Primtallsteoremet og zetafunksjonen

Primtallsteoremet og zetafunksjonen

Henrik Sommer

Lektorutdanning med master i realfag

Hovedveileder: Lars Peter Lindqvist, MATH

Institutt for matematiske fag Innlevert: Mai 2013

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet

Sammendrag

I denne oppgaven ser jeg p˚a hvordan primtallene er distribuert asymptotisk. Riemanns zetafunksjon er nært knyttet til dette og den defineres først ved hjelp av en Dirichletrekke.

Videre utvides definisjonen ved ˚a bruke analytisk fortsettelse fra kompleks analyse, slik at zetafunksjonen blir definert p˚a hele det komplekse planet. Disse resultatene brukes sam- men med tallteori og residueregning for ˚a bevise primtallsteoremet.

Summary

In this paper I look at how prime numbers are distributed asymptotically. Riemann zeta function is closely related to this, and it’s first defined by a Dirichlet series. Further the definition expands by using analytic continuation from complex analysis, so the zeta func- tion is defined on the entire complex plane. These results are used, along with number theory and residue theory, to prove the prime number theorem.

Forord

Denne oppgaven er skrevet ved Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet som en avs- lutning p˚a min lærerutdanning i realfag. Arbeidet med oppgaven har p˚ag˚att fra august 2012 til mai 2013, hoveddelen av av arbeidet fant sted i v˚arsemesteret. I oppgaven bevises prim- tallsteoremet, og oppbyggingen av beviset er hovedsakelig hentet fra Apostol: “Introduc- tion to Analytic Number Theory”[1]. Jeg ønsker ˚a takke professor Peter Lindqvist for hjelp og veiledning i arbeidet med oppgaven.

Innhold

Sammendrag i

Summary ii

Forord iii

Innhold vi

Notasjon vii

1 Innledning 1

2 Grunnleggende tallteori 3

2.1 Aritmetiske funksjoner . . . 3

2.2 Dirichlet konvolusjon . . . 5

2.3 Abels identitet og Eulers summasjonsformel . . . 6

2.4 Chebyshevfunksjonene . . . 9

2.5 Ekvivalente former av primtallsteoremet . . . 10

2.6 Et svakere teorem enn primtallsteoremet . . . 13

3 Dirichletrekker 17 3.1 Dirichletrekker og zetafunksjonen . . . 17

3.2 Funkjonen definert ved en Dirichletrekke . . . 19

3.3 Eulerprodukter . . . 22

3.4 Dirichletrekker uttrykt som eksponentialer av Dirichletrekker . . . 24

4 Analytisk fortsettelse av zeta 27 4.1 Gammafunksjonen . . . 27

4.2 Integralrepresentasjon for zetafunksjonen . . . 27

4.3 Utvidet definisjon av zetafunksjonen . . . 31

5 Bevis for primtallsteoremet 33 5.1 ψ(x)ogψ₁(x) . . . 33

5.2 ^ψ1_x^(x)2 uttrykt som et konturintegral . . . 35

5.3 Zetafunksjonen p˚a linjaσ= 1 . . . 37

Bibliografi 45

Appendix 47

Notasjon

Her presenteres notasjon som er brukt i oppgaven.

• logxbetyr den naturlige logaritmen av x. Dersom det er snakk om andre grunntall for logaritmer skrives det sliklog₂x, der2er grunntall.

• bxcbetyr heltallsdelen avx. Det vil sibxc= max{n∈Z slik atn≤x}.

• ⁿ_k

er binomial koeffisienten _k!(n−k)!^n! .

• d|nbetyr atddelern, det vil sider en faktor in.

• O(f(x)) =g(x)betyr atf(x)er dominert avg(x), det vil si det eksisterer enM slik at|f(x)| ≤M g(x)for allex.

• P

p vil si at summen skal g˚a over primtall. Dersom summen g˚ar over annet ennp, skal det summeres over heltall.

• MedR∞

k f(t)dtmeneslim_x→∞Rx k f(t)dt.

Kapittel 1

Innledning

De fleste av punktene i innledningen nevnes i Ingham: “The Distributuon of Primes”[3].

Alle heltall> 1 kan deles inn i primtall og sammensatte tall. π(x)er funksjonen som teller antall primtallp ≤ x. Aritmetikkens fundamentalteorem sier at alle naturlige tall kan primtallsfaktoriseres p˚a en unik m˚ate.¹Dette teoremet brukte Euclid til ˚a bevise at det eksisterer uendelig mange primtall i “Elementene”, bok 9, prop. 20.

Euler beviste at det finnes uendelig mange primtall med en annen metode i 1737. Han viste at rekken

X

p

1 p divergerer. Euler beviste dette ved ˚a bruke identiteten

∞

X

n=1

1 n^s =Y

p

1 + 1

p^s + 1

p^2s+· · ·

=Y

p

1− 1

p^s −1

. (1.1)

I 1808 publiserte Legendre en approksimasjon til funksjonenπ(x). For storexerπ(x) approksimert

x logx−B,

der B er en konstant, senere har det blitt vist at approksimasjonen p˚a denne formen er opptimal n˚ar konstanten er1.²Gauss kom med en liknende formel, hans metode gikk ut p˚a ˚a telle antall primtall i blokker p˚a tusen etterfølgende heltall, det vil si han regnet ut verdier forπ(k+ 1000)−π(k)for forskjelligek. Fra dette foreslo Gauss _log¹_x som en approksimasjon for gjennomsnittstettheten av primtallene i nærheten av en storx. Det vil si

Z x

2

1 logudu

1Dersom man ser bort i fra rekkefølgen av primtallsfaktorene.

2Legendre foreslo 1,08366, denne verdien ble basert p˚a primtallstabeller opp tilx= 400000.

som en approksimasjon til π(x). Dersom man ser p˚a disse formlene asymptotisk er de ekvivalente. De er ogs˚a ekvivalente med

x→∞lim

π(x) logx x = 1,

som er primtallsteoremet. Hverken Legendre eller Gauss beviste at formelene stemte asym- totisk.

Chebyshev kom med det første teoretiske resultatet som knyttetπ(x)til _log^x_x. I 1848 beviste Chebyshev at dersom

x→∞lim

π(x) logx x eksisterer s˚a er den lik 1, og i 1850 beviste han at

a x

logx< π(x)< A x logx, deraogAer konstanter, holder for alle tilstrekelig storex.

Mens Euler hadde brukt identiteten 1.1 meds= 1lot Riemann, i et memoir fra 1859, svære en kompleks variabel i summen

ζ(s) =

∞

X

n=1

1 n^s.

ζ(s)kalles Riemanns zetafunksjon. Riemanns analyse viste atπ(x) er knyttet sammen til nullene til zetafunksjoner i det komplekses-planet. I 1896 beviste Hadamarad og de la Vall´ee Poussin primtallsteoremet uavhengig av hverandre og nesten samtidig. Begge bevisene gjorde bruk av kompleks funksjonsteori. I tabellen under vises en oversikt over π(x)og _log^x_x og forholdet mellom dem for x-verdier mellom 10 og 10¹⁰. Tabellen er hentet fra Apostol: “Introduction to Analytic Number Theory”[1]

x π(x) _log^x_x π(x) _x

logx

10 4 4.3 0.93

10² 25 21.7 1.15

10³ 168 144.8 1.16

10⁴ 1229 1086 1.13

10⁵ 9592 8686 1.10

10⁶ 78498 72382 1.08

10⁷ 664579 620420 1.07

10⁸ 5761455 5428681 1.06

10⁹ 50847534 448254942 1.05 10¹⁰ 455052511 434294482 1.048

I memoiret til Riemann p˚astod han at det virket sannsylig at alle ikke-trivielle nuller tilζ(s)ligger p˚a linja der reelle verdien tilser ¹₂. Dette er kjent som Riemann hypotesen og har enn˚a ikke blitt bevist. Utregninger har vist at Riemann hypotesen stemmer for de første 3500000 nullene.

