ROBUST CONVERGENCE OF MULTI POINT FLUX APPROXIMATION ON ROUGH GRIDS

$&%!'(#) *+ ,.-0/

1#232,*5406040/7,89-0: * ;',<;=8404>

?A@CBEDGFIHKJL@AMONQPR?CSQPTMUJEPV@CWYXZDQ[H5\L]^@A\_MGH`Wa[bDQc

d ]e]e?C@Ecf\_X d H^\g@AM@AMh?C@CDOSQijSQ?k\_lGF

monprqstuwvyxIz{tvInr|~}=p

∗

€

m‚vrƒ{pIv{m…„Qs;pI†Iqr}=m

†

‡‰ˆŠ‹3Œ3Ž‹‘

†‚’”“–•—&˜—™š™•›˜œ”–“–•’”™•+›’~™=žŸ. ‘¡_™š¢.™ ”ž™IŸ£”˜o¤¦¥”›“.—Ÿ.“– ‘›¨§&¥~©ª˜—”—~šŸ(©~“–¤‰˜3›“–Ÿ. ªž(Ÿ. _›šŸ._¡_Ÿ.–¥”¤a™«¤a™›’”Ÿ‘¬

Ÿ. ‰šŸ.¥~¢.’®­‘¥&˜¬”š“–˜3›™(š˜¢.š“–¬”•,x«¯=°±šŸ.¥”¢.’®¢.š“–¬”•=²o™š™0£#™(š³›Ÿ¦˜´£µ˜¤a“–°bŸ£š™¶” ”™¬R­‘¥&˜¬”š“–˜3›™š˜+¢.š“–¬”•²I’”™š™

›’”™ž™––•˜š™r ~Ÿ›š™(­‘¥”“–š™¬‰›Ÿb˜—”—”šŸ_˜ž’‰—&˜š˜––™(–Ÿ.¢.š˜¤a•“– ¦›’”™˜•°g¤a—~›Ÿ›“–žI–“–¤a“›,x+s ±žŸ. ‘›š˜•›o›Ÿb—~š™0¡g“–Ÿ.¥”•

žŸ. ‘¡_™š¢.™ ”ž™Tš™(•¥”›•y£#Ÿ.šª›’”™•™‰¤a™0›’”Ÿg¬~•b²o™‰žŸ. ”•“–¬”™šy’”™š™®˜R¡_™š•“–Ÿ. ·²I’”™š™a›’”™a§&¥~©·˜—”—”šŸ,©g“–¤‰˜3›“–Ÿ. L“–•

¬”™š“¡_™(¬·¬”“–š™ž0›°·“– 5›’~™®—~’‘°g•“–ž(˜•—&˜ž™_¸«˜ ~¬· ”Ÿ›yŸ. L˜Tš™0£µ™š™ ”ž™Rž™–x®vr•b˜TžŸ. ”•™­‘¥”™ ”ž™.¸=–™••ªš™¢.¥”˜š

¢.š“–¬”•r˜š™b˜––Ÿ,²o™¬+x³qIŸ,²o™0¡_™š(¸&›’”™´™0©‘›š˜±žŸ.•›“–•‚›’&˜3›I›’~™´•°g¤a¤a™›š;°‰Ÿ£›’”™ª¤a™0›’”Ÿg¬®“–•‚–Ÿ.•›(x

¹=º

\‘»¼‘½&¾‚¿rÀÁ¼gþ=»

ºTıÅ!ÆTÇ^È«ÉÊ3Ëo̳ͨË#Î+ʦϫÈÐkÑÂÌ!Ì!Ò3͔Ð˵ÇAÑ&Ê3Ë#ͨÎÔÓÕGÖb×ØT٦˵ڱÑEÛ_ÍÂÎ+Ê3Ò,ͨɳܨÍÂÉ#Ý

È!ÇLÆeÇLÆ_Ê3Å!ÍÞkÞÆgÜÂÆgÉ#̳ͨÆ~ÞfßàAÊ3Å!ÆeÍÂ˵ÉoË#γÞÈ«Ú(Ê,Ò3àfÑÂڱѷÒ,ÆgÉ#ËÑß«É#ÆáÞËÚ,ۑÒ,ƑÊ,˵âgÑ&Ê3Ë#ͨÎkÍÂãIÊ3Å!ÆáÌ!Ò,Æ~Ú,Ú,È!Ò3Æ

Ægä+È«ÑÊ,˵ÍÂ΂å{ÞÆgÒ,˵ÜÂÆ~ÞUã;Ò3ÍÂÇçæTÑҏÛ_àèÚ5ɵєéeårÍÂÎëêÂÆgÎ!ƑҏÑÉbÒ,ͨÈ!êÂÅìä+È«ÑÂÞ!Ò,˵ɵÑÊ,ÆgÒ3ÑÂɪÑΫÞëÅ!ƑÐ!ÑÅ!Æ~ÞÒ3ÑÂÉ

êÂÒ3ËÞ!ڑíRî0ÎÔÒ3ÆgÚ,ƑÒ3ÜÂÍÂ˵҉Ú,Ë#ÇEÈ!ɵÑÊ,˵ÍÂÎGÊ3Å!Æ^ê¨Æ‘ͨÉ#ͨêÂàfÍÂã´Ê,Å!Æ·Ò3ÆgÚ,ƑÒ3ÜÂÍÂ˵Ò~å!éaÅ!ËۏÅÔË#γÛ_ɵȫÞÆgÚ®ãÑÈ«ÉʏÚRÑÂΫÞ

Î!ͨÎfÌ«ÑÂÒ3ÑÂÉ#ɵƑÉ=ɵєà¨Æ‘ҏڪ˵ÎfÊ3Å!ÆáÇLÆgÞËÑ!åËÚ¦ÑEÇAÑ&ïͨҦۏūÑÂÉ#ɵƑΫêÂÆÂí{ıÅ!ÆeÕGÖb×ØwÇLÆ_Ê3Å!ÍÞfÌ«Ò,Í&ÜËÞÆgÚyÑ

ɵÍÛgÑÉÆ_ÐÌ!ɵËÛ_Ë#ÊyÏ«È!ÐCéaËÊ3ÅkÒ3ÆgÚ,̳Æ~Û.ʦÊ,ÍEÊ,Å!ÆTÌ!Ò3ÆgÚ3Ú(È«Ò,ƨírıÅ!Ëڦ˵ÚyÊ3Å!ÆáÇLÑÂË#ÎQÑÂÞÜ&ÑÂΨʏÑê¨Æ®Û_ͨǷ̳ÑÒ3ÆgÞ

Ê,ÍðÊ,Å«ÆQÇLË#ÐÆgÞìñ³Î!ËÊ3ÆOƑɵƑÇLƑÎ+ÊLǷƑÊ,Å!ÍÞoå¦ÑΫÞòÑɵÉ#Í&é‰Ú·Ñðéa˵ÞÆgҷۑɵѨÚ,Ú·ÍÂãRÑÌ!Ì«É#ËۑÑÊ,˵ÍÂΫÚgíó×!ͨÒ

Æ_Ð!ÑÂÇ·Ì«É#ƨå«éaÅ!ÆgÎOÊ,Å!ÆEÌ!Ò,Æ~Ú,Ú,È!Ò3ÆeÆgä+È«ÑÊ,˵ÍÂÎOÍۑÛ_È«Ò3ډѨڮÑAÚ,È!ß«Ú,àÚÊ3ƑÇ`ÍãªÑAÇ^È«ÉÊ3ËIÌ!ūѨÚ(Æ^Ç·ÍÞÆgÉå

ÑGã;È«É#ɵàëË#ÇLÌ!ɵ˵ۑËÊAÞËÚ,ۑÒ,ƑÊ,˵âgÑÊ,˵ÍÂÎìÍã®Ê,Å!ÆQÚ(àÚ(Ê,ƑÇçß=ÆgۑÍÂÇLÆgÚE̳Í+Ú,Ú,˵ß!É#ÆkéaËÊ3ÅôÑÂÛgÛ_ÆgÌÊ3ÑÂß!É#ÆQÛ_Í+ÚÊ~í

ıÅ!ÆgÒ,Æk˵ÚEßàõΫÍ&éöÑÔÎÈ!Ç^ß=ƑҷÍãRÌ«ÑÌ=ƑҏÚ5ͨÎìÊ,Å!ÆOÕGÖb×ØKÑÂÌ!Ì!Ò3ͨÑÂۏÅIårÛ_ãíðã;ͨÒEƑÐ!ÑÇLÌ!ɵÆCÊ,Å«Æ

Í&ÜÂÆgÒ,Ü˵Ƒé…Ì«ÑÂ̳ÆgÒ3Úá÷µøÂåIøgùåoø”úå‚øgû&üí

ý

ÍòãÑÒOÊ3Å!ÆõÊ,Å!ÆgÍÂÒ3Æ_Ê,ËۑÑÂÉeÛ_ÍÂÎܨƑÒ3êÂƑγÛ_ÆÔÌ!Ò3ÍÂÌ=ƑÒ,Ê,˵ÆgÚQÍÂãEÕGÖb×ØçÇLÆ_Ê3Å!ÍÞ!ÚGÑÒ3ÆõÎ!ÍÊOéyÆgÉ#É

ƑΫÍÂÈ!ê¨ÅìÈ!ΫÞÆgÒ3Ú(Ê,ÍÍÞoíÔî0Îþ÷µø”ÿ~ü¦é¦ÆkÑÂΫÑɵàâ‘ÆCÑÎòÕGÖb×ØöÇLƑÊ,Å!ÍÞóéaū˵ۏÅìËÚEÞ!ƑÒ3Ë#ܨÆgÞõã;Ò3ÍÂÇçÑ

ÇAÑÌ!Ì«Ë#Î!êQÍÂÎ+Ê3ÍkÑÎðÍÂÒ,Ê,Å!ͨêÂͨΫÑÉÒ,Ƒã;ƑÒ3ƑΫۑÆEÛ_ÆgÉ#Éí5ıÅ!ÆAÑγÑɵàÚ,ËډËÚRß³ÑÂÚ,ÆgÞÔͨÎðÑÂÎUÆgä+È!˵Ü&ÑɵƑΫۑÆ

Ê,Í·Ñ^ÇLË#ÐÆgÞLñ«Î«ËÊ3ÆRÆgÉ#ÆgÇ·ÆgÎ+ʦÇLÆ_Ê3Å!ÍÞCéaË#Ê,ÅQÑ5ß!Ò3ͨƑΉєÜËÑÒ,Ê(Ý0ıÅ!ÍÂÇAÑÂÚbÚ(̫ѨÛ_ÆTÑΫÞCÑEÚ(Ì=ÆgۑËñ=Û

ä+È«ÑÂÞ!Ò3ÑÊ,È!Ò3Æ^Ò3È!ɵÆÂí®Í&éyÆgÜÂƑÒ~å³Ê,Å!ÆAÑγÑɵàÚ,ËÚ®Ò3Ægä+È!˵Ò,Æ~ÚRÚ,ÍOۑÑɵɵÆgÞ

h ²

êÂÒ3˵ޫڑåËíƨí5Ê,Å«Æ Û_ÆgÉ#ÉÚ^ÑÂÒ,ÆAÒ3Ægä+È!˵Ò3ÆgÞðÊ,ÍUÑÂÌ!Ì!Ò3ͨѨۏÅðÌ«ÑÂÒ3ÑÂÉ#ɵƑɵÍÂê¨Ò3ÑÂÇAÚRѨÚeÊ,Å«ÆCêÂÒ3˵ÞõËÚ5Ò3Æ_ñ«Î«ÆgÞoíG؉ÎóÑÂÉÊ3ƑÒ3ΫÑ&Ê3Ë#ܨÆ

ÑγÑɵàÚ,ËÚ´ÍãoÆgÚ3Ú,ƑÎ+Ê,ËÑɵÉ#à^Ê,Å!ÆTÚ,ÑÂÇLƉÇLÆ_Ê,Å«Íނå¨éaË#Ê,ÅAÊ3Å!ÆRÚ3ÑÇLƉê¨Ò,ËÞ·Ò,Æ~ÚÊ3Ò,ËÛ.Ê3Ë#ͨ΂åÂËÚbÞ!ÍÂÎ!Ɖ˵ÎÔ÷µø”ü

È«Ú,Ë#ΫêQÑfÒ,ÆgɵÑÊ,˵ÍÂÎGÊ3ÍfÊ3Å!ÆLÉ#Í&é¦ÆgÚ(Ê®ÍÂҏÞÆgÒ¦Ò3Ƒâ‘âgËÝ0æRÍÂÈ!ê¨ÉµÑ¨ÚÝ0ÕÔÑÒ3˵Î!˂ƑɵƑÇLÆgΨÊá˵ΫÚÊ3ÆgѨÞoíeî0ÎÔãѨÛ.Êgå

Ë#Ê5˵Ú5Ú,Å!Í&éaÎðÎ+È«Ç·ÆgÒ,ËۑÑÂÉ#ɵàÔ˵Π÷&übÊ,Å«ÑÊ0Ê3Å!ÆAÒ,Ƒã;ƑÒ3ƑΫۑƷÚ,̫ѨÛ_ÆAÕGÖb×Ø ÇLƑÊ,Å!ÍÞAÞË#ܨƑÒ3êÂÆ~ÚRͨÎ

˵Ò,Ò3Ƒê¨È!ɵÑÂÒyê¨Ò,ËÞ!Úgí

ıÅ!ÆyɵѨۮÍã!ê¨Ò,ËÞáÒ3ÍÂß!È«Ú(Ê,ΫÆgÚ3Úã;ÍÂÒIÊ,Å!ÆyÒ,Ƒã;ƑÒ3ƑΫۑƪÚ(̫ѨÛ_ÆbÕÔÖb×ØòۑÍÂÒ3Ò,Æ~Ú(Ì=ÍÂγÞ!Ú=Ê,ÍTÑÎ5ÑγÑɵÍÂê

Ì!Ò3ÍÂÌ=ƑÒ,ÊàTã;ÍÂÒÊ,Å!ÆaÚ(Ê3ÑγÞ!ÑҏÞeÇLËÐÆ~Þeñ«Î!Ë#Ê,ƱÆgÉ#ÆgÇ·ÆgÎ+ÊrÇLÆ_Ê3Å!ÍÞoåéaÅ!ÆgÎ5Ê3Å!Æbñ³Î!ËÊ3ƱƑɵƑÇLƑÎ+Ê´Ú(̫ѨÛ_Æ~Ú

ÑÒ3ÆEÞ!ƑÒ3Ë#ܨÆgÞQã;Ò3ÍÂÇ ÑCß!˵ɵË#Î!Æ~ÑÒTÇAÑÌ!Ì!˵Î!êkÍãyÑfÈ!Î!Ë#ÊáÚ3ä+È«ÑÒ3ÆÂíTî0ÎUÑfÚ,ƑÒ3˵ÆgÚRÍãªÌ«ÑÂ̳ÆgÒ3ÚE÷û«åoÿåüå

؉Ò3Î!ͨɵÞoå yÍ!Gå‚ÑΫÞõ׫ÑÂÉ"UÞ!˵Ú3Û_È«Ú3ÚRÊ,Å!ËÚ5ÑÂΫÞUÚ,Å!Í&é Þ!Ë#ܨƑÒ3êÂƑγÛ_Æ^˵ÎðÊ,Å!ÆCÚ(Ê3ÑÂΫÞ!ÑҏÞÔΫÍÂÒ3ÇLÚRã;ͨÒ

ƑɵƑÇLÆgΨʏڪɵË"¨ÆaÊ,ūƉєÜËÑÒ,Ê$#ıūÍÂÇAÑÂÚ´ÑÂΫ޷Ê,Å!ƦÒ,Ægâ‘â‘Ë%#æRÍÂÈ«êÂÉÑÂÚ$#ÕÔÑÂÒ,˵Î!ËƑɵƑÇLƑÎ+ʏڪÍÂÎAÒ3ÍÂÈ«êÂÅ

êÂÒ3ËÞ!ڑí…ıÅ!ÆOÆ~Ú,Ú,ƑÎ+Ê,ËÑɉÛgÑÈ«Ú,ÆQÍãTÊ,Å!ÆGÌ!Ò3ÍÂß«É#ÆgÇ ËµÚ·Ê3Å!ÆOãÑÂÛ_ÊAÊ,Å«ÑÊ&¨Ñ¨Û_ÍÂ߫˵ÑÂÎôÇAÑ&Ê3Ò,Ë#ÐôÍãTÊ,Å«Æ

ß!˵É#˵Î!Æ~ÑÒªÇAÑÌAËڪͨÎ!ɵàEÛ_ͨΫÚ(Ê3ÑÎ+ʪéaÅ!ÆgÎLÊ,Å!ÆRêÂÒ3˵ÞLۑƑɵɵڪÑÂÒ,Æa̳ÑҏÑɵÉ#ÆgÉ#ͨêÂҏÑÇAڑíÄIÍeÍ&ܨƑҏÛ_ÍÂÇLƦÊ,Å«Æ

ÞƑã;ÆgÛ.Ê~å!ÑΫÞCÊ,ÍLÍÂß!Ê3Ñ˵ÎfÇLË#ÐÆgÞCÇLƑÊ,Å!ÍÞ!Ú±éaÅ!ËۏÅkۑÍÂÎÜÂÆgÒ,ê¨Æ‰ÍÂÎkÒ,ͨÈ!êÂÅkêÂÒ3˵ޫڑå¨Ê,Å!ÆgàCÌ!Ò3ÍÂÌ=ͨÚ,ƉÊ3Í

