MAT1030 – Diskret matematikk Plenumsregning 6: Ukeoppgaver fra kapittel 5 Roger Antonsen
264
0
0
Fulltekst
(2) Oppgave 5.1 Skriv følgende mengder på listeform.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 2.
(3) Oppgave 5.1 Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden av alle vokaler. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 2.
(4) Oppgave 5.1 Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden av alle vokaler (b) {x ∈ N : 10 ≤ x ≤ 20 og x er delbar med 3}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 2.
(5) Oppgave 5.1 Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden av alle vokaler (b) {x ∈ N : 10 ≤ x ≤ 20 og x er delbar med 3} (c) Mengden av alle naturlige tall som gir en rest på 1 når de deles på 5.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 2.
(6) Oppgave 5.1 Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden av alle vokaler (b) {x ∈ N : 10 ≤ x ≤ 20 og x er delbar med 3} (c) Mengden av alle naturlige tall som gir en rest på 1 når de deles på 5.. Løsning. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 2.
(7) Oppgave 5.1 Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden av alle vokaler (b) {x ∈ N : 10 ≤ x ≤ 20 og x er delbar med 3} (c) Mengden av alle naturlige tall som gir en rest på 1 når de deles på 5.. Løsning (a) {a, e, i, o, u, y, æ, ø,å}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 2.
(8) Oppgave 5.1 Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden av alle vokaler (b) {x ∈ N : 10 ≤ x ≤ 20 og x er delbar med 3} (c) Mengden av alle naturlige tall som gir en rest på 1 når de deles på 5.. Løsning (a) {a, e, i, o, u, y, æ, ø,å} (b) {12, 15, 18}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 2.
(9) Oppgave 5.1 Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden av alle vokaler (b) {x ∈ N : 10 ≤ x ≤ 20 og x er delbar med 3} (c) Mengden av alle naturlige tall som gir en rest på 1 når de deles på 5.. Løsning (a) {a, e, i, o, u, y, æ, ø,å} (b) {12, 15, 18} (c) {1, 6, 11, 16, . . .}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 2.
(10) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(11) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”. (a) {4, 8, 12, 16, 20}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(12) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”. (a) {4, 8, 12, 16, 20} (b) {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(13) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”. (a) {4, 8, 12, 16, 20} (b) {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} (c) {1, 4, 9, 16, 25, . . .}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(14) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”. (a) {4, 8, 12, 16, 20} (b) {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} (c) {1, 4, 9, 16, 25, . . .}. Løsning. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(15) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”. (a) {4, 8, 12, 16, 20} (b) {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} (c) {1, 4, 9, 16, 25, . . .}. Løsning (a) {x ∈ N : x ≤ 20 og x er delbar med 4}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(16) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”. (a) {4, 8, 12, 16, 20} (b) {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} (c) {1, 4, 9, 16, 25, . . .}. Løsning (a) {x ∈ N : x ≤ 20 og x er delbar med 4} eller {x : x = 4y for et naturlig tall y ≤ 5}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(17) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”. (a) {4, 8, 12, 16, 20} (b) {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} (c) {1, 4, 9, 16, 25, . . .}. Løsning (a) {x ∈ N : x ≤ 20 og x er delbar med 4} eller {x : x = 4y for et naturlig tall y ≤ 5} (b) {x : x er en streng med tre bit}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(18) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”. (a) {4, 8, 12, 16, 20} (b) {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} (c) {1, 4, 9, 16, 25, . . .}. Løsning (a) {x ∈ N : x ≤ 20 og x er delbar med 4} eller {x : x = 4y for et naturlig tall y ≤ 5} (b) {x : x er en streng med tre bit} eller {x : x ∈ {0, 1}3 }. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(19) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”. (a) {4, 8, 12, 16, 20} (b) {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} (c) {1, 4, 9, 16, 25, . . .}. Løsning (a) {x ∈ N : x ≤ 20 og x er delbar med 4} eller {x : x = 4y for et naturlig tall y ≤ 5} (b) {x : x er en streng med tre bit} eller {x : x ∈ {0, 1}3 } (c) {x : det fins et naturlig tall y slik at x = y 2 }. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(20) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”. (a) {4, 8, 12, 16, 20} (b) {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} (c) {1, 4, 9, 16, 25, . . .}. Løsning (a) {x ∈ N : x ≤ 20 og x er delbar med 4} eller {x : x = 4y for et naturlig tall y ≤ 5} (b) {x : x er en streng med tre bit} eller {x : x ∈ {0, 1}3 } (c) {x : det fins et naturlig tall y slik at x = y 2 } eller {x 2 : x ∈ N}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(21) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”. (a) {4, 8, 12, 16, 20} (b) {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} (c) {1, 4, 9, 16, 25, . . .}. Løsning (a) {x ∈ N : x ≤ 20 og x er delbar med 4} eller {x : x = 4y for et naturlig tall y ≤ 5} (b) {x : x er en streng med tre bit} eller {x : x ∈ {0, 1}3 } (c) {x : det fins et naturlig tall y slik at x = y 2 } eller {x 2 : x ∈ N} eller {x ∈ N : ∃y (x = y 2 )}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(22) Oppgave 5.2 Skriv ned følgende mengder på “predikatform”. (a) {4, 8, 12, 16, 20} (b) {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} (c) {1, 4, 9, 16, 25, . . .}. Løsning (a) {x ∈ N : x ≤ 20 og x er delbar med 4} eller {x : x = 4y for et naturlig tall y ≤ 5} (b) {x : x er en streng med tre bit} eller {x : x ∈ {0, 1}3 } (c) {x : det fins et naturlig tall y slik at x = y 2 } eller {x 2 : x ∈ N} eller {x ∈ N : ∃y (x = y 2 )} eller {x : x er et kvadrattall}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 3.