Senere, i 1949, oppdaget Atle Selberg og Paul Erd¨os et elementert bevis av primtall- steoremet. Det vil si et bevis som ikke bruker kompleks funksjonsteori.

Kapittel 2

Grunnleggende tallteori

I dette kapittelet introduseres litt grunnleggende tallteori. Først defineres aritmetiske funksjon- er, og det gis noen eksempler. Videre defineres Chebyshev funksjonene, det vises at vi kan bruke disse til ˚a formulere p˚astander som er ekvivalente med primtallsteoremet. Kapittelet avsluttes med ˚a vise et svakere teorem enn primtallsteoremet.

2.1 Aritmetiske funksjoner

Vi starter med ˚a definere hva en aritmetisk funksjon er deretter ser vi p˚a noen eksempler p˚a aritmetiske funksjoner.

Definisjon 2.1. En aritmetisk funksjon er en reell funksjon definert for de naturlige tal- lene.¹

Første eksempel p˚a en aritmetisk funksjon er M¨obiusfunksjonenµ Definisjon 2.2. M¨obiusfunksjonenµ(n)definerers slik

µ(1) = 1, Hvisn >1skriver vi

n=p^a₁¹· · ·p^a_k^k og µ(n) =

((−1)^k hvisa1=a2=· · ·=ak = 1,

0 ellers.

Eksemplerµ(31) = 1 siden 31 er et primtall, µ(35) = −1 siden 35 = 5·7 og µ(28) = 0siden28 = 2²·7.

Det er en aritmetisk funksjon som kalles enhetsfunksjonen, den defineres til ˚a være e(n) = 1for allen. Et annet eksempel p˚a en aritmetisk funksjon er identitets funksjonen

1Det er vanlig at aritmetiske funksjoner kan være komplekse, men vi vil kun trenge reelle her.

Isom defineres slik

I(n) =j1 n k

=

(1 hvisn= 1, 0 hvisn >1

Vi har en sammenheng mellomµogI. Dette vises i følgende teorem.

Teorem 2.1. Forn≥1har vi

X

d|n

µ(d) =I(n)

Bevis. Forn= 1har viµ(1) = 1 =I(1), dersomn >1skriver vin=p^a₁¹· · ·p^a_k^k, og merker at leddene i summen som ikke har verdi0kommer frad= 1og divisorene avn som har distinkte primtallsfaktorer. Dermed skrives summen slik

X

d|n

µ(d) =µ(1)+µ(p1)+· · ·+µ(pk)+µ(p1p2)+· · ·+µ(p_k−1pk)+· · ·+µ(p1p2· · ·pk).

Legg merke til at dette er binomisk fordelt, dermed har vi X

d|n

µ(d) = 1 + k

1

(−1)¹+ k

2

(−1)²+· · ·+ k

k

(−1)^k = (1−1)^k = 0

Von MangoldtfunksjonenΛ(n)er ogs˚a et eksempel p˚a en aritmetisk funksjon.

Definisjon 2.3. Von MangoldtfunksjonenΛ(n)defineres for alle heltalln≥1:

Λ(n) =

(logp hvisn=p^mder p er et primtall ogm≥1, 0 ellers.

Eksempler Λ(81) = log(3) siden81 = 3⁴, λ(p) = log(p) n˚ar p er et primtall, λ(77) = 0siden77 = 11·7.

N˚arn≥1har vi

log(n) =X

d|n

Λ(d). (2.1)

Dette stemmer for n = 1 siden vi har log(1) = 0 = Λ(1) Forn > 1 bruker vi den primtallsfaktoriserte formen avn:

n=

r

Y

k=1

p^a_k^k.

Ved ˚a ta logaritmen her blir produktet til en sum og vi oppn˚ar log(n) =

r

X

k=1

aklog(pk).

2.2 Dirichlet konvolusjon N˚ardhar mer enn en distinkt primtalsfaktor erΛ(d) = 0. Dermed er det bare d p˚a formen d=p^m_k som vi trenger ˚a summere over, her erm= 1,2,· · · , a_k ogk= 1,2,· · · , r. Fra definisjonen avΛhar vi atΛ(p^m_k ) =log(p_k)dermed f˚ar vi

X

d|n

Λ(d) =

r

X

k=1 a_k

X

m=1

Λ(p^m_k) =

r

X

k=1 a_k

X

m=1

log(pk) =

r

X

k=1

aklog(pk) = log(n).

Dermed er 2.1 bevist.

2.2 Dirichlet konvolusjon

For aritmetiske funksjoner har vi en operasjon som kalles Dirichlet konvolusjon. Den de- fineres slik

Definisjon 2.4. Dirichlet konvolusjonen mellom to aritmetiske funksjoner,f ogg, skrives f ∗g, er den aritmetiske funksjonen gitt ved likningen

(f∗g)(n) =X

d|n

f(d)gn d

.

Dirichlet konvolusjon er en kommutativ operasjon, det vil sif∗g=g∗f. Dette vises ved

(f∗g)(n) = X

ab=n

f(a)g(b) = X

ab=n

g(b)f(a) = (g∗f)(n)

Dirichlet konvolusjon er en assosiativ operasjon, det vil si(f∗g)∗h=f∗(g∗h).

Dette vises ved

{(f∗g)∗h}(n) = X

ab=n

(f∗g)(a)h(b) = X

ab=n

X

cd=a

f(c)g(d)h(b)

= X

cdb=n

f(c)g(d)h(b) = X

ce=n

X

bd=e

f(c)g(d)h(b)

= X

ce=n

f(c)(g∗h)(e) ={f∗(g∗h)}(n) Teorem 2.2. For alle aritmetiske funksjonerfhar viI∗f =f∗I=f Bevis. Dette ser man av

(f ∗I)(n) =X

d|n

f(d)In d

=X

d|n

f(d)gjd n k

=f(n)

Videre har vi at dersomf er en aritmetisk funksjon medf(1) 6= 0eksisterer det en aritmetisk funksjonf⁻¹, som kalles Dirichlet inversen tilf, slik at

(f⁻¹∗f)(n) = (f∗f⁻¹)(n) =I(n).

Funksjonenf⁻¹bestemmes ved likningen(f∗f⁻¹)(n) =I(n), det vil si X

d|n

fn d

f⁻¹(d) = 0.

