Holomorfe symplektiske avbildninger, Darboux teorem.

Holomorfe symplektiske avbildninger, former og mangfoldigheter.

Darboux teorem.

av

Knut Petersen-Øverleir

MASTEROPPGAVE for graden

Master i matematikk

Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo

Mai 2013

Forord

Hvis man starter et søk på universitetsbiblioteket eller på internett etter lit- teratur om symplektiske avbildninger, former og mangfoldigheter vil man se at det er noe å finne, men i forhold til mange andre retninger innen mate- matikken er utvalget relativt beskjedent. Det som er å finne er for det meste teori som omhandler det reelle tilfellet.

Søker man etter komplekse resultater er det lite eller ingen ting å finne.

Et viktig mål med denne oppgaven har vært å bevise Darboux teorem for komplekse mangfoldigheter.

På veien til målet var det nødvendig å bevise holomorfe resultater innen symplektisk teori.

Resultatet har blitt et produkt med to kapitler, et om symplektisk lineær algebra og et om symplektiske mangfoldigheter.

Det har vært interessant, krevende og lærerrikt å få arbeide med temaet.

Jeg vil rette en stor takk til min veileder professor Erik Løw for en fan- tastisk støtte og særdeles god faglig hjelp med denne oppgaven!

Matematikken er en fantastisk vitenskap som er vakker og er å betrakte som kunst på linje med alle menneskenes kunstarter.

Derfor har jeg valgt å ta med tegningen som er laget av tegneren Eline Hjelle.

Den symboliserer skjønnheten i den matematiske kunsten, billedkunsten og den musikalske kunsten representert med tonene b-a-c-h.

Etter Johan Sebastian Bach, musikkhistoriens store mester innenfor symmetri og anti-symmetri....

Starum, 14. mai 2013 Knut Petersen-Øverleir

Innhold

1 Symplektisk lineær algebra 5

1.1 Definisjoner . . . 5

1.1.1 Antisymmetrisk bilineær form . . . 5

1.1.2 Symplektisk form . . . 6

1.2 Symplektiske vektorrom . . . 7

1.2.1 Symplektisk vektorrom . . . 7

1.2.2 Symplektisk basis. . . 10

1.2.3 Det duale vektorrommet . . . 11

1.2.4 Symplektisk ortogonalitet . . . 14

1.2.5 Hyperbolske par, plan og rom . . . 14

1.3 Symplektiske matriser og grupper . . . 15

1.3.1 Symplektiske lineære avbildninger og matriser . . . 15

1.3.2 Generering avSp(V) . . . 18

1.3.3 Transveksjoner . . . 21

1.4 Underrom av symplektiske vektorrom . . . 23

1.4.1 UnderrommeneW^⊥,radW og ^uW . . . 24

1.4.2 Isotropiske, Symplektiske, Koisotropiske og Lagrangs- ke underrom. . . 25

1.4.3 Konstruksjon av symplektiske underrom. Symplektisk innhylling. . . 26

2 Symplektiske mangfoldigheter 29 2.1 Definisjoner. Kompleks mangfoldighet. . . 29

2.1.1 Biholomorfi . . . 29

2.1.2 Kompleks mangfoldighet. . . 30

2.1.3 Koordinatsystem og kart. . . 30

2.1.4 Krav til en kompleks mangfoldighet. Atlas. . . 30

2.1.5 Det komplekse tangentrommet og cotangentrommet. . 31

2.1.6 Holomorfe (r,0)-former. . . 31

2.1.7 Parameteravhengige holomorfe funksjoner, vektorfel- ter og former . . . 31

2.2 Symplektisk mangfoldighet . . . 33

2.2.1 Symplektomorfisme. . . 33

2.3 Darboux teorem. . . 34

2.4 Holomorfe ordinære differensiallikninger. . . 35

2.4.1 Picards suksessive approksimasjon. . . 36

2.4.2 Eksistens- og entydighetssatsen . . . 39

2.4.3 Holomorf avhengighet av parameter. . . 39

2.4.4 Rektifiseringsteoremet. . . 42

2.5 Mosers triks . . . 43

2.6 Poincares lemma . . . 47

2.7 Bevis for Darboux teorem . . . 50

Kapittel 1

Symplektisk lineær algebra

1.1 Definisjoner

Vi starter med de helt grunnleggende definisjonene vi trenger for å kunne definere det vi kaller et symplektisk vektorrom.

Ved å studere grunnleggende lineær algebra (som for eksempel i ethvert ma- tematisk bachelorstudium på høyskole og universitetsnivå) blir vi kjent med begreper som vektorrom, indreprodukt, indreproduktrom, normerte vektor- rom og matematiske former.

I for eksempel normerte vektorrom er definisjonen av indreproduktet essensi- elt for å definere en norm som danner grunnlag for mye viktig teori angående det normerte vektorrommets egenskaper.

Når vi skal studere symplektisk lineær algebra er det det vi kaller symplek- tiske former som er det essensielle. Det er velkjent innen teorien om lineær algebra at et indreproduktrom er et vektorrom utstyrt med et indreprodukt.

Som en parallell skal vi se at et symplektisk vektorrom er et vektorrom ut- styrt med en symplektisk form.

Hvis ikke annet er angitt er [1] benyttet som kilde for kapittel 1.

1.1.1 Antisymmetrisk bilineær form La oss betrakte et vilkårlig vektorrom V.

Definisjon 1.1. En bilineær form på V definerer vi som en avbildning ω:V×V →K, derKer en kropp (f.eks.CellerR), med følgende egenskaper:

For alle u, v ogw∈V ogλ∈Khar vi

1.ω(u+w, v) =ω(u, v) +ω(w, v) 2.ω(u, v+w) =ω(u, v) +ω(u, w) 3.λω(u, v) =ω(λu, v) =ω(u, λv)

Enhver bilineær form kan skrives som:

ω(v, w) =v^TAw=

n

X

i,j=1

aijviwj =hv, Aωi (1.1.1) derA= (a_ij) er enn×nmatrise (a_ij) =ω(e_i, e_j) ogh,i er standard indre- produktet i Rⁿ eller Cⁿ .

En bilineær formω defineres somantisymmetrisk(eller skjevtsymmetrisk) når vi har:ω(v, w) =−ω(w, v) for allev, w∈V.

Dette er ekvivalent med at ω(v, v) = 0,∀v ∈V og at A er skjevtsymmetrisk A^t=−A.

[1] og [11]

1.1.2 Symplektisk form

I symplektisk lineær algebra er vi interesserte i det vi kaller ikke degene- rerte antisymmetriske bilineære former:

Definisjon 1.2. LaV være et vektorrom overCog la ωbetegne en antisym- metrisk bilineær formω :V ×V →C.

Vi kaller ω ikke degenerert hvis den har følgende egenskap:

Hvis ω(v, w) = 0 for alle v6= 0, v∈V, så er w= 0 m

Hvis v6= 0 så fins det en w slik at ω(v, w)6= 0.

m A er invertibel.

Som nevnt innledningsvis er det det vi kaller en symplektisk form som er selve kjærnen i teorien om symplektisk lineær algebra.

Den defineres slik:

Definisjon 1.3. Vi definerer en antisymmetrisk og ikke degenerert bilineær form som ensymplektisk form.

Et annet velkjent begrep for indreproduktrom er ortogonalitet. Det fins tilsvarende definisjoner innen symplektisk teori som vi skal komme tilbake til i avsnitt 1.2.4.