(23) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(24) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(25) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(26) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann (b) 1 ⊆ A. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(27) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann (b) 1 ⊆ A Usann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(28) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann (b) 1 ⊆ A Usann (c) {1} ∈ A. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(29) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann (b) 1 ⊆ A Usann (c) {1} ∈ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(30) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann (b) 1 ⊆ A Usann (c) {1} ∈ A Sann (d) {1} ⊆ A. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(31) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann (b) 1 ⊆ A Usann (c) {1} ∈ A Sann (d) {1} ⊆ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(32) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann (b) 1 ⊆ A Usann (c) {1} ∈ A Sann (d) {1} ⊆ A Sann (e) {{1}} ⊆ A. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(33) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann (b) 1 ⊆ A Usann (c) {1} ∈ A Sann (d) {1} ⊆ A Sann (e) {{1}} ⊆ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(34) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann. (f) 2 ∈ A. (b) 1 ⊆ A Usann (c) {1} ∈ A Sann (d) {1} ⊆ A Sann (e) {{1}} ⊆ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(35) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann. (f) 2 ∈ A Usann. (b) 1 ⊆ A Usann (c) {1} ∈ A Sann (d) {1} ⊆ A Sann (e) {{1}} ⊆ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(36) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann. (f) 2 ∈ A Usann. (b) 1 ⊆ A Usann. (g) {2} ∈ A. (c) {1} ∈ A Sann (d) {1} ⊆ A Sann (e) {{1}} ⊆ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(37) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann. (f) 2 ∈ A Usann. (b) 1 ⊆ A Usann. (g) {2} ∈ A Sann. (c) {1} ∈ A Sann (d) {1} ⊆ A Sann (e) {{1}} ⊆ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(38) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann. (f) 2 ∈ A Usann. (b) 1 ⊆ A Usann. (g) {2} ∈ A Sann. (c) {1} ∈ A Sann. (h) {2} ⊆ A. (d) {1} ⊆ A Sann (e) {{1}} ⊆ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(39) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann. (f) 2 ∈ A Usann. (b) 1 ⊆ A Usann. (g) {2} ∈ A Sann. (c) {1} ∈ A Sann. (h) {2} ⊆ A Usann. (d) {1} ⊆ A Sann (e) {{1}} ⊆ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(40) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann. (f) 2 ∈ A Usann. (b) 1 ⊆ A Usann. (g) {2} ∈ A Sann. (c) {1} ∈ A Sann. (h) {2} ⊆ A Usann. (d) {1} ⊆ A Sann. (i) {3} ∈ A. (e) {{1}} ⊆ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(41) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann. (f) 2 ∈ A Usann. (b) 1 ⊆ A Usann. (g) {2} ∈ A Sann. (c) {1} ∈ A Sann. (h) {2} ⊆ A Usann. (d) {1} ⊆ A Sann. (i) {3} ∈ A Usann. (e) {{1}} ⊆ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(42) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann. (f) 2 ∈ A Usann. (b) 1 ⊆ A Usann. (g) {2} ∈ A Sann. (c) {1} ∈ A Sann. (h) {2} ⊆ A Usann. (d) {1} ⊆ A Sann. (i) {3} ∈ A Usann. (e) {{1}} ⊆ A Sann. (j) {3} ⊆ A. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(43) Oppgave 5.3 La A = {1, {1}, {2}, 3}. Avgjør hvilke av følgende påstander som er sanne og usanne.. Løsning (a) 1 ∈ A Sann. (f) 2 ∈ A Usann. (b) 1 ⊆ A Usann. (g) {2} ∈ A Sann. (c) {1} ∈ A Sann. (h) {2} ⊆ A Usann. (d) {1} ⊆ A Sann. (i) {3} ∈ A Usann. (e) {{1}} ⊆ A Sann. (j) {3} ⊆ A Sann. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 4.