Ved ˚a bruke egenskapen til den aritmetiske enhetsfunksjonen og teorem 2.1 har vi (µ∗e)(n) =X

d|n

µ(d)en d

=X

d|n

µ(d) =I(n),

det vil si atµogeer Dirichlet inverser. Dette bruker vi til ˚a bevise det neste teoremet Teorem 2.3.

f(n) =X

d|n

g(d)⇔g(n) =X

d|n

f(d)gn d

Bevis. Vi viser implikasjon mot høyre først. Dermed starter vi med atf =g∗e. Ved ˚a ta konvolusjonen medµf˚ar vi

f∗µ= (g∗e)∗µ=g∗(e∗µ) =g∗I=g

For ˚a vise implikasjonen mot venstre tar man konvolusjonen medeif∗µ=g. Dette gir g∗e= (f∗µ)∗e=f∗(µ∗e) =f ∗I=f

Fra dette og likning 2.1 f˚ar vi

Λ(n) =X

d|n

µ(d) logn

d (2.2)

2.3 Abels identitet og Eulers summasjonsformel

Abels identitet og Eulers summasjonsformel er to resultater som har med aritmetiske funksjoner ˚a gjøre. Vi vil bruke Abels identitet for ˚a vise ekvivalente former av prim- tallsteoremet. Vi starter med ˚a bevise Abels identitet og bruker videre dette til ˚a bevise Eulers summasjonsformel.

Teorem 2.4. Abels identitet.Laa(n)være en aritmetisk funksjon og laA(x) =P

n≤xa(n) ogA(x) = 0n˚arx <1. Anta atf er en funksjon slik atf⁰er kontinuerlig p˚a intervallet [y, x], der0< y < x. Da har vi

X

y<n≤x

a(n)f(n) =A(x)f(x)−A(y)f(y)− Z x

y

A(t)f⁰(t)dx.

2.3 Abels identitet og Eulers summasjonsformel Bevis. Lak=bxcogm=byc, da har viA(x) =A(k)ogA(y) =A(m). Legg merke til ata(n) =A(n)−A(n−1).

X

y<n≤x

a(n)f(n) =

k

X

n=m+1

a(n)f(n) =

k

X

n=m+1

(A(n)−A(n−1))f(n)

Videre benytter vi atPk

n=m+1A(n−1)f(n) =Pk−1

n=mA(n)f(n+ 1)og deretter samler de leddene vi kan i en sum

X

y<n≤x

a(n)f(n) =

k

X

n=m+1

A(n)f(n)−

k−1

X

n=m

A(n)f(n+ 1)

=

k−1

X

n=m+1

A(n)(f(n)−f(n+ 1)) +A(k)f(k)−A(m)f(m+ 1).

Ved ˚a bruke analysens fundamentalteorem f˚ar vi

f(n)−f(n+ 1) =−(f(n+ 1) +f(n)) =− Z n+1

n

f⁰(t)dt.

Dette gir X

y<n≤x

a(n)f(n) =−

k−1

X

n=m+1

A(n) Z n+1

n

f⁰(t)dt+A(k)f(k)−A(m)f(m+ 1)

=−

k−1

X

n=m+1

Z n+1

n

A(t)f⁰(t)dt+A(k)f(k)−A(m)f(m+ 1)

sidenA(t)er konstant forn≤t < n+ 1for alle heltalln. Videre har vi at A(k)f(k) =A(x)f(x)−

Z x

k

A(t)f⁰(t)dt, og A(m)f(m+ 1) =A(y)f(y) +

Z m+1

y

A(t)f⁰(t)dt.

X

y<n≤x

a(n)f(n) =− Z k

m+1

A(t)f⁰(t)dt+A(x)f(x)− Z x

k

A(t)f⁰(t)dt

−A(y)f(y)− Z m+1

y

A(t)f⁰(t)dt

=A(x)f(x)−A(y)f(y)− Z x

y

A(t)f⁰dt.

Eulers summasjonsformel er et spesialtilfelle av Abels identitet.

Teorem 2.5. Eulers summasjonsformel.Hvisf har en kontinuerlig derivertf⁰p˚a inter- vallet[y, x], der0< y < x, s˚a

X

y<n≤x

f(n) = Z x

y

f(t)dt+ Z x

y

(t− btc)f⁰(t)dt+f(x)(bxc −x)−f(y)(byc −y) Bevis. Laa(n) = 1for allen≥1, dette fører til atA(x) = bxc. N˚a gir Abels identitet oss

X

y<n≤x

a(n)f(n) = X

y<n≤x

f(n) =f(x)bxc −f(y)byc − Z x

y

btcf⁰(t)dt

=f(x)bxc −f(y)byc+ Z x

y

(t− btc)f⁰(t)dt− Z x

y

tf⁰(t)dt Vi kan bruke delvis integrasjon p˚a det siste intergralet

Z x

y

tf⁰(t)dt=xf(x)−yf(y)− Z x

y

tf(t)dt Ved ˚a sette inn dette har vi

X

y<n≤x

f(n) = Z x

y

tf(t)dt+ Z x

y

(t− btc)f⁰(t)dt+f(x)(bxc −x)−f(y)(byc −y)

Eksempel

Senere vil vi ha bruk for verdien av

OX^N

n=1

logn n

.

Vi kan beregne denne ved ˚a benytte Eulers summasjonsformel. Vi larf(n) =^log_nⁿ, y=¹₂ ogx=N, der N er et heltall. Ved ˚a bruke dette i Eulers summasjonsformel f˚ar vi

N

X

n=1

logn

n =

Z N

1 2

logt t dt+

Z N

1 2

(t− btc)1−logt

t² dt+ 0 +2 2 ·log1

2

Vi kan regne ut store O av et ledd av gangen. For det andre leddet bruker vi at(t−btc)≤1 før vi integrerer

OZ N

1 2

logt t dt

=Olog²N

2 −log^{2 1}₂ 2

=O(log²N) OZ N

1 2

(t− btc)1−logt t² dt

≤O

−logN

N − 1

N + 2·log1 2 + 2

=OlogN N

O log1

2

=O(1)

2.4 Chebyshevfunksjonene Dermed har vi

OX^N

n=1

logn n

= log²N (2.3)

2.4 Chebyshevfunksjonene

Chebyshevfunksjonene er ikke aritmetiske funksjoner. Begge er definert for positive reelle tall.

Definisjon 2.5. Chebyshevsψ-funksjon defineres forx >0ved formelen ψ(x) =X

n≤x

Λ(n).

Eksempel ψ(32) = X

n≤32

Λ(n) = log(2) + log(3) + log(2) + log(5) +· · ·+ log(31) + log(2)

= 5 log(2) + 3 log(3) + 2 log(5) +· · ·+ log(31).

Her f˚ar vi5·log(2)siden vi skal legge sammen verdieneΛ(2ⁿ)for allenslik at2ⁿ ≤32.

Definisjon 2.6. Forx >0defineres Chebyshevsθ(x)ved formelen θ(x) =X

p≤x

log(p).

Summen g˚ar over alle primtall≤x.

Eksempel

θ(32) = log(2) + log(3) + log(5) +· · ·+ log(31) Vi har følgende sammenheng mellomψogθ

ψ(x) = X

m≤log₂(x)

θ x^m1

Bevis. Dersom ikkenkan skrives p˚a formenn =p^mder p er et primtall erΛ(n) = 0.

Dermed har vi

ψ(x) =X

n≤x

Λ(n) =

∞

X

m=1

X

p^m≤x

Λ(p^m) =

∞

X

m=1

X

p≤xm¹

log(p)

Summen overmer egentlig endelig. For ˚a finne den maksimalemvi skal ha med i sum- men, ser vi at dersomx^m1 < 2blir summen over primtallene tom, siden 2 er det minste primtallet. Fra denne betingelsen finner vi hvilke m-verdier vi m˚a summere over.

x^m1 <2 =⇒ 1

mlog(x)<log(2) =⇒ m > log(x)

log(2) = log₂(x).