Men for å utføre nødvendige beviser av viktige teoremer i forbindelse med definisjonen av symplektiske vektorrom er det nødvendig å definere under- rommetW^⊥ av et vektorrom V:

Definisjon 1.4. La V være et vilkårlig vektorrom ogW ⊂V et underrom.

Vi definerer

W^⊥={v∈V|ω(v, w) = 0 for alle w∈W}

Lemma 1.5. LaV, W ogW^⊥ være som i definisjon 1.4 Da erdimW^⊥= dimV −dimW

Bevis. I følge (1.1.1) har viω(v, w) =v^tAwog det viser at den symplektiske formen anvendt på to vektorer er standard indreprodukt av v og Aw og dermed kan vi bruke velkjente resultater fra grunnleggende teori om lineær algebra.

v∈W^⊥ m

ω(v, w) = 0 for allew∈W m

hv, Awi= 0 for allew∈W m

v∈(A(W))^⊥

der (A(W))^⊥ er det ortogonale komplementet til (A(W)) med hensyn på standard indreprodukt.

Siden A er invertibel så er dimA(W) = dimW. Det følger da av formelen for ortogonalt komplement i standard indreprodukt at vi får dimW^⊥ = dimV −dimW.

1.2 Symplektiske vektorrom

Når vi nå har definert begrepet symplektisk form kan vi definere begrepet symplektisk vektorrom og se litt på hvilke egenskaper et slikt rom har.

1.2.1 Symplektisk vektorrom

Definisjon 1.6. Et vektorrom V (over en kropp, for eksempel R eller C) kalles et symplektisk vektorrom hvis det er utstyrt med en symplektisk form ω. Vi skriver (V, ω) for et symplektisk vektorrom.

Hvis vi igjen går tilbake til teorien om grunnleggende lineær algebra vet vi at ethvert endelig dimensjonalt vektorrom har et indreprodukt. Dette er ikke tilfelle når det gjelder en symplektisk form og det betyr at ikke alle vektorrom er symplektiske.

Teorem 1.7. La(V, ω)være et symplektisk vektorrom over Cog dimV =p.

Da er p et liketall, p = 2n og det fins en basis B = {e₁, . . . , en, f1, . . . , fn} for V slik at

ω(e_i, f_j) =−ω(f_j, e_i) =δ_ij ω(e_i, e_j) =ω(f_i, f_j) = 0

Bevis. La V være et symplektisk p-dimensjonalt vektorrom over C og la ω være en symplektisk form.

Velg en vilkårlige1∈V, e1 6= 0.

Sidenω er symplektisk må det finnes en vektor f₁⁰ ∈V slik at ω(e1, f₁⁰)6= 0.

Ved å settef₁= _ω(e^f10

1,f₁⁰) får viω(e₁, f₁) =ω(e₁,_ω(e^f10

1,f₁⁰)) = ^ω(e_ω(e^1,f10)

1,f₁⁰) = 1.

Tilsvarende har vi daω(f₁, e₁) =−1 siden ω er antisymmetrisk.

Altså erω(e₁, f₁) =−ω(f₁, e₁) =δ₁₁= 1

Sidenω er antisymmetrisk må vi ha ω(e1, e1) =ω(f1, f1) = 0.

DefinererW₁ = Span{e₁, f₁}.

Ut i fra konstruksjonen kan vi da konkludere med at dimW1 = 2, siden f1∈/ Span{e₁}.

Påstår atW1∩W₁^⊥ ={0}.

Lav ∈W1∩W₁^⊥.

Da erv=pe₁+qf₁, pog q ∈C. Siden v∈W₁^⊥ må vi ha ω(v, e₁) = 0. Men ω(v, e1) = ω(pe1+qf1, e1) = ω(pe1, e1) +ω(qf1, e1) = qω(f1, e1) = −q og dette gir ossq = 0.

Tilsvarende utregning medfører ω(v, f₁) = 0 =⇒ p= 0.

Dette betyr at v= 0og dermed er altså W1∩W₁^⊥ ={0}.

Påstår atV =W₁⊕W₁^⊥. Betrakt rommet{e₁}^⊥.

AvbildningenV →Cgitt vedv→ω(e1, v)er lineær, surjektiv og kjernen er {e₁}^⊥.

Dermed har vidim{e₁}^⊥=p−1. Det samme er tilfelle for{f₁}^⊥. Vi harW₁^⊥={e₁}^⊥∩ {f₁}^⊥. Dessuten er{e₁}^⊥6={f₁}^⊥.

Dermed har vidimW₁^⊥=p−2og det følger at V =W₁⊕W₁^⊥. Nå må vi vise atW₁^⊥ er symplektisk. (Det vil si at ω|_W⊥

1 er symplektisk.) ω|_W⊥

1 er opplagt skjevt symmetrisk så vi må sjekke at den også er ikke de- generert.

Velg en w∈W₁^⊥, w6= 0. Da fins det env∈V slik at ω(w, v)6= 0.

Vi kan nå skrivev=u+u⁰ hvor u∈W₁^⊥ og u⁰ ∈W₁. Ved definisjonen avW1 har vi ω(u⁰, w) = 0.

Dermed må vi haω(u, w)6= 0 og ω|_W⊥

1 er ikke degenerert.

Finn så en vilkårlige2 ∈W₁^⊥ og deretter en f2∈W₁^⊥ slik atω(e2, f2) = 1.

La W2 = Span{e₁, e2, f1, f2} Repeter så prosedyren ovenfor induktivt til vi får V =W_n og vi får ønsket resultat. [1] og [6]

Teorem 1.7 forteller oss at dimensjonen til et symplektisk vektorrom V over C må være et like tall. Det viser seg at dette ikke bare gjelder for symplektiske vektorrom over C men alle symplektiske vektorrom. Dermed kan ikke et vektorrom med odde dimensjon være symplektisk.

Det betyr for eksempel at vektorrom som R³ og C³ ikke er symplektiske mens rom somR² ogC² er det.

Matrisen J, standard form og standard matrisen.

Hvis vi definerer en basis B som i teorem 1.7 så er matrisen ω_B til ω gitt ved

ω_B=

0_n I_n

−I_n 0_n

(1.2.1) Det er vanlig å betegne matrisen (1.2.1) for J.

Det vil si at vi har

ω(v, w) =v^tωBw=v^tJ w (1.2.2) Formenωmed matrisenJ kalles i symplektisk lineær algebra for henholdsvis standard formog standard matrisen.

Det kan være verdt å merke seg at for v, w∈V for et 2-dimensjonaltV får vi

ω(v, w) =

v₁ v₂

0 1

−1 0 w₁ w₂

=v₁w₂−v₂w₁ = det v w

.

For 2-dimensjonale vektorrom er med andre ord den symplektiske avbildnin- gen ω det samme som determinant funksjonen.

Vi vil dra nytte av noen enkle egenskaper for standard matrisen J:

Lemma 1.8. J⁻¹ =J^t=−J og J² =−I_2n Bevis.

−J =

0n −I_n I_n 0_n

=J^t J²=

0n In

−I_n 0_n

0n In

−I_n 0_n

=

In(−I_n) 0n

0_n (−I_n)I_n

=

−I_n 0n

0_n −I_n

=−I_2n

−J² = (−J)J =J^tJ =I2n⇔J^t=J⁻¹

1.2.2 Symplektisk basis.

Definisjon 1.9. BasisenB ={e₁, . . . , e_n, f₁, . . . , f_n} konstruert som i teo- rem 1.7 kalles en symplektisk basis.