(44) Oppgave 5.4 La E = {x ∈ N : x ≤ 12}, A = {x : x er oddetall}, B = {x : x > 7}, og C = {x : x er delelig med 3}. Lag Venn-diagrammer for mengdene. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A ∩ B (b) B ∪ C (c) A (d) (A ∪ B) ∩ C (e) (A ∪ C ) ∪ C. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 5.
(45) 7. 8. 5. 11. 1. 9 3. 2. 10. 12. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 6.
(46) 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 6.
(47) 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 6.
(48) 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 6.
(49) 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 6.
(50) (a) A ∩ B. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 7.
(51) (a) A ∩ B. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 7.
(52) (a) A ∩ B. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 7.
(53) (a) A ∩ B. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 7.
(54) (a) A ∩ B. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. 4. Svar (a): {9, 11}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 7.
(55) (b) B ∪ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 8.
(56) (b) B ∪ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 8.
(57) (b) B ∪ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 8.
(58) (b) B ∪ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. 4. Svar (b): {3, 6, 8, 9, 10, 11, 12}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 8.
(59) (c) A. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 9.
(60) (c) A. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 9.
(61) (c) A. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 9.
(62) (c) A. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. 4. Svar (c): {2, 4, 6, 8, 10, 12}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 9.
(63) (d) (A ∪ B) ∩ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 10.
(64) (d) (A ∪ B) ∩ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 10.
(65) (d) (A ∪ B) ∩ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 10.
(66) (d) (A ∪ B) ∩ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 10.
(67) (d) (A ∪ B) ∩ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 10.
(68) (d) (A ∪ B) ∩ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 10.
(69) (d) (A ∪ B) ∩ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. 4. Svar (d): {3, 6, 9}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 10.
(70) (e) (A ∪ C ) ∪ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 11.
(71) (e) (A ∪ C ) ∪ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 11.
(72) (e) (A ∪ C ) ∪ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 11.
(73) (e) (A ∪ C ) ∪ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 11.
(74) (e) (A ∪ C ) ∪ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 11.
(75) (e) (A ∪ C ) ∪ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. MAT1030 – Diskret matematikk. 4. 21. februar 2008. 11.
(76) (e) (A ∪ C ) ∪ C. 7 5. E = {x ∈ N : x ≤ 12}. 8 11. 10 A = {x : x er oddetall}. 1. 9 3. B = {x : x > 7}. 12. C = {x : x er delelig med 3} 2. 6. 4. Svar (e): {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 11.
(77) Oppgave 5.6 Illustrer den andre absorpsjonsloven, A ∪ (A ∩ B) = A, ved å bruke Venn-diagrammer.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 12.
(78) Oppgave 5.6 Illustrer den andre absorpsjonsloven, A ∪ (A ∩ B) = A, ved å bruke Venn-diagrammer.. A ∪ (A ∩ B). MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 12.
(79) Oppgave 5.6 Illustrer den andre absorpsjonsloven, A ∪ (A ∩ B) = A, ved å bruke Venn-diagrammer.. = A ∪ (A ∩ B). MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 12.
(80) Oppgave 5.6 Illustrer den andre absorpsjonsloven, A ∪ (A ∩ B) = A, ved å bruke Venn-diagrammer.. = A ∪ (A ∩ B). MAT1030 – Diskret matematikk. A. 21. februar 2008. 12.
(81) Oppgave 5.6 Illustrer den andre absorpsjonsloven, A ∪ (A ∩ B) = A, ved å bruke Venn-diagrammer.. = A ∪ (A ∩ B). A. Diagrammet for A ∪ (A ∩ B) får vi ved å slå sammen følgende diagrammer:. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 12.
(82) Oppgave 5.6 Illustrer den andre absorpsjonsloven, A ∪ (A ∩ B) = A, ved å bruke Venn-diagrammer.. = A ∪ (A ∩ B). A. Diagrammet for A ∪ (A ∩ B) får vi ved å slå sammen følgende diagrammer:. A. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 12.
(83) Oppgave 5.6 Illustrer den andre absorpsjonsloven, A ∪ (A ∩ B) = A, ved å bruke Venn-diagrammer.. = A ∪ (A ∩ B). A. Diagrammet for A ∪ (A ∩ B) får vi ved å slå sammen følgende diagrammer:. og A. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 12.
(84) Oppgave 5.6 Illustrer den andre absorpsjonsloven, A ∪ (A ∩ B) = A, ved å bruke Venn-diagrammer.. = A ∪ (A ∩ B). A. Diagrammet for A ∪ (A ∩ B) får vi ved å slå sammen følgende diagrammer:. og A. MAT1030 – Diskret matematikk. A∩B. 21. februar 2008. 12.