Dette gir resultatet

ψ(x) = X

m≤log₂(x)

X

p≤x^m1

log(p) = X

m≤log₂(x)

θ(x^m1)

ved ˚a bruke definisjonen avθ(x).

Videre skal vi undersøke forholde mellom hvordanψ(x)ogθ(x)vokser n˚arxvokser.

Teorem 2.6.

x→∞lim ψ(x)

x −θ(x) x

= 0 Bevis. For ˚a bevise dette teoremet, vises først ulikheten

0≤ψ(x) x −θ(x)

x ≤ log²(x) 2√

xlog(2) (2.4)

forx >0.

Fra definisjonen avθ(x)følger ulikheten θ(x)≤X

p≤x

logx≤xlogx

Ved ˚a kombinere dette med det vi vet om forholdet mellomψ(x)ogθ(x)f˚ar vi 0≤ψ(x)−θ(x) =

log₂x

X

m=1

θ x^m1

−θ(x) =

log₂x

X

m=2

θ x^m1

≤

log₂x

X

m=2

x^m1 logx^m1

≤log₂x√ xlog√

x= logx log 2

√xlogx

2 =

√xlog²x 2 log(2)

Dersom man dividerer medxf˚ar man ulikhet 2.4. Videre kan vi lax→ ∞, dette gir 0≤ lim

x→∞

ψ(x) x −θ(x)

x

≤ lim

x→∞

log²x 2√

xlog 2 = 0

Fra dette teoremet følger det at dersom en av ^ψ(x)_x og ^θ(x)_x g˚ar mot en grense n˚ar x→ ∞s˚a gjør ogs˚a den andre det, og da grenseverdiene er like.

2.5 Ekvivalente former av primtallsteoremet

π(x)er en funksjon som teller alle primtallp≤x.Her skal vi vise at det er sammenhenger med Chebyshevfunksjonene som er ekvivalente med primtallsdistribusjonsteoremet. Først trenger vi ˚a etablere to sammenhenger mellomπ(x)ogθ(x). Dette gjør vi ved ˚a bruke Abels identitet.

2.5 Ekvivalente former av primtallsteoremet

Teorem 2.7. Forx≥2gjelder

θ(x) =π(x) logx− Z x

2

π(t)

t dt, (2.5)

og

π(x) = θ(x) logx+

Z x

2

θ(t)

tlog²t. (2.6)

Bevis. Vi definerer

a(n) =

(1 hvis n er et primtall, 0 ellers.

Da era(n)den karakteristiske primtalsfunksjonen. Vi har π(x) = X

1<n≤x

a(n) og θ(x) = X

1<n≤x

a(n) logn.

Ved ˚a laf(x) = logxog settey= 1gir Abels identitet θ(x) = X

1<n≤x

a(n) logn=π(x) logx−π(1) log 1− Z x

1

π(t) t dt

=π(x) logx− Z x

2

π(t) t dt

siden det minste primtallet er 2. For ˚a vise den andre sammenhengen lar vi b(n) = a(n) logn. Dette gir

π(x) = X

1<n≤x

b(n) logn og θ(x) = X

1<n≤x

b(n).

Laf(x) = _log¹_x, n˚a m˚a vi velge en1< y <2for ˚a unng˚a0i nevneren og for at summen skal g˚a fran= 2. Igjen bruker vi Abels identitet

π(x) = X

y<n≤x

b(n)

logn = θ(x)

logx− θ(y) logy +

Z x

y

θ(t) tlog²tdt

= θ(x) logx+

Z x

2

θ(t) tlog²tdt Sidenθ(t) = 0n˚art <2

N˚a kan vi vise at vi har ekvivalente versjoner av primtallsteoremet.

Teorem 2.8. Følgende sammenhenger er ekvivalente:

x→∞lim

π(x) logx

x = 1⇔ lim

x→∞

θ(x)

x = 1⇔ lim

x→∞

ψ(x) x

Fra teorem 2.6 har vi at grenseverdiene med Chebyshevfunksjonene er ekvivalente.

Derfor trenger vi bare ˚a bevise atlimx→∞π(x) logx

x = 1⇔limx→∞θ(x) x

Bevis. Vi viser først implikasjonen mot høyre. Anta atlim_x→∞^{π(x) log}_x ^x = 1holder, det fører til at

π(x)

x =O 1 logx

, fort≥2 Ved ˚a dividere likning 2.5 medxf˚ar vi

θ(x)

x = π(x) logx

x −1

x Z x

2

π(t) t dt,

Videre m˚a vi vise at siste leddet her g˚ar mot0n˚arx→ ∞. Sident≥2i integralet har vi 1

x Z x

2

π(t)

t dt=O1 x

Z x

2

1 logtdt P˚a intervallet[2,√

x]har vi _log¹_t ≤ _{log 2}¹ og p˚a intervallet[√

x, x]har vi _log¹_t ≤ _log^1√_x.

Dette gir Z x

2

1 logtdt=

Z

√x

2

1 logtdt+

Z x

√x

1 logtdt≤

Z

√x

2

1 log 2dt+

Z x

√x

1 log√

xdt

=

√x−2

log 2 +x−√ x log√

x.

Dermed har vi

x→∞lim 1 x

Z x

2

1

logtdt≤ lim

x→∞

√x−2

xlog 2 + x−√ x xlog√

x = 0

Med andre ord er implikasjonen mot høyre vist. Videre vises implikasjonen mot venstre.

Vi tar utgansgspunkt i likning 2.6 og antar atlim_x→∞^θ(x)_x = 0.Først multipliserer vi likning 2.6 med ^log_x^x, det gir

π(x) logx

x = θ(x)

x +logx x

Z x

2

θ(t) tlog²tdt.

For ˚a vise implikasjonen mot venstre m˚a vi vise at integralleddet g˚ar mot0n˚arx→ ∞.

Ved ˚a brukeθ(t) =O(t)f˚ar vi logx

x Z x

2

θ(t)

tlog²tdt=Ologx x

Z x

2

1 log²tdt

2.6 Et svakere teorem enn primtallsteoremet Ved ˚a dele integralet opp og maksimere integranden i hvert integral og regne ut grensever- dien f˚ar vi

x→∞lim logx

x Z x

2

1

log²tdt≤ lim

x→∞

√x−2

xlog²2+ x−√ x xlog²√

x= 0

Vi vet ikke om de tre p˚astandene holder, men dersom vi klarer ˚a vise at en av de holder s˚a holder de to andre ogs˚a. N˚ar vi skal bevise primtallsteoremet beviser vi at limx→∞ψ(x)

x = 1og dermed holder ogs˚a primtallsteoremet.

2.6 Et svakere teorem enn primtallsteoremet

Dette kapittelet avsluttes med et teorem som er svakere enn primtallsteoremet. Dette teo- remet viser atπ(n)vokser omtrendt som ^log_nⁿ. Dette vises ved at vi etablerer ulikheter medπ(n)og faktorer av ^log_nⁿ, men før vi kan gjøre dette trenger vi ˚a vite om Legendres identitet, den introduseres ved hjelp av et eksempel.

Eksempel

Vi skal faktorisere100!.

Først vil vi finne antallet ganger faktoren2forekommer. Vi har faktoren2i tallene2,4,6,8,

· · · ,100

=⇒ j100 2

k= 50ganger.