Hvor fritt kan en symplektisk basis velges?

Et vesentlig spørsmål innen symplektisk lineær algebra er hvilke grader av frihet vi har til å velge en symplektisk basis for et symplektisk vektorrom. I bevis for teorem 1.7 går det fram hvordan en symplektisk basis konstrueres.

Hvis vi utdyper dette litt tydligere så kan en symplektisk basis velges slik:

Vi starter med å velge første basisvektor (e₁ 6= 0) og den kan velges helt fritt i V.

Andre basisvektor (f16= 0) kan ikke velges i{e₁}^⊥ men ut over det kan den velges vilkårlig iV \ {e₁}^⊥ normalisert slik atω(e₁, f₁) = 1.

Som i beviset for teorem 1.7 gjøres prosedyren videre induktivt.

La oss nå anta at basisvektorene e1, . . . , ej, f1, . . . , fj er valgt, j < n og V_j = Span{e₁, . . . , e_j, f₁, . . . , f_j}.

SidenV_j er utspent av2j lineært uavhengige vektorer erdimV_j = 2j.

I følge bevis for teorem 1.7 kan vi setteV =Vj⊕V_j^⊥.

Da erdimV_j^⊥= 2n−2j og vi kan velgee_j+1 6= 0 helt fritt iV_j^⊥. Sett såWj = Span{V_j, ej+1}.

Da er dimW_j^⊥ = 2n−2j −1 og vi kan velge f_j+1 vilkårlig i V_j^⊥ \W_j^⊥, normalisert slik atω(e_j+1, f_j+1) = 1.

For et symplektisk vektorrom av dimensjon2nutføres prosedyren n ganger og vi vil få den symplektiske basisen B={e₁, . . . , e_n, f₁, . . . , f_n}.

Det er med andre ord ikke slik at enhver basis for et vektorrom V utstyrt med en symplektisk formω er symplektisk og en symplektisk basis kan ikke velges helt vilkårlig.

Men derimot viser ovenfor nevnte prosedyre også at vi har stor frihet i valg av en del av basisvektorene og at det dermed finnes mange forskjellige sym- plektiske basiser for et symplektisk vektorrom.

Et interessant spørsmål er om man kan velge alle ei-ene først og deretter alle fi-ene når man skal konstruere en symplektisk basis?

Og det viser seg at det er mulig:

La (V, ω) være et 2n-dimensjonalt symplektisk vektorrom. Velg en vilkår- lige₁ fritt iV. Hvisn= 1velger man såf₁ vilkårlig normalisert iV \ {e₁}^⊥ slik atω(e1, f1) = 1 og da har vi en symplektisk basis.

Er n > 1 så forteller lemma 1.5 på side 7 oss at dim{e₁}^⊥ = dimV − dim{e₁}= 2n−1. Da kan vi velge e₂ helt fritt i{e₁}^⊥\ {e₁}.

Fortsetter vi induktivt så antar vi forl < nat vi har valgtl antall ei-er slik

at W_l= Span{e₁, . . . , e_l}.

Dimensjonen tilW_l^⊥ er da i følge lemma 1.5 dimW_l^⊥ = dimV −dimWl = 2n−l.

Da kan vi velgee_l+1 helt fritt i W_l^⊥\W_l.

Utføres denne prosedyren till=nfår viWn= Span{e₁, . . . , en}ogdimW_n^⊥ = dimWn=n =⇒ Wn=W_n^⊥.

Nå har vi dimV \W_n = n og for enhver vektor v ∈ W_n må vi også ha v /∈ V \Wn. Derfor kan vi nå fritt plukke ut den vi ønsker av ei-ene og vilkårlig velge en basisvektorfi iV \Wn normalisert slik atω(ei, fi) = 1.

Rommet V₁ = V \Span{W_n, f_i} har dimensjon n−1. Plukk så fritt ut en basisvektorej (j 6=i)fra Wnog vi kan vilkårlig velge en basisvektor fj iV1

normalisert slik atω(ej, fj) = 1.

Gjenta slik at vi for all e_i-ene finner en f_i slik at ω(e_i, f_i) = 1 og vi har konstruert en symplektisk basis ved først å velge allee_i-ene først og deretter alle fi-ene.

1.2.3 Det duale vektorrommet

Anta at vi har et endelig dimensjonalt komplekst vektorromV. Da harV et korresponderende vektorrom som kalles det duale vektorrommet notert som V^∗.

V^∗ er rommet av alle lineære funksjoner λ:V →C.

Lemma 1.10. Lav1, . . . , vn være en basis forV. Da er vektorene v^∗_i ∈V^∗, definert ved

v_i^∗(v_j) =δ_ij (1.2.3)

en basis forV^∗ Bevis. Velkjent.

Det duale rommet gir flere interessante resultat innen symplektisk lineær algebra.

Det første vi skal vise er en alternativ definisjon av den symplektiske formen.

Korollar 1.11. Ved valg av basis B som i teorem 1.7 kan den symplektiske formen ω skrives som

ω =

n

X

i=1

e^∗_i ∧f_i^∗ dere^∗_i ogf_i^∗ er basisvektorer for det duale rommet.

Bevis. La V være et vektorrom og v, w∈V. Velg basis og ω som i teorem 1.7.

Anta atV^∗er det duale rommet tilV og at{e^∗₁, . . . , e^∗_n, f₁^∗, . . . , f_n^∗}er basisen til V^∗. Vi får da:

ω(v, w) =v^T

0_n I_n

−I_n 0n

w=

v^T(wn+1, wn+2, . . . , w2n,−w₁,−w₂, . . . ,−w_n)

=v1wn+1+v2wn+2+. . .+vnw2n−vn+1w1−vn+2w2−. . .−v2nwn

=

n

X

i=1

(v_iw_n+i−v_n+iw_i) Videre har vi

n

X

i=1

e^∗_i ∧f_i^∗(v, w) =

n

X

i=1

(e^∗_i(v)f_i^∗(w)−e^∗_i(w)f_i^∗(v)) =

n

X

i=1

(v_iw_n+i−v_n+iw_i) =ω(v, w)

I en del litteratur kalles denne definisjonen avω for denkanoniske for- menavω.

Avbildninger inn i det duale rommet. Kontraksjonen.

Enhver bilineær form ω på V definerer et par med lineære avbildninger fra V til det duale rommetV^∗. Vi skal nøye oss med å se på en av dem. Avbild- ningen vi skal fram til får vi ved å utelate det andre argumentet i ω. Med det mener vi atw utelates i ω(v, w) og vi får ω(v,·) hvor (·) indikerer hvor det andre argumentet skulle vært plassert.

Dermed kan vi definere avbildningenω(v,·) :V →V^∗ som ω(v,·)(w) =ω(v, w)

Notasjonen for ω(v,·) kan variere i forskjellig litteratur.

En av disse erv¬

ω=ω(v,·) som vi også skal benytte.

Definisjon 1.12. Vi kaller avbildningen V → V^∗, v 7→ v¬ω definert som v¬

ω(w) =ω(v, w) for en kontraksjon.

Vi definerte standardformen tilω( 1.2.2 på side 9) somω(v, w) =v^TJ w.

Det betyr at den symplektiske formenω anvendt på to vektorer vog w rett og slett er det standard euklidiske/hermitiske indreproduktet av vog J w.

Lemma 1.13. Anta at (V, ω)er et2ndimensjonalt vektorrom med en anti- symmetrisk form ω.