ÇLÍÞËã;àfÊ,Å!Æáñ³Î!ËÊ3ÆeƑɵƑÇLƑÎ+Ê®Ú,Ì«ÑÂۑÆgÚgí

±ÑÂÚ,ÆgÞõÍÂÎìÎÈ!ÇLÆgÒ,ËۑÑÂɪÆ_ÐÌ=ƑÒ3Ë#ÇLƑÎ+ʏÚ5Ë#ÊEËÚ^Ú,Å!Í&éaÎëË#΅÷ù!å «åbø&üåÊ3Å«Ñ&Ê·ÑÔÛ_ͨÒ,Ò3ÆgÚ,̳ͨΫÞ˵Î!ê

êÂÒ3ËÞAÒ,ͨß!È«Ú(Ê,Î!Æ~Ú,Ú¦ÍÂã‚Ê,Å!ÆáÕGÖb×ØwÇLÆ_Ê3Å!ÍÞfËÚ¦ÍÂßʏÑ˵Î!ÆgÞfËãÊ,Å!ÆRÏ«ÈÐQÑÌ!Ì!Ò3͔ÐË#ÇAÑÊ,˵ÍÂÎAËÚ¦Þ!ƑÒ3Ë#ܨÆgÞ

Þ˵Ò,Æ~Û.Ê3É#àÔ˵ÎðÊ,Å!ÆAÌ!ÅàÚ,˵ÛgÑÉÚRÚ,Ì«ÑÂۑÆÂíLıÅ!ÆLÌ!È!Ò3̳Í+Ú(Æ·ÍãyÊ,Å!ÆAÌ«Ò,Æ~Ú(ÆgΨÊáÌ«ÑÂ̳ÆgÒe˵ÚTÊ3ÍQê¨Ë#ܨƷÑkÊ3Å!ƑÍÂÝ

Ò3Æ_Ê,ËۑÑÂÉïÈ«Ú(Ê,Ë#ñ³Û‘ÑÊ,˵ÍÂÎQã;ÍÂÒ±Ê3Å!˵ډÆ_Ð̳ÆgÒ,˵ÇLƑÎ+Ê3ÑÂÉoãÑÂÛ_Êgí('õÆ5éa˵É#ɂ˵ΫÞÆgÆgÞOÚ,Å!Í&éþÊ3Å«Ñ&ÊaÊ3Å!ÆeÌ!ÅàÚ(ËۑÑÂÉ

∗

⁾ ™ _›š™IŸ£*e˜3›’”™¤‰˜3›“–ž(•!£#Ÿ.š«v—”—”–“–ž(˜3›“–Ÿ. ”•,¸‘nI ”“¡_™š•“›°¦Ÿ£+r•–Ÿ”¸_˜ ”¬

)

™ ‘›š™I£#Ÿ.š!s ‘›™¢.š˜3›™¬,™0›šŸ.–™¥”¤

m‚™(•™(˜šž’¨¸&n ~“¡_™(š•“›°±Ÿ£!¯™š¢.™ +x-,x+yx~¯Ÿ(©/.1023b¯–“– ”¬”™š ¨¸4035.167+r•–Ÿ83~¸~pŸ.š;²‚˜(°/9#š¥” ”’”“––¬4:5;r“¶x¥”“–Ÿ”x ~Ÿ=<0x

†

)

™ _›š™áŸ£>*e˜3›’”™¤‰˜3›“–ž•±£µŸ.šyvr—”—”–“–ž(˜3›“–Ÿ. ”•‰˜ ”¬fur™—&˜š;›™¤a™ _›‰Ÿ£{s ~£#Ÿ.š¤‰˜3›“–ž•,¸n ”“¡_™š•“›°CŸ£?+r•–Ÿ”x

,x+yx&¯Ÿ,©@.1023±¯–“– ~¬”™š +¸A035.16B+r•–ŸC3~¸”pŸ.š;²‚˜(°9#š²I“– _›’”™šD;rž¤‰˜~x¥”“–Ÿ”x ”Ÿ=<x

ÑγÑɵà+âgÆgÞ·Å!ÆgÒ,ÆaūѨÚ{Ê,ūƉÌ!Ò3ÍÂÌ=ƑÒ,ÊàeÊ,Å«ÑÊbË#Êb˵ÚbÉ#ÍÛgÑɵÉ#àEÆ_Ð!ÑÂÛ_ʪÍÂÎLÈ!Î!Ë#ã;ÍÂÒ3ÇYϳÍ&éeåÂÑeÌ!Ò3ÍÂÌ=ƑÒ,Êà5Î!ÍÂÊ

Ú,Å«ÑÒ3ÆgÞOßàQÊ,Å!Æ·ÇLÆ_Ê3Å!ÍÞUÚ(Ê,È«Þ˵ÆgÞÔË#Îò÷#ø&ÿgüí/‰Í&é¦Æ‘ܨƑÒ~å!Ê3Å!ÆEÌ«Ò,˵â‘ÆeÊ3Ík̳єàfã;ͨҮÊ3Å!˵ÚRÒ3ÍÂß!È«Ú(Ê,ΫÆgÚ3Ú

ËÚAÑðΫÍÂÎ Ú(àÇLÇLÆ_Ê,Ò3ËÛQۑÍÆ!CÛ_˵ƑÎ+ÊCÍÂÌ=ƑҏÑ&Ê3ÍÂÒ~åbÑγÞòѨÚAÑõۑÍÂΫÚ,Ægä+È!ÆgΫÛ_ƨåbÑõéyÆ~ѨƑÒ~åªß!ÈÊCÎ!ͨÎ

ÑÂÚ,àÇLÌÊ,ÍÂÊ,ËÛTÚ,Å«ÑÂ̳ÆeÛ_ͨΫÞË#Ê,˵ÍÂÎOËÚ±Ò,Æ~ä¨È«Ë#Ò3ÆgÞfÊ,ÍLÍÂß!Ê3Ñ˵ÎOÚʏÑß!˵É#Ë#ÊàfÍÂãIÊ3Å!ÆeÇLÆ_Ê,Å«Íނí

î0΅Ê3Å!˵ÚfÌ«ÑÌ=ƑÒfÊ,Å!ÆõÑΫÑÂÉ#àÚ,˵ÚC˵ÚfÒ,Æ~ÚÊ3Ò,ËÛ.Ê3ÆgÞ Ê,ÍóÊéyÍôÚ,̫ѨÛ_ÆUÞ˵ÇLƑΫÚ,˵ÍÂΫÚgí‚Æ‘Ê

Ω

^ß³ÆðÑ

ß=ÍÂÈ!ΫÞ!ÆgÞQÞÍÂÇAÑ˵Îf˵Î

R ²

åéaËÊ3ÅkÌ=ÍÂɵàêÂÍÂγÑÉ=߳ͨÈ!ΫÞ!ÑÂÒ,à

∂Ω

íªÄ±Å!ÆRÌ«Ò,ͨß!É#ÆgÇöÞËÚ,ۑȫÚ,Ú,ÆgÞfË#ÎkÊ,Å«ËµÚ Ì«ÑÂ̳ÆgÒa˵ڱÊ3Å!ÆeƑɵɵË#ÌÊ3˵ÛáÆ~ä+È«Ñ&Ê3Ë#ͨ΂å

−

^ÞË#Ü

(K(x)

^{êÂҏÑÂÞ}

p) = g

^Ë#Î

Ω,

^{Óø¨í#ø”Ù}

p(x) = 0

^ͨÎ

∂Ω.

ıÅ!Ëڦ˵ÚyÊ,Í·ß=ÆRÜ˵Ƒé¦ÆgÞfѨÚyÑEÌ!Ò3ÍÊ3ÍÊà̳Ʈã;ÍÂÒyÊ,Å!ÆáÌ!Ò3ÆgÚ3Ú,È!Ò,Æ®Ægä+È«Ñ&Ê3Ë#ͨÎf˵ÎfÌ=ÍÂÒ3ÍÂÈ«ÚyÇLÆgÞ˵È!Ç Ï³Í&éeå

éaÅ!ÆgÒ,Æ

K

Ê3Å!ÆfÌ=ƑÒ3ÇLÆgÑÂß!Ë#ɵË#ÊàÂå´ÑΫÞ

u = −K grad p

Ê,Å«ÆfæRÑÂÒ3ۑàðܨƑɵÍÛ_Ë#ÊàÂíGıÅ!ÆCß=ÍÂÈ!γÞ!ÑÒ3à Û_ͨΫÞË#Ê,˵ÍÂÎQ˵ڮۏÅ!ͨÚ,ƑÎfã;ÍÂ҉Ú,Ë#ÇLÌ!ɵ˵ۑËÊàkÍã{Æ_ÐÌ=ͨÚ,ËÊ3Ë#ͨ΂í

Ø®Úb˵ÚbÇLÍÂÒ3ÆaÍÂҪɵÆgÚ3ÚbÚ(Ê3ÑÂΫÞ!ÑҏÞ^ã;ÍÂÒyۑÍÂÎ+Ê,Ò3ÍÂÉܨÍÂɵÈ!ÇLƉÇLÆ_Ê3Å!ÍÞ!ڑåÛ.ãírã;ͨҪÆ_Ð!ÑÇLÌ!ɵÆ5÷–úå«å«ø¨ø.üå

Ê,Å«ÆkÑγÑɵàÚ,ËÚeß³ÆgÉ#Í&éVéa˵É#Éyß³ÆQÞÍÂΫÆCßàðËÞƑÎ+Ê3Ëã;à˵Î!êUÑÎìÆ~ä+È!Ë#Ü&ÑÂÉ#ÆgΫÛ_ÆCß=Æ_Êé¦Æ‘ÆgÎëÊ,Å!ÆkÌ!ÅàÚ(ËۑÑÂÉ

Ú,Ì«ÑÂۑÆUÕGÖb×Ø ÇLÆ_Ê,Å«ÍÞ ÑΫÞþÑóÌ!Ò,̳ͨÆgÒfÇLË#ÐÆ~Þ ñ«Î!Ë#Ê,ÆðƑɵƑÇLƑÎ+ÊQǷƑÊ,Å!ÍÞoå®È«Ú(˵Î!ê ÑóÚ(Ì=ÆgۑËñ=Û

ÎÈ!ÇLƑÒ3˵ÛgÑɱ˵ΨÊ3Ƒê¨Ò3ÑÊ,˵ÍÂÎóÒ3È!ɵÆOÑÂΫÞóß«Ò,ÍÂƑΠ‰Ñ”Ü˵ÑÂÒ(Ê1#ıÅ!ͨÇAÑÂÚ^Ú,̫ѨÛ_ÆÂíòî0ÎôãѨÛ.Ê~åªÊ,Å«ÆQÌ«Ò,̳ͨÆgÒ

ÇLËÐÆ~Þáñ«Î!Ë#Ê,ÆyƑɵƑÇLƑÎ+ÊÇLƑÊ,Å!ÍÞ^ÑÂΫÞTÊ,Å«ÆyÎÈ!ÇLƑÒ3ËۑÑÉ+ä+È«ÑÂÞҏÑ&Ê3È!Ò3Æ´Ò,È!ɵÆbÑÂÒ,ÆbÞ!ƑÒ3Ë#ܨÆgÞá˵Î

ý

ÆgÛ_Ê,˵ÍÂΫÚ

ÑΫ޷ù!å&˵ΫÞÆg̳ÆgΫÞƑÎ+Ê3É#à5ÍÂã=ÑÂÎ+àeÒ3ƑÉÑ&Ê3Ë#ͨÎeÊ,ÍeÑÂÎEÕGÖb×Ø ÇLÆ_Ê3Å!ÍÞoí´Ä±Å!ƦÇLÑÂË#ηƑÒ3Ò3ÍÂÒIÆ~ÚÊ3Ë#ÇAÑÊ,ÆgÚ

ã;ÍÂÒbÊ,Å!ËÚªÇLË#ÐÆgÞAÇLÆ_Ê3Å!ÍÞCÑÒ3ÆaÆgÚ(Ê3ÑÂß!ɵ˵Ú,Å!ÆgÞL˵Î

ý

Æ~Û.Ê3Ë#ͨΠ«írî0Î

ý

ÆgÛ_Ê,˵ÍÂÎfúáé¦Æ‰Ì!Ò3ÆgÚ,ƑÎ+ÊbÎÈ!ÇLÆgÒ,ËۑÑÂÉ

Ò3ÆgÚ,È!ÉʏÚLéaÅ!ËۏŠÚ,Å!Í&é‰Ú·Ê3Å!ÆÔÑÂÞÜ&ÑÂΨʏÑê¨ÆQÍÂãRÊ3Å!ÆGÇLÆ_Ê3Å!ÍÞ Þ!˵Ú3Û_È«Ú3Ú,ÆgÞ Å!ƑÒ3ÆGÛ_ͨǷ̳ÑÒ3ÆgÞôÊ,ÍëÊ,Å«Æ

Ò3Æ_ã;ƑÒ3ƑγÛ_ÆAÚ(̳ÑÂÛ_ÆAÞÆgÒ,˵ÜÂÆ~ÞõǷƑÊ,Å!ÍÞëÑγÑɵà+âgÆgÞðË#΅÷µø”ÿ~üífıūƑ΂åñ«Î«ÑÂÉ#ɵàU˵ÎìÑÎì؉Ì!Ì=ƑγÞËÐëÍÂÈ«Ò

ÇLËÐÆ~ÞQñ«Î!Ë#Ê,Æ5ÆgÉ#ÆgÇ·ÆgÎ+Ê®ÇLÆ_Ê,Å«ÍÞOËÚ®Ú,Å!Í&éaÎQÊ,Ífß³Æ5Æ~ä+È!Ë#Ü&ÑÂÉ#ÆgΨÊaÊ3ÍAÊ,Å«Æ5Ì!ÅàÚ(ËۑÑÂÉIÚ(̳ÑÂÛ_Æ5Þ!ƑÒ3Ë#ܨÆgÞ

ÕGÖb×Ø ÇLƑÊ,Å!ÍÞQÌ!Ò3ÍÂÌ=ͨÚ,ÆgÞkÍÂÒ3Ë#ê¨Ë#ΫÑÂÉ#ɵàA˵Îõ÷ üí

‚º ]á½Ã óû½&à º‚Æ‘Ê

L 2 (E)

ÞÆgÎ!ÍÊ3ÆQÊ,Å!ÆÔÚ3ä+È«ÑÒ3ÆIƑß=ÆgÚ,êÂÈ!ƑÝ˵Î+Ê,ÆgêÂҏÑß!ɵÆfã;ȫΫÛ.Ê3Ë#ͨΠÍÂÎÔÊ,Å!ÆLÞÍÂÇAÑÂË#Î

E ⊂ R ²

éaËÊ3ÅU˵Î!Î!ƑÒ,ÝÌ!Ò,ÍÞȳÛ.Ê

(· , ·) E

ÑγÞGÎ!ÍÂÒ3Ç

k · k E = (· , ·) ^1/2 _E

^íTîã

E

Ægä+È«ÑÂɵډÊ,Å!ÆLÞͨÇLÑÂË#Î

Ω

ÍãEÓ(øÂíµø~Ùa˵Î+Ê,Ò3ÍÞÈ«Û_Æ~ÞÔÑß=Í&ÜÂÆ5Ê,Å!Æ·Ú(È!ß³Ú,ۑÒ,˵ÌÊRéa˵ɵÉß=Æ·Þ!Ò,ͨÌ!̳Æ~ÞoíRخɵÚ,Í«å ɵÆ_Ê

H ¹ (E)

ÞÆgÎ!ÍÊ3ÆEÊ3Å!Æ

ý

ͨ߳ͨÉ#ÆgÜUÚ(̳ÑÂÛ_ÆLÍÂãbñ«ÒÚÊeͨÒ3ÞÆgÒeÞËƑÒ3ƑÎ+Ê3˵ÑÂß!É#Æ·ã;È!γÛ.Ê,˵ÍÂγÚeË#Î

L 2 (E)

^å

éaË#Ê,ÅOÎ!ÍÂÒ3Ç

kqk 1,E = (kqk ² _E + |q| ² 1 ,E ) ^1/2 ,

ÑγÞféaË#Ê,ÅQÊ,Å«Æ5ÑÂÚ3Ú(ÍÛ_ËÑ&Ê3ÆgÞQÚ(ÆgÇLË#Î!ͨÒ,Ç

|q| 1 ,E = k grad qk E .

ıÅ!Æ5Ú,Ì«ÑÂۑÆ

H (div; E) = {v ∈ (L 2 (E)) ² : div v ∈ L 2 (E)},

ËÚ±Ægä+È!˵Ì!̳Æ~ÞOéaËÊ3ÅQÊ,Å!ÆeÎ!ͨÒ,Ç

kvk div,E = (kvk ² _E + k div(v)k ² _E ) ^{1 / 2} .

