

"

2o 259901,690 +o,468 _5o 984381,378

"84,791 +o,392

It Vi,963 ^j

3o 278469,653 +o,466 _{67' 0} 1002966,169 ₁₁

85,182 +o,391

li 68,429

4o 297()38, 082 +o,464 _lo 1021551,351

"85,572 ^+,), 390

"68,893

5o 315606 '975 +o,462 2o 1040136,923 +o, _38,S

l! 69d55 ^li 85,960

61 0 334176d3o +o,46o _3o 1058722,883 +o,3[

11 69,815 "86,346

lo 352746, 1•+5 +o, 459 _4o 1077309,229 +o, 3 _G,;

"7o,274 ^Il 86,730

2o :)71316,419 +o,458 5o 1o95 8 9 5 , 9 5 9 +oj' 380

li 701732 "87,11• ^I I

3o 389887,151 ₁₁ +o,457 68c ₀ 111!~!~83 '069 +or377'

71,189 ¹¹ 87,487

4o 408458,340 +o,455 lo 1133o7o, 55G

11 871862 +01375

" 71,61+/+-

,50 427029,984 +o,452 2o 1151658, 418 +09 373

li 721096 fl 881235

62· 0 4.45602,080 ₁₁ +o,45o 3o ll 7o2:l6, 653 + 0' ~; 7

72,546 "88,607

lo 464174,626 + o,45 o t; 0 1188835 ~ 260 +o, "37 o

" 72,996 ¹¹ 88,977

2o 4827 7,622 +o,447 _5o 1207424,237 +o,) 67

li 73, 1ii+3 11 89, 3t~.~

30 5 01321, 065 +o,445

169

"73,888 li 89 1 7 08

4o 519294,953 +o,443 lo 124t;-6 o3, 289 +o,362

"74,331 ¹¹ 9o, o7o

·5o 538469,284 +o,442 2o 1263193,359 +o, 3179

" 7·4 9 773 "9o,429

631'" ₀ 5570449057 +o,til~o 3o 1281783,788 _+o,358

11 75,213 "9o,787

lo 575619,270 +o,439 4-o 1300374,575 _+o,355

It 75,652 ¹¹ 91,142

2o 594194,922 +o,436 5o 1318965, 717 +o,352

li 76,088 ¹¹ _{91, IJ-94}

3o 612771,olo ₁₁ +o,434 7o' o 1337557,211 +o,35o

76,522 " 91,Btr,t

4o 631347,532 +o,432 lo 1356149,055 _{+o, 3}¹₁₈ i

"76,954 "92,192

+o,)l:51 , 5o 649924,486 +o,431 2o 1374741,21i7

" 77,385 ¹¹ 92,537

64 ⁰ 6685019871 +o,429 3o 1393333,784 _+o, 31· 2 ;

11 77,81L1r "92,879 _I

lo 687079,685 ₁₁ +o,427 iro l!;.11926, 663 +o,~5 o !

78,241

1121.- I ^li 939219

2o 705657,926 ₊ rJ 7 ··r ::> i 5o H3o519,882 _+013:39.

"78,666

+o,422! ^7lr "93,558 _i

3o 724236,592 ₀ l <1--1 9113 ' 4 4- 0 _!

OMSETTING AV GEOGRAFISKE KOORDINATER TIL RETTVINKLEDE KONFORME KOORDINATER.

Funksjonsforbindelsen er gitt ved

X= ~ + b1.6.\² + C1fl1i.4

y

=-

Størrelsene som inngår i disse formler,, refererer seg til figuren,, som viser forholdene i projeksjonsplanet. Her betyr

)(

X

~---;;a.y

Koeffi.&ient.ene i f'orm.lene . .,.for x, y og y er gitt ved

. a~ ._.,;: . ..si.n cp P

o = origo

oN = x-aksemaridian~

P = et vilkårlig punkt

PN' =parallelltil x-akseneridianen

6Å = Prs lengde i forhold til x-akseoeridianen y = den plane meridiankonvergena

F = f·otpunktet for perpendikulæren fra P på·

x-aksemeridianen

PQ -=parallellsirkelengjennom P

a;,. = avstanden langs meridianen !ra origo t11·

parallellsirkelen gjennom P.

t b-~:- = 6 1 p:3 Np f'OS8 'Pp ( tg2<Pp - 1 - T)2)

f b :S =

3 ~ 2 S in· (p p COS 2 _{<tJp (} l + 3 T) 2 )

hvor TJ står· f'o.r ·e-¹e-os crp. · (Dette, er et noe nøyaktigere formelsett enn det . .som er·utledet i kompendiet).· Tabellene refererer seg til et origo beliggende i 58° n.b., hvilket holder stikk for de norske aksesystemer I, II og III, For å kunne nytta. __ tabellene også for de øvrige norske aksesystemer følger nedenfor en oversikt over abscissene til.sist¹nevntes nullpunkter i forhold til 58° n.b.