Da er følgende ekvivalent:

(i) ω er symplektisk.

(ii) ¬ω er en isomorfi.

Bevis. Anta at(V, ω) er et2n dimensjonalt symplektisk vektorrom.

(i)=⇒(ii)

Atω er bilineær medfører at ¬ω er lineær og dermed er¬ω en homomorfi.

Sidenω er symplektisk må vi ha v¬

ω = 0 ⇐⇒ v= 0 så¬

ω er injektiv.

Av samme grunn kan vi bruke korollar 1.11 og får e_j¬ω =

n

X

i=1

e^∗_i ∧f_i^∗(e_j,·) =

n

X

i=1

(e^∗_i(e_j)f_i^∗−e^∗_if_i^∗(e_j)).

Nå ere^∗_i(ej) = 1 nåri=j og 0ellers og f_i^∗(ej) = 0 for alle i, j.

Det betyr ate_j¬ω =f_j^∗.

Tilsvarende utregning forf_j gir oss f_j¬ω=−e^∗_j. Dette medfører at {−f₁¬

ω, . . . ,−f_n¬

ω, e1¬

ω, . . . , en¬ω} gir basisen til V^∗.

For hver v^∗ ∈ V^∗ kan vi da finne en v ∈ V slik at v¬ω = v^∗. Da er ¬ω surjektiv og dermed også en isomorfi.

(ii)=⇒(i) Anta at¬

ω er en isomorfi.

Da kan vi ikke finne enw∈V slik atω(v, w) = 0for allev6= 0. Grunnen til det er atv¬ω = 0 =⇒ v= 0siden¬ω er en isomorfi ogω(v, w) =v¬ω(w).

Altså erω symplektisk.

Lemma 1.14. Anta at(V, ω) er et 2n-dimensjonalt symplektisk vektorrom.

Da erωⁿ=ω∧. . .∧ω 6= 0.

Bevis.

ω =

n

X

i=1

e^∗_i ∧f_i^∗

⇓

ωⁿ=n!(−1)^n2(n−1)e^∗₁∧. . .∧e^∗_n∧f₁^∗∧. . .∧f_n^∗ 6= 0

Hvis vi studerer det duale vektorrommet litt nærmere viser det seg at ved hjelp av det kan vi faktisk konstruere et symplektisk vektorrom ut i fra ethvert vektorrom over en kropp K.

La nå W være et (vilkårlig) n-dimensjonalt vektorrom over en kropp Kog laW^∗ væreW sitt duale vektorrom.

Anta at{e₁, . . . , en}er en basis forW og at{e^∗₁, . . . , e^∗_n}er en basis forW^∗. Da vil rommet V = W ⊕W^∗ med en symplektiske form ω : V ×V → K definert som

ω(v+η, w+ξ) =η(w)−ξ(v)med v, w∈W ogη, ξ ∈W^∗ være symplektisk.

ω er opplagt antisymmetrisk. Hvis v+η 6= 0 så er enten v 6= 0 og vi kan velge w= 0 og ξ ∈W^∗ slik at ξ(v) = −1 eller η 6= 0 og vi kan velge ξ = 0 ogw∈W slik atη(w) = 1. I begge tilfeller erω(v+η, w+ξ) = 16= 0.

1.2.4 Symplektisk ortogonalitet

Som nevnt i avsnitt 1.1.2 på side 6 finner vi også innen symplektisk teori begrepet ortogonalitet.

Definisjon 1.15. To vektorer fra et symplektisk vektorrom (V, ω) kalles skjevt-ortogonalenår ω(v, w) = 0. Dette er også beskrevet som v⊥w.

Det varierer noe innen forskjellig litteratur hvilke ord man setter på sym- plektisk ortogonalitet og noen benytter ordet ortogonal i ovenfor nevnte de- finisjon. Vi velger å bruke ordet skjevt-ortogonal for å ikke blande sammen symplektisk ortogonalitet med euklidisk ortogonalitet.

I avsnitt 1.1.2 definerte vi mengdenW^⊥.W^⊥kalles ofte for det symplektiske komplementet til underrommetW og som vi allerede har sett så spiller dette rommet en sentral rolle i symplektisk teori. Vi kommer enda mer inn påW^⊥ og andre underrom i avsnitt 1.4 «Underrom av symplektiske vektorrom».

1.2.5 Hyperbolske par, plan og rom

Et todimensjonalt symplektisk romP er i henhold til teorem 1.7 og basisen uttrykket som i definisjon 1.9 på formen

P = Span{e, f} medω(e, e) =ω(f, f) = 0, ω(e, f) = 1

Paret (e, f) kalles for et hyperbolsk par og P kan kalles et hyperbolsk plan.

En skjevt-ortogonal sum av hyperbolske plan kalles da ethyperbolsk rom H_2n=P₁⊥. . .⊥P_n.

1.3 Symplektiske matriser og grupper

Ved å bruke teorien vi har vist i avsnitt 1.2 skal vi nå se på den symplektiske versjonen av lineæravbildninger, matriser og grupper.

1.3.1 Symplektiske lineære avbildninger og matriser

En lineær avbildning er symplektisk når den tilfredsstiller følgende definisjon:

Definisjon 1.16. La(V1, ω1) og (V2, ω2) være to symplektiske vektorrom og φ:V1→V2 en lineær avbildning.

Vi kaller φsymplektisk hvis

ω2(φ(v), φ(w)) =ω1(v, w) for alle v, w∈V1 (1.3.1) Vi skal vise at symplektiske lineære avbildninger har en del egenskaper som danner grunnlag for symplektiske matriser og grupper. De er alle in- jektive og når de er definert i mellom endelig-dimensjonale rom av samme dimensjon er de isomorfier.

Lemma 1.17. En symplektisk lineær avbildning φer injektiv.

Bevis. La φvære en symplektisk morfi og antaφ(v) = 0.

Hvis (1.3.1) i definisjon 1.16 skal holde måv= 0sidenω₁ er ikke degenerert.

Dermed har viφ(v) = 0⇔v= 0 og φer injektiv.

Av dette lemmaet følger:

Korollar 1.18. Anta dim V1=dimV2 <∞. Da er φ en isomorfi.

Dette korollaret forteller oss at to symplektiske vektorrom av samme (endelige) dimensjon er isomorfe.

Definisjon 1.19. En φsom i korollar 1.18 kalles ensymplektomorfisme.

Hvis vi har(V1, ω1) = (V2, ω2) = (V, ω)vilφvære en automorfi på(V, ω).

La nåM representere matrisen tilφi basisenBogωvære på standard form iB.

Da får vi:

ω(φ(v), φ(w)) =ω(M v, M w) =

(M v)^tJ(M w) =v^tM^tJ M w=ω(v, w) =v^tJ w som gir oss

M^tJ M =J (1.3.2)

Videre kan vi da finne den inverse matrisen tilM: M^tJ M =J

m

J⁻¹M^tJ M M⁻¹ =J⁻¹J M⁻¹ m

M⁻¹ =J⁻¹M^tJ =−J M^tJ (fordiJ⁻¹ =−J) (1.3.3) Av dette kan vi konkludere med:

Lemma 1.20. La(V, ω) være et symplektisk vektorrom,ω en standard form ogφ en symplektisk automorfi på (V, ω) med matriseM i basisenB.