؉ÉÚ,Í«åɵÆ_Ê

P k

ß³ÆaÊ3Å!ƉÚ,Æ_Ê´Íã̳ͨÉ#àÎ!ͨÇL˵ÑÂɵÚ{ÍÂã=ÞÆgêÂÒ3ƑÆ

k

í{ıÅ!Æa̳ÆgÒ,ÇLÆ~Ñß!˵É#Ë#Êà

K

ËÚ´ÑTÚ,àÇLǷƑÊ,Ò3ËµÛ Ê,ÆgΫÚ,ÍÂÒeéaÅ!ËۏÅë˵ÚeÈ«Î!Ëã;ͨÒ,ÇLɵàUÌ=ͨÚ,ËÊ3Ë#ܨÆCÞÆ_ñ³Î!ËÊ3ÆC˵Î

Ω

íkî0ÎõãÑÂÛ.Ê~åË#Ê^ËÚ5ÑÎë˵ÇL̳ͨÒ(ʏÑÎ+Êáã;ÆgÑ&Ê3È!Ò3Æ Íã±Ò3ÆgÚ,ƑÒ3ÜÂÍÂ˵ÒáÚ(˵Ç^È!ÉÑ&Ê3Ë#ͨÎUÊ3Å«Ñ&Ê

K

ËÚ5ÑÂÉ#ɵÍ&éyÆ~ÞGÊ3ÍGß³ÆfÞ!˵Ú3Û_ͨΨÊ3Ë#ÎÈ!ͨȫÚgåIÑΫÞõß=ÍÊ3ÅðÊ3Å!ÆCÕGÖb×Ø ÇLÆ_Ê3Å!ÍÞìÑΫÞõÊ3Å!ÆCÇLËÐÆ~Þõñ«Î!Ë#Ê,ÆCÆgÉ#ÆgÇ·ÆgÎ+Ê^ÇLÆ_Ê,Å«ÍÞìѨÞ!ÑÌ!Ê5Ê,ÍOÊ3Å!˵ÚEۑѨÚ(Æ¨í ®Í&éyÆgÜÂƑÒ~åoã;ͨÒ5Ê,Å«Æ

Û_ͨÎÜÂƑÒ3êÂÆgΫÛ_ÆQÑΫÑÂÉ#àÚ,˵ڷÌ!Ò3ÆgÚ,ƑÎ+Ê3ÆgÞòË#Î Ê,ū˵ÚLÌ«ÑÂ̳ÆgÒAéyÆGΫƑÆgÞôÊ,Å«ÆÔÛ_ÍÂÇLÌ=ÍÂÎ!ÆgÎ+Ê3ÚLÍã

K

^Ê,Íìß=Æ

x 1

x 2

x 3

x 4

F ^E E E ˆ

ˆ

x 1 x ˆ 2

ˆ x 3

ˆ x 4

~x

F E

ˆ E

E

C ¹ ( ¯ Ω)

åIÑÂΫÞGÊ3Å!ÆAæRÑÂÒ3ۑàGÜÂÆgÉ#ÍÛ_Ë#ÊàO˵ÚeѨÚ,Ú,È!ÇLÆgÞÔÊ,ÍOÚ,ÑÊ,ËÚã;à

u ∈ (H ¹ (Ω)) ²

íEıÅ!ËÚTÒ,ÆgêÂÈ!ÉÑÒ3Ë#Êà ËÚCã;ͨÒfÆ_Ð!ÑÂÇ·Ì«É#ÆÔÆgΫÚ,È!Ò,Æ~ޅË#ãeÊ,Å!ÆõÞÍÂÇAÑ˵Î

Ω

ËÚkۑÍÂÎÜÂƑÐåaÑÂΫÞ

g ∈ L 2

íYî0Î Ú,Ì=ÆgÛ_ËÑÉTۑѨÚ(Æ~Ú

ÞËÚ,ۑÍÂÎ+Ê,˵ÎÈ!ÍÂȳÚCÛ_ÍÆ!CۑË#ÆgΨʏÚfÚ(Ê,˵É#ÉTêÂ˵ÜÂÆÔÚ,ÍÂÇLÆUÚ,ÇLÍÍÊ,Å«Î!ÆgÚ3ÚAÍãeÊ3Å!ÆðÚ,ÍÂɵÈÊ3Ë#ͨ΂åaÑÎ«Þ ã;ͨÒfÚ,ȫۏÅ

ۑѨÚ(Æ~Ú¦Ò,ÆgɵÑÐÆ~ÞkÚ,ÇLÍÍÊ,Å«Î!ÆgÚ3ÚaÛ_ͨΫÞË#Ê,˵ÍÂÎQÍÂÎkÊ,Å!ÆeÌ=ƑÒ3ÇLÆgÑß«Ë#ɵËÊàf˵ډÑÂÉ#ɵÍ&é¦ÆgÞoí

‚Æ‘Ê

{T h }

ÞÆgÎ!ÍÊ3ÆyÑ®ãÑÇLË#ɵàeÍã³Ì«ÑÒ,Ê,Ë#Ê,˵ÍÂΫÚÍã

Ω

Ë#Î+Ê,Íáä+È«ÑÂÞ!Ò,˵ɵÑÊ,ÆgÒ3ÑÂɨÚ,È!ß=Þ!ÍÂÇAÑ˵ΫÚgå&ÍÂÒ{Û_ƑɵÉڑå éaÅ!ÆgÒ,Æ

h

ËÚeÊ3Å!ÆAÇAÑ&Ð˵Ç^È!Ç Æ‘ÉµÆ‘ÇLƑÎ+Ê5Æ~ÞêÂƨí 'õÆCéaË#ɵÉyѨÚ,Ú,È!ÇLÆ·Ê,Å«ÑÊ5Ê,Å«ÆAãÑÇL˵É#àõ˵Ú5Ò,ÆgêÂÈ!ÉÑÒ~å Û.ãí…÷µø åªÌ«Ñê¨Æ ¨û4# ÿ~üåIËíƨíóÑɵɦۑƑɵɵÚLÑÒ3ÆfۑÍÂÎÜÂƑÐå{Ê3Å!ÆOÑÎ!ê¨É#Æ~Ú^ÑÒ3ÆfÈ«Î!Ëã;ͨÒ,ÇLɵàì߳ͨÈ!ΫÞÆ~Þ

єé±Ñ”àUã;Ò3ÍÂÇ âgƑÒ3ÍõÑÂΫÞ

π

å¦ÑΫÞóÊ,Å!ÆOҏÑ&Ê,˵ÍUß=Æ_Êé¦Æ‘ÆgÎóÊ3Å!ÆOÉ#ÆgÎ!êÊ3ÅôÍãRÊ,Å!ÆGÚ,ÇAÑɵÉ#Æ~ÚÊ·ÆgÞê¨ÆQÑÂÎ«Þ Ê,Å«Æ^ÞËÑÇLÆ_Ê3ƑÒaÍã{Ê3Å!Æ5Û_ÆgÉ#É˵ÚaÈ«Î!Ëã;ͨÒ,ÇLɵàfß=ÍÂÈ!γÞÆgÞkã;Ò3ÍÂÇ ß=ƑɵÍ&éeíyØRÚ,Ú,È!ÇLÆáã;È!Ò,Ê,Å!ÆgÒaÊ,ųÑ&Ê®Æ~ÑÂۏÅ

˵ΨÊ3ƑÒ3Ë#ͨұÜÂƑÒ,Ê,ƑÐfÍã

T h

ÇLƑƑÊ3Ú±ã;ͨÈ!҉Û_ÆgÉ#Éڑíª×r˵ΫÑɵɵàÂå!ÞÆgÎ!ÍÊ3ÆáÊ,Å!Æ5Ú,Æ_ÊaÍã{ÆgÞ!êÂÆgÚ¦ÍÂã

T h

ßà

E h

í

î0ÎUͨÒ3Þ!Ƒ҉Ê3ÍQÞ!Æ_ñ«Î!Æ^Ê,Å!Æ·Ì!Ò3ÍÂÌ=ƑÒRñ«Î!Ë#Ê,ƷƑɵƑÇLƑÎ+ÊáÇLÆ_Ê,Å«ÍÞUß³ÆgÉ#Í&é é¦Æ^ΫƑÆgÞÔÊ,ÍQË#Î+Ê3Ò,ÍÞȫۑÆ

Û_ÆgÒ(ʏÑ˵Îeñ«Î!Ë#Ê,ÆaÞ˵ÇLƑΫÚ,˵ÍÂΫÑÂÉÂã;È!γÛ.Ê,˵ÍÂÎLÚ,Ì«ÑÂۑÆgÚgí‚î0ÎE̳ÑÒ,Ê,ËÛ_È!ÉÑÒ~å”éyƦÚ(Å«ÑÂÉ#É˵Î+Ê,Ò3ÍÞ!È«Û_ƦÑRÚ,È!ß«Ú,Ì«ÑÂۑÆ

Íã

H (div)

éaÅ!ËۏÅkÛgÑÎQß³ÆáÒ3Æ_ã;ƑÒ3Ò3ÆgÞAÊ3ÍAÑÂÚ±ÑLÚ(Ì!ɵË#Ê(Ê,˵Î!êLÍãÊ,Å!ÆáɵÍ&éyÆ~ÚʱÍÂҏÞÆgÒC®Ñ”Ü+ËÑÒ,Ê(Ý0ıÅ!ͨÇLÑ¨Ú Ú,Ì«ÑÂۑÆTÍ&ܨƑÒaÑLä+È«ÑÂÞÒ3˵ɵÑÊ,ƑҏÑÉí

‚º¹=º"!

À !¿½&Ã ¼ +½

ºá×!ÍÂÒ¦ÑÎàLä¨È³ÑÂÞÒ3Ë#ÉÑ&Ê3ƑҏÑÉ«Ú,È!ßÞÍÂÇAÑÂË#ÎCé¦Æ‰éa˵É#É=ÈÊ3Ë#ɵË#âgÆRÑ^ß!Ë#ɵ˵Î!ÆgÑÂÒ

ÇAÑÌ!Ì«Ë#Î!ê

F = F E : ˆ E → E

^{éaū˵ۏÅ} ˵ÚfÚ(ÇLÍÍÊ3Å ÑÂΫÞô˵ÎÜÂÆgÒ(Ê3Ë#ß!ɵÆÂå±Ú,ƑÆG×rË#ê¨È!Ò,Æ

íµøÂí…ıÅ!Æ

Ò3Æ_ã;ƑÒ3ƑγÛ_Æ^Ú,Ì«ÑÂۑÆ

E ˆ = (0, 1) × (0, 1)

ËډÊ3Å!Æ·È!Î!Ë#ÊTÚ3ä¨È³ÑÒ3ÆÂí IÆ_Ê

x i = (x i , y i )

^å

i = 1, 2, 3, 4

^å

ß=ÆkÊ3Å!ÆQã;ÍÂÈ!ÒAܨƑÒ,Ê,ËÛ_Æ~ÚEÍÂã

E

^Ë#Î Û_ͨÈ!Î+Ê,ƑҏÛ_ɵÍÛéa˵Ú,ÆkÞ˵Ò3ÆgÛ.Ê3Ë#ͨÎòѨÚAÚ(Å!Í&éaÎòË#Î ×rË#ê¨È!Ò3Æ í#ø¨íôîã

x ij = (x i − x j )

Ê,Å«ÆáÊ,ҏÑΫÚ(ã;ÍÂÒ3ÇAÑ&Ê,˵ÍÂÎ

F

ʏÑÂÆ~Ú¦Ê,Å!ÆTã;ͨÒ,Ç

F(ˆ x, y) = ˆ x 1 + x 21 x ˆ + x 41 ˆ y + (x 32 − x 41 )ˆ xˆ y

^{Ó íµø~Ù}

ã;ÍÂÒ

(ˆ x, y) ˆ ∈ E ˆ

^{í ıūÆ} &+ÑÂۑÍÂß!ËÑÎòÇAÑ&Ê,Ò3Ë#ÐôÍã

F

˵ÚAÞ!ƑÎ!ÍÂÊ,ÆgÞ

D = D E

ÑΫÞ

J = J E

Ê,Å«Æ

&+ÑÂÛ_ͨß!ËÑÎfÍÂãÊ3Å!ÆáÇAÑÌ!Ì!˵Î!ê³í

Ø ÍÂÒ,Ê,Å«ÍÂêÂͨΫÑÉ+Ò3Æ_ã;ƑÒ3ƑγÛ_ƱÚ(̫ѨÛ_ƱËÚªÑTß«ÑÂÚ,˵ۦÑÂÚ3Ú,È!ÇLÌÊ,˵ÍÂηË#ηÊ3Å!ƉÛ_ͨΫÚÊ3Ò,ȳÛ.Ê,˵ÍÂÎEÍ㠉єÜ˵ÑÂÒ(Ê,Ý

ıÅ!ͨÇLѨÚbÆgÉ#ÆgÇLƑÎ+Ê3Ú¦ÍÂÎkä¨È³ÑÂÞÒ3Ë#ÉÑ&Ê3ƑҏÑɳêÂÒ3˵Þ!Úgí´Ø®Ú¦éa˵É#Éß=ÆTÚ,Å!Í&éa΂åé¦Æ®Ò3ƑÉÑ&Ê,Æ®Ê,Å!ÆáÇLË#ÐÆ~ÞAñ«Î«ËÊ3Æ

ƑɵƑÇLÆgΨÊaÇLÆ_Ê3Å!ÍÞfß³ÑÂÚ,ÆgÞCͨÎQÚ,ȫۏÅQÑ^Ò3Æ_ã;ÆgÒ,ÆgΫÛ_ÆTÇAÑÌ!Ì!˵Î!êLÍÂÎ+Ê3Í·Ñ·Ú,ä+È«ÑÂÒ,ÆRÒ,Ƒã;ƑÒ3ƑΫۑÆTÚ,̫ѨÛ_ÆÂå+Ê3Í

ÕGÖb×Ø Þ!ƑÒ3Ë#ܨÆgÞkéaËÊ3Å!ÍÂÈÊaÊ3Å!ËÚaÇAÑÌ!Ì!˵Î!ê³í

îã

v ˆ

ËÚkÑìܨÆgÛ_Ê,ÍÂÒCñ«Æ‘Éޅ˵Î

H (div, E) ˆ

å®ÞƑñ«Î!ÆõÑóÜÂÆ~Û.Ê3ÍÂÒAñ«ÆgɵÞ

v

^ÍÂÎ

E

ßàòÊ,Å!ÆðÖªË#Í¨ÉµÑ Ê,ҏÑγÚã;ͨÒ,Ç

P = P E

å!Ëíƨí

v(x) = P ˆ v(x) = 1

J Dˆ v ◦ F ⁻¹ (x).

ıÅ!ÆgÎ

R

E div v q dx = R

E ˆ div ˆ v q dˆ ˆ x

^{ã;ͨ҉ÑɵÉ}

q ∈ L 2

éaūƑÎ

ˆ

q = q ◦ F

íªÄ±Å!ÆgÒ,Ƒã;ÍÂÒ3ÆÂå

div ˆ v = J div v

^{Ó í Ù}

ÑγÞ

Z

e

v · n ds = Z

ˆ e

ˆ v · n ˆ dˆ s,

éaÅ!ÆgÒ,Æ

s

^ÑÂΫÞ

ˆ s

ÞƑÎ!ÍÂÊ,Æ®Ê,Å!ÆTÑҏÛaÉ#ÆgÎ!êÊ3ÅfÑɵÍÂΫêeÊ,Å!ÆRÆgÞê¨ÆgÚ

e

^ÑÂΫÞ

e ˆ

å+Ò3ÆgÚ,Ì=ÆgÛ.Ê3Ë#ܨƑɵàÂå+éaËÊ3Å

n

^ÑΫÞ

ˆ

n

ѨڦÊ,Å!ÆeÈ«Î!ËʉΫÍÂÒ3ÇLÑÂÉÜÂÆgÛ_Ê,ͨÒ3ÚgåÛ.ãí‰÷µø#”üí

æRÆ_ñ«Î!Æ·Ê3Å!Æ·ÑÂΫÑɵÍÂêkÒ,Ƒã;ƑÒ3ƑΫۑÆ^Ì=ƑÒ3ÇLÆgÑß«Ë#ɵËÊàÔѨÚ

K ˆ =

^&

D ⁻¹ KD ^−T .

ÍÂÊ,ÆEÊ,Å«ÑÊ

K ˆ

^˵Ú

Ú,à+ÇLÇLÆ_Ê3Ò,ËÛQ̳Í+Ú(Ë#Ê,˵ÜÂÆOÞƑñ«Î!Ë#Ê,ÆÔÑγÞôß=ÍÂÈ!γÞÆgÞôã;Ò,ͨÇhÑß=Í&ÜÂÆOÑγÞôß=ƑɵÍ&éö˵ΫÞƑÌ=ƑγÞƑÎ+ÊCÍã

h

^í

Í&é

K ˆ ⁻¹ = J ⁻¹ D ^T K ⁻¹ D

ÑγÞ

(K ⁻¹ u, v) E = (J K ⁻¹ 1 J D u, ˆ 1

J Dˆ v) E ˆ = ( ˆ K ⁻¹ u, ˆ ˆ v) E ˆ .