Aksesystem

--

·---..---

origo befinner seg i : 64° n.b. 66 n,b. 68° n , bo 6x i forhold til 5fr: 668501,871 891463:i365 1114483,069

·--~-

De x-verdiene som tabellene gir, må altså reduseres med ovenstående verdier når et punkts plane koordinater skal henføres til andre aksesystemer enn I, II og III.

Tabellene baserer se~ på en len~detro avbildning av x-aksemeridianen og på den norske utgave av Bessels ellipsoide. De tilsvarende verdier på den offisielle Besselske ellipsoide fås ved å multiplisere x- og y-verdiene på den norske ellipsoide med faktoren 0,999985125.

NB. Ved beregning av koeffisientene er nyttet verdien 0,0001 p⁹¹ isteden- for p n. Det har til fØlge at fl }.. overalt må innføres med verdien O, 0001 /5.'A. ".

- 8 -

OMSETTING AV GEOGRAFL3Ki KOORDINATER TIL B"8'1:'l1VINKLEDE I~ONFORifiE KOOR])INA'.1¹:CR

Fl

x = ¾ + b1 6J,..,@ + C1 D.A.~ ( .6.A.0 = o, o oo.L LJ.t,¹¹)

J!

rp 91. Mi:. 62a1 b1 6b1 62b1 ^C1

58° 00 I 0,000 33769329 ^Q1L}.6

+18561,279 ^{- 9,608}

lo 18561,279 +01486 "66,721 -o, 114 o,44

"61,765 - 9,722

2o 37123,044 +o,485 "56:999 -o,115 o,43

n 62 ^'.i 25 0 - 9,837

3o 55 685, 291~ +o,484 "47,162 -o,113 ^{o, ,:t2}

11 62,734 - 9,950

4o 74248,028 +o,484 ¹¹ 37,212 -o,113 o, 1; .. 1

" 63, 218 -10,063

· 5o 92811,246 +o,483 ¹¹ 27,149 -o, 112 o, /i-0

ti 63, 7 ol -lo,175

59 ⁰ 11137 4,947 +o,48o ¹¹ 16,974

-o,

li 64,181 -107288

lo 129939,128 +o,477 ¹¹ 06,686 -oiill3 o, 38

2o

11 64-,658 -109401

148503,786 +o,476 3296, 285 -o,111 o,37

"65,134 -lo,512

3o 167068,920 +o, L;-75 ¹¹ 85,773 -o,111 o, 35

IT 65,609 -lo,623

4o 185 634,529 +o,474 "75,150 -o,113 o, 34

"66,083 -109736

· 5o 2042001612 +o,473 ¹¹ 6.:} .. , 414 -o,lo9 o,33

66 " 66,556 -lo,845

0 222767,168 +o, ,+71 "53,569 -o,111 o,32

11 67,o27 -l':>,956

lo 241334,195 +o,468 "42,613 -o,llo o,31

"67,495 -11, 066

2o 259901,690 +o,4-68 "31,547 -o, 110 o, 3 0

"67,963 -11,176

3o 278469, 653'- +o,466 "20,371 -o, 1 o9 o,29

li 68,429 -11,285

4o 297038, 082 +o,464 "09,086 -o, lo9 ^o,28

"68,893 -11,394

· 5o 315606,975 +o,462 3197,692 ^{-o,loB o,27}

"69,355 -11, 5o2

61 0 334176,330 +o,46o ^li 86,190 -o, 1 o9 ^o,26

"69,815 -11, 611

o,25 lo 352746,145 +o, 459 "74,579 -o, 1 o7

2o 3713161 U9

11 ?o,274 -11, 718

o, ^{2 /~}

+o,458 "62,861 ^-o,108

"?o,732 -11, 826

o,23 3o 389887,151 + 0' 457 ¹¹ 51,o35

-o'

4o 408458,340 ⁿ 71,189 -11,932

-o, 1 o7 ^o,22 +o, 45 5 ^li 39,103

11 71,644 -12, 039

·· 5o 427029,984 + 0' '~-5 2 ¹¹ 27,06!;- -o,lo7 o,21 62° 445602,080 "72,o96

11 14,918 -12,146

-o'

0 +o,4-50

"72,546 ^-12,250

lo 464174,626 +c,45o "02,668 -o, 1 o7 0919

"72,996 -12,357

2o 482747,622 +o, 447 3o9o,311 ^{-o, l o4} o,18

" 13 d43 -121461

30 501321, 065 +o,445 "77,850 - o, 1 o5 0117

4o 519894,953 "73,888 -12,566

o,16 +o, 4,n " 65,284 -o,lo3

·50 538469,284 "74,331 -12,669

o,15 +o,442 "52,615 -o, 1 o4

63 557 o4A, 057 "74,773 -12,773

071 /,c

0 +o$44o "39,842 ^-o,lo4

11 75,213 -12,877

o,13

lo 575619,270 +o,439 "26,965 -o,lo2 .