Da er følgende ekvivalent:

(i) ω(φ(v), φ(w)) =ω(v, w) (Dvsφ er en symplektomorfisme.) (ii) M^tJ M =J

(iii) M⁻¹=−J M^tJ

Vi skal nå se at matrisen M spiller en sentral rolle i teorien rundt sym- plektiske matriser og grupper.

Symplektiske matriser

Definisjon 1.21. Matrisen M til en symplektomorfisme φ kalles en sym- plektisk matrise.

Vi uttrykker mengden av alle symplektiske matriser på et vektorrom V med betegnelsenSp(V).

Spesielt hvisV =K²ⁿ med ω på standard form skriver vi Sp_n(K).

Vi skal vise at Sp(V) faktisk er en matematisk gruppe.

Teorem 1.22. La (V, ω) være et symplektisk vektorrom over K. Mengden Sp(V)av alle symplektiske morfier påV danner en gruppe under komposisjon (matrise multiplikasjon).

Bevis. Anta atSp(V) er mengden av av alle symplektiske morfier på V og laφ1, φ2, φ3∈Sp(V)med matriser henholdsvisM1, M2, M3∈GLn(V).

Vi har da:

(M1M2)^tJ(M1M2) =M₂^tM₁^tJ M1M2 =M₂^tJ M1 =J såSp(V) er lukket.

Sjekker for assosiativitet:

SidenM_i ∈GL_n(V) har vi

(M1(M2M3)) = ((M1M2)M3)

og

(M3(M2M1))^t= (M2M1)^tM₃^t=M₁^tM₂^tM₃^t= M₁^t(M3M2)^t= ((M3M2)M1)^t

som gir

(M₃(M₂M₁))^tJ(M₁(M₂M₃)) = ((M₃M₂)M₁)^tJ((M₁M₂)M₃) Sjekker identiteselement og invers:

I følge lemma 1.20 så har M en invers og vi har ω(Inv, Inw) = ω(v, w) for alle v, w∈V såIn∈Sp(V).

Altså erSp(V)en gruppe under komposisjon.

Sp(V) har noen enkle men viktige egenskaper som er nyttige:

Lemma 1.23. Hvis M ∈Sp(V), så er ogsåM^t∈Sp(V).

Bevis. Ved å bruke(M^t)⁻¹= (M⁻¹)^t og lemma 1.20 (iii) får vi:

(M^t)⁻¹= (J⁻¹M^tJ)^t=J^t(M^t)^t(J⁻¹)^t=J⁻¹(M^t)^tJ

Lemma 1.24. Hvis φ∈Sp(V) er det(φ) = 1.

Bevis. Anta φ∈Sp(V) og ω en symplektisk form.

Ved å bruke lemma 1.14 på side 13 har vi:

e^∗₁∧. . .∧e^∗_n∧f₁^∗∧. . .∧f_n^∗(φe1, . . . , φen, φf1, . . . , φfn)

= det(φ)e^∗₁∧. . .∧e^∗_n∧f₁^∗∧. . .∧f_n^∗(e₁, . . . , e_n, f₁, . . . , f_n)

=e^∗₁∧. . .∧e^∗_n∧f₁^∗∧. . .∧f_n^∗(e₁, . . . , e_n, f₁, . . . , f_n) Altså må vi hadet(φ) = 1

Siden det viser seg at hvis φ∈Sp(V) så er determinanten tilφalltid lik 1 betyr det atSp(V)er en delmengde avSL(V). (SL(V)er betegnelsen for den spesielle lineære gruppen som er samlingen av alle matriser med deter- minant lik 1.)

Som vi kommenterte på side 9 må vi for 2-dimensjonale vektorrom haSp(V) = SL(V).

Egenverdier til en symplektisk matrise.

Teorem 1.25. LaM ∈Sp_n(K) ogλen egenverdi avM med multiplisitet k.

Da er _λ¹ også en egenverdi med multiplisitet k.

Bevis. LaP(λ) = det(M−λI_2n) være det karakteristiske polynomet til M.

Ved å brukeM^tJ M =J ⇐⇒ M⁻¹ =J⁻¹M^tJ, lemma 1.24 og at similære matriser har samme egenverdier får vi:

P(λ) = det(M−λI2n) = det(M^t−λI2n) = det(J⁻¹(M^t−λI2n)J)

= det(M⁻¹−λI_2n) = det(M⁻¹) det(I_2n−λM) =λ²ⁿdet(M− 1 λI_2n).

1.3.2 Generering av Sp(V)

Vi har et nyttig lemma for å sjekke om en matriseM ellerM^ttilfredsstiller (1.3.1) i definisjon 1.16 på side 15:

Lemma 1.26. For A, B, C, D ∈ Mn(K) (der Mn(K) er en n×n matrise med elementer fra en kropp K) er følgende ekvivalent:

(i) M =

A B

C D

∈Sp_n(K)

(ii) A^tC=C^tA, B^tD=D^tB, A^tD−C^tB=In

(iii) AB^t=BA^t, CD^t=DC^t, AD^t−BC^t=I_n Bevis.

M^tJ M =

A^t C^t B^t D^t

0 I

−I 0

A B

C D

=

−C^t A^t

−D^t B^t

A B

C D

=

A^tC−C^tA A^tD−C^tB B^tC−D^tA B^tD−D^tB

=J I følge lemma 1.23 erM^t også symplektisk og vi får:

(M^t)^tJ M^t=M J M^t=

A B

C D

0 I

−I 0

A^t C^t B^t D^t

=

−B A

−D C

A^t C^t B^t D^t

=

AB^t−BA^t AD^t−BC^t CB^t−DA^t CD^t−DC^t

=J

Noen spesielle matriser

I noe litteratur bl.a. [1] og [4] omtales tre matriser som spesielle symplektiske matriser. Den ene av disse erJ som vi kjenner fra før som girJ^tJ J =J og er opplagt symplektisk.

Den andre er samlingen av matriserU_V definert som UV =

V 0 0 V^∗

derV^∗ = (V^t)⁻¹.

Ved å bruke lemma 1.26 (ii) ser vi atV^t0 = 0V,0V^∗ = (V^∗)^t0ogV^tV^∗−0 = I_n såU_V er symplektisk.

Den tredje og siste er samlingen av matriserTR definert som T_R=

I R 0 I

hvorR^t=R.

Ved å igjen bruke lemma 1.26 (ii) ser vi atI0 = 0I, RI =IR ogII−0 =I såT_R er også symplektisk.

Definisjon 1.16 på side 15 for symplektiske avbildninger er relativt rigid så det begrenser opplagt mulighetene for hvordan matrisen til en slik avbildning kan konstrueres.

Grunnen til at J, UV og TR omtales som spesielle er at de alene sammen medJ⁻¹ faktisk genererer heleSp_n(K).

Teorem 1.27. Alle varianter av matrisene J, J⁻¹, UV og TR genererer til sammen Sp_n(K).

Bevis. La S være samlingen av alle varianter av matrisene J, J⁻¹, UV og T_R og la M =

A B

C D

∈Spn(K).

Vi må vise atS=Spn(K). Det er opplagt atS⊂Spn(K)så det gjenstår da å vise atSp_n(K)⊂S.

Siden S ⊂ Spn(K) og M ∈Spn(K) må det være slik at hvis vi lar Q være et element eller produkter av elementer fraS og multipliserer med M så må QM ∈Sp_n(K) ellerM Q∈Sp_n(K) siden Sp_n(K) er en gruppe.