Men vi mangler fortsatt de ekstra faktorene2fra tall med faktor2² = 4. S˚a vi m˚a telle med en ekstra faktor tallene4,8,12,16· · ·.

=⇒ j100 4

k

= 25ganger.

Videre fortsetter vi med tallene med faktor2³= 8

=⇒ j100 8

k

= 12ganger.

N˚ar vi fortsetter finner vi

j100 16

k

= 6 j100

32 k

= 3 j100

64 k

= 1

Faktoren2opptrer alts˚a50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97ganger. For ˚a faktorisere100!

kan man bruke samme metode for alle primtall≤ 100. Denne metoden oppsummeres i

Legendres identitet som sier: For allen≥1har vi n! = Y

p≤x

p^α(p) derα(p) =

∞

X

m=1

j n p^m

k .

Legg merke til at _n

p^m

= 0n˚arm >logn logp

. Ved ˚a ta logaritmen p˚a begge sider f˚ar vi logn! =X

p≤n

α(p) logp. (2.7)

Videre vil vi trenge følgende lemma.

Lemma 2.1.

2ⁿ ≤ 2n

n

<4ⁿ, forn≥2 Bevis. Vi har

4ⁿ= 2²ⁿ= (1 + 1)²ⁿ =

2n

X

k=0

2n k

>

2n n

.

Den andre ulikheten viser vi ved hjelp av et induksjonsbevis. Forn= 2har vi 2ⁿ= 4≤6 = 4!

2!2!. Som induksjonshyppotese antar vi at

2^k≤ 2k

k

, forn=k≥2.

Forn=k+ 1f˚ar vi

2^k+1= 2·2^k≤2· 2k

k

<2(k+ 1)(2k+ 1) (k+ 1)(k+ 1)

2k k

= (2k+ 2)(2k+ 1) (k+ 1)(k+ 1)

2k k

=

2(k+ 1) k+ 1

N˚a kan vi bevise følgende teorem.

Teorem 2.9. Chebyshevs teorem.For alle heltalln≥2gjelder ulikhetene 1

6 n

logn < π(n)<6 n logn

2.6 Et svakere teorem enn primtallsteoremet Bevis. Ved ˚a ta logaritmer i ulikheten fra lemmaet f˚ar vi

nlog 2≤log(2n)!−2 logn!< nlog 4 Vi benytter oss av likning 2.7 og f˚ar

log(2n)!−2 logn! = X

p≤2n b_log^{log 2n}_pmc

X

m=1

(j2n p^m

k−2j n p^m

k ) logp Ved ˚a benytte atb2xc −2bxcer enten0eller1f˚ar vi

nlog 2≤ X

p≤2n

_{log 2n}

logp

X

m=1

1

logp≤ X

p≤2n

log 2n

logp logp= X

p≤2n

log 2n=π(2n) log 2n Dermed f˚ar vi

π(2n)≥nlog 2

log 2n =2nlog 2 2 log 2n> 1

4 2n log 2n

ved ˚a bruke atlog 2> ¹₂. N˚a har vi vist den venstre ulikheten for partall. For oddetall har vi

π(2n+ 1)≥π(2n)> 1 4

2n log 2n > 1

4 2n 2n+ 1

2n+ 1 log 2n+ 1 ≥1

6

2n+ 1 log 2n+ 1 siden_2n+1²ⁿ ≥²₃.Dermed ha vi vist

π(n)> 1 6

n logn.

Videre vil vi vise den andre ulikheten. Ved ˚a la summen g˚a overm= 1f˚ar vi fra Legendres identitet at

log(2n)!−2 logn!≥ X

p≤2n

(j2n p^m

k−2j n p^m

k ) logp For primtallenep,n < p≤2nhar vi_2n

p

−2_n

p

= 1. Dermed f˚ar vi nlog 4>log(2n)!−2 logn!≥ X

n<p≤2n

logp=θ(2n)−θ(n).

Forn-verdier p˚a formenn= 2^mhar vi

θ(2^m+1)−θ(2^m)<2^mlog 4 = 2^m+1log 2.

Ved ˚a summere overm-verdienem= 1,2,3,· · · , kf˚ar vi

θ(2^k+1) =θ(2^k+1)−θ(2^k)+θ(2^k)−· · ·= 2^m+1+2^m+2^m−1+· · ·+2¹

log 2<2^m+2log 2.

Videre velger vikslik at2^k ≤n <2^k+1og f˚ar

θ(n)≤θ(2^k+1)<2^k+2log 2≤4nlog 2.

N˚a velger vi0< α <1, dette gir (π(n)−π(n^α)) logn^α= X

n^α<p≤n

logn^α< X

n^α<p≤n

logp≤θ(n)<4nlog 2.

Dette gir følgende uttrykk forπ(n) π(n)<4nlog 2

αlogn +π(n^α)<4nlog 2

αlogn +n^α= n logn

4 log 2

α + logn n^1−α

Videre vil vi finne en maksimal verdi avf(n) =_n^log1−αⁿ. Her vet vi at0< α <1ogn≥1, ved ˚a laβ = 1−αhar viβ >0. N˚a har vi

logn

n^1−α = logn n^β ,

for ˚a finne maksimal verdi deriverer vi med hensyn p˚anog løserf⁰(n) = 0 f⁰(n) = 1

n^β+1 −βlogn n^β+1 , f⁰(n) = 0 =⇒ 1

n^β+1 = βlogn

n^β+1 =⇒ n=e^1β, f(e^β1) = 1

eβ. Dette er en maksimalverdi. Ved ˚a laα= ²₃og dermedβ= ¹₃f˚ar vi

π(n)< n logn

2 log 2

α + logn n^1−α

= n logn

12 log 2

2 +3

e

= n logn

6 log 2 + 3 e

.

Utregning gir

6 log 2 +3 e <6, dermed har vi

π(n)<6 n logn.

Det g˚ar ann ˚a forbedre konstantene i ulikheten slik at de blir nærmere 1. Dette blir gjort i A.E.Ingham: “The Distribution of Primes”[3], men det viktigste fra dette resultatet er at vi kan vite at_logⁿ_n er et riktig forhold ˚a sammenlikneπ(n)med.

Kapittel 3

Dirichletrekker

I dette kapittelet introduseres Riemanns zetafunksjon ζ(s), som er et eksempel p˚a en Dirichletrekke. ved ˚a bruke teori fra Dirichletrekker for ˚a undersøkes zetafunksjonen. Her defineres zetafunksjonen i et halvplan i det komplekse planet. I neste kapittel vil zeta- funksjonen defineres for hele det komplekse planet ved ˚a bruke analytisk fortsettelse.

3.1 Dirichletrekker og zetafunksjonen

Definisjon 3.1. For reelles >1defineres zetafunksjonen ved formelen ζ(s) =

∞

X

n=1

1 n^s.

Vi kan vise at rekken konvergerer ved ˚a bruke integraltesten

∞

X

n=1

1 n^s ≤1 +

∞

X

n=2

Z n

n−1

1

x^sdx= 1 + Z ∞

1

1

x^sdx= 1 + 1 s−1. Videre definerer vi Dirichletrekker.

Definisjon 3.2. Dersomf(n)er en aritmetisk funksjon definerer vi Dirichletrekken med koeffisienterf(n)til ˚a være

∞

X

n=1

f(n) n^s . Her ers-verdiene komplekse.