ıÅ!Æ·ÇAÑ&Ê,Ò3Ë#ÐQñ³Æ‘ÉÞ

K ˆ

ÆgÇ^ß=ÍÞË#Æ~ÚTß³ÍÂÊ,ÅÔÊ3Å!Ʒ̳ÆgÒ,ÇLÆgÑÂß!˵É#Ë#ÊàGÑΫÞÔÊ,Å!ÆLÚ(ųÑÌ=Æ^ÍãbÊ,Å!ÆLÛ_ÆgÉ#ÉڑåoÑÂÎ«Þ éa˵É#Éoß=Æ5ÑÎQÆgÚ3Ú(ÆgÎ+Ê,ËÑÉ=ãÑÂÛ_Ê,ÍÂÒa˵ÎkÊ,Å!Æáã;È!Ò,Ê,ūƑ҉ÞËÚ,ۑȫÚ3Ú(˵ÍÂΫڱÑÂΫÞfÒ3ÆgÚ,È!É#Ê3Úgí{îã

K ˆ

ËÚaÞ˵ÑÂêÂͨΫÑÉ=Ê,Å«Æ êÂÒ3ËÞfËڱȫÚ,È«ÑɵÉ#àfÒ,Ƒã;ƑÒ3Ò,Æ~ÞCÊ3ÍLѨÚaÑ

K

#+ͨÒ(Ê3Å!ÍÂê¨ÍÂΫÑÂÉ«ê¨Ò,ËÞoí

ý

˵ΫÛ_Æ

D =

x x ˆ x y ˆ

y ˆ x x y ˆ

= [x 21 + ω y, ˆ x 41 + ωˆ x]

= [ξ 1 (ˆ y), ξ 2 (ˆ x)],

^{Ó íù¨Ù}

éaË#Ê,Å

ω = (x 32 − x 41 )

å!éyÆáūєܨÆ

K ˆ ⁻¹ = 1 J

ξ ^T 1 (ˆ y)K ⁻¹ ξ 1 (ˆ y) ξ ^T 1 (ˆ y)K ⁻¹ ξ 2 (ˆ x) ξ ^T 2 (ˆ x)K ⁻¹ ξ 1 (ˆ y) ξ ^T 2 (ˆ x)K ⁻¹ ξ 2 (ˆ x)

,

^{Ó íÙ}

éaÅ!ÆgÒ,ÆTÊ,Å«Æ@&¨Ñ¨Û_ÍÂ߫˵ÑÂÎfËÚ±êÂ˵ÜÂƑÎQßà

J =(x 21 y 41 − x 41 y 21 ) + (x 21 (y 32 − y 41 ) − (x 32 − x 41 )y 21 )ˆ x + ((x 32 − x 41 )y 41 − x 41 (y 32 − y 41 ))ˆ y.

Ó íú¨Ù

ΫÉ#Æ~Ú,Ú¦Ê3Å!ÆeêÂÒ3˵ÞQÛ_ͨΫÚ,˵Ú(Ê3Ú±ÍÂãrÌ«ÑÂÒ3ÑÂÉ#ɵƑɵÍÂê¨Ò3ÑÂÇ Û‘Æ‘ÉµÉµÚgå

J

^ÑÂΫÞ

D

éa˵ɵÉoÎ!Íʉß=Æ5Û_ͨΫÚʏÑÎ+Êgí ıÅ!ÆQêÂÒ3˵ޫÚ^ËÚLÚ,ÑÂ˵ÞëÊ3Íðß=Æ

h ²

ÍÂÒLÑÂÚ,àÇ·Ì!Ê,ÍÊ3˵ÛfÌ«ÑҏÑɵɵƑɵÍÂêÂҏÑÇ êÂÒ3˵ޫڑå´Ë#ã‰Ê,ūƑÒ3Æ Æ_ÐË#Ê3ÚaÑAۑÍÂΫÚ(Ê3ÑÂΨÊ

c

å!˵ΫÞÆg̳ÆgΫÞÆgΨʉÍÂã

h

å!Ú,ȫۏÅQÊ,Å«ÑÊ

|F xˆ ˆ y | = |ω| ≤ ch ² .

ıÅ!ËÚ5ÑÂÚ3Ú,È!ÇLÌÊ,˵ÍÂÎëËÚ5ÆgÚ3Ú,ƑÎ+Ê,ËÑÉ{ã;ͨÒeÊ,Å!ÆfÌ!Ò,ÆgÜË#ͨȫÚ5ÑγÑɵàÚ,ËÚáêÂ˵ÜÂƑÎõ˵΅÷#ø&ÿgüårß!ÈÊEéaË#ɵÉbÎ!ÍÂÊ^ß=Æ

ÑÂÚ3Ú,È!ÇLÆgÞ·Å!ƑÒ3ÆÂírî0ΫÚ(Ê,Æ~ÑÂÞLé¦ÆaÎ!ƑÆ~ÞAÑeÉ#Æ~Ú,ÚªÒ,Æ~ÚÊ3Ò,ËÛ.Ê3Ë#ܨƉÛ_ÍÂγÞËÊ3Ë#ͨÎLÍÂÎLÊ,Å«Æ®Ú1¨Æ‘éaÎ!Æ~Ú,Ú{ÍÂãÊ,Å!ƮۑƑɵɵÚ

È!Î!Ë#ã;ÍÂÒ3ÇLÉ#à^ÍÂÎ

T h

í{ıÅ!ËÚªÛ_ͨΫÞË#Ê,˵ÍÂη˵ÚbÞÆ_ñ«Î«ÆgÞ·ß³ÆgÉ#Í&éòË#Î

ý

Æ~Û.Ê3Ë#ͨÎLù«íù«íTÆgÎ!ƑҏÑÉ!ä+ȫѨÞÒ,˵ÉÑ&Ê,ÆgÒ3ÑÂÉ

êÂÒ3ËÞ!Ú´éaË#Ê,Å!ͨÈʦÑÂÎ+à·ÑÂÚ,àÇ·Ì!Ê,ÍÊ3˵۱Ò3Æ_ñ³Î!ƑÇLƑÎ+ÊyۑÍÂΫÞ!ËÊ3Ë#ͨÎAÍÂÎ

T h

ËÚªÒ3Æ_ã;ÆgÒ,Ò3ÆgÞEÊ3Í^ÑÂÚ

A

í

Iº

H GXZà ¿ W¾«½õÀ ¼gþ³»ò¾aXY]eW d

ºáî0ΨÊ3Ò,ÍÞȳÛ_ÆRÊ,Å!ÆáÈ!Î Î!Í&éaÎQÜÂÆgÉ#ÍۑËÊà

u =

−K grad p

éaÅ!ËۏÅfɵÆgѨÞ!Ú´Ê3ÍEÑ5ÇLË#ÐÆgÞAã;ͨÒ,ÇEÈ!ÉÑ&Ê,˵ÍÂÎAÍÂã‚Ægä+È«ÑÊ,˵ÍÂÎUÓ(øÂíµø~Ù.í{Ø éyÆ~ÑEã;ÍÂÒ3Ç^È!ÉÑ&Ê3Ë#ͨΠÍãaÓø¨í#ø”Ù¦Û‘ÑÎkÊ,ūƑÎOß³ÆáÊ3Å!ÆeÌ!Ò3ÍÂß!ÉµÆ‘Ç Íãrñ«Î«Þ˵Î!ê

(u, p) ∈ H (div) × L 2

Ú(ȳۏÅfÊ3Å«Ñ&Ê

(K ⁻¹ u, v) − (p, div v) = 0, (div u, q) = (g, q),

ã;ͨ҉ÑɵÉ

v ∈ H(div),

ã;ͨ҉ÑɵÉ

q ∈ L 2 ,

Óù«í#ø”Ù

éaÅ!ÆgÒ,Æ

g

ËÚ±ÑÂÚ3Ú(È«Ç·Æ~ÞAÊ3ÍEß=ÆTÑÂÎ

L 2

Ýã;È!ΫÛ.Ê3Ë#ͨ΂í('…Ë#Ê,ÅOÚ(È!Ë#Ê3ÑÂß!ɵÆTÞËÚ3Û_Ò3Æ_Ê,ÆTÚ(È«ß«Ú(̳ÑÂÛ_Æ~ÚbÍÂã

H(div)

ÑγÞ

L 2

åÑÂÚªé¦Æ‘ɵÉÑÂÚ¦Ñ^ä+È«ÑÂÞ!Ò3ÑÊ,È!Ò3ƉÒ3È!É#Æ®ã;ÍÂÒ

(K ⁻¹ u, v)

å+Ê,Å«ÆTÞËÚ3Û_Ò3Æ_Ê,ÆRÜÂÆgÒ3Ú,Ë#ͨÎLÍãTÓù!íµø~ÙªêÂ˵ÜÂÆgÚ Ê,Å«ÆAÌ!ÅàÚ,ËۑÑɪÚ,̫ѨÛ_ÆAÞƑÒ3˵ÜÂÆgÞõÕGÖb×ØöǷƑÊ,Å!ÍÞõÍãá÷ üíkØ ÞË#Ò3ÆgÛ_Ê^ÞƑÒ3˵ܔÑÊ,˵ÍÂÎõÍãaÕGÖb×Ø ÑÂΫÞ

Ê,Å«ÆeÆgä+È!˵ܔÑÂÉ#ÆgΫÛ_ÆTÊ3ÍEÊ3Å!Æ5ÞËÚ,ۑÒ,ƑÊ,ÆáÜÂÆgÒ3Ú,˵ÍÂÎfÍÂã5Óù!íµø~Ù¦ËÚ±êÂ˵ÜÂÆgÎk˵ÎQÊ,Å!Æ5Ø®Ì!Ì=ƑΫÞË#Ðoí

Iº¹=º ºB'õÆ^éa˵É#ÉrÛ_Ò3ÆgÑ&Ê3Æeñ«Î!Ë#Ê,Æ^ƑɵƑÇLƑÎ+Ê3Ú

ß!È!˵É#ʷͨÎìÊ,Å!Ækß!Ò3ÍÂÆgÎ ‰Ñ”Ü˵ÑÂÒ(Ê,ÝıūÍÂÇAÑÂÚeÆgÉ#ÆgÇLƑÎ+Ê3ÚEË#Î+Ê3Ò,ÍÞȫۑÆgÞóÑÂΫÞóÑÂΫÑɵàâ‘ÆgÞë˵Îþ÷µøgû«åyø&ÿgüí

‚Æ‘Ê

a, b, c,

^ÑγÞ

d

ß³ÆEÌ!˵ÆgÛ_Ægéa˵Ú,Æ5Û_ͨΫÚ(Ê3ÑÎ+ʉͨÎ

(0, 1)

å³éaËÊ3ÅÔÞËÚ,ۑÍÂÎ+Ê,˵ÎÈ!ËÊàQÑ&ʉÊ3Å!Æ^ÇLËÞÌ=ÍÂ˵ΨÊ~í

ÎAÊ3Å!Æ®Ò3Æ_ã;ÆgÒ,ÆgΫÛ_Æ®Ú3ä+È«ÑÒ3Æ

E ˆ

Ê3Å!ÆTÜÂƑɵÍÛ_Ë#Êà·Ú,̫ѨÛ_Æ

RT ^{1 / 2} = RT ^{1 / 2} ( ˆ E)

ÍÂÎCä+ȫѨÞÒ,˵ÉÑ&Ê,ÆgÒ3ÑÂÉµÚªËµÚ ÞƑñ«Î!ÆgÞOѨڦÊ,Å!ÆeÆgË#ê¨Å¨Ê1#Þ˵ÇLƑΫÚ,˵ÍÂΫÑÂÉÚ,̫ѨÛ_ÆáêÂ˵ÜÂÆgÎkÑÂÚaÑÂÉ#ÉoܨÆgÛ_Ê,ÍÂÒ±ñ³Æ‘ÉÞ!Ú±ÍãrÊ,Å!Æáã;ͨÒ,Ç

a(ˆ y) + b(ˆ y)ˆ x c(ˆ x) + d(ˆ x)ˆ y

.

aÆ~ۑÑɵÉrÊ,Å«ÑÊRÊ3Å!ÆLÛ_ÍÂÒ3Ò3ÆgÚ,̳ͨΫÞ˵Î!ê ‰Ñ”ÜËÑÒ,Ê(Ý0ıÅ!ÍÂÇAÑÂÚ®Ú(̫ѨÛ_ƨå

RT

åo˵ÚTÍÂãªÊ,Å!ÆAÚ3ÑÇLÆ5ã;ͨÒ,ÇOåß!ÈÊ éaË#Ê,łå

a, b, c,

^ÑΫÞ

d

ʏÑÂÆgÎôÑÂÚ·Û_ͨΫÚ(Ê3ÑÎ+ʏڑå´Ú,Í

RT ⊂ RT ^1/2

íìıÅ!ÆQÛ_ͨÒ,Ò3ÆgÚ,̳ͨΫÞ˵Î!êGñ«Î«ËÊ3Æ Æ‘ÉµÆ‘ÇLÆgΨʮÚ,̫ѨÛ_ÆÂå

RT ¹ _h ^{/ 2} ⊂ H(div)

å!ËÚaÎ!Í&éwÞÆ_ñ«Î«ÆgÞQßà

RT ^1/2 _h := {v ∈ H (div) : v| E ∈ P E (RT ^1/2 ), ∀E ∈ T h }.

‰ÆgΫÛ_ƨå&Ê,ūƉۑÑΫÍÂÎ!ËۑÑÂÉ+ÞÆgêÂÒ3ƑÆ~ÚÍÂã«ã;Ò3ƑÆ~ÞÍÂÇ ã;ͨÒÊ3Å!ƉÚ,Ì«ÑÂۑÆ

RT ^1/2 _h

^ÑÒ3Æ

v · n

ÍÂã«ÆgѨۏÅEÅ«ÑÂÉã=ÆgÞê¨Æ ˵Î

E _h ^1/2

íªÄ±Å!ÆeۑɵѨÚ,Ú,˵ÛgÑÉ

RT h

ÝÆgÉ#ÆgÇ·ÆgÎ+Ê3Úgå!ÑÒ3ÆRÞƑñ«Î!ÆgÞQÚ,Ë#ÇL˵ɵÑÂÒ,ɵàAéaËÊ3Å!ÍÂÈ!ÊaÑÂÎàCÞ˵Ú3Û_ͨÎ+Ê,˵Î+È«ËÊà¨í

ıÅ!ÆeÌ!Ò3ÆgÚ3Ú,È!Ò,ÆTéa˵É#ɂß=Æ5ÑÌ«Ì!Ò,͔Ð˵ÇAÑ&Ê,Æ~ÞAßàfÌ!˵ÆgۑƑéaËÚ(ÆeۑÍÂΫÚ(Ê3ÑÂΨʏڦÍÂÎ

Q h := {q ∈ L 2 : q| E ∈ P 0 (E), ∀E ∈ T h }.

ÎEÊ,Å!ÆaÒ3Æ_ã;ÆgÒ,ÆgΫÛ_ƱƑɵƑÇLÆgΨʴé¦ÆaÞÆ_ñ«Î«Æ

Π : (H ˆ ¹ ( ˆ E)) ² → RT

ÑÂÚrÊ,ūƉÚʏÑΫÞ!ÑÂÒ3Þ^Ë#Î+Ê3ƑÒ3̳ͨɵÑÊ,˵ÍÂÎ ÍÂÌ=ƑҏÑ&Ê3ÍÂҏڦÍÂÎ+Ê,ÍEÊ,Å!Æáã;ͨÈ!҉Þ˵ÇLƑΫÚ,Ë#ͨΫÑÉ ®Ñ”Ü+ËÑÒ,Ê$#ıÅ!ÍÂÇAѨÚyÚ,Ì«ÑÂۑÆÂå!Û_ãía÷#ø #”üå

Z

e ˆ

(ˆ u − Πˆ ˆ u) · n ˆ dˆ s = 0,

ã;ͨ҉ÑɵɂÆgÞ!êÂÆgÚ

ˆ

e ∈ E ( ˆ E),

éaÅ!ÆgÒ,Æ

E( ˆ E)

Ò,ÆgÌ!Ò3ÆgÚ,ƑÎ+ÊÊ3Å!Ʊã;ÍÂÈ«Ò´ÆgÞê¨ÆgÚ{Íã

E ˆ

í´Ä±Å!ƱÍÂÌ=ƑҏÑ&Ê3ÍÂÒ

Π h : (H ¹ ) ² → RT h ⊂ RT ¹ _h ^{/ 2}

ËÚ¦Ê,Å!ÆgÎÔÚ(˵ÇLÌ!É#àfêÂ˵ÜÂƑÎQßà

Π h v| E = P E ΠP ˆ _E ⁻¹ v.

îÊ®ËډÚ(Ê,ҏÑ˵êÂÅ+Ê(ã;ͨÒ,é±ÑҏÞLÊ,ÍkۏÅ!ÆgÛåÈ«Ú,Ë#ΫêLÊ,Å!Æ5ËÞÆgΨÊ3ËÊàìÓ í

ُå«Ê,Å«ÑʉÊ,Å!Æ^ÍÂÌ=ƑҏÑ&Ê,ͨÒ

Π h

Ú3Ñ&Ê3˵Ú(ñ«Æ~Ú

Ê,Å«Æe˵ÞÆgÎ+Ê,Ë#Êà

(div(Π h v − v), q) = 0,

ã;ÍÂÒ®ÑÂÉ#É

v ∈ H (div), q ∈ Q h .