Ideen bak dette beviset er at hvis vi kombinerer dette faktum sammen med lemma 1.26 så vil vi se at vi må haM ∈S.

Vi starter med å multiplisere M fra venstre medUV og fra høyre med UV⁰

som gir matrisenUVM UV⁰ =

V AV⁰ V BV⁰ V^∗CV^0∗ V^∗DV^0∗

∈Spn(K).

Påstår at med et passende valg av V og V⁰ får vi V AV⁰ på diagonalform med bare 0 og 1 som elementer. Altså V AV⁰ =

I1 0 0 0

derI₁ er en k×k

identitetsmatrise.

LaA:Kⁿ→Kⁿ være en lineær transformasjon.

Hvisrank(A) =k, så fins en basis{v₁, . . . , vn}for Kⁿslik at {v₁, . . . , v_k}er en basis forIm(A).

Videre fins det en annen basis{w₁, . . . , wn}forKⁿslik atAwi=vi fori≤k ogAwi = 0 for i > k.

Nå velger viV⁻¹ =

v₁, . . . , v_n

og V⁰ =

w₁, . . . , w_n . Hvis{e_i}er standard basisen forKⁿ så har vi fori≤k

V AV⁰(ei) =V A(wi) =V(vi) =ei

og for i > k

V AV⁰(e_i) =V A(w_i) =V(0) = 0.

Det vil si V AV⁰ = I1 0

0 0

.

Uten tap av generalitet kan vi nå anta at A har denne formen i utgangs- punktet så vi setter nå

A= I₁ 0

0 0

. (1.3.4)

Nå vil vi se nærmere på hvordanC må være og delerC opp i undermatriser slik atC =

C₁₁ C₁₂ C21 C22

. Ved utregning får vi da A^tC =

I1 0 0 0

C11 C12

C21 C22

=

C11 C12

0 0

og C^tA=

C₁₁^t C₂₁^t C₁₂^t C₂₂^t

I1 0 0 0

=

C₁₁^t 0 C₁₂^t 0

.

Ved hjelp av lemma 1.26 (ii) ser vi at vi må haC12= 0og C11=C₁₁^t for at M ∈Sp_n(K) såC ser nå slik ut:

C=

C₁₁ 0 C₂₁ C₂₂

derC₁₁=C₁₁^t

I tillegg kan vi nårA er på formen (1.3.4) konkludere med atdet(C₂₂)6= 0.

Hvis ikke ville de førstenkollonnene iM være lineært avhengige og det kan de ikke være sidendet(M) = 1.

Nå multipliserer viM medT_λI fra venstre, derλ∈Ker en (foreløpig udefi- nert) parameter.

Da får viT_λIM =

I λI 0 I

A B

C D

=

IA+λIC IB+λID

IC ID

. Dermed har vi en A⁰ = A+λC =

I+λC₁₁ 0 λC21 λC22

. Siden det(C22) 6= 0 erdet(A⁰) et polynom av gradn som ikke er identisk lik 0. Derfor kan vi nå velge en passende verdi for λå sørge for atdet(A⁰)6= 0.

Nå kan vi igjen da uten tap av generalitet gjøre nye antagelser forA å anta at det(A)6= 0 som gjør at vi ender opp medA=In.

Dette betyr at vi nå må ha M =

I_n B

C D

og C=C^t i følge lemma 1.26 nårA=I_n.

SidenC=C^t nårA=In gir det at matrisenTC er med iS og nå bruker vi det for å sluttføre beviset.

Vi multipliserer såM fra venstre medJ⁻¹TCJ =

I_n 0

−C In

og vi får

J⁻¹TCJ M =

In 0

−C I_n

In B

C D

=

In B 0 (−CB+D)

som medfører at det nå gjenstår å behandle matriser på formen

I_n B

0 D

. I følge lemma 1.26 (ii) får vi da I_nD= I_n =⇒ D= I_n som igjen gir ved samme lemmaB^t=B.

Dermed står vi igjen medM =

I_n B 0 In

=T_B∈S =⇒ Sp_n(K)⊂S.

[4]

1.3.3 Transveksjoner

En lineæravbildning τ :V → V er entransveksjon med fiksert hyperplan W hvisτ|_W =Id_W og τ v−v ∈W for alle v∈V.

En spesiell transveksjonτ_u,λ :V →V er definert ved

τ_u,λ(v) =v+λω(v, u)u (1.3.5) deru∈V ogλ∈R.

Lemma 1.28. τu,λ ∈Sp(V) Bevis.

ω(τ_u,λ(v), τ_u,λ(w)) =ω(v+λω(v, u)u, w+λω(w, u)u) =

ω(v, w) +ω(v, λω(w, u)u) +ω(λω(v, u)u, w) +ω(λω(v, u)u, λω(w, u)u) = ω(v, w) +λω(w, u)ω(v, u)−λω(u, v)ω(u, w) =ω(v, w)

Definisjon 1.29. Den spesielle transveksjonen τ_u,λ definert som i (1.3.5) kalles en symplektisk transveksjon.

Det viser seg at samlingen av alle symplektiske transveksjoner også ge- nererer den symplektiske gruppen slik de spesielle symplektiske matrisene gjør.

Teorem 1.30. Sp(V) er generert av symplektiske transveksjoner.

La oss kalle gruppen generert av alle transveksjonerτ forT.

Hvis teorem 1.30 skal holde må vi haT =Sp(V). Vi har opplagtT ⊂Sp(V) og må vise at vi også harSp(V)⊂T.

For å vise atSp(V)⊂T er det hensiktsmessig å starte med å vise to lemma:

Lemma 1.31. Laω være en symplektisk form på V.

Da fins det for hvert parv, wav ikke-null vektorer av V et produkt av på det meste 2 transveksjoner som sender v tilw.

Bevis. Anta v, w∈V, v6=w, v6= 0 og w6= 0.

Hvisω(v, w)6= 0:

Settλ= _ω(v,w)¹ ogu=v−w. Da erτu,λ(v) =v+λω(v, u)u=v+^ω(v,v−w)_ω(v,w) (v−

w) =v−(v−w) =w.

Hvisω(v, w) = 0:

Påstår at det fins en vektorz slik at06=ω(v, z)6=ω(w, z)6= 0.

Lav=Pn

i=1aiei+bifiogw=Pn

i=1ciei+difider alleeiogfi er basisvekto- rer fra en symplektisk basis. Da har vidimv^⊥= 2n−1ogdimw^⊥= 2n−1.

To hyperplan fyller ikke utV og det må da finnes enz slik at06=ω(v, z)6=

ω(w, z)6= 0.

Dermed kan vi konstruereτ₁ og τ₂ slik at τ₁(v) =z og τ₂(z) =w.

Lemma 1.32.Laωvære en ikke-degenerert antisymmetrisk bilineær form på V og lav₁, w₁, v₂, w₂ være vektorer iV slik atω(v₁, w₁) = 1ogω(v₂, w₂) = 1.

Da fins det et produkt av på det meste 4 transveksjoner som sender v1 til v2

ogw1 tilw2.

Bevis. I følge lemma 1.31 fins det et produkt av transveksjoner σ = τ₂τ₁ som avbilder v1 til v2.

Såσ : (v1, w1)→(v2, σ(w1)). Settw3=σ(w1).

Da har vi1 =ω(v₁, w₁) =ω(v₂, w₂) =ω(v₂, w₃).

Hvisω(w2, w3)6= 0:

LaΨ∈T og sett Ψ(z) =z+λω(w3−w2, z)(w3−w2) medλ=ω(w2, w3).