Vi følger her Riemanns notasjon og skrivers=σ+it, derσogter reelle. Videre vil vi definereζ(s)for komplekses-verdier. Legg merke til at

n^s=e^slogn=e^{(σ+it) logn} =n^σe^itlogn

Dette medfører at|n^s|=n^σ. Det vil si at

∞

X

n=1

1 n^s

konvergerer for allesmedσ >1. Vi utvider definisjonen avζ til ˚a gjelde for alle slike s-verdier. Dermed er zetafunksjonen definert for det komplekse halvplanenσ >1.

Teorem 3.1. Anta at rekken

∞

X

n=1

f(n) n^s

hverken konvergerer for alleseller divergerer for alles. Da finnes det et reellt tallσa, kalt absolutt konvergens abscissen, slik at

∞

X

n=1

f(n) n^s

konvergerer absolutt forσ > σaog konvergerer ikke absolutt forσ < σa. Bevis. Legg merke til at forσ≥as˚a er

f(n) n^s

≤ |f(n)|

n^a

Det vil si at dersom en Dirichlet rekke konvergerer absolutt fors=a+its˚a konvergerer den absolutt forsmedσ≥a. La videreAvære mengden av reelleσder

∞

X

n=1

f(n) n^s

divergerer. Da er Aen ikke-tom mengde. Siden rekken ikke divergerer for alleσharA en øvre skranke. Derfor harAen minste øvre skranke,σ_a. Dette er absolutt konvergens abscissen.

For ∞

X

n=1

1 n^s

har viσ_a= 1, at rekken divergerer forσ= 1kan for eksempel vises ved

∞

X

n=1

1

n = 1 +1 2 +1

3 +1 4

+1 5+1

6 +1 7 +1

8

+1 9+· · ·

+· · ·

>1 + 1 2 +1

4 +1 4

+1 8+1

8 +1 8 +1

8

+ 1

16+· · · +· · ·

= 1 +1 2 +1

2 +1

2+· · ·=∞

3.2 Funkjonen definert ved en Dirichletrekke

3.2 Funkjonen definert ved en Dirichletrekke

Videre defineres en funksjon, fra absolutt konvergens halvplanet, ved hjelp av Dirichlet- rekker.

Definisjon 3.3.

F(s) =

∞

X

n=1

f(n)

n^s forσ > σa

Videre vises noen egenskaper for slike funksjoner.

Lemma 3.1. ForN ≥1ogσ≥c > σ_ahar vi

∞

X

n=N

f(n) n^s

≤ 1

N^σ−c

∞

X

n=N

|f(n)|

n^c . Dette bevises slik

Bevis.

∞

X

n=N

f(n) n^s

≤

∞

X

n=N

|f(n)|

n^σ =

∞

X

n=N

|f(n)|

n^cn^σ−c ≤ 1 N^σ−c

∞

X

N

|f(n)|

n^c .

Det neste teoremet viser hva som skjer medF(s)dersom vi larσ→ ∞.

Teorem 3.2.

σ→∞lim F(σ+it) =f(1) uniformt for − ∞< t <∞.

Bevis.

F(s) =f(1) +

∞

X

n=2

f(n) n^s

For ˚a bevise teoremet m˚a det vises at summen over g˚ar mot0n˚arσ→ ∞. Velg enc > σ_a, da kan lemmaet brukes forσ≥c. Dette gir

∞

X

n=2

f(n) n^s

≤ 1

2^σ 1 2^−c

∞

X

n=2

|f(n)|

n^c = M 2^σ Her er M uavhengig avσogt. N˚arσ→ ∞har vi ^M₂σ →0.

Dette teoremet gir atζ(s) →1n˚arσ→1. Det neste teoremet viser en unikhetegen- skap for Dirichletrekker.

Teorem 3.3. Gitt to Dirichletrekker F(s) =

∞

X

n=1

f(n)

n^s ogG(s) =

∞

X

n=1

g(n) n^s ,

som begge er absoluttkonvergente for σ > σ_a. DersomF(s) = G(s) for alles i en uendelig sekvens{sk}slik atσk → ∞n˚ark→ ∞, da erf(n) =g(n)for allen.

Bevis. For ˚a vise dette lar vih(n) =f(n)−g(n)ogH(s) =F(s)−G(s)Da erH(sk) = 0for hverk. For ˚a bevise teoremet m˚a det vises ath(n) = 0for allen. Anta ath(n)6= 0 for noenn, dersom dette fører til en motsigelse er teoremt bevist. Lan = N være det minste talleth(n)6= 0. Da er

H(s) =

∞

X

n=N

h(n)

n^s = h(N) N^s +

∞

X

n=N+1

h(n) n^s . Fra dette f˚ar vi

h(N) =N^sH(s)−N^s

∞

X

n=N+1

h(s) n^s . Las=sk, sidenH(sk) = 0blir

h(N) =−N^sk

∞

X

n=N+1

h(s) n^s_k . Videre velgeskslik atσk> cderc > σa. Dermed gir lemma

|h(N)| ≤ N^σk (N+ 1)^σk−c

∞

X

n=N+1

|h(s)|

n^c = N N+ 1

^σk

M.

Her erM uavhengig avk. Ved ˚a lak→ ∞vilσk→ ∞og N

N+ 1 σk

→0

Det vil sih(N) = 0, men dette er en motsigelse, og teoremet er bevist.

Teorem 3.4. LaF(s) =P∞ n=1

f(n)

n^s og anta atF(s)6= 0for ensmedσ > σ_a. Da er det et halvplanσ > c≥σ_aderF(s)aldri er null.

Bevis. Dette vises ved en motsigelse. Anta at det ikke finnes noe slikt halvplan. Da finnes det for hverk= 1,2,· · · et punktsk medσk > kslik atF(s) = 0. Sidenσk → ∞n˚ar k→ ∞fører unikhetteoremet til atf(n) = 0for allen, men sidenF(s)6= 0for enser dette en motsigelse.

I omr˚adedet der to Dirichletrekker konvergerer absolutt kan man multiplisere dem. For

˚a gjøre det brukes Dirichlet konvolusjon.

3.2 Funkjonen definert ved en Dirichletrekke Teorem 3.5. Gitt to funksjonerF(s)ogG(s)representert ved Dirichletrekkene

F(s) =

∞

X

n=1

f(n)

n^s for alleσ > a, ogG(s) =

∞

X

n=1

g(n)

n^s for alleσ > b.

I halvplanet der begge rekkene konvergerer absolutt er produktet gitt ved

F(s)G(s) =

∞

X

n=1

h(n) n^s , derh=f ∗g, det vil si Dirichletkonvolusjonen avf ogg:

h(n) =X

d|n

f(d)gn d

.

Bevis. Forsi halvplanet der begge rekkene konvergerer absolutt har vi F(s)G(s) =

∞

X

n=1

f(n) n^s

∞

X

m=1

g(m) m^s =

∞

X

n=1

∞

X

m=1

f(n)g(m) (nm)^s .

Siden begge rekkene konvergerer absolutt kan vi multiplisere de og endre rekkefølgen p˚a leddene uten at det endrer p˚a summen. Ved ˚a samle alle leddene mednmkonstant f˚ar vi

F(s)G(s) =

∞

X

k=1

X^∞

nm=k

f(n)g(m) k^s

=

∞

X

k=1

h(k) k^s , derh(k) = (f ∗g)(k).

Eksempel La

F(s) =

∞

X

n=1

1

n^s ogG(s) =

∞

X

m=1

µ(m) m^s .

