Beregninger av første- og andreordens krefter på porøse geometrier med lineær og kvadratisk hastighet-trykk relasjon
Jørgen Schartum Dokken
Masteroppgave, våren 2016
Forsidedesign av Martin Helsø
Forsiden viser et utsnitt av rotsystemet til den eksepsjonelle liegruppenE8, projisert ned i planet. Liegrupper ble oppfunnet av den norske matematikeren Sophus Lie (1842–1899) for å uttrykke symmetriene til differensiallikninger og spiller i dag en sentral rolle i flere deler av matematikken.
Forord
En spesiell takk til min veileder professor John Grue for å ha utfordret, motivert og veiledet meg i arbeidet med denne oppgaven. Takk til alle på lesesalen for alt faglig og sosialt. Spesielt vil jeg takke Lars Petter Karstensen, å ha deg som samarbei- dspartner har gjort arbeidet morsomt, samt at våre diskusjoner har økt kvaliteten på oppgaven. Takk til Kristine Heimdal for støtte og tålmodighet.
Jørgen Schartum Dokken Oslo, Mai 2016
Abstract
A source-dipole distribution is used to solve a variation of Green's theorem for structures with zero wall thickness. Both non-porous and porous structures are modeled. A linear and quadratic relation is used for the pressure dierence between the two sides of the walls and the velocity through the walls. Added mass and damping coecients, the Haskind relation and the energy equation are examined to supplement the description for porous eects. The various checks are numerically veried, which is a nontrivial result. Drift forces due to diraction are studied. The 3D calculations of the drift force for a very porous geometry of a semi-spherical shape are directly comparable to 2D calculations of a rectangular screen of similar porosity using entirely dierent methods [Heggen, Master thesis,University of Oslo,2015 ].
We conclude that the linear and quadratic relations have the same behavior for low porosity. For high porosity, the quadratic model is superior as it reproduces porosity as a physical attribute, where there is no such reproduction in the linear model.
Innhold
1 Introduksjon 1
2 Dimensjonsanalyse 5
3 Potensialteori og randbetingelser 7
3.1 De indre og ytre potensialet . . . 7
3.2 Generelle randbetingelser . . . 8
3.2.1 Fri overate-betingelser . . . 8
3.2.2 Dekomponering av potensialet . . . 9
3.3 Gjennomstrømningshastigheten . . . 10
3.3.1 Lineær kobling . . . 11
3.3.2 Kvadratisk kobling . . . 11
3.4 Fourierserier . . . 12
3.5 Oppsummering av randbetingelser . . . 14
4 Grunnligninger 15 4.1 Greens identitet . . . 15
4.2 Radiasjonsproblemet . . . 16
4.3 Diraksjonspotensialet . . . 17
4.4 Frekvensdomenet . . . 19
5 Modisering av Wamit 21 5.1 Matriseoppsett . . . 21
5.2 Løsning av ligningene . . . 21
5.3 Addert masse og dempningskoesienter. . . 22
5.4 Haskind . . . 22
5.5 Energi . . . 23
5.6 Drift . . . 23
5.7 Løsninger som input i Wamit . . . 23
5.8 Konvergens av resultater . . . 23
6 Resultater for 2D beregninger 27 6.1 Beregning av addert masse og dempingskoesienter . . . 27
6.2 Solide geometrier . . . 28
6.3 Porøse geometrier . . . 30
6.3.1 Lineær hastighetslov . . . 30
6.3.2 Kvadratisk hastighetslov . . . 30
7 Resultater: Solid kule 33
7.1 Wamit . . . 33
8 Resultater: Porøs kule 35 8.1 Addert masse og dempning . . . 35
8.1.1 Lineær trykk-hastighetrelasjon . . . 36
8.1.2 Kvadratisk trykk-hastighetrelasjon . . . 39
8.2 Alternativ Dempningskoesient . . . 40
8.3 Haskindrelasjonen . . . 43
8.3.1 Lineært trykkfall . . . 45
8.3.2 Kvadratisk trykkfall. . . 46
8.4 Energi . . . 49
8.4.1 Radiasjon . . . 50
8.4.2 Diraksjon . . . 52
9 Porøs Halvkule ved den frie overaten 57 9.1 Addert masse og dempning . . . 57
9.2 Haskind . . . 60
9.3 Energi . . . 61