^{Óù«í Ù}

ÍÂÊ,Æ®Ê,Å«ÑÊbÊ,Å«Æ®ÍÂÌ=ƑҏÑ&Ê3ÍÂÒ

Π h

ËÚbé¦Æ‘ɵÉ%#ÞƑñ«Î!ÆgÞLͨÎ

RT ^1/2 _h

ÑÂÚbéyÆgÉ#Éí(¦àEÆ~ä¨È«Ë#Ü&ÑɵƑγÛ_ƉÍÂã‚Î!ÍÂÒ3ÇAÚ é¦ÆTųєÜÂÆ

kΠ h vk ≤ ckvk,

ã;ÍÂ҉ÑÂÉ#É

v ∈ RT ^1/2 _h ,

^{Óù«íù+Ù}

éaÅ!ÆgÒ,ÆTÊ,Å«Æ5Û_ÍÂγÚʏÑÎ+Ê

c

ËÚa˵ΫÞƑÌ=ƑγÞƑÎ+ʉÍã

h

^í

'õÆRÑÉÚ,Í5Î!ƑÆ~Þ·Ê,Å!ÆTÌ!Ò3ÍïÆ~Û.Ê,˵ÍÂÎ

R h

Þ!Æ_ñ«Î!Æ~ÞAÍÂÎfÆgÑÂۏÅAۑƑɵÉ

E

^åѨÚ

R h | E = P E R ˆ E P _E ⁻¹

^å+ã;ͨÒ

ÑɵÉ

v ∈ (H ¹ ) ²

Ú(ȳۏÅkÊ3Å«Ñ&Ê

R ˆ E v ˆ = ˆ Πˆ v + div ˆ Πˆ v 2J c

(J 2 − J 1 )ˆ x(ˆ x − 1) (J 4 − J 1 )ˆ y(ˆ y − 1)

Óù«íÙ

éaÅ!ÆgÒ,Æ

J i = J(ˆ x i )

^å

i = 1, 2, 3, 4

^{ËÚaÊ3Å!Æ} &+ÑÂۑÍÂß!ËÑÎQƑÜ&ÑÂÉ#È«ÑÊ,Æ~ÞOË#ÎOÊ3Å!Æ^Ò3Æ_ã;ÆgÒ,ÆgΫÛ_Æ5ۑƑɵÉIÜÂÆgÒ(Ê3Æ_Ðoå ÑγÞ

J c = J (1/2, 1/2)

^Ê,Å«Æ &+ÑÂۑÍÂß!ËÑÎUƑÜ&ÑɵȫÑ&Ê3ÆgÞUË#ÎUÊ,Å!ÆLÒ3Æ_ã;ƑÒ3ƑγÛ_ÆLÛ_ƑɵɴÛ_ÆgΨÊ3ƑÒ~í ÍÂÊ,Æ·Ê,Å«ÑÊ

J c = P

J i /4

í>'…ËÊ3ÅkÊ3Å!ËÚaÎ!ÍʏÑ&Ê3Ë#ͨÎkÆ~ä¨È³Ñ&Ê,˵ÍÂÎëÓ íú¨Ù¦Û‘ÑÎQß=ÆeéaÒ,Ë#Ê(Ê3ƑÎ

J = J 1 + (J 2 − J 1 )ˆ x + (J 4 − J 1 )ˆ y.

^{Óù!í–úÂÙ}

ÎQÆgÑÂۏÅOÛ_ÆgÉ#É

E

^{åã;Ò,ͨÇ} Ò3ƑÉÑ&Ê3Ë#ͨÎðÓ í Ù±ÑΫÞõÓù«íú¨Ù

div(R h v)J = div( ˆ R E v) ˆ

= div( ˆ Πˆ v) + div( ˆ Πˆ v ) 2J c

((J 2 − J 1 )(2ˆ x − 1) + (J 4 − J 1 )(2ˆ y − 1))

= div( ˆ Πˆ v) J c

(J 1 + (J 2 − J 1 )ˆ x + (J 4 − J 1 )ˆ y)

= div( ˆ Πˆ v) J c

J.

ıÅ!Æ5ۑÍÂΫÚ(Ê,Ò3È«Û.Ê3Ë#ͨÎf˵ÎìÓù!í+ÙyÊ3Å!ƑÒ3Æ_ã;ͨÒ,ÆTƑγÚ(È!Ò3ÆgÚ

div R h v = div( ˆ Πˆ v)/J c ∈ P 0 (E), ∀E ∈ T h

í

ÍÂÊ,Æ·Ê,ųÑ&Ê

R h v 6∈ RT h

åIß!ÈÊeÊ,Å«ÆCÚ(Æ~Û_ÍÂγÞGÊ,ūƑÒ3Ç ÍãCÓù«íىÜ&ÑÂÎ!˵Ú,ÅõÍÂÎðÊ,Å!ÆCۑƑɵɴ߳ͨÈ!ΫÞ!ÑÂÒ,à¨å

Ú,ȫۏÅfÊ3Å«Ñ&ʉË#Êaã;ÍÂɵɵÍ&é‰Ú¦ã;Ò,ꬂ Óù«í ÙªÊ3Å«Ñ&Ê®ÑÂɵÚ,Í

(div(R h v − v), q) = 0,

ã;ÍÂ҉ÑÂÉ#É

v ∈ H (div), q ∈ Q h .

^{Óù«íû+Ù}

îã

M h

ËÚ±Ê,Å«Æ

L 2

#+Ì!Ò3ÍïÆ~Û.Ê3Ë#ͨÎkͨΨÊ3Í

Q h

å³éyÆ^Î!Í&é ųєÜÂÆ

div R h = M h div

í±Ä±Å!Æ5Ì«Ò,ÍÂïÆgÛ.Ê3Ë#ͨÎ

R h

˵ÚTÇLÍÊ3Ë#Ü&Ñ&Ê3ÆgÞÔã;Ò,ꬂ Ê,Å!Æ

ABF 0

ƑɵƑÇLÆgΨʏÚáË#Î+Ê3Ò,ÍÞȫۑÆgÞUË#Îò÷–ÿ”üåIÑÂΫÞUÑÂÉ#ɵÍ&é‰ÚRÈ«ÚRÊ,ÍQñ«Î«ÞðÑ

Û_ͨÎÜÂƑÒ3êÂÆgΫÛ_ÆRÆgÚ(Ê,˵ÇAÑ&Ê,ÆeÍÂãIÊ3Å!Æ5Þ˵ÜÂƑÒ3êÂÆgΫÛ_ÆTéaË#Ê,Å!ͨÈÊ®ÑÂÚ3Ú(ȫǷ˵Î!ê

h ²

ÝÈ!Î!Ë#ã;ÍÂÒ3ÇöêÂÒ3˵ޫڑí ıÅ!ÆáÇLËÐÆ~Þfñ³Î!ËÊ3ÆeƑɵƑÇLƑÎ+ÊaÇLÆ_Ê3Å!ÍÞQÞ!ƑÒ3Ë#ܨÆgÞfã;Ò,ꬂ Ê,Å!ÆáÌ«ÑÂË#Ò

RT ¹ _h ^{/ 2} × Q h

ËÚ±êÂ˵ÜÂƑÎkßà

×rË#γÞ

(u h , p h ) ∈ RT ^1/2 _h × Q h ⊂ H (div) × L 2

Ú(ȳۏÅkÊ3Å«Ñ&Ê

(K ⁻¹ u h , v) − (p h , div v) = 0, (div u h , q) = (g, q),

ã;ͨ҉ÑɵÉ

v ∈ RT ¹ _h ^{/ 2} ,

ã;ͨ҉ÑɵÉ

q ∈ Q h .

Óù«í–ÿÂÙ

î0ÎOÍÂҏÞƑұÊ3ÍLÍÂßʏÑ˵ÎkÊ3Å!Æ5ÕGÖb×ØZǷƑÊ,Å!ÍÞGѨÚaÑEÇLË#ÐÆgÞQñ«Î!Ë#Ê,ÆeÆgÉ#ÆgÇLƑÎ+ʉÇLÆ_Ê,Å«ÍÞQé¦ÆeÎ!ƑÆ~Þ

Ê,ÍLÒ3ƑÌ!ÉÑÂۑÆTÊ,Å!ÆáÊ3ƑÒ3Ç

(K ⁻¹ u h , v) E

˵ÎëÓù!íÿÙyßàfÑLä+È«ÑÂÞҏÑ&Ê3È!Ò3Æ®ã;ͨÒ,ÇEÈ!ɵѫí

Iº‚º

H

!

À!¿I½¼~ÀI½O?fÀ

º ‚Æ_Ê

K ⁻¹ _h

ÞƑΫÍÊ,Æ®Ê,Å!Æ

L 2

ÝÌ!Ò3ÍïÆ~Û.Ê3Ë#ͨÎAÍãoÊ,Å«ÆRÛ_ͨÇL̳ÍÂÝ

Î!ÆgΨʏڱÍã

K ⁻¹

^{ͨΨÊ3Í}

P 0 (E)

ã;ͨұÑÂÉ#É

E ∈ T h

í ý

˵ΫÛ_ÆTÊ,Å«Æ5Û_ÍÂÇLÌ=ÍÂÎ!ÆgÎ+Ê3Ú±Íã

K ⁻¹

^ÑÂÒ,Æ

C ¹

^{Ê,ūƑÒ3Æ}

Æ_ÐËÚʏÚaÑLÛ_ÍÂγÚʏÑÎ+Ê

c

˵ΫÞÆg̳ÆgΫÞÆgΨʉÍÂã

h

Ú,ȫۏÅkÊ,Å«ÑÊ

|((K ⁻¹ _h − K ⁻¹ )u, v)| ≤ chkukkvk,

^Óù«í+Ù

ã;ÍÂÒ

u, v ∈ (L 2 ) ²

í±×«ÍÂÒ®ÑLê¨Æ‘Î!ÆgÒ3ÑÂÉoã;È!ΫÛ_Ê,˵ÍÂÎ

φ(ˆ x) ∈ L 2

ÍÂÎÔÑLÈ!Î!Ë#ÊRÚ3ä+È«ÑÒ3Æ

E ˆ

å«éaË#Ê,ÅGܨƑÒ,Ê,ËÛ_Æ~Ú

ˆ

x i

(0, 0)

^å

(1, 0)

^å

(1, 1)

^ÑγÞ

(0, 1)

^ã;ͨÒ

i = 1, 2, 3, 4

å¨É#ƑʦÑÂÌ!Ì!Ò3͔Ð˵ÇAÑ&Ê3Ë#ͨÎAÍãoÊ,ūƮ˵ΨÊ3Ƒê¨Ò3ÑÂÉ«Íã

φ

ßàAÊ3Å!ÆáÊ,ҏÑÌ=ƑâgÍÂËÞ!ÑÉoÒ3È!ɵÆáÇ·Æ~ÑÎkÊ,Å«ÑÊ

Z

E ˆ

φ(ˆ x) dˆ x ≈ T E ˆ (φ) = 1 4

4

X

i=1

φ(ˆ x i ).

‚ƑʱÊ,Å!ÆeÚ,È!ß«Ú3Û_Ò3Ë#ÌÊ

c

ÞƑΫÍÊ,ÆáÆgܔÑÂÉ#ȳÑ&Ê,˵ÍÂÎkË#ÎkÊ,Å«ÆTÒ3Æ_ã;ÆgÒ,ÆgΫÛ_ÆáÛ_ÆgÉ#ɂۑƑÎ+Ê,ÆgÒgå

ˆ x c

å!Ú,Í

D c = D(ˆ x c )

ã;ÍÂÒRÑɵÉIÛ_ÆgÉ#Éڑí Í&éeå«Þ!Æ_ñ«Î!Æ^ÍÂÈ!҉ÎÈ!ÇLÆgÒ,ËۑÑÂɂä¨È³ÑÂÞҏÑ&Ê3È!Ò,ÆTã;ͨÒ,ÇEÈ!ɵѷͨÎQÆ~ÑÂۏÅGÛ_ÆgÉ#É

E ∈ T h

Ú,ȫۏÅ

Ê,ųÑ&Ê

a E (u, v) = T E ˆ ( 1

J D ^T _c K ⁻¹ _h D u ˆ · v) ˆ

^Óù«í+Ù

éaË#Ê,Å

a h (u, v) = X

T _h

a E (u, v),

^{Óù!íµø#+Ù}

E ˆ ¹ E ˆ ² E ˆ ³ E ˆ ⁴

e 11 e 21

e 31

e 41

e 12 e 22

e 32

e 42

F E

~x

e ij

ã;ÍÂÒEÌ!˵ÆgÛ_Ægéa˵Ú,ÆkÚ,ÇLÍÍÊ,ÅôÜÂÆgÛ_Ê,ͨÒeñ«Æ‘ÉÞ!Ú

u

^ÑÂΫÞ

v

^í ÍÊ3ÆCÊ,ųÑ&Ê^Ê3Å!Æfß«Ë#ɵË#ΫÆgÑÒEã;ÍÂÒ3Ç

a h

ËÚ^Î!ͨÎ

Ú,à+ÇLÇLÆ_Ê3Ò,ËÛCÞÈ«ÆCÊ,ÍÔÊ,Å!ÆfãÑÂÛ.Ê^Ê,Å«ÑÊEÍÂΫÆCÍã±Ê,Å«Æ &+ÑÂÛ_ͨß!ËÑÎëÇAÑ&Ê,Ò3ËÛ_ÆgÚ

D

ÑÌ!Ì=ÆgÑÂÒ,˵Î!êG˵ÎþÓù«í+Ù ËÚRÆgÜ&ÑɵȫÑ&Ê3ÆgÞUÑÊRÊ3Å!Æ·Ò,Ƒã;ƑÒ3ƑΫۑÆEÛ_ÆgÉ#ɴۑƑÎ+Ê,ÆgÒgå

ˆ x c

í5ıÅ!Æ·Ç·ÍÂÊ,˵Ü&Ñ&Ê,˵ÍÂÎUã;ÍÂÒTÊ,ū˵ÚáÛ_ͨΫÚ(Ê,Ò3È«Û.Ê3Ë#ͨÎÔ˵Ú

Ê,Å«ÆQΫƑÆgÞôÊ,Íðã;È!É#ñ«ÉµÉaÊ,Å!ÆOÌ!Ò3ÍÂÌ=ƑÒ,Ê,˵ÆgÚ·ê¨Ë#ܨƑÎó˵ΠIƑÇLÇAÑëù!íµøfß=ƑɵÍ&éeíòıÅ!Æ~Ú(ÆQÌ!Ò3ÍÂÌ=ƑÒ,Ê,˵ÆgÚLÑÒ3Æ

Æ_ÐÌ!Ò3ÆgÚ3Ú,ÆgÞAÞ˵Ò,Æ~Û.Ê3É#àLÍÂÎCÊ,Å!ÆRÌ!ÅàÚ,ËۑÑÉ=Û_ÆgÉ#É

E

åÑΫÞAÊ,Å!ÆgÒ,Ægß+àL˵Î!Å!ÆgÒ,Ë#ÊbÊ3Å!ÆRΫÍÂÎfÚ,àÇ·ÇLƑÊ,Ò3à^ã;Ò3ÍÂÇ Ê,Å«ÆeÎ!ÍÂÎQÌ«ÑҏÑɵɵƑÉoÆgÞ!êÂÆáÜÂÆ~Û.Ê,ͨÒ3Ú¦ÍÂã

E

^í

æRË#ÜËÞÆbÆ~ÑÂۏÅ^ۑƑɵÉÂ˵ΨÊ3͉ã;ͨÈ!ÒrÚ,È!ßÛ_ÆgÉ#ÉÚ

E i

ۑÒ,Æ~Ñ&Ê,Æ~ÞáßàTÑ®É#˵Î!Æbß=Æ_Êé¦Æ‘ÆgÎeÊ,Å«ÆbÆgÞ!êÂÆbÇLËÞÌ=ÍÂ˵Ψʏڑå

Û.ã±×rË#ê¨È!Ò,ÆLù!íµøÂíEıÅ!Æ·ÑÂÌ!Ì!Ò3͔ÐË#ÇAÑ&Ê3Ë#ͨÎÔÍã

K ˆ ⁻¹

ͨÎUÆgѨۏÅðÚ,È!ßÛ_ƑɵÉ

E ˆ i

ۑÑÂÎUÎ!Í&éYß³ÆAÞÆ~Ú,ۑÒ,˵߳Æ~Þ

ßàAÊ,Å«ÆeÎ!ÍÂÎGÚ,à+ÇLÇLÆ_Ê3Ò,ËÛTÇAÑ&Ê,Ò3Ë#Ð

Λ E i = 1 J i

D ^T _c K ⁻¹ _h D i ,

^{Óù!íµøÂø”Ù}

éaË#Ê,Å

J i = J(ˆ x i )

^ÑγÞ

D i = D(ˆ x i )

^{í ‚Æ‘Ê}

e ij

ÞÆgÎ!ÍÊ3Æ·Ê,Å!ÆLÍÂÈ!Ê,ƑÒeųÑÉ#ãyÆgÞ!êÂÆ·Íã¦Ú,È!ßÛ_ÆgÉ#É

E ˆ i

éaË#Ê,Å·Ê,Å!Æ

j

Ê,ÅLÈ!ΫËÊ´ÜÂÆ~Û.Ê3ÍÂÒ´ÑÂÚ{ÑTÎ!ÍÂÒ3ÇAÑÉåÛ.ãí´×rË#ê¨È!Ò3Ʀù«í#ø¨í ÍÂÊ,ƦÊ,ųÑ&ʪË#ã

ˆ

v = (ˆ v 1 , v ˆ 2 ) ∈ RT ^1/2

Ê,Å«ÆeÆ_Ð!ÑÂÛ_Ê,Î!Æ~Ú,Ú¦ÍãrÊ,Å«ÆáÊ,ҏÑÌ=Ƒâ‘ͨ˵ޫÑÉÒ,È«É#Æáã;ͨ҉Ú,ÛgÑÉÑÒ¦É#˵Î!ÆgÑÂÒ±ã;È!ΫÛ_Ê,˵ÍÂΫÚa˵ÇLÌ!ɵË#Æ~Ú±Ê,Å«ÑÊ

4

X

i=1

ˆ v j | e ij =

Z

E ˆ

ˆ

v j dˆ x, k = 1, 2,

ÍÂÒaéaË#Ê,Å

φ ∈ (P 0 ( ˆ E)) ²

T E ˆ (φ · v) = (φ, ˆ v) ˆ E ˆ .