(85) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(86) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B:. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(87) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B:. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(88) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B: A. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(89) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B: A. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(90) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B: A∪B. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(91) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B: A∩B. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(92) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B: A∩B. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(93) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B:. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(94) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B:. Venn-diagrammet for A ∪ B:. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(95) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B:. Venn-diagrammet for A ∪ B:. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(96) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B:. Venn-diagrammet for A ∪ B: A. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(97) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B:. Venn-diagrammet for A ∪ B:. MAT1030 – Diskret matematikk. A∪B. 21. februar 2008. 13.
(98) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B:. Venn-diagrammet for A ∪ B: A∪B. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(99) Oppgave 5.7 (med Venn-diagrammer) Vis at A ∩ B = A ∪ B ved å bruke Venn-diagrammer. Venn-diagrammet for A ∩ B:. Venn-diagrammet for A ∪ B:. Siden Venn-diagrammene er like, må A ∩ B = A ∪ B.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 13.
(100) Oppgave 5.8 Er påstanden “enhver mengde med n elementer har 2n delmengder” sann når n = 0?. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 14.
(101) Oppgave 5.8 Er påstanden “enhver mengde med n elementer har 2n delmengder” sann når n = 0?. Løsning. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 14.
(102) Oppgave 5.8 Er påstanden “enhver mengde med n elementer har 2n delmengder” sann når n = 0?. Løsning Når n = 0 er mengden tom.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 14.
(103) Oppgave 5.8 Er påstanden “enhver mengde med n elementer har 2n delmengder” sann når n = 0?. Løsning Når n = 0 er mengden tom. Hvor mange delmengder har en tom mengde?. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 14.
(104) Oppgave 5.8 Er påstanden “enhver mengde med n elementer har 2n delmengder” sann når n = 0?. Løsning Når n = 0 er mengden tom. Hvor mange delmengder har en tom mengde? Den har nøyaktig én delmengde, nemlig den tomme mengden.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 14.
(105) Oppgave 5.8 Er påstanden “enhver mengde med n elementer har 2n delmengder” sann når n = 0?. Løsning Når n = 0 er mengden tom. Hvor mange delmengder har en tom mengde? Den har nøyaktig én delmengde, nemlig den tomme mengden. Siden 20 = 1, blir svaret ja.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 14.
(106) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(107) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(108) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(109) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(110) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B =. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(111) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B = {(a, p), (a, q). MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(112) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B = {(a, p), (a, q), (b, p), (b, q). MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(113) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B = {(a, p), (a, q), (b, p), (b, q), (c, p), (c, q)}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(114) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B = {(a, p), (a, q), (b, p), (b, q), (c, p), (c, q)} (b) A2 =. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(115) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B = {(a, p), (a, q), (b, p), (b, q), (c, p), (c, q)} (b) A2 = {(a, a), (a, b), (a, c). MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(116) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B = {(a, p), (a, q), (b, p), (b, q), (c, p), (c, q)} (b) A2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c). MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(117) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B = {(a, p), (a, q), (b, p), (b, q), (c, p), (c, q)} (b) A2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(118) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B = {(a, p), (a, q), (b, p), (b, q), (c, p), (c, q)} (b) A2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} (c) B 3 =. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(119) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B = {(a, p), (a, q), (b, p), (b, q), (c, p), (c, q)} (b) A2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} (c) B 3 = {(p, p, p), (p, p, q). MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(120) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B = {(a, p), (a, q), (b, p), (b, q), (c, p), (c, q)} (b) A2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} (c) B 3 = {(p, p, p), (p, p, q), (p, q, p), (p, q, q). MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(121) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B = {(a, p), (a, q), (b, p), (b, q), (c, p), (c, q)} (b) A2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} (c) B 3 = {(p, p, p), (p, p, q), (p, q, p), (p, q, q), (q, p, p), (q, p, q). MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(122) Oppgave 5.9 La A = {a, b, c} og B = {p, q}. Skriv ned følgende mengder på listeform. (a) A × B (b) A2 (c) B 3. Løsning (a) A × B = {(a, p), (a, q), (b, p), (b, q), (c, p), (c, q)} (b) A2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} (c) B 3 = {(p, p, p), (p, p, q), (p, q, p), (p, q, q), (q, p, p), (q, p, q), (q, q, p), (q, q, q)}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 15.
(123) Oppgave 5.10 Uttrykk hver av følgende mengder som et Kartesisk produkt av mengder.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 16.
(124) Oppgave 5.10 Uttrykk hver av følgende mengder som et Kartesisk produkt av mengder.. Løsning Eventuelt på tavla.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 16.
(125) Oppgave 5.13 Se på følgende algoritme.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 17.