2o 594194,922 "75,652 -12,979

+o,436 "13,986 -o' 103 ^o,13

li 76,088 -13,o82

o,12

30 612771,olo +o,·434 ^li oo,9o4 ^-01100

"76,522 -131182

4o 631347,532 +o, ~-32 2987,722 -o, 1 o4 o,11

649924,486 "76,954 -13,286

·5o +o,431 ¹¹ 7t~,436

-o'

11 77,385 -13,386

64 0 6685 ol, 871 +o, 429 ¹¹ 61, o5 o -o,loo o,o9

11 77,814 -13,486

lo 687079,685 +o, 427 ¹¹ 47,564 -o, lol ^0,08

"78,241 -13,587

2o 705657,926 +o,425 "33,977 -o, 098 o,o7

724236,592

11 78,666 -13,685

o, o7

3o +o, 422 "2o,292 ^{- 0'} 1 ')l

-· ^.

••

- 9 -

OI.iSE'I·TilTG .1.'.J/ G:SOGE.A}?ISI=1J KOORDINATER I'IL RETTVINKLEDE KOl-JFORLIE 1WORDINA.TEI1.

PA DEN NORSKE UTGAVE AV BESSELS ELLIPSOIDE.

X == q + b1 6ŧ + C1 l-iA; ( !::.'Ao ^:c-:: O, oool DiA^{11 )}

0

I ..

t,a:1. ~2a1 b1 ^{.'jb1 1::,2b1 C1}

' _'1'.l

i ~

640 3 0 I 724236,592 +o,422 2920,292 -o, 1 ol 01D7

4o 742815,GBo +18579,088

+o,1'.j-20

"

761395,188

Il 79,508

2892,622 -13 ^{9 88,~-}

-0,098

· 5o +o?419 _0' 05 ·

65 779975, 1.15

11 79' 927

+o 9 418 "781640 ^-13~982 -07098

0 o,o4

lo 7985559460 " 80,3¹+5

+o, 415 li 649560 ^-14,080 -0,096 o, o3 · 2o 81'/13 6, 22 o "8o?76o

+o,412 ¹¹ 5o,384 -14,176

-0,098 o,o3

11 81,172 -149274

30 835717,392 +o,411 ¹¹ 36rllo -0,097 _0,02

4o 85 4298 ~ 975 "81,583

+o, 4o9 ¹¹ 21,739 -11+? 371

-0,095 _0,01

11 81,992 -14,466

· 50 872880, 967 +o,406 ^li 07,273 -o, o9 5 o,oo

66 891463,365

11 82,398

+o,4o4 2792,712 ^-l/H 561

-0,095

0 _o,oo

11 82,802 -141656

lo 910046,167 +o, 4o2 ¹¹ 78,o56 -09 095 -o,ol 2o 928629? 371 "83,204

+o 9 4ol _{" 6} 3, 3 :J5 -141751

-o, 094 -0,02 947212,976

li 83?605

!I 48,460 -141845

-09093

3o +o, 398 _-0,02

4o 965796,979

11 84,:Jo3

+o,396 "33,522 -14,938

-0,092 -o, 03

" 84,399

11 18, 1~92 -151030

-0,093

· 5o 984381?378 +o, 392

.... o,

67 10029661169

11 8/r9791

+o,391 ^li o3 1369 -15,123

-o, 092

0 -0,04

lo 1021551,351 "85~182

2688,154 -159215

-0,091

+o,39o -0,05

2o lo4ol36,923

11 85,572

+o, 388 ¹¹ 72,81+8 -15 d 06

-0,091 _-0,06

It 85,960

"57,451 -15 ,397

-o,o9o

3o 1058722,883 +o~ 386 -0,06

10773 o9, 229

11 86,3/;-6

11 41,96/r -15,487

-o,o9o

4o +o, 384 _-0907

li 86,730 -15,577

-0,089

·5o lo95895J959 +Oi38o "26,387 -o, o7

"87,llo -15,666 I

68 0 111448:3, 069 +09377 ¹¹ lo,721 -01088 -0,081

"87,487 -151754

lo 11330⁷0,556 +09 375 2594, 967 -o,o9o -0,09'