^{Óù!íµø Ù}

ý

˵ΫÛ_Æ

Πˆ ˆ v

ÍÂÎAÑÎLÆ~ÞêÂÆaËÚ´Ê3Å!ƮєÜÂÆgÒ3ÑÂêÂƦÍã=Ê,Å!ƉÊéyÍ

ˆ

v

Ü&ÑɵÈ!ÆgÚªÍÂÎLÆgѨۏŷųÑÉ#ãÆ~ÞêÂƨåÂé¦Æ‰ÑÉÚ(ÍáūєܨÆ

T E ˆ (φ · (ˆ v − Πˆ ˆ v)) = 0.

^{Óù!íµøgù+Ù}

‚Æ‘Ê

ˆ v j | e ij = ˆ v ij = v ij

åÊ,ūƑÎQã;ÍÂÒ

v, u ∈ RT ^1/2 _h

^Óù«í+Ù¦ÑΫÞëÓù«í#ø #¨Ù¦Û‘ÑÂÎkß=ÆeÒ3ƑéaÒ3ËÊ,Ê,ƑÎOÑÂÚ

a h (u, v) = 1 4

4

X

i =1 2

X

j,k=1

κ ^E _jk ⁱ u ij v ik

Óù!íµø=Ù

éaÅ!ÆgÒ,Æ

κ ^E _jk ⁱ

ÑÒ3Æ^Û_ͨÇL̳ͨÎ!ƑÎ+Ê3Ú®Íã{Ê,Å«ÆEÎ!ͨÎÔÚ(àÇLÇLÆ_Ê3Ò,ËÛeÇAÑ&Ê3Ò,Ë#Ð

Λ E i

åoÛ.ãí^Óù!íµøÂø~Ù_í®æRÈ!Æ5Ê3ÍCÊ,Å«Æ

ɵË#Î!Æ~ÑÒ3ËÊàfÍã

D

^{Û.ãíRÓ í}ù¨Ù.å!éyÆeÑÂɵÚ,ÍLūєÜÂÆRã;ÍÂ҉ÑÂÉ#É

v = (v 1 (ˆ x), v 2 (ˆ y)) ∈ RT h

Z

E ˆ

D c ˆ v dˆ x = Z

E ˆ

ξ 1 (ˆ y)v 1 (ˆ x) + ξ 2 (ˆ x)v 2 (ˆ y)dˆ x = Z

E ˆ

Dˆ v dˆ x.

^{Óù!íµø~ú¨Ù}

ıÅ!Æ^ã;ÍÂɵÉ#Í&éa˵Î!ê IƑÇLÇAÑCËÚRÑ ÂÆgàQÒ3ÆgÚ,È!É#Ê®ã;ͨҮÊ3Å!Æ^ß!˵ɵË#Î!Æ~ÑÒRã;ÍÂÒ3Ç

a h

íTî0Îô÷µø”ÿgü´ÑΫÑÂÉ#ͨêÂͨȫÚ

Ò3ÆgÚ,È!ÉʏÚaÑÒ3ÆeÚʏÑ&Ê,Æ~ÞfͨÎfÊ3Å!ÆeÒ3Æ_ã;ƑÒ3ƑγÛ_ÆeÚ(̳ÑÂÛ_ƨí

! #"%$'&$(

u ∈ (P 0 (E)) ²

^)*+-,=../*D+0+1+'28 3+ 5476

Óù!íµø=Ù

7./*D82+

a E (u, v − Π h v) = 0

^A9.080

v ∈ RT ^1/2 _h ,

^{Óù!íµøgû+Ù}

a E (u, v) = (K ⁻¹ _h u, v) E

^-./080

v ∈ RT h .

^{Óù!íµø”ÿÂÙ}

5$

íRÄIÍCÌ«Ò,Í&ܨÆCÓù!íµøgû+ُå=Î!ÍÊ3Æ5Ê,ųÑ&ʉã;ͨÒ

u ∈ (P 0 (E)) ²

^å

u ˆ = J D ⁻¹ u ∈ RT ( ˆ E)

^åÑγÞ

ã;ÍÂÒ

v ∈ RT ^1/2 _h

Ë#Êaã;ÍÂɵɵÍ&é‰Ú¦ã;Ò,ꬂ Óù«í+ÙyÑÂΫÞëÓù«í#ø~ù¨ÙbÊ,Å«ÑÊ

a E (u, v − Π h v) = T E ˆ ( 1

J D ^T _c K ⁻¹ _h D JD ⁻¹ u · (ˆ v − Πˆ ˆ v))

= T E ˆ (D ^T _c K ⁻¹ _h u · (ˆ v − Πˆ ˆ v))

= 0,

Ú,Ë#ΫۑÆ

D ^T _c K ⁻¹ _h u ∈ (P 0 ( ˆ E)) ²

^{í ý} Ë#ÇL˵ɵÑÂÒ,ɵàÂåã;ͨ҉ÑɵÉ

v ∈ RT ^1/2 _h

éyÆeͨßÊ3ÑÂË#Îkã;Ò3ÍÂÇ Óù!íµø ÙbÊ3Å«Ñ&Ê

a E (u, v) = T E ˆ (D ^T _c K ⁻¹ _h u · ˆ v)

= (D ^T _c K ⁻¹ _h u, ˆ v) E ˆ .

×!È«Ò(Ê3Å!ƑÒ~å!Ú(˵ΫۑÆ

K ⁻¹ _h u ∈ (P 0 ( ˆ E)) ²

å!Ë#Êaã;ÍÂɵÉ#Í&é‰Ú¦ã;Ò3ÍÂÇ Óù!íµø~ú¨ÙªÊ3Å«Ñ&Ê

(K ⁻¹ _h u, D c v) ˆ E ˆ = (K ⁻¹ _h u, Dˆ v) E ˆ

= (K ⁻¹ _h u, v) E

ã;ÍÂ҉ÑÂÉ#É

v ∈ RT h

íªÄ±Å!ËÚaÚ(Å!Í&é‰ÚyÊ3Å!ÆeÆ_Ð!ÑÂÛ_Ê,Î!Æ~Ú,Ú±ÍÂãÆ~ä¨È³Ñ&Ê,˵ÍÂÎëÓù«í#ø&ÿÙ_í

ıÅ!ÆeÇLÆ_Ê3Å!ÍÞQÍãͨÈ!Òa˵ΨÊ3ƑÒ3ÆgÚ(ÊgåËÚ±Ê,Å«Æ5Ú(ͨÉ#ÈÊ3Ë#ͨÎ

(u h , p h ) ∈ RT ^1/2 _h × Q h

Ú(ȫۏÅkÊ,ųÑ&Ê

a h (u h , v) − (p h , div v) = 0, (div u h , q) = (g, q),

ã;ͨ҉ÑɵÉ

v ∈ RT ^1/2 _h ,

ã;ͨ҉ÑɵÉ

q ∈ Q h .

Óù!íµø+Ù

ÄÍQÆgΫÚ,È!Ò,ÆLÈ!Ϋ˵ä+È!ÆgÎ!ÆgÚ3ÚáÍã¦Ê,Å!ËÚeÚ,àÚ(Ê,ÆgÇ é¦ÆLÒ,Æ~ä¨È«Ë#Ò3Æ^Ê3Å!ÆCÚ,à+ÇLÇLÆ_Ê3Ò,ËÛ·Ì«ÑÒ,ÊeÍã

a h

Ê,ÍGß=Æ

Û_ÍÆgÒ3ۑË#ܨÆÂíıū˵Úrã;ͨÉ#ɵÍ&é‰ÚrËã=Ê,Å!ÆaÚ,àÇ·ÇLƑÊ,Ò3˵ۦ̫ÑÂÒ(Ê´Íã

Λ

å³Óù!íµøÂø”ُåÂËÚ{È!Î!Ë#ã;ÍÂÒ3ÇLÉ#à^̳Í+Ú(Ë#Ê,˵ÜÂƱÞÆ_ñ³Î!ËÊ3ÆÂå Ú,ƑÆTÊ,Å!Æ5Þ!˵Ú3Û_È«Ú3Ú,Ë#ͨÎk˵Î

ý

ÆgÛ_Ê,˵ÍÂÎOù!íùEß=ƑɵÍ&éeí

ıÅ!Æ·Æ ÆgÛ_ÊáÍÂãªÊ,Å«Æ·ß«Ò,ÍÂƑΠ‰Ñ”Ü˵ÑÂÒ(Ê,ÝıÅ!ͨÇAÑÂÚaÆgÉ#ÆgÇ·ÆgÎ+Ê3ÚáÑΫÞÔÊ,Å!ÆAä+ȫѨÞÒ3ÑÊ,È!Ò3Æ5Ò3È!ɵÆEËÚáÑ

ß!ɵÍÛÔÞ˵ÑÂêÂͨΫÑÉrÇAÑÂÚ3ÚRÇAÑÊ,Ò3ËÐoíEıūÆEß!ɵÍÛUÚ(Ê,Ò3È«Û.Ê3È!Ò,ÆLÛ_ͨÒ,Ò3ÆgÚ,Ì=ÍÂΫÞ!ډÊ,ÍGÞÈ«ÑÂɪÛ_ÆgÉ#Éڑå‚Û‘ÍÂΫÚ,ËÚÊ,Ý

˵Î!êOÍãaÚ(È!ßÛ_ÆgÉ#ÉÚáéaË#Ê,ÅìÑOÛ_ÍÂÇLÇLÍÂÎõÜÂÆgÒ(Ê3Æ_Ðoí·î0Î+ܨƑÒ,Ê,˵Î!êkÊ,Å!ÆAɵÍۑÑÉ´ß«É#ÍÛÚTƑΫÑÂß!É#Æ~ÚáÈ«ÚTÊ,ÍOñ³Î«Þ

ÑìÞËÚ,ۑÒ,ƑÊ,ÆOÆ_ÐÌ!ɵËÛ_Ë#ÊAÏ«ÈÐôã;ͨÒCÆgѨۏÅòųÑÉ#ãTÆ~ÞêÂƨåyéaÅ!ËۏŅۑÑÂÎ ß=ÆGÈ«Ú,ÆgÞ ËµÎþÑõۑÍÂÎ+Ê,Ò3ÍÂÉaܨÍÂɵÈ!ÇLÆ

ã;ÍÂÒ3Ç^ȫɵÑÊ,˵ÍÂ΂íTî0ÎÔÊ3Å!Æ·Ø®Ì!Ì=ƑΫÞË#ÐoåIıÅ!ÆgÍÂÒ3Æ‘Ç Ø5í å=Ê,Å«ÆEƑÐѨÛ.ÊáÛ_ÍÂÒ3Ò3ÆgÚ,̳ͨΫÞƑγÛ_Æ5ß=Æ_Êé¦Æ‘ÆgÎÔÊ,Å«Æ

Æ_ÐÌ!Ò3ÆgÚ3Ú,Ë#ͨÎôÓù«í#ø5¨Ùå‚ÑÂΫÞGÊ3Å!ƷۑɵѨÚ,Ú,ËۑÑÉ{ÕGÖb×ØVÞÆgÒ,˵ÜÂÆ~ÞG˵ÎÔÊ,Å«Æ·Ì«Å+àÚ,˵ÛgÑÉ{Ú(̳ÑÂÛ_Æ·ÑÂÚ®ã;ÍÂÈ!γÞU˵Î

ã;ÍÂÒa˵ΫÚ(Ê3ÑÂΫÛ_ÆL÷ üIËÚaÚ(Å«Í&éa΂í

IºIº

i !»r¿Ã»þ¼ MG¾=» F +¼‘½

ºeî0ÎìͨÒ3Þ!ƑÒeÊ3ÍUÑΫÑÂÉ#àâgÆLÊ,Å!ÆCÇLË#ÐÆgÞìÇLÆ_Ê3Å!ÍÞ

Óù«í#ø5¨ÙLé¦ÆUÑÂɵÚ,ÍìÎ!ƑÆ~ÞþÚ,ÍÂÇLÆÔÌ!Ò3ÍÂÌ=ƑÒ,Ê,˵ÆgÚfÍãáÊ,Å!Æðß!˵É#˵Î!ÆgÑÂÒCã;ͨÒ,Ç

a h

ÞƑñ«Î!Æ~ޅÍÂÎ Ê3Å!ÆðÚ,Ì«ÑÂۑÆ

RT ^1/2 _h

íCaÆgÛgÑɵÉoÊ,Å«Æ^ÞÆ_ñ³Î!ËÊ3Ë#ͨÎOÍã{Ê,Å!Æ^ÇLÑÊ,Ò3ËÐ

Λ

^ã;Ò3ÍÂÇ Óù!íµøÂø”ُå«éaÅ!ËۏÅO˵ÚRÛ_ÍÆ!CۑË#ÆgΨʏÚaÍã

a h

å

Û.ãíAÓù!íµø=+Ù.íáıūÆEÇAÑ&Ê3Ò,Ë#Ð

Λ

ËÚR߳ͨÈ!ΫÞÆ~ÞÔÈ!Î!Ë#ã;ÍÂÒ3ÇLÉ#àG˵Î

h

íeÄIÍkƑΫÚ,È!Ò3ÆEÛ_ÍÆgÒ3ۑË#ÜË#ÊàQÍÂã

a h

åé¦Æ

ÑÂÚ3Ú,È!ÇLÆ

Λ + Λ ^T

Ê3Ífß=Æ^È!Î!Ë#ã;ÍÂÒ3ÇLÉ#àOÌ=ͨÚ,ËÊ3Ë#ܨÆ^ÞƑñ«Î!Ë#Ê,Æ·ÍÂÎ

T h

íRıÅ!Ò3ÍÂÈ«êÂÅ!ͨÈÊaÊ,Å!Æ·Ò3ÆgÚ(Ê®Íã´Ê3Å!˵Ú

Ì«ÑÂ̳ÆgÒaéyÆeÑÂÚ3Ú,È!ÇLÆ

det(Λ + Λ ^T ) ≥ γ 0 ,

^{Óù!íµø+Ù}

Ê,ÍLÅ!ͨɵÞQͨÎQÑÂÉ#ɂÚ,È!ßÛ_ƑɵÉÚaéaËÊ3ÅGѷۑÍÂΫÚ(Ê3ÑÂÎ+Ê

γ 0 > 0

˵ΫÞÆg̳ÆgΫÞƑÎ+ʉÍÂã

h

^í

ıÅ!ËÚfۑÍÂΫÞË#Ê,˵ÍÂÎ ÇLÆgѨÚ(È«Ò,ÆQÊ,Å«ÆUÚ1¨Æ‘éaÎ!Æ~Ú,ÚLÍÂãáÊ,Å!ÆUۑƑɵɉéa˵êÂÅ+Ê,Æ~Þ ß+à

K

^í ÄIÍó˵ɵÉ#È«Ú(Ê,ҏÑ&Ê3Æ Ê,Å«ÆfÛ_ͨΫÞË#Ê,˵ÍÂ΂åréyÆCѨÚ,Ú,È!ÇLÆ

K

Ê,ÍGß=ÆAÊ3Å!ÆCËÞƑÎ+Ê,Ë#Êà

I

íQıūƑÎþÓù«í#ø5¨ÙáÞÆgÇAÑΫÞ!ÚeÊ,Å!ÆC˵Î!Î!ÆgÒ(Ý Ì!Ò3ÍÞÈ«Û.Ê5ÍÂãyÊ3Å!ÆAɵÍÂêÂËۑÑÂÉ#ɵàGÅ!ͨÒ,˵â‘ͨΨʏÑɪÑÂΫÞUܨƑÒ,Ê,ËۑÑÂÉ#ɵàÔÆgÞ!êÂÆLÜÂÆ~Û.Ê,ͨÒáÊ,ÍÔÞͨÇLË#ΫÑÊ,Æ·Ê,Å«ÆfÛ_Ò3ͨÚ3Ú

˵Î!Î!ƑÒ,ÝÌ!Ò,ÍÞȳÛ.ÊaÍãÊ,Å!Æ~Ú(ÆeܨÆgÛ.Ê3ÍÂҏڑåÛ_ãí‰Ó

í+Ù_åIÓù«í#ø¨ø~ÙyÑΫÞO×r˵êÂÈ!Ò3Æeù!í

Ý.Ó

i)

åÚ,ȫۏÅfÊ3Å«Ñ&Ê

(ξ 1 ,i · ξ 1 ,c )(ξ 2 ,i · ξ 2 ,c ) − ((ξ 1 ,i · ξ 2 ,c + ξ 1 ,c · ξ 2 ,i )/2) ² ≥ J i γ 0 .