Da får viΨ(w3) =w2 og Ψ(v2) =v2, fordi ω(w3−w2, v2) = 1−1 = 0.

Hvisω(w₂, w₃) = 0:

Da får vi1 =ω(v2, w3) =ω(v2, v2+w3)og 06=ω(w3, v2+w3)6=ω(w2, v2+ w₃)6= 0.

Så vi kan finne et produkt av 2 transveksjoner som avbilder paret (v2, w3) til (v2, v2 +w3) og deretter finne et nytt produkt av 2 transveksjoner som avbilder paret (v₂, v₂+w₃) til (v₂, w₂).

Bevis for Teorem 1.30. Anta at V har en symplektisk basis B={e₁, . . . , en, f1, . . . , fn}.

Laσ ∈Sp(V) og settσ(e_i) =e⁰_i ogσ(f_i) =f_i⁰.

I følge Lemma 1.32 kan vi finne et produktΨ∈T som avbilder paret(e₁, f₁) til (e⁰₁, f₁⁰).

Da erΨ⁻¹σ identitetsavbildningen i rommet W = Span{e₁, f1}ogΨ⁻¹σ in- duserer en lineær avbildning påW^⊥som er generert av{e₂, . . . , e_n, f₂, . . . , f_n}.

Så vi kan ved induksjon på dimensjonen tilV konkludere med atσ kan skri- ves som et produkt av transveksjoner.

Det betyr atσ∈T som girSp(V)⊂T. [5]

1.4 Underrom av symplektiske vektorrom

Så langt har vi nå sett en del av teorien bak symplektisk lineær algebra. Ved å bruke noe av dette skal vi nå vise at det er mulig å konstruere flere ulike underrom av et symplektisk vektorrom(V, ω).

Svært sentralt så langt i dette kapittelet er teorem 1.7 på side 7. I forbin- delse med teorien rundt symplektiske underrom er det nyttig å se på en mer generell versjon av dette teoremet. Da tar vi utgangspunkt i et vektorrom V som ikke nødvendigvis er symplektisk, utstyrt med en ω som fortsatt er antisymmetrisk, men mangler den ikke degenererte egenskapen.

Teorem 1.33. Hvis V er et p-dimensjonalt vektorrom over C med en anti- symmetrisk form ω , dimV^⊥ = k og W et underrom av V slik at V = V^⊥ ⊕W, så er W symplektisk, dvs p = k+ 2l, og vi har en basis B = {e₁, . . . , e_l, f₁. . . , f_l, u₁. . . , u_k} for V slik at

ωB=















0l Il 0 . . . 0

−I_l 0_l 0 . . . 0

0 0 0 0

... ... ... . .. ...

0 0 0 . . . 0















Bevis. LaV være et p-dimensjonalt vektorrom overCog laω være en anti- symmetrisk bilineær form.

AntaW et underrom avV slik atV =V^⊥⊕W. Påstår atω|_W er symplektisk.

Hvisw∈W, w6= 0, så er w /∈V^⊥ sidenV =V^⊥⊕W. Altså finnes det env∈V slik atω(v, w)6= 0.

SidenV =V^⊥⊕W finnes da env⁰ ∈V^⊥ og w⁰ ∈W slik atv=v⁰+w⁰. Men da er ω(v, w) =ω(v⁰+w⁰, w) =ω(w⁰, w) såω(v, w)6= 0. Altså er ω|_W symplektisk.

I følge teorem 1.7 blir dadimW = 2l.

Hvis{e₁, . . . , e_l, f1. . . , f_l} er en symplektisk basis for W og {u₁, . . . , u_k}en vilkårlig basis forV^⊥ så blir da{e₁, . . . , e_l, f₁. . . , f_l, u₁, . . . , u_k} en basis for V og ωB er på gitt form.

Et sentralt begrep innen teorien om generell lineær algebra er begrepet rang. Innen symplektisk teori definerer vi rangen tilω slik:

Definisjon 1.34. Rangentil en antisymmetrisk formω(som i teorem 1.33) defineres som dimensjonen til søylerommet til matrisenωB.

I følge teorem 1.33 må rangen tilω_Bda være et like tall. For et symplek- tisk vektorrom(V, ω)må da, i følge teorem 1.7 på side 7,ωB ha samme rang som dimensjonen tilV (som må være et like tall).

1.4.1 Underrommene W^⊥, radW og ^uW

Anta at V er et 2n dimensjonalt symplektisk vektorrom og W ⊂V et un- derrom av dimensjonk.

W^⊥ ⊂ V som vi bl.a. definerte i definisjon 1.4 på side 6 kalles det skjevt- ortogonale rommet tilW og dimensjonen tilW^⊥ må blidimW^⊥= dimV − dimW = 2n−k i følge lemma 1.5 på side 7.

Det er verdt å merke seg hvis vi sammenligner et symplektisk vektorrom med et standard euklidisk indreproduktsrom vil vi for et symplektisk vektorrom ha Span{e₁} ⊂ Span{e₁}^⊥ noe som ikke er tilfelle i et standard euklidisk indreproduktsrom.

Av rommene W ogW^⊥ kan det igjen konstrueres andre underrom.

Et av dem erradikalen til W,radW. radW defineres slik:

radW :=W ∩W^⊥

Det betyr at basisvektorene forradW er de basisvektorene forW som ikke er hyperbolske par iW.

I følge teorem 1.33 vil det være rankω|_W = 2l vektorer som er hyperbols- ke par i W. Det betyr det at dimensjonen til radW må bli dim radW = dimW −rankω|_W =k−2l.

Ut i fra dette kan vi konkludere med at siden vi kan haradW 6={0} betyr det at uttrykket V = W ⊕W^⊥ ikke nødvendigvis er sant for symplektiske

vektorrom.

Et annet rom som kan konstrueres av rommeneW ogW^⊥er^uW :=W+W^⊥. Dimensjonen til ^uW blir:

dim^uW = dimW + dimW^⊥−dim radW = 2n−(k−2l).

La oss se kort et eksempel på hvordan vi kan konstruere de nevnte un- derrommene ut i fra de forskjellige basisvektorene i en symplektisk basis B={e₁, . . . , en, f1, . . . , fn}konstruert som i teorem 1.7 på side 7.

Vi kan alltid velge en basis ut i fraB slik at {e₁, . . . , ek−l, f₁, . . . , f_l} er en basis for W.

Da vil{e_l+1, . . . , en, fk−l+1, . . . , fn}være en basis forW^⊥.

Nå ser vi at e_l+1, . . . , ek−l er basisvektorer i både basisen til W og W^⊥ så {e_l+1, . . . , e_k−l} blir derfor en basis forradW =W ∩W^⊥.

Plukker vi ut alle basisvektorene forW og W^⊥ så blir da {e₁, . . . , e_n, f₁, . . . , f_l, fk−l+1, . . . , f_n} en basis for^uW.

1.4.2 Isotropiske, Symplektiske, Koisotropiske og Lagrangs- ke underrom.

Andre kanskje enda mer sentrale enn de nevnte underrommene er isotropiske, symplektiske, koisotropiske og Lagrangske underrom.

Et symplektisk vektorrom inneholder alltid minst et underrom av hver av disse typene og det kan konstrueres mange av dem. De kan konstrueres ut i fra forskjellige kombinasjoner av en symplektisk basis som i definisjon 1.9 på side 10.