(126) Oppgave 5.13 Se på følgende algoritme. 1. Input en bitstreng b. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 17.
(127) Oppgave 5.13 Se på følgende algoritme. 1. Input en bitstreng b 2. n ← det usignerte bitet som har b som sin binære representasjon. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 17.
(128) Oppgave 5.13 Se på følgende algoritme. 1. Input en bitstreng b 2. n ← det usignerte bitet som har b som sin binære representasjon 3. teller ← 0. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 17.
(129) Oppgave 5.13 Se på følgende algoritme. 1. Input en bitstreng b 2. n ← det usignerte bitet som har b som sin binære representasjon 3. teller ← 0 4. While n > 0 do. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 17.
(130) Oppgave 5.13 Se på følgende algoritme. 1. Input en bitstreng b 2. n ← det usignerte bitet som har b som sin binære representasjon 3. teller ← 0 4. While n > 0 do 4.1. n ← n ∧ (n − 1) [∧ betyr her bitvis ‘og’, her anvendt på den binære representasjonen av n og n − 1]. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 17.
(131) Oppgave 5.13 Se på følgende algoritme. 1. Input en bitstreng b 2. n ← det usignerte bitet som har b som sin binære representasjon 3. teller ← 0 4. While n > 0 do 4.1. n ← n ∧ (n − 1) [∧ betyr her bitvis ‘og’, her anvendt på den binære representasjonen av n og n − 1] 4.2. teller ← teller + 1 [skrivefeil i boka: det står − i stedet for +]. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 17.
(132) Oppgave 5.13 Se på følgende algoritme. 1. Input en bitstreng b 2. n ← det usignerte bitet som har b som sin binære representasjon 3. teller ← 0 4. While n > 0 do 4.1. n ← n ∧ (n − 1) [∧ betyr her bitvis ‘og’, her anvendt på den binære representasjonen av n og n − 1] 4.2. teller ← teller + 1 [skrivefeil i boka: det står − i stedet for +]. 5. Output teller. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 17.
(133) Oppgave 5.13 Se på følgende algoritme. 1. Input en bitstreng b 2. n ← det usignerte bitet som har b som sin binære representasjon 3. teller ← 0 4. While n > 0 do 4.1. n ← n ∧ (n − 1) [∧ betyr her bitvis ‘og’, her anvendt på den binære representasjonen av n og n − 1] 4.2. teller ← teller + 1 [skrivefeil i boka: det står − i stedet for +]. 5. Output teller Vis at returverdien er antall enere i b.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 17.
(134) Eksempel Anta at input er 100101.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 18.
(135) Eksempel Anta at input er 100101. teller 0. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1001001. 21. februar 2008. 18.
(136) Eksempel Anta at input er 100101. teller 0. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1001001 1001000. 21. februar 2008. 18.
(137) Eksempel Anta at input er 100101. teller 0 1. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1001001 1001000 1001000. 21. februar 2008. 18.
(138) Eksempel Anta at input er 100101. teller 0 1. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1001001 1001000 1001000 1000111. 21. februar 2008. 18.
(139) Eksempel Anta at input er 100101. teller 0 1 2. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1001001 1001000 1001000 1000111 1000000. 21. februar 2008. 18.
(140) Eksempel Anta at input er 100101. teller 0 1 2. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1001001 1001000 1001000 1000111 1000000 0111111. 21. februar 2008. 18.
(141) Eksempel Anta at input er 100101. teller 0 1 2 3. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1001001 1001000 1001000 1000111 1000000 0111111 0000000. 21. februar 2008. 18.
(142) Eksempel Anta at input er 111101.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 19.
(143) Eksempel Anta at input er 111101. teller. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1. 21. februar 2008. 19.
(144) Eksempel Anta at input er 111101. teller 0. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1111001. 21. februar 2008. 19.
(145) Eksempel Anta at input er 111101. teller 0. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1111001 1111000. 21. februar 2008. 19.
(146) Eksempel Anta at input er 111101. teller 0 1. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1111001 1111000 1111000. 21. februar 2008. 19.
(147) Eksempel Anta at input er 111101. teller 0 1. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1111001 1111000 1111000 1110111. 21. februar 2008. 19.
(148) Eksempel Anta at input er 111101. teller 0 1 2. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1111001 1111000 1111000 1110111 1110000. 21. februar 2008. 19.
(149) Eksempel Anta at input er 111101. teller 0 1 2. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1111001 1111000 1111000 1110111 1110000 1101111. 21. februar 2008. 19.
(150) Eksempel Anta at input er 111101. teller 0 1 2 3. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1111001 1111000 1111000 1110111 1110000 1101111 1100000. 21. februar 2008. 19.