(i) ξ 1 ,i

ξ 2 ,i

ξ 1 ,c

ξ 2 ,c

(ii)

Âx

(i)

7

(ii)

3

ÍÂÊ,ÆTÊ,ųÑ&ʱÊ,Å!Æáñ³Ò3Ú(ʱÊ,ƑÒ3ÇöÅ!ÆgÒ,ÆáÑɵé±Ñ”àÚ¦Ëڱ̳Í+Ú(Ë#Ê,˵ÜÂƨåÚ(˵ΫÛ_ÆTÊ3Å!Æ5ÑÎ!ê¨É#ÆTß=Æ_Êé¦Æ‘Æ‘ÎkÊ,Å«ÆeÍÂÌ!Ì=ͨÚ,ËÊ3Æ

Ú,È!ß=ۑƑɵÉIÆ~ÞêÂÆ~ډËډß=ÍÂÈ!ΫÞ!ÆgÞOßà

π/2

^{å!ã;Ò3ÍÂÇ} Ê,Å«ÆEÚ,È!ß=ۑƑɵÉۑÍÂΫÚ(Ê,Ò3È«Û.Ê3Ë#ͨÎGÑΫÞOÒ3Ƒê¨È!ɵÑÂÒ,Ë#ÊàfÍÂã

T h

í

ıÅ!ÆCۑÍÂΫÞË#Ê,˵ÍÂ΅Óù!íµø¨ÙTéa˵ɵɪã;ÍÂÒeƑÐ!ÑÇLÌ!ɵÆAÅ!ÍÂÉÞëÍÂÎõÊ,Å«ÆLÊ,ҏÑÌ=Ƒâ‘ͨ˵ޫÑÉ´ÍÂÒ^â‘˵êÂâgÑÂêOêÂÒ3˵Þ!ÚáÍÂãT÷ÿ~ü

éaË#Ê,Å

K = I

íªÜ¨Æ‘ÎfÒ3ÍÂÈ«êÂÅ!ÆgÒbÛ_ÆgÉ#ÉÚbéaË#Ê,Å

x 21 = (h, 0)

^å

x 41 = (0, h)

^ÑÂΫÞ

x 32 = (0, 3h)

^åÛ.ãí

×rË#ê¨È!Ò3Ʊù«í ݏÓ

ii

Ù_åÚ,ÑÊ,ËÚñ³ÆgÚ±Óù«í#ø5¨ÙåË#ã

K = I

^í ÍÊ,ƦÊ3Å«Ñ&Ê{Ê,ū˵ڪۑÍÂΫÞ!ËÊ3Ë#ͨÎEËÚ{Ë#γÞƑÌ=ƑΫÞ!ƑÎ+ʪÍã

h

^å

ÑγÞOÅ!ÍÂÉÞ!ÚaͨÎGÒ,ͨÈ!êÂÅOä+È«ÑÂÞÒ3˵ɵÑÊ,ƑҏÑÉoê¨Ò,ËÞ!ÚaéaË#Ê,Å«ÍÂÈÊRÑÂÎàkÑÂÚ,àÇLÌÊ,ÍÂÊ,ËÛeÒ,Ƒñ«Î!ÆgÇ·ÆgÎ+Ê®Û_ÍÂγÞËÊ3Ë#ͨÎ

ÍÂÎ

T h

í

Ú,˵Î!êfÊ3Å!Æ·Ò,ÆgêÂÈ!ÉÑÒ3ËÊàQÍãbÊ,Å!ÆLÇLÆgÚ,łå=Ê,Å!ÆAѨÚ,Ú,È!ÇLÌÊ,˵ÍÂÎòÓù!íµø+ُå‚ÑγÞGÊ,Å«Æ·Æ~ä+È!Ë#Ü&ÑÂÉ#ÆgΫÛ_ÆEÍã

Î!ͨÒ,ÇAÚEÍÂÎìÊ3Å!ÆkÒ3Æ_ã;ÆgÒ,ÆgΫÛ_ÆfƑɵƑÇLƑÎ+Ê

E ˆ

Ë#Ê·ËÚEÚ(Ê,ҏÑ˵êÂÅ+Ê,ã;ÍÂÒ3é¦ÑÂÒ3ÞðÊ,ÍõÚ(Å«Í&éVÊ,Å«ÑÊ

a h (v, v) ^1/2

^˵Ú

Ægä+È!˵Ü&ÑɵƑÎ+ʪÊ3ÍeÊ,Å!Æ

L 2

Î!ÍÂÒ3Ç Í¨Î

RT ¹ _h ^{/ 2}

^å+ËíÆÂírÊ,ūƑÒ3ÆRÑÒ3ƉÛ_ͨΫÚ(Ê3ÑÎ+ʏÚ

α 0 , α 1 > 0

åÂ˵ΫÞÆg̳ÆgΫÞƑÎ+Ê Íã

h

å!Ú(ȫۏÅkÊ,ųÑ&Ê

α 0 kvk ² ≤ a h (v, v) ≤ α 1 kvkkuk.

^{Óù!í #¨Ù}

ıÅ!Æ5È«Ì!̳ÆgÒ®ß=ÍÂÈ!γÞOÅ!ÍÂÉÞ!ډÚ,Ë#γÛ_Æ

D c D ⁻¹

˵ڮÈ!Î!Ë#ã;ÍÂÒ3ǷɵàQ߳ͨÈ!ΫÞÆ~Þoí¦×«Ò,ͨÇöÊ3Å!Æ^ɵÍ&éyÆgÒa߳ͨÈ!ΫÞoå Ê,Å«ÆeÈ!Î!Ëä¨È«Æ‘Î!Æ~Ú,Ú±ÍÂãeÓù!íµø+ÙbΫÍ&éþã;ÍÂɵɵÍ&é‰Ú‘í

º JE¾=» +½ »rÁ G¾ ¦¼ QXY]eW

d

ºRî0ÎfÊ,Å!ËÚ¦ñ«Î«ÑÂÉoÚ(Æ~Û.Ê,˵ÍÂÎkÍã‚Ê3Å!ÆTÌ«ÑÌ=Ƒұé¦ÆTÚ,Å!Í&é Ê,Å«Æ

Û_ͨÎÜÂƑÒ3êÂÆgΫÛ_ÆRÍãrÊ,Å!Æ5ÕÔÖb×Ø Ú(àÚ(Ê,ÆgÇ Óù«í#ø5¨Ùí

! $'&$

+*

v ∈ (H ¹ ) ²

^)(8*

div v ∈ H ¹

^.A

p ∈ H ¹

^{*+ 0+7*}

M h

^{4 +}

* +

L 2

^{7+7*DA *}

Q h

^).

Π 0 ,h

^{* +}

L 2

^{7+*DA A *}

(P 0 (E)) ²

^.080

E ∈ T h

+= * +=+ .A * .A *

c

^{)? +! += 1+ * 1}

h

^{) " * .*}

kM h p − pk ≤ chkpk 1 ,

^{Ó³í#ø”Ù}

kΠ 0,h v − vk ≤ chkvk 1 ,

^{Ó³í Ù}

kΠ h v − vk ≤ chkvk 1 ,

^Ó³íù+Ù

k div(R h v − v)k ≤ chk div vk 1 ,

^Ó³íÙ

5$

íòî0Î!Ægä+È«ÑÂÉ#Ë#Ê,˵ÆgÚQÓ³í#ø”Ù^ÑÂÎ«Þ Ó«í Ù5ã;ÍÂɵÉ#Í&é‰ÚEßàìÍÂҏÞ˵ΫÑÒ3àð˵Î+Ê,ÆgÒ,Ì=ÍÂÉÑ&Ê3Ë#ͨÎóÆgÚ(Ê,˵ÇAÑ&Ê,Æ~ڑí

î0Î!Æ~ä¨È³ÑɵËÊàOÓ³íù+Ù{ۑÑÎLß=Æaã;ÍÂȫΫÞLË#ÎO÷ÿ~üí

ý

Ë#γÛ_Æ

div R h v = M h div v

å¨Û_ãí±Óù!íû¨Ù_å³Ó³íÙã;ÍÂɵÉ#Í&é‰Ú ã;Ò3ÍÂÇ Ó«íµø~Ù.í

! # $%$ $&

+7*

u ∈ (H ¹ ) ²

^.A

v ∈ RT ^1/2 _h

^{+= *+ + .'A *.A *}

c

⁾

1+(+= += * $

h

^{) " * ./*}

|a h (Π h u, (I − Π h )v )| ≤ chkuk 1 k(I − Π h )vk.

5$

íy×!Ò3ÍÂÇ IƑÇLÇAÑ·ù«í#ø¨åéyÆáūєܨÆ

a E (Π 0,h u, (v − Π h v)) = 0.

a E (Π h u, (I − Π h )v) = |a E ((Π h − Π 0 ,h )u, (I − Π h )v)|

≤ α 1 k(Π h − Π 0,h )uk E k(I − Π h )vk E

≤ chkuk 1 ,E k(I − Π h )vk E .

ý

È!ÇLÇL˵Î!êAÍ&ÜÂÆgÒ

T h

åÊ3Å!Æ5ÞÆgÚ,˵Ò,Æ~ÞfÒ3ÆgÚ,È!É#ʦã;ͨÉ#ɵÍ&é‰Úgí

‚Æ‘Ê

a(u, v)

ß=Æ^Ê3Å!ÆAÛ_ÍÂÎ+Ê3Ë#ÎÈ!ͨȫڮ߫Ë#ɵË#ΫÆgÑÒRã;ÍÂÒ3Ç

(K ⁻¹ u, v)

í^ıÅ!Æ·Î!Æ_ÐÊeÒ,Æ~Ú(È«ÉÊá˵ÚáÑkÛ_ÍÂγÚ(ËÚÝ Ê,ÆgΫÛ_àkÒ,Æ~Ú(È«Éʱã;ÍÂÒ±Ê3Å!Æeß!˵É#˵Î!Æ~ÑÒ±ã;ÍÂÒ3Ç

a h

í

! $"%$

+7*

u ∈ (H ¹ ) ²

^.A

v ∈ RT h

^{+= * +=+ 9.A *. *}

c

^{)8 1+(+=}

+= * $

h

^{) " *./*}

|a h (Π h u, v) − a(u, v)| ≤ chkuk 1 kvk.

5$

íy×!Ò3ÍÂÇ IƑÇLÇAÑÂÚaù!íµøeÑÎ«Þ «íµøÂåÊ3Å!Æeß=ÍÂÈ!ΫÞ!ÆgÞÎ!Æ~Ú,Ú±ÍÂã

a

^{ÑΫÞõÓù«í}+Ùbé¦ÆeÞƑÒ3˵ÜÂÆ

|a h (Π h u, v)− a(u, v)|

= | a h ((Π h − Π 0,h )u, v) + ((K ⁻¹ _h − K ⁻¹ )Π 0,h u, v) + a((Π 0,h − I)u, v)|

≤ c (kΠ h u − uk + kΠ 0,h u − uk + hkΠ 0,h uk) kvk

≤ chkuk 1 kvk.

+= .A

í ‚ÆgÇ·ÇAÑ ³í

ÑÂÎ«Þ ³íùGÑÂÒ,ÆfÚ(Ê3ÑÊ,Æ~ÞëË#ÎìÊ3Å!ÆCÌ!ÅàÚ,˵ÛgÑÉyÚ,̫ѨÛ_ÆÂíÔÄÍUѨۏÅ!Ë#ÆgÜÂÆLÊ3Å!˵Ú

Ú(Ê3Ñ&Ê3ƑÇLƑÎ+ʏÚaË#ÎQÊ3Å!Æ5Ì!ÅàÚ(ËۑÑÂɂÚ(̳ÑÂÛ_Æeé¦ÆeÆgÚ3Ú,ƑÎ+Ê,ËÑɵÉ#àfÈ«Ú(Æ~ÞkÊ,Å«ÑʉÍÂÎ!ÆeÍÂãÊ3Å!Æ&+ÑÂÛ_ͨß!ËÑÎQÇLÑÊ,Ò3ËÐ

é±ÑÂÚ´ÆgܔÑÂÉ#ȳÑ&Ê,Æ~Þ·Ë#ÎAÊ3Å!ƮۑƑɵɳÛ_ÆgÎ+Ê,ƑÒ~å¨Û_ãíaÓù!í¨Ù{ÑÂÎ«Þ ‚ÆgÇLÇLÑ^ù!íµøÂåéaÅ!ËۏÅCÑê+Ñ˵ÎAۑÑȳÚ(Æ~Þ^Ê3Å!ƉÎ!ͨÎ

Ú,à+ÇLÇLÆ_Ê3Ò,àfÍãrÊ,Å!ÆeÇLÆ_Ê3Å!ÍÞoí

îÊá˵ÚRéyÆgÉ#É>Î!Í&éaÎOÊ3Å«Ñ&Ê~åoË#ÎõÑÂÞ!ÞË#Ê,˵ÍÂÎÔÊ,ÍkÊ,Å!ÆE߳ͨÈ!ΫÞÆ~ÞÎ!ÆgÚ3ÚTÍã´Ê3Å!ÆEß«Ë#ɵË#ΫÆgÑÒRã;ÍÂÒ3ÇAڑå=Êé¦Í

Û_ͨÒ,Ò3ÆgÚ,Ì=ÍÂΫÞ˵Î!ê¦Ò3Ƒâ‘âgËۑÍÂΫÞË#Ê,˵ÍÂγڮūєܨÆeÊ,Ík߳ƷÚ,ÑÊ,ËÚñ³ÆgÞG˵ÎÔÍÂҏÞÆg҉Ê,ÍkƑΫÚ,È!Ò3ÆEÚ(Ê3ÑÂß!Ë#ɵË#ÊàkÍÂãbÑ

ÇLËÐÆ~ÞÔñ«Î«ËÊ3Æ·ÆgÉ#ÆgÇLƑÎ+ÊeǷƑÊ,Å!ÍÞðÍãyÊ,Å!Æ·ã;ÍÂÒ3ÇhÓù!íµø¨Ù.åIÛ.ãíQ÷#ø #”üí·×«ÍÂÒTÊ,Å!ÆAۑÍÂÎ+Ê,˵ÎÈ!ÍÂÈ«ÚTÇLË#ÐÆ~Þ

ã;ÍÂÒ3Ç^ȫɵÑÊ,˵ÍÂÎkÓù!íµø~ÙIÊ,ūƦ̫Ò,̳ͨÆgÒã;ȫΫÛ.Ê3Ë#ͨÎLÚ,̫ѨÛ_Æyã;ÍÂÒrÊ,Å!Ʊã;ͨÒ,ÇEÈ!ÉÑ&Ê,˵ÍÂÎE˵Ú

H (div)×L 2

í>‰Æ‘γÛ_ÆÂå

˵ÎkÊ3Å!ÆeÌ!Ò3ÆgÚ,ƑÎ+ʉÚ(ƑÊ(Ê3Ë#Î!ê·Ê3Å!Æáñ«ÒÚÊB¦Ò,Ægâ‘âg˂Û_ÍÂγÞËÊ3Ë#ͨÎkÒ3Ægä+È!˵Ò3ÆgÚ¦Ê,ųÑ&Ê

sup

v∈RT ¹ _h ^{/ 2}

(q, div v ) kvk div

≥ β 1 kqk

^{ã;ͨ҉ÑɵÉ}

q ∈Q h ,

^Ó³íú¨Ù

éaÅ!ÆgÒ,Æ

β 1 > 0

ËÚA˵ΫÞƑÌ=ƑγÞƑÎ+ÊkÍÂã

h

^{í ý Ë#ΫۑÆ}

RT ¹ _h ^{/ 2} ⊃ RT h

åaÑΫÞòÊ,Å«ÆUÛ_ͨÒ,Ò3ÆgÚ,̳ͨΫÞ˵Î!ê

Û_ͨΫÞË#Ê,˵ÍÂÎk˵ڦé¦Æ‘ɵÉÎ!Í&éaÎfÊ,Í·Å!ÍÂÉÞAã;ͨҦÊ,Å!ÆáÌ«ÑÂË#Ò

RT h × Q h

å!Û.ãía÷µø#åø5”üåé¦ÆáÛ_ÍÂγÛ_ɵȫÞÆRÊ,Å«ÑÊ

Ó³íú¨Ùy˵ڱã;È«Éñ«ÉµÉµÆgÞoí

ıÅ!ƱÚ(Æ~Û_ͨΫÞ5Ú(Ê3Ñß«Ë#ɵËÊà5ۑÍÂΫÞ!ËÊ3Ë#ͨÎ^ËÚIÒ3ƑÉÑ&Ê3ÆgÞeÊ3͉Ê3Å!ƱéyÆ~ÑÉ#àáÞ˵ÜÂÆgÒ,ê¨Æ‘Ϋۑƪã;Ò3ƑÆbܨÆgÛ_Ê,ÍÂÒñ«ÆgɵÞ!Ú

˵Î

RT ^1/2 _h

^{í ‚Æ_Ê}

Z h

ÞƑΫÍÊ,ÆTÊ3Å!Æ5Ú(ƑʉÍãréyÆ~ÑÉ#àkÞË#ܨƑÒ3êÂÆgΫÛ_ÆRã;Ò,ÆgÆáÜÂÆgÛ_Ê,ͨÒyñ³Æ‘ÉÞ!ڑå«ËíÆÂí

Z h = {v ∈ RT ¹ _h ^{/ 2} : (div v, q) = 0, ∀q ∈ Q h }.