Isotropiske underrom

Definisjon 1.35. Et underrom Q ⊂ V med ω|_Q = 0 kalles et isotropisk underromav (V, ω).

Anta at V har en symplektisk basis B={e₁, . . . , e_n, f₁, . . . , f_n}.

I teorem 1.7 på side 7 så vi at hvis vi brukte den symplektiske formen på to basisvektorer var det kun hyperbolske par som ga oss en avbildning6= 0.

Det betyr at hvis vi tar et utvalg av basisvektorer for å konstruere Q vil enhver kombinasjon hvor vi unngår å bruke hyperbolske par gi ossω|_Q = 0.

Underrommet utspent av for eksempel {e₁, e2, e3} eller {e₁, f2, e3} (n ≥3) vil gi oss et isotropisk underrom avV mens{e₁, e₃, f₁} gjør det ikke.

Dette betyr også at hvis Q har dimensjon k og er et isotropisk underrom av et2n-dimensjonalt vektorrom V så må vi hak ≤n. En annen egenskap teorem 1.7 gir oss er at hvisQ er isotropisk er det ekvivalent medQ⊂Q^⊥. HvisQ er et vilkårlig isotropt underrom av dimensjon k, kan vi alltid finne en symplektisk basis slik at{e₁, . . . , e_k}er en basis for Q.

UnderrommetradW som vi definerte i avsnitt 1.4.1 er alltid isotropisk.

Koisotropiske underrom

Definisjon 1.36. Et underromW ⊂V medW^⊥ isotropisk kalles et koiso- tropisk underrom av(V, ω).

UnderrommetW av et8-dimensjonalt symplektisk vektorromV utspent av for eksempel vektorene{e₁, . . . , e4, f1}eller{e₁, e2, e4, f2, f3} vil gi oss et koisotropisk underrom avV.

Her får vi at hvis W har dimensjon k og er et koisotropisk underrom av et 2n-dimensjonalt vektorrom V så må vi hak≥n. Teorem 1.7 gir oss at hvis W er koisotropisk er det ekvivalent medW^⊥⊂W.

Hvis W er koisotropisk, kan vi alltid finne en symplektisk basis slik at {e₁, . . . , en, f1, . . . , fk}er en basis for W.

Underrommet^uW som vi definerte i avsnitt 1.4.1 er alltid koisotropisk.

Lagrangske underrom

Definisjon 1.37. Et underromL⊂V som er både isotropisk og koisotropisk kalles etLagrangsk underrom av (V, ω).

Lagranske underrom kalles også maksimalt isotropisk.

For eksempel er begge underrommene utspent av vektorene {e₁, . . . , en} og {f₁, . . . , f_n}Lagranske undderrom avV.

HvisLer Lagrangsk, kan vi alltid finne en symplektisk basis slik at{e₁, . . . , e_n} er en basis forL.

Siden et lagransk underrom L er både isotropisk og koisotropisk så er det ekvivalent med atL=L^⊥. HvisLhar dimensjonkogV er et2n-dimensjonalt vektorrom må vi hak=n.

Symplektiske underrom

Definisjon 1.38. Et underrom W ⊂V med ω|_W ikke degenerert kalles et symplektisk underrom av(V, ω).

Symplektiske underrom har vi hatt befatning med flere ganger. Første gang allerede i beviset for teorem 1.7.

For en symplektisk basisB vil for eksempel et underrom utspent av et eller flere av de hyperbolske parene{e_i, fi}være symplektisk.

For et symplektisk underrom W vil i følge teorem 1.33 rangen tilω|_W være 2l og dermed vil dimensjonen tilW også bli 2l.

1.4.3 Konstruksjon av symplektiske underrom. Symplektisk innhylling.

Hvis vi har et2n-dimensjonalt symplektisk vektorrom V kan vi alltid klare å konstruere et underromU¯ ⊂V som er symplektisk. Dimensjonen tilU¯ kan være hvilken som helst2l der1≤l≤n.

Teorem 1.39. LaV være et symplektisk vektorrom,U ⊂V et underrom med dimU =k og laW ⊂U være et annet underrom slik at U = radU ⊕W = radU⊥W. La videre{u₁, . . . , up} være en vilkårlig basis forradU.

Da erW symplektisk,dimW = 2l slik at k= 2l+p og det eksisterer vekto- rer{v₁, . . . , vp}slik at{e₁, . . . , el, u1, . . . , up, f1, . . . , fl, v1, . . . , vp}er en sym- plektisk basis for et symplektisk underromU¯ ⊃U.

dim ¯U = 2l+ 2p=k+p

Bevis. I følge teorem 1.33 erW symplektisk og dimW = 2l.

Lae_i,f_i ogu_i være som i teorem 1.33.

Vi har daW = Span{e₁, . . . , el, f1, . . . , fl}og vi må finne vektorenev1, . . . , vp ∈ V.

SettW₀ =W. I følge bevis for teorem 1.7 på side 7 eksisterer daW₀^⊥slik at V =W0⊕W₀^⊥.

Antau₁∈radU.

Sidenu₁ ∈radU må vi ha u₁ ∈W₀^⊥.

I følge bevis for teorem 1.7 kan vi da finne env1 ∈W₀^⊥ slik atω(u1, v1) = 1.

Det betyr atv1 ∈/ radU og v1 ∈/ W0.

Sett nåW₁ = Span{e₁, . . . , e_l, u₁, f₁, . . . , f_l, v₁}.

Gjenta prosedyren induktivt til vi har

W_p = Span{e₁, . . . , e_l, u₁, . . . , u_p, f₁, . . . , f_l, v₁. . . , v_p}.

Sett såU¯ =Wp og vi har ønsket resultat.

Definisjon 1.40. Vi kallerU¯ i teorem 1.39 for en symplektisk innhylling tilU.

Et underrom U av et symplektisk rom V kan altså alltid utvides til en symplektisk innhyllingU¯. Vi skal nå se at hvis det allerede fins en symplektisk lineær avbildningφfra vårU og inn i et annet symplektisk vektorromV⁰ så kan denne utvides til også å gjelde for den symplektiske innhyllingenU¯. Teorem 1.41. La U være et underrom av et symplektisk vektorrom V, U¯ en symplektisk innhylling til U, V⁰ et symplektisk vektorrom og φ:U →V⁰ en symplektisk injektiv lineær avbildning.

Da kan φutvides til en symplektisk lineær avbildning φ¯: ¯U →V⁰.

Bevis. La φ være en symplektisk injektiv lineær avbildning φ:U → V⁰ og anta atdim radU =p.

Sidenφer en symplektisk injektiv lineær avbildning kan vi sette e⁰_i =φ(ei), f_i⁰=φ(f_i) ogu⁰_i=φ(u_i) for e_i, f_i, u_i ∈U.

Vi definererV⁰ ⊃W⁰=φ(W)derW er definert som i teorem 1.39.

Da har viφ(U) = Span{u⁰₁, . . . , u⁰_i} ⊕W^0⊥.

I følge teorem 1.39 fins det basiselementerv_i⁰ ∈V⁰ slik at for

W_i⁰ = Span{e⁰₁, . . . , e⁰_l, u⁰₁, . . . , u⁰_i, f₁⁰, . . . , f_l⁰, v₁⁰ . . . , v_i⁰}, i= 1, . . . , pså har vi V⁰ =W_i⁰⊕W_i^0⊥.

Regelen φ(v¯ _i) =v⁰_i gir oss nå den ønskede utvidelsen av φ.