Begge rekkene konvergerer absolutt for σ > 1. Her erf(n) = 1 ogg(m) = µ(m), s˚a h(k) =1

k

. Dette gir

ζ(s)

∞

X

m=1

µ(m) m^s = 1 forσ >1. Dette viser at forσ >1har viζ(s)6= 0og

∞

X

m=1

µ(m) m^s = 1

ζ(s). (3.1)

3.3 Eulerprodukter

Dirichletrekker kan uttrykkes som produkter over primtallene. Det neste teoremt viser hvordan absolutt konvergente rekker kan uttrykkes som uendelige produkter derson f er multiplikativ. Disse produktene kalles Eulerprodukter siden det var Euler som oppdaget denne sammenhengen. Dette anvendes senere p˚a Dirichletrekker.

Teorem 3.6. La f være en multiplikativ aritmetisk funksjon slik at rekken P∞ n=1f(n) er absolutt konvergent. Da kan summen av rekken uttrykkes som et absolutt konvergent uendelig produkt,

∞

X

n=1

f(n) =Y

p

(1 +f(p) +f(p²) +· · ·) (3.2) over alle primtall. Hvis f er fullstendig multiplikativ forenkles uttrykket til

∞

X

n=1

f(n) =Y

p

1

1−f(p) (3.3)

Bevis. Vi begynner beviset med ˚a se p˚a det endelige produktet P(x) =Y

p≤x

(1 +f(p) +f(p²) +· · ·)

over alle primtallp ≤ x. Dette er et produkt over endelig mange absolutt konvergente rekker, og dermed kan vi multipisere sammen rekkene og endre rekkefølgen p˚a leddene uten ˚a endre p˚a summen. Sidenfer multiplikativ kan vi skrive leddene p˚a formen

f(p^a₁¹p^a₂²· · ·p^a_k^k).

Ved ˚a bruke aritmetikkens fundamentalteorem f˚ar vi P(x) =X

n∈A

f(n),

derAer best˚ar av alle positive heltallnsom har alle primtallsfaktorer≤x. Dermed

∞

X

n=1

f(n)−P(x) = X

n∈B

f(n),

derBbest˚ar av alle positive heltallnmed en eller flere primtallsfaktorer≥x. Dermed har vi

∞

X

n=1

f(n)−P(x) ≤X

n∈B

|f(n)| ≤X

n>x

|f(n)|.

N˚ar x → ∞vilP

n>x|f(n)| → 0siden summen er konvergent. Dermed vil P(x) → Pf(n)n˚ar x → ∞. Videre vises at produktet i likning 3.2 er absolutt konvergent. Et

3.3 Eulerprodukter uendelig produkt Q(1 +a_n) konvergerer absolutt n˚ar den korresponderernde summen Pa_nkonvergerer absolutt. Her blir

X

p≤x

|f(p) +f(p²) +· · ·| ≤X

p≤x

(|f(p)|+|f(p²)|+· · ·)≤

∞

X

n=2

|f(n)|.

Dermed er alle delsummene bundet og dermed vil X

p≤x

|f(p) +f(p²) +· · ·|

konvergere, dette fører fil at det uendelige produktet ogs˚a konvergerer absolutt. Til slutt har vi dersomf er fullstendig multiplikativ atf(pⁿ) =f(p)ⁿ. Dermed blir hver faktor en geometrisk rekke

1 +f(p) +f(p²) +· · ·= 1 +f(p) +f(p)²+· · ·= 1 1−f(p), og produktet er lik det i likning 3.3.

Ved ˚a bruke dette for absolutt konvergente Dirichletrekker f˚ar vi det neste teoremet.

Teorem 3.7. Anta at

∞

X

n=1

f(n) n^s

konvergerer absolutt forσ > σa. Hvisfer multiplikativ har vi

∞

X

n=1

f(n) n^s =Y

p

1 +f(p)

p^s +f(p)² p^2s +· · ·

,

dersomf er fullstendig multiplikativ blir dette

∞

X

n=1

f(n) n^s =Y

p

1 1−f(p)p^−s, forσ > σa.

Dermed kan zetafunksjonen uttrykkes som et uendelig produkt ζ(s) =

∞

X

n=1

1 n^s =Y

p

1

1−p^−s forσ > 1.

Dette brukes videre for ˚a knytte sammen zetafunksjonen og von Mangoldtfunksjonen.

Denne metoden blir brukt i Stein og Shakarchi: “Complex Analysis”[5]. Ved ˚a ta logarit- men p˚a begge sider blir produktet til en sum

logζ(s) =−X

p

log(1−p^−s).

Ved ˚a dervivere med hensyn p˚a s f˚ar vi ζ⁰(s)

ζ(s) =−X

p

log(p)p^−s

1−p^−s =−X

p

log(p) 1

1−p^−s −1

=−X

p

log(p)

∞

X

n=1

1 p^ns =−

∞

X

n=1

Λ(n) n^s Med andre ord forσ >1s˚a gjelder

−ζ⁰(s) ζ(s) =

∞

X

n=1

Λ(n)

n^s (3.4)

Denne sammenhengen vil vi f˚a bruk for senere.

3.4 Dirichletrekker uttrykt som eksponentialer av Dirichlet- rekker

Videre presenteres et teorem som gjelder funksjonen definert ved en Dirichletrekke i halv- planet der den er absolutt konvergent¹. Dette teoremet blir ikke bevist, det bygger p˚a to andre resultater som kan leses i Apostol: “Introduction to Analytic Number theory”[1].

Teorem 3.8. Sumfunksjonen

F(s) =

∞

X

n=1

f(n) n^s

til en Dirichletrekke er analytisk i halvplanet med absolutt konvergensσ > σa, og dens deriverte i dette halvplanet uttrykkes ved Dirichletrekken

F⁰(s) =−

∞

X

n=1

f(n) logn n^s , som man f˚ar ved ˚a derivere ledd for ledd.

Dette teoremet brukes for ˚a vise at noen Dirichletrekker kan uttrykkes som ekspo- nenter av andre Dirichletrekke. Det neste teoremet viser n˚ar dette er mulig, og hvilken Dirichletrekke som er i eksponenten.

Teorem 3.9. La

F(s) =

∞

X

n=1

f(n) n^s

være absolutt konvergent forσ > σa og anta atf(1)6= 0. HvisF(s)6= 0forσ > σ0≥ σa, s˚a har viF(s) =e^G(s), forσ > σ0, der

G(s) = logf(1) +

∞

X

n=2

(f⁰∗f⁻¹)(n) n^slogn ,

1Det kan vises at dette gjelder for halvplanet en Dirichletrekke konvergerer, dette halvplanet kan ha med verdier forσsom er mindre ennσa.

3.4 Dirichletrekker uttrykt som eksponentialer av Dirichletrekker her erf⁻¹Dirichlet inversen avfog⁰(n) =f(n) logn.

Bevis. SidenF(s) 6= 0 finnes det en funksjonG(s)som er analytisk slik at F(s) = e^G(s). Ved ˚a derivere dette finner viF⁰(s) =e^G(s)G⁰(s) =F(s)G⁰(s)slik atG⁰(s) = F⁰(s)/F(s). Videre finner vi et uttrykk forG⁰(s)ved ˚a se p˚aF⁰(s)og1/F(s). Fra teo- remet over har vi

F⁰(s) =−

∞

X

n=1

f(n) logn n^s =−

∞

X

n=1

f⁰(n) n^s . Vi har

1 F(s) =

∞

X

n=1

f⁻¹(n) n^s . Dermed blir

G⁰(s) =−

∞

X

n=2

(f⁰∗f⁻¹)(n) n^s Summen g˚ar fra2sidenlog 1 = 0. Ved ˚a integrere dette f˚ar vi

G(s) =C+

∞

X

n=2

(f⁰∗f⁻¹)(n) n^slogn ,

Cer integreringskonstanten. Denne kan vi finne ved ˚a laσ→ ∞, det gir

σ→∞lim G(σ+it) =C.