ıÅ!Æ5Ú(Ê3ÑÂΫÞ!ÑҏÞAã;ͨÒ,ÇEÈ!ÉÑ&Ê,˵ÍÂÎQÍãÊ,Å!Æ5Ú,ÆgۑÍÂΫÞQÚ(Ê3Ñß«Ë#ɵËÊàkÛ_ÍÂγÞËÊ3Ë#ͨÎGÚʏÑ&Ê,Æ~Ú¦Ê,Å«ÑÊ

kvk div ≤ β 2 kvk

ã;ÍÂ҉ÑÂÉ#É

v ∈ Z h ,

éaÅ!ÆgÒ,Æ

β 2

˵ډË#ΫÞ!ƑÌ=ƑΫÞÆgÎ+Ê®Íã

h

í±Ä±Å!ËډÛ_ͨΫÞË#Ê,˵ÍÂÎGÞÍÆgډÎ!ÍʉÅ!ͨɵÞO˵ÎQÊ,Å!Æ^Ì!Ò,Æ~Ú(ÆgÎ+ʮۑÑÂÚ,ÆeÚ(ËµÎ«Û‘Æ Ê,Å«ÆRÆgÉ#ÆgÇ·ÆgÎ+Ê3ÚyÍã

Z h

ÑÒ3ƮΫÍʦÞ!Ë#ܨƑÒ3êÂƑγÛ_Æaã;Ò3Ƒƨí>®Í&éyÆgÜÂÆgÒgå¨Ëã

v ∈ Z h ∩ RT h

Ê3Å!ƑÎ

div v = 0

^í

ıÅ!ËډËÚ®Ú,ƑÆgÎQßàOÑ·Ê,ҏÑΫÚ(ã;ÍÂÒ3ÇAÑ&Ê3Ë#ͨÎk߫ѨÛCÊ3ÍAÊ,Å!Æ^Ò,Ƒã;ƑÒ3ƑΫۑÆ5Ú(̫ѨÛ_Æ¨í ®Æ‘Î«Û‘ÆÂå³ã;ÍÂÒ®ÑÂÎ+à

v ∈ Z h

é¦Æ¦ÇEÈ«Ú(Ê{ųєÜÂÆyÊ,Å«ÑÊ

div ˆ Πˆ v = 0

ÑÂΫÞ5Ë#Ê´ã;ÍÂɵÉ#Í&é‰ÚÊ3Å«Ñ&Ê

div R E v = 0

í{ıÅ!ÆgÒ,Ƒã;ÍÂÒ3ÆÂå”Ê,ūƦé¦ÆgÑÂÆgÒ Û_ͨΫÞË#Ê,˵ÍÂÎ

kvk + k div R h vk ≤ β 2 kvk

^{ã;ÍÂ҉ÑɵÉ}

v ∈ Z h ,

Å!ͨɵÞ!Ú±éaË#Ê,ÅÔۑÍÂΫÚ(Ê3ÑÂÎ+Ê

β 2 = 1

íªÄ±Å!ËډÚ(ɵ˵êÂÅ+ÊaɵѨÛCÍã´ÚʏÑß!˵ɵËÊàAã;ͨұÊ,Å!Æ^Ç·Ë#ÐÆgÞQÇLÆ_Ê3Å!ÍÞõÓù!íµø+Ù éa˵É#ɴūєܨÆEۑÍÂΫÚ,Ægä+È!ÆgΫÛ_Æ~ډã;ͨÒRÊ3Å!ÆLƑÒ3Ò,ͨҮÆ~ÚÊ3Ë#ÇAÑ&Ê3ÆgÚTé¦ÆLÚ,Å«ÑÂÉ#É{ÍÂß!Ê3Ñ˵΂í5î0γÚÊ3ÆgÑÂÞUÍãbÆ~ÚÊ3Ë#ÇAÑÊ,ÆgÚ

˵ÎkÊ3Å!ÆeÎ!ͨÒ,ÇöÍÂã

H (div) × L 2

éyÆeéa˵ɵÉoË#ΫÚ(Ê,Æ~ÑÂÞQÍÂß!Ê3Ñ˵ÎQÆgÚ(Ê,˵ÇLÑÊ,Æ~Ú±Ë#ÎGÑ·éyÆ~ѨƑұÎ!ÍÂÒ3ÇOí

‚Æ‘Ê

(u, p) ∈ H (div) × L 2

ß=ÆkÊ,Å!ÆOÚ(ͨÉ#È!Ê,˵ÍÂÎóÍÂã‰Ê,Å!ÆOÛ_ͨÎ+Ê,˵Î+È«ÍÂÈ«ÚEÌ!Ò3ÍÂß!ÉµÆ‘Ç Óù«í#ø”Ù5ÑÂΫÞ

(u h , p h ) ∈ RT ¹ _h ^{/ 2} ×Q h

Ê3Å!ÆaÛ_ÍÂÒ3Ò3ÆgÚ,̳ͨΫÞ˵Î!ê®Ú,ÍÂɵÈÊ,˵ÍÂÎEÍãaÓù!íµø+ُí 'ðÆaÑÂÚ3Ú,È!ÇLÆbÊ3Å«Ñ&Ê

u

^å

div u

^å

ÑγÞ

p

ÑÂÒ,ÆbÑÂÉ#É

H ¹

ã;È!ΫÛ.Ê3Ë#ͨΫÚgí ÍÊ,ÆbÊ,Å«ÑÊË#Êã;ͨÉ#ɵÍ&é‰Úoã;Ò3ÍÂÇ Óù!í ÙÊ3Å«Ñ&Ê

Π h (u−u h ) ∈ Z h ∩RT h

ÑγÞUÊ3Å!ƑÒ3Æ_ã;ͨÒ,Æ

div Π h (u − u h ) = 0

ÑÂΫÞëÑÉÚ(Í

div R h (u − u h ) = 0

^í 'õÆfۑÑÂÎõÊ,Å!ÆgÒ,Ƒã;ÍÂÒ3Æ Û_ͨΫÛ_ɵȫÞÆTã;Ò3ÍÂÇ Ó«í+Ù_åÊ,Å«ÑÊ

k div(u − R h u h )k = k div(u − R h u)k ≤ chk div uk 1 .

^Ó³íû+Ù

ıÅ!Æ

L 2

Î!ÍÂÒ3ÇöÍã

u − u h

ËÚ±ÆgÚ(Ê,˵ÇLÑÊ,Æ~ÞkΫÆ_ÐÊgí

! $ $

+=+ 9. A *.A *

c

^{)? +! += 1+ *C1}

h

^{) " * .*}

ku − u h k ≤ chkuk 1 .

5$

íyæ®È!ÆáÊ3ÍLÊ,Å!Æe˵Î+Ê,ÆgÒ,Ì=ÍÂÉÑ&Ê3Ë#ͨÎfÒ3ÆgÚ,È!ÉÊ5Ó«íù¨Ù¦Ë#ʉ˵ڱÆgÎ!ÍÂÈ!ê¨ÅfÊ3ÍAÚ(Å!Í&é Ê,Å«ÑÊ

kΠ h u − u h k ≤ chkuk 1 .

^{Ó³í–ÿÂÙ}

×!È«Ò(Ê3Å!ƑÒ3ÇLÍÂÒ3ÆÂåßàõÓù!í

#¨ÙyË#ʉ˵ÚaÚ,È!CÛ_˵ƑÎ+ÊaÊ3Í·Æ~ÚÊ3Ë#ÇAÑÊ,Æ

a h (Π h u − u h , Π h u − u h ) ^1/2

^í

î0ÎCͨÒ3ÞÆgÒªÊ3ÍEÞÍ^Ê,Å!ËÚ¦éyÆTÚʏÑÒ,Êbßà·Í¨ß«Ú,ƑÒ3Ü+˵Î!êeÊ3Å«Ñ&ʱÚ(˵ΫۑÆ

Π h (u − u h )

˵ڦÞ˵ÜÂÆgÒ,ê¨Æ‘ΫۑƱã;Ò,ÆgÆ Ë#Êaã;ÍÂɵÉ#Í&é‰Ú¦ã;Ò3ÍÂÇ Ê3Å!Æ5ÞƑñ«Î!Ë#Ê,˵ÍÂÎOÍã

u h

ÑγÞõÓù!í ÙbÊ,ųÑ&Ê

a h (u h , Π h u − u h ) = (p h , div(Π h u − u h )) = (p h , div Π h (u − u h )) = 0.

‰ÆgΫÛ_ƨå

a h (Π h u − u h , Π h u − u h ) = a h (Π h u, Π h u − u h )

= a h (Π h u, Π h (u − u h )) − a h (Π h u, (I − Π h )u h ).

ý

˵ΫÛ_Æ

a(u, Π h (u − u h )) = (p, div(Π h (u − u h ))) = 0,

é¦ÆTͨßÊ3ÑÂË#ΫÆgÞfÊ,Å!ÆeËÞƑÎ+Ê3ËÊà

a h (Π h u−u h , Π h u−u h ) = [a h (Π h u, Π h (u−u h ))−a(u, Π h (u−u h ))]−a h (Π h u, (I−Π h )u h ).

×!Ò3ÍÂÇöÊ,Å!ÆeÆ~ÚÊ3Ë#ÇAÑ&Ê3ÆgÚ±ÍÂãÊ3Å!Æ ‚ÆgÇ·ÇAѨÚC«í ÑÂÎ«Þ «íùEé¦ÆeÞƑÒ3˵ÜÂÆ

a h (Π h u − u h , Π h u − u h ) ≤ chkuk 1 (kΠ h (u − u h )k + k(I − Π h )u h k)

≤ chkuk 1 kΠ h u − u h k,

éaÅ!ÆgÒ,ÆTÊ,Å«Æáñ«Î«ÑÉo˵Î!Æ~ä¨È³ÑɵËÊàAã;ͨÉ#ɵÍ&é‰Ú¦ã;Ò3ÍÂÇ Óù!íù¨Ù.í?¦àõÓù!í #+ÙbÊ,Å!ËÚa˵Ƿ̫É#˵ÆgÚ5Ó«íÿُí

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

~x

8

h ²

8

×!ͨҦÊ,Å!ÆTñ«Î«ÑÂÉoÆgÚ(Ê,˵ÇAÑ&Ê,ÆáͨÎ

kp − p h k

Ë#Êa˵ÚgåßàðÓ³í#ø”ُåƑΫÍÂÈ!ê¨ÅfÊ3ÍEß=ÍÂÈ!γÞ

kM h p − p h k

^{í{ıūÆ}

˵Îã#Ú,È!ÌGÛ_ͨΫÞË#Ê,˵ÍÂÎQÍÂÎ

RT h × Q h

ê¨Ë#ܨÆgÚ

kM h p − p h k ≤c sup

v∈RT _h

(M h p − p h , div v) kvk div

≤c

kM h p − pk + sup

v∈RT _h

(p − p h , div v) kvk div

≤c

kM h p − pk + sup

v∈RT _h

|a(u, v) − a h (Π h u, v)| + a h (Π h u − u h , v) kvk div

≤ch (kpk 1 + kuk 1 )

éaÅ!ÆgÒ,Æáé¦ÆTųєÜÂÆáÈ«Ú,ÆgÞõÓ«íµø~Ù_å‚Ó³í–ÿÂÙ±ÑΫނÆgÇ·ÇAÑ «íù!í

ÄÍÂêÂƑÊ,Å!Æg҂éaË#Ê,ÅfÓ«íû¨Ù‚ÑÂÎ«Þ ‚ÆgÇLÇLÑB«íaÊ,Å!ËÚË#ÇLÌ!ɵË#Æ~ÚoÊ3Å!ƪã;ͨÉ#ɵÍ&éaË#Ϋê®Ú(ƑÊIÍã!ÆgÒ,Ò3ÍÂÒoÆ~ÚÊ3Ë#ÇAÑÊ,ÆgÚ

ã;ÍÂÒ±Ê3Å!Æ5ÕGÖb×Ø ÇLƑÊ,Å!ÍÞoí

% $%$

+7*

(u, p)

^{4 +* + + . 7* =/0*DA $ .A}

(u h , p h ) ⊂ RT ¹ _h ^{/ 2} ×Q h

* + =0* $ (

Óù!íµø+Ù

0 ) * +=+B!. * .A *

c

^{) 1+(+ += *}

$

h

^{) 4=* 1+(+ A}

kuk 1

)

k div uk 1

.

kpk 1

) " *./*

ku h − uk + k div(R h u h − u)k + kp h − pk ≤ ch.

+= .A

íaÆ~ۑÑÂÉ#ÉÊ,Å«ÑÊ

div ◦R h

ÇAÑÂÌ«Ú

(H ¹ ) ²

˵Î+Ê,ÍfÊ,Å!Æ·Ì!˵ÆgÛ_Ægéa˵Ú,Æ^ۑÍÂΫÚ(Ê3ÑÂΨÊáÚ(̳ÑÂÛ_Æ

Q h

å

ÑγÞðÚ3Ñ&Ê3˵Ú(ñ«ÆgÚTÊ3Å!ÆCÛ_ͨÇLÇ^ÈÊ3Ë#Î!êGÞËÑê¨Ò3ÑÂÇKÌ!Ò,̳ͨÆgÒ(Êà Óù«íû+Ù®ËíÆÂí

div ◦R h = M h ◦ div

^{íLıū˵Ú}

ƑγÚ(È!Ò3ÆgÚyÊ3Å!ÆeÛ_ÍÂÎܨƑÒ3êÂƑγÛ_ƉÍÂã‚Ê,Å!ÆeÞËÚ3Û_Ò3Æ_Ê,ÆáÞ˵ÜÂÆgÒ,ê¨Æ‘ΫۑÆÂåÛ.ãí‰Ó«í+ُíªÄ±Å!ÆeۑÍÂÎÜÂÆgÒ,ê¨Æ‘ΫۑƉÒ,Æ~Ú(È«ÉʏÚ

ã;Ò3ÍÂÇ Ä±Å!ƑͨÒ,ÆgÇ ³íú!å+ÑÂɵÚ,Í^ÑÂÌ!Ì!ɵàEÊ3Í5Ê3Å!ÆTۑɵѨÚ,Ú,ËۑÑɉєÜ˵ÑÂÒ(Ê,ÝıūÍÂÇAÑÂÚ´Ú,ÍÂɵÈÊ,˵ÍÂÎIå+Û_ãí‰Óù!íÿÙªéaËÊ3Å

(u h , p h )

^ÑÂΫÞ

(v, q) ∈ RT h × Q h

íóıūƑÒ3Æ_ã;ÍÂÒ3ÆAÊ3Å!˵ڷê¨Ë#ܨÆgÚ·Û_ÍÂÎܨƑÒ3êÂƑγÛ_ÆAÍãaÊ3Å!ÆGÛ_ÉÑÂÚ3Ú(ËۑÑÂÉ

‰Ñ”ÜËÑÒ,Ê(Ý0ıÅ!ÍÂÇAÑÂÚCǷƑÊ,Å!ÍÞ éaËÊ3Å!ÍÂÈ!ÊQÌ=ƑÒ,ã;ÍÂÒ3ÇLË#Î!êôÊ,Å!Æ

ABF 0

#+ÇLÍÞË#ñ³Û‘ÑÊ,˵ÍÂÎþÍÂã5Ê,Å!Æõñ«Î«ËÊ3Æ

ƑɵƑÇLÆgΨʮÚ,̫ѨÛ_ÆÂí

‚º MGÀ +½&ÃÁ bP ! +½&à »¼ º ´ÐÊ3ƑΫÚ,Ë#ܨÆáÎ+È«Ç·ÆgÒ,ËۑÑÂÉÊ,Æ~ÚÊ3Ë#Î!êAųÑÂÚ±ß=ƑƑÎOÌ=ƑÒ,ã;ÍÂÒ3ÇLÆgÞ

ÍÂÎOÊ3Å!ÆEۑÍÂÎÜÂÆgÒ,ê¨Æ‘ΫۑÆáÍã{Ê,Å!ÆEÌ!ÅàÚ(ËۑÑÂÉIÚ(̳ÑÂÛ_ÆEÞƑÒ3Ë#ܨÆgÞOÕGÖb×Ø ÞËÚ,ۑÒ,ƑÊ,˵âgÑ&Ê3Ë#ͨ΂å³Û_ãí5÷ùå-«åø&üí

ıÅ!ÆLã;ͨÉ#ɵÍ&éaË#ΫêkƑÐÑÂÇLÌ!É#ÆA˵ɵÉ#È«Ú(Ê,ҏÑ&Ê3ÆgÚTÊ3Å!ÆAêÂÍÍÞðۑÍÂÎÜÂÆgÒ,ê¨Æ‘ΫۑÆEä+È«ÑÂÉ#Ë#Ê,˵ÆgÚáͨÎðÒ3ÍÂÈ!ê¨Åðê¨Ò,ËÞ!ÚTã;ͨÒ

Ê,Å«ÆeÌ!ÅàÚ,ËۑÑɂÚ,̫ѨÛ_ÆTß«ÑÂÚ,ÆgÞQÕGÖb×ØZۑÍÂÇLÌ«ÑÂÒ,Æ~ÞAÊ,ÍLÊ3Å!ÆeÒ3Æ_ã;ƑÒ3ƑγÛ_ÆáÚ(̫ѨÛ_Æá߫ѨÚ(Æ~ÞfܨƑҏÚ(˵ÍÂ΂í

‚ƑʪÊ,ūƮƑ˵êÂÆgÎܔÑÂÉ#È«ÆgÚrã;ÍÂÒ

K

ß=Æ5ø#eÑÂΫÞOøÂåÚ(ȳۏÅEÊ3Å«Ñ&ÊyÊ,Å!Ɖñ«Ò3Ú(ÊbÆgË#ê¨Æ‘ÎÜÂÆ~Û.Ê,ͨҴ˵ڪÊ,˵ÉÊ3ÆgÞ

π/6 K =

7.7500 3.8971 3.8971 3.2500

.