11 87,862 -15,844

-0,087 -0,09

2o 1151658, 418 +o,373 ^IT 79,123

n 88?235 -15,931

-0,086

30 117 o2°~G, G53 +o,372 ¹¹ 63,192 -o,lo

4o 1188835,260

11 88,607

+o, 37 o ¹¹ 47,175 -16,ol7

-o, 087 -o,lo

il 88,977

"31,o71 -169104

-0,086 -o,11

-50 1207424, 237 +o,367

69· 1226013,581

11 897344

+o, 36.~ "14,881 -16,190

-0,085 -o,11

0

lo 124460~5, 289 ^li 89 '7 08

2498,606 -16,275

-0,086 -o,12 +o,362

li 9 o, o7 o -16,361

2o 1263193?359

,,

9o,429 -16,445

3o 1281783,788 +o,358 "65,Boo -0,083 -0113

" 9o, 787 -16,528

-o,13 4o 13 ()037 !; '575 +o,355 "49,272 -0,084

"91,142 -16,612

-0,083 -o~l4

· 5o 1318965,717 +o, 352 ^li 3':2, 660

11 91,i1r9L,~ -16,695

?o 0 13'37557, 211 +o,35o "15,965 -0,081 -o' _lt\

11 91,844 -16,776

-0,082 -o,14- lo 1356149, 055 +o,348 2399,189

11 92,192 -16,858

-0,081 -o,15 2o 1374741,247 +o,345 ¹¹ 82:331

11 92,537

"65,392 -16,939

-0,081 -o,15 30 1393333? 781+ +o,3!~2

11 92,879 -17, o2o

-01079 -o,16 4o 1411926, 663 +0~3t~o ^li 489372

"93,219

"31,273 -17,o99

-o 9 079 -0116

5o 1430519,882 +01339

"93,558 -179178

-o,16

71 0 14491131440 +o,336 2314,095 -0,079

- lo -

OMSETTING AV GEOGRAFISKE KOORDINAT}~R nL Fi.E:T1¹VINKLEDE KONFOm11E KOORDINATER PÅ DEN NORSK_E UTGAVE AV BESSELS 3LLIPSOIDE"

y = a2 6'A0 - b₂ 6Å.~ ( ll,\₀ ::,: ; , oool b.Å.^{11 )}

i--

I

I

0 I 164240, 152 2 /1, a2 b2 I l!b I

10

163476, 321

-763,831 28,171 _g_

2o 162711,090 -765,231 -1,400 ,375 +o,2o4 3o 161944,464 -766,626 -1,395 ,574 +o,199 4o 161176,450 -768,014 -1,388 ,77o +o,196 5o 16o4o7,o56 -769,394 -1,380 ,96o +o,19o 59 o 159636,286 -77o,77o -1,376 29,147 +o,187 lo 158864,148 -772,138 -1,368 ,329 +o,182 2o 158090,648 -773,500 -1,362 ,5o7 +o,178 3o 157315,792 -774,856 -1,356 ,680 +o,173 4o 156539,589 -776,203 -1,347 ,849 +o,169 50

l55762,o43 -777,546 -i,34

3 30,014 +o,165 60 0

154983,162 -7781881 -i,335

,176 +o,162 lo 154202,951 -780,211 -1,330 ,332 +o,156 2o 153421,419 -781,532 -1,321 ,483 +o,151 3o 152638,570 -782,849 -1,317 ,63o +o,147 4o 151854,412 -784,158 -1,319 ,773 +o,143 5o 151068,952 -785,460 -1,3o2 ,912 +o,139 61 0

150282,19 5

-786,757 -1

•29

7 31,o46 +o,134 lo 149494,150 -788,045 -1,288 ,175 +o,129 2o 148704,823 -789,327 -1,282 ,3ol +o,126 3o 147914,220 -790,603 -1,276 ,422 +o,121

/! ' 0 1 4 7122, 347 -791, 873 -1 ' 27 o , 538 +o, 116 5o 146329,212 -793,135 -1,262 ,651 +o,113 62 0 1

45534,822 -794,390 -l,255

,758 +o,lo7 10 1

44739,182 -795,640 -1

•250

,862 +o,lo4 20

l43942,3oo -796,882 -1

•242

,961 +o,o99 30

143144,18 3

-798,117 -l,2

35 321056 +o,o95 4o 142344,837 -799,346 -1,229 ,146 +o,o9o 5o 141544,269 -800,568 -1,222 ,232 +0,086 63 0 140742,487 -801,782 -1,214 ,314 +0,082 lo 139939,495 -802,992 -1,210 ,391 +0,077 2o 139135,303 -804,192 -1,200 ,464 +0,073 3o 138329,917 -805,386 -1,194 ,533 +0,069 4o 137523,341 -806,576 -1,190 ,598 +0,065 50 136715,586 -807,755 I -11179 1658 +0,060 64 o 135906,655 -808,931 1-1,176 ,7H +0,056 lo 135096,559 -810,096 -1,165 ,765 +0,051 2o '1V,285,3o2 -811,257 -1,161 ,812 +0,047 I ^3o l133__02,8q1 I ^{-812,,;11 -1,154 ,854 +0,042} 1__~1_,145 I ,8g~

I