(151) Eksempel Anta at input er 111101. teller 0 1 2 3. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1111001 1111000 1111000 1110111 1110000 1101111 1100000 1011111. 21. februar 2008. 19.
(152) Eksempel Anta at input er 111101. teller 0 1 2 3 4. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1111001 1111000 1111000 1110111 1110000 1101111 1100000 1011111 1000000. 21. februar 2008. 19.
(153) Eksempel Anta at input er 111101. teller 0 1 2 3 4. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1111001 1111000 1111000 1110111 1110000 1101111 1100000 1011111 1000000 0111111. 21. februar 2008. 19.
(154) Eksempel Anta at input er 111101. teller 0 1 2 3 4 5. MAT1030 – Diskret matematikk. binær representasjon av n og n − 1 1111001 1111000 1111000 1110111 1110000 1101111 1100000 1011111 1000000 0111111 0000000. 21. februar 2008. 19.
(155) Løsning. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 20.
(156) Løsning Vi skal vise at returverdien er antall enere i inputverdien.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 20.
(157) Løsning Vi skal vise at returverdien er antall enere i inputverdien. Det er tilstrekkelig å vise at hvert steg i While-løkken reduserer antall enere med nøyaktig én.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 20.
(158) Løsning Vi skal vise at returverdien er antall enere i inputverdien. Det er tilstrekkelig å vise at hvert steg i While-løkken reduserer antall enere med nøyaktig én. Vi må vise at bitvis ∧ av representasjonene til n og n − 1 reduserer antall enere med nøyaktig én.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 20.
(159) Løsning Vi skal vise at returverdien er antall enere i inputverdien. Det er tilstrekkelig å vise at hvert steg i While-løkken reduserer antall enere med nøyaktig én. Vi må vise at bitvis ∧ av representasjonene til n og n − 1 reduserer antall enere med nøyaktig én. La b1 . . . bk være representasjonen til n.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 20.
(160) Løsning Vi skal vise at returverdien er antall enere i inputverdien. Det er tilstrekkelig å vise at hvert steg i While-løkken reduserer antall enere med nøyaktig én. Vi må vise at bitvis ∧ av representasjonene til n og n − 1 reduserer antall enere med nøyaktig én. La b1 . . . bk være representasjonen til n. Vi kan anta at n > 0. Da må minst et bit være en ener.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 20.
(161) Løsning Vi skal vise at returverdien er antall enere i inputverdien. Det er tilstrekkelig å vise at hvert steg i While-løkken reduserer antall enere med nøyaktig én. Vi må vise at bitvis ∧ av representasjonene til n og n − 1 reduserer antall enere med nøyaktig én. La b1 . . . bk være representasjonen til n. Vi kan anta at n > 0. Da må minst et bit være en ener. La bm være eneren som forekommer lengst til høyre, for 1 ≤ m ≤ k.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 20.
(162) Løsning Vi skal vise at returverdien er antall enere i inputverdien. Det er tilstrekkelig å vise at hvert steg i While-løkken reduserer antall enere med nøyaktig én. Vi må vise at bitvis ∧ av representasjonene til n og n − 1 reduserer antall enere med nøyaktig én. La b1 . . . bk være representasjonen til n. Vi kan anta at n > 0. Da må minst et bit være en ener. La bm være eneren som forekommer lengst til høyre, for 1 ≤ m ≤ k. Vi har følgende situasjon, hvor vi ser at bitvis ∧ fjerner nøyaktig én ener. (Eventuelt flere detaljer i plenum.). MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 20.
(163) Løsning Vi skal vise at returverdien er antall enere i inputverdien. Det er tilstrekkelig å vise at hvert steg i While-løkken reduserer antall enere med nøyaktig én. Vi må vise at bitvis ∧ av representasjonene til n og n − 1 reduserer antall enere med nøyaktig én. La b1 . . . bk være representasjonen til n. Vi kan anta at n > 0. Da må minst et bit være en ener. La bm være eneren som forekommer lengst til høyre, for 1 ≤ m ≤ k. Vi har følgende situasjon, hvor vi ser at bitvis ∧ fjerner nøyaktig én ener. (Eventuelt flere detaljer i plenum.) b1 b2 . . . bm−1 100 . . . 00 b1 b2 . . . bm−1 011 . . . 11 b1 b2 . . . bm−1 000 . . . 00 MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 20.
(164) Oppgave 5.14 Se på følgende sekvens av steg i pseudokode, hvor x og y er bitstrenger av lik lengde.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 21.
(165) Oppgave 5.14 Se på følgende sekvens av steg i pseudokode, hvor x og y er bitstrenger av lik lengde. 1. x ← x ⊕ y [⊕ står for bitvis eksklusiv eller]. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 21.