Sammen med teorem 3.2 gir dette f(1) = lim

σ→∞F(σ+it) =e^C. Dermed erC= logf(1).

Dette kan vi bruke til ˚a uttrykke ζ(s) = e^G(s) for σ > 1. N˚ar f(n) = 1 f˚ar vi f⁰(n) = lognogf⁻¹(n) =µ(n). Dirichletkonvolusjon gir sammen med likning 2.2 at

(f⁰∗f⁻¹)(n) =X

d|n

logdµn d

= Λ(n).

Det vil si

G(s) =

∞

X

n=2

Λ(n)

n^slogn. (3.5)

Kapittel 4

Analytisk fortsettelse av zeta

I dette kapittelet er m˚alet ˚a definere zetafunksjonen for hele det komplekses-planet. Dette gjøres ved analytisk fortsettelse, som man kan lese om i Gamelin: “Complex analysis”[4].

Først m˚a vi vite litt om gammafunksjonen

4.1 Gammafunksjonen

Her presenteres egenskaper ved gammafunksjonen uten bevis. Man kan lese mer om gam- mafunksjonen i Gamelin: “Complex analysis”[4]. Forσ >0har vi følgende integralrep- resentasjon for gammafunksjonen

Γ(s) = Z ∞

0

x^s−1e^−xdx.

Den funksjonen kan fortsettes utover linjaσ= 0til en funksjon som er analytisk over hele s-planet utenom enkle poler i punktenes= 0,1,2,· · · med residue

(−1)ⁿ

n! fors=−n.

For gamma funksjonen holder

Γ(s)Γ(1−s) = π

sinπs (4.1)

4.2 Integralrepresentasjon for zetafunksjonen

Vi har sett at Dirichletrekken for zetafunksjonen konvergerer absolutt for σ > 1. I alle halvplanσ≥1 +δmedδ >0er denne konvergensen uniform. Dette kan man se av

∞

X

n=1

1 n^s

=

∞

X

n=1

1 n^σ ≤

∞

X

n=1

1 n^1+δ. Dette fører videre til atζ(s)er analytisk i halvplannetσ >1.

Teorem 4.1. Forσ >1har vi integralrepresentasjonen Γ(s)ζ(s) =

Z ∞

0

x^s−1e^−x 1−e^−x dx.

For ˚a bevise dette brukes Levis konvergens teorem, og litt om Lebesgue integraler.

Dette blir ikke gjennomg˚att her men kan leses mer om i Apostol: Mathematical Analysis [2].

Bevis. Dette vises først for reelles, og deretter for komplekse sved ˚a bruke analytisk fortsettelse. Lax= (n+ 1)t, dern≥0, dette gir

Γ(s) = Z ∞

0

e^−xx^s−1dx= (n+ 1)^s Z ∞

0

e^−(n+1)tt^s−1dt, det vil si

(n+ 1)^−sΓ(s) = Z ∞

0

e^−nte^−tt^s−1dt.

Ved ˚a summere over allen≥0gir dette ζ(s)Γ(s) =

∞

X

n=0

Z ∞

0

e^−nte^−tt^s−1dt.

Rekken til høyre er konvergent forσ >1. Ved ˚a se p˚a integralet som et Lebesgue integral, og se at integranden er ikkenegativ kan man bruke Levis konvergens teorem, som sier at

∞

X

n=0

e^−nte^−tt^s−1

konvergerer nesten overalt til en funksjon som er Lebesgue integrerbar p˚a intervallet[0,∞), og at vi kan bytte plass p˚a integralet og summen. Dermed har vi

ζ(s)Γ(s) =

∞

X

n=0

Z ∞

0

e^−nte^−tt^s−1dt= Z ∞

0

∞

X

n=0

e^−nte^−tt^s−1dt

Fort >0har vi0< e^−t<1og dermed har vi en geometrisk rekke der summen blir

∞

X

n=0

e^−nt= 1 1−e^−t Dermed har vi

∞

X

n=0

e^−nte^−tt^s−1=e^−tt^s−1 1−e^−t nesten overalt p˚a[0,∞)og dermed har vi

ζ(s)Γ(s) = Z ∞

0

e^−tt^s−1 1−e^−tdt

4.2 Integralrepresentasjon for zetafunksjonen

C₁

C₂ C₃

0

Figur 4.1:Konturen C

for reelles >1. For ˚a utvide dette til allesmedσ >1m˚a det vises at dette er analytisk, fra før vet vi at b˚adeζ(s)ogΓ(s)er analytiske. For ˚a vise at integralet p˚a høyre side er analytisk, vil vi vise at integralet konvergerer uniformt p˚a alle striper1 +δ≤σ≤c, der c >1ogδ >0. P˚a en slik stripe har vi

Z ∞

0

e^−tt^s−1 1−e^−t dt≤

Z ∞

0

e^−tt^σ−1

1−e^−t dt=Z 1 0

+ Z ∞

1

e^−tt^σ−1 1−e^−t dt Merk at fort≥0ere^t−1≥tog for0≤t≤1ert^σ−1≤t^δ. Dette gir

Z 1

0

e^−tt^σ−1 1−e^−t dt≤

Z 1

0

e⁰t^δ e^−t−1dt≤

Z 1

0

t^δ−1dt= 1 δ. Fort≥1ert^σ−1≤t^c−1, dette gir

Z ∞

1

e^−tt^σ−1 1−e^−t dt≤

Z ∞

1

e^−tt^c−1

1−e^−tdt≤Γ(s)ζ(s).

Det vil si at integralet konvergerer uniformt i alle striper1 +δ ≤ σ ≤c derδ > 0, og representerer dermed en analytisk funksjon i alle slike striper og dermed ved analytisk fortsetteles for allesi halvplanetσ >1.

I det neste teoremet skal vi undersøke et konturintegral. Konturen er som p˚a figur 4.1.

Cer veien langsC₁,C₂ogC₃.C₂er veien rundt en sirkel som har radiusc <2π.

Teorem 4.2. Funksjonen definert ved konturintegralet I(s) = 1

2πi Z

C

z^s−1e^z 1−e^z dz

er en analytisk i heles-planet. Videre har viζ(s) = Γ(1−s)I(s)forσ >1.

Bevis. P˚aC1 erz^s = r^se^−πis og p˚aC3 erz^s = r^se^πis. Integranden er en analytisk funksjon for alles. For ˚a vise atI(s)er analytisk i heles-planet m˚a vi vise at integralene langsC1ogC3konvergerer uniformt for alle disker|s| ≤M. LangsC1har vi, forr≥1

z^s−1

=r^σ−1

e−πi(σ−1+it)

=r^σ−1e^πt≤r^M−1e^πM siden|s| ≤M. LangsC3har vi forr≥1

z^s−1

=r^σ−1

e^{πi(σ−1+it)}

=r^σ−1e^−πt≤r^M−1e^πM.