(166) Oppgave 5.14 Se på følgende sekvens av steg i pseudokode, hvor x og y er bitstrenger av lik lengde. 1. x ← x ⊕ y [⊕ står for bitvis eksklusiv eller] 2. y ← x ⊕ y. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 21.
(167) Oppgave 5.14 Se på følgende sekvens av steg i pseudokode, hvor x og y er bitstrenger av lik lengde. 1. x ← x ⊕ y [⊕ står for bitvis eksklusiv eller] 2. y ← x ⊕ y 3. x ← x ⊕ y. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 21.
(168) Oppgave 5.14 Se på følgende sekvens av steg i pseudokode, hvor x og y er bitstrenger av lik lengde. 1. x ← x ⊕ y [⊕ står for bitvis eksklusiv eller] 2. y ← x ⊕ y 3. x ← x ⊕ y Vis at effekten av sekvensen av steg er å bytte verdiene til x og y .. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 21.
(169) Løsning. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 22.
(170) Løsning La x = x1 . . . xn og y = y1 . . . yn .. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 22.
(171) Løsning La x = x1 . . . xn og y = y1 . . . yn . La oss se på hva som skjer bitvis, for xi og yi , hvor 1 ≤ i ≤ n.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 22.
(172) Løsning La x = x1 . . . xn og y = y1 . . . yn . La oss se på hva som skjer bitvis, for xi og yi , hvor 1 ≤ i ≤ n. Steg 1, x ← x ⊕ y , setter xi lik xi ⊕ yi .. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 22.
(173) Løsning La x = x1 . . . xn og y = y1 . . . yn . La oss se på hva som skjer bitvis, for xi og yi , hvor 1 ≤ i ≤ n. Steg 1, x ← x ⊕ y , setter xi lik xi ⊕ yi . Steg 2, y ← x ⊕ y , setter yi lik (xi ⊕ yi ) ⊕ yi .. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 22.
(174) Løsning La x = x1 . . . xn og y = y1 . . . yn . La oss se på hva som skjer bitvis, for xi og yi , hvor 1 ≤ i ≤ n. Steg 1, x ← x ⊕ y , setter xi lik xi ⊕ yi . Steg 2, y ← x ⊕ y , setter yi lik (xi ⊕ yi ) ⊕ yi . Steg 3, x ← x ⊕ y , setter xi lik (xi ⊕ yi ) ⊕ ((xi ⊕ yi ) ⊕ yi ).. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 22.
(175) Løsning La x = x1 . . . xn og y = y1 . . . yn . La oss se på hva som skjer bitvis, for xi og yi , hvor 1 ≤ i ≤ n. Steg 1, x ← x ⊕ y , setter xi lik xi ⊕ yi . Steg 2, y ← x ⊕ y , setter yi lik (xi ⊕ yi ) ⊕ yi . Steg 3, x ← x ⊕ y , setter xi lik (xi ⊕ yi ) ⊕ ((xi ⊕ yi ) ⊕ yi ). Vi må vise at (xi ⊕ yi ) ⊕ yi er lik den opprinnelige xi .. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 22.
(176) Løsning La x = x1 . . . xn og y = y1 . . . yn . La oss se på hva som skjer bitvis, for xi og yi , hvor 1 ≤ i ≤ n. Steg 1, x ← x ⊕ y , setter xi lik xi ⊕ yi . Steg 2, y ← x ⊕ y , setter yi lik (xi ⊕ yi ) ⊕ yi . Steg 3, x ← x ⊕ y , setter xi lik (xi ⊕ yi ) ⊕ ((xi ⊕ yi ) ⊕ yi ). Vi må vise at (xi ⊕ yi ) ⊕ yi er lik den opprinnelige xi . Vi må vise at (xi ⊕ yi ) ⊕ ((xi ⊕ yi ) ⊕ yi ) er lik den opprinnelige yi .. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 22.
(177) Løsning La x = x1 . . . xn og y = y1 . . . yn . La oss se på hva som skjer bitvis, for xi og yi , hvor 1 ≤ i ≤ n. Steg 1, x ← x ⊕ y , setter xi lik xi ⊕ yi . Steg 2, y ← x ⊕ y , setter yi lik (xi ⊕ yi ) ⊕ yi . Steg 3, x ← x ⊕ y , setter xi lik (xi ⊕ yi ) ⊕ ((xi ⊕ yi ) ⊕ yi ). Vi må vise at (xi ⊕ yi ) ⊕ yi er lik den opprinnelige xi . Vi må vise at (xi ⊕ yi ) ⊕ ((xi ⊕ yi ) ⊕ yi ) er lik den opprinnelige yi . xi 1 1 0 0. yi 1 0 1 0. MAT1030 – Diskret matematikk. (xi ⊕ yi ) ⊕ ((xi ⊕ yi ) ⊕ yi ) 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0. 21. februar 2008. 22.
(178) Løsning La x = x1 . . . xn og y = y1 . . . yn . La oss se på hva som skjer bitvis, for xi og yi , hvor 1 ≤ i ≤ n. Steg 1, x ← x ⊕ y , setter xi lik xi ⊕ yi . Steg 2, y ← x ⊕ y , setter yi lik (xi ⊕ yi ) ⊕ yi . Steg 3, x ← x ⊕ y , setter xi lik (xi ⊕ yi ) ⊕ ((xi ⊕ yi ) ⊕ yi ). Vi må vise at (xi ⊕ yi ) ⊕ yi er lik den opprinnelige xi . Vi må vise at (xi ⊕ yi ) ⊕ ((xi ⊕ yi ) ⊕ yi ) er lik den opprinnelige yi . xi 1 1 0 0. yi 1 0 1 0. (xi ⊕ yi ) ⊕ ((xi ⊕ yi ) ⊕ yi ) 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0. Kolonnene 1 og 6 er like, og kolonnene 2 og 4 er like. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 22.
(179) Løsning. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 23.
(180) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk ekvivalent med p.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 23.
(181) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ q 1 1 1 0 0 1 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 23.
(182) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ q 0 1 1 1 0 0 1 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 23.
(183) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ q 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 23.
(184) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ q 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 23.
(185) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ q 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 23.
(186) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk q 1 0. 21. februar 2008. 23.
(187) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk q 1 0. 21. februar 2008. 23.
(188) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk q 1 0. 21. februar 2008. 23.
(189) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk q 1 0 1. 21. februar 2008. 23.
(190) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk q 1 0 1. 21. februar 2008. 23.
(191) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk q 1 0 1. 21. februar 2008. 23.
(192) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk q 1 0 1 0. 21. februar 2008. 23.
(193) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0. MAT1030 – Diskret matematikk. at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk q 1 0 1 0. 21. februar 2008. 23.
(194) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0. at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk q 1 0 1 0. Da må (xi ⊕ yi ) ⊕ yi (den nye verdien til yi ) være lik xi. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 23.
(195) Løsning Vi kunne også ha løst oppgaven ved å vise ekvivalent med p. p q (p ⊕ q) ⊕ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0. at (p ⊕ q) ⊕ q er logisk q 1 0 1 0. Da må (xi ⊕ yi ) ⊕ yi (den nye verdien til yi ) være lik xi Da må (xi ⊕ yi ) ⊕ ((xi ⊕ yi ) ⊕ yi ) (den nye verdien til xi ) være lik yi .. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 23.
(196) Oppgave 5.15. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 24.
(197) Oppgave 5.15 La A = {1, 2, 3, 4, 5} og la R være relasjonen på A som er definert slik:. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 24.
(198) Oppgave 5.15 La A = {1, 2, 3, 4, 5} og la R være relasjonen på A som er definert slik: R = {(1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5.5)}. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 24.
(199) Oppgave 5.15 La A = {1, 2, 3, 4, 5} og la R være relasjonen på A som er definert slik: R = {(1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5.5)}. (a) Skriv ned relasjonen R på matriseform.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 24.
(200) Oppgave 5.15 La A = {1, 2, 3, 4, 5} og la R være relasjonen på A som er definert slik: R = {(1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5.5)}. (a) Skriv ned relasjonen R på matriseform. (b) Tegn den grafiske representasjonen av R.. MAT1030 – Diskret matematikk. 21. februar 2008. 24.
(201)
RELATERTE DOKUMENTER
Siden første bit fra høyre kan være en ener, og vi da m˚ a avbryte, er en While-løkke velegnet.. N˚ ar vi er ute av While-løkken, m˚ a vi sørge for at eneren
Anta at basen blir gitt som første argument og deretter at tallet som skal overføres til desimal form blir gitt som en liste med
Anta at basen blir gitt som første argument og deretter at tallet som skal overføres til desimal form blir gitt som en liste med sifre.... Finn 32-bit-datarepresentasjonen av
Forklar følgende p˚ astand ved ˚ a vise til beregninger med reelle tall p˚ a eksponentiell form: “Man mister presisjon n˚ ar nesten like tall
For hvert tilfelle, finn ut om det er en tautologi, en kontradiksjon eller ingen av
For hvert tilfelle, finn ut om det er en tautologi, en kontradiksjon eller ingen av
Den konverse betyr noe annet enn den opprinnelige p˚ astanden, mens den kontrapositive er logisk ekvivalent med den opprinnelige p˚ astanden.. MAT1030 – Diskret
Hvis b˚ ade m og n hadde vært partall, kunne vi ha delt teller og nevner med 2 og f˚ att en enklere brøk. Vi konkluderer med at m er