9.3.1 Radiasjon . . . 61
9.3.2 Diraksjon . . . 62
9.4 Driftkrefter . . . 63
10 Oppsummering av resultater og drøfting 67 10.1 Videre arbeid . . . 69
Tillegg 71 A Panelmetoden 73 A.1 Diskretisering av integralligninger . . . 73
A.2 Parameterisering . . . 75
A.3 Gaussintegrasjon . . . 75
A.3.1 Gaussintegrasjon i 2D . . . 76
A.3.2 Gaussintegrasjon i 3D . . . 76
B Fjernfeltsanalyse 77 B.1 Green-funksjonen . . . 77
B.2 Fjernfeltspotensialet . . . 80
C Kildeformulering 81
Figuroversikt
3.1 Skisse av kontrollater for nedsenket geometri . . . 7
3.2 Skise av kontrollater for geometri ved fri overate . . . 8
3.3 Grask fremstilling av frihetsgradene til et stiv legeme . . . 10
4.1 Grask fremstilling av radiasjonsproblemet . . . 16
4.2 Grask fremstilling av diraksjonsproblemet . . . 18
5.1 Oversikt over Python-Wamit kommunikasjon. . . 22
5.2 Konvergens for addert masse for lineær porøsitet. . . 24
5.3 Konvergens for addert masse for halvkule ved kvadratisk porøsitet.. 25
5.4 Konvergens for kvadratisk driftkraft for halvkule ved overaten. . . 25
5.5 Konvergens for lineær driftkraft for halvkule ved overaten.. . . 26
6.1 Konvergens for ytre addert masse til en solid ellipse . . . 28
6.2 Konvergens for indre addert masse til en solid ellipse . . . 29
6.3 Addert masse for sirkel plottet mot porøsitet . . . 30
6.4 Sammenligning med Molin[1] ved bruk av 1024 paneler. . . 31
7.1 Konvergens for indre og ytre addert masse for solid kule i Wamit. . 34
7.2 Addert masse for solid kule med forskjellig nedsenkningsgrad. . . . 34
8.1 Addert masse og demping for solid kule som funksjon av frekvens H/R =−1.2. . . 35
8.2 Totalt addert masse for porøs kule ved forskjellig nedsenkningsgrad 36 8.3 Indre og ytre addert masse for porøs kule ved forskjellig nedsenkn- ingsgrad . . . 37
8.4 Total dempning for porøs kule ved forskjellig nedsenkningsgrad . . . 37
8.5 Indre og ytre dempning for porøs kule ved forskjellig nedsenkingsgrad 38 8.6 Addert masse ved kvadratisk porøsitetsrelasjon for nedsenket kule . 39 8.7 Dekomponering av bridrag i dempningskoesienten for lineær og kvadratisk relasjon . . . 41
8.8 Dempningen til en kule nær fri overate med lineær og kvadratisk porøsitet . . . 42
8.9 Haskindrelasjonen for kule i hiv for jag og hiv ved lineære porøsitet. 46 8.10 Haskindrelasjonen for kule med kvadratisk porøsitet. . . 47
8.11 Haskind i jag plottet mot lineær porøsitet. . . 48
8.12 Haskind i jag plottet mot kvadratisk porøsitet. . . 48
8.13 Energiuks i radiasjon for kule i jag og svai ved lineær porøsitet. . . 51
8.14 Energiuks i radiasjon for kule i jag og svai ved kvadratisk porøsitet. 52 8.15 Sammenligning av energiuks i hiv for kule med lineær og kvadratisk
relasjon. . . 52
8.16 Energidissipasjon i diraksjon for kule ved lineær og kvadratisk relasjon 53 8.17 Energidissipasjon for kule ved lav porøsitet i diraksjon . . . 54
8.18 Energidissipasjon for kule ved høy porøsitet i diraksjon . . . 55
9.1 Dempning for halvkule ved fri overlate for lav lineær og kvadratisk porøsitet . . . 58
9.2 Dempning for halvkule ved fri overate for høy lineær og kvadratisk porøsitet. . . 59
9.3 Addert masse for halvkule med lineær og kvadratisk porøsitet. . . . 59
9.4 Haskindrelasjonen for jag solid og porøs geometri, lineært og kvadratisk. 60 9.5 Haskindrelasjonen fra Zhao[2] for en porøs sylinder med solid bunn. 60 9.6 Energiuks i jag for porøs halvkule med lineær og kvadratisk porøsitet. 61 9.7 Energidissipasjon for halvkule i diraksjon med lineære og kvadratisk porøsitet. . . 62
9.8 Driftkraft for halvkule ved lav lineær og kvadratisk porøsitet. . . 64
9.9 Driftkraft for halvkule ved høy lineær og kvadratisk porøsitet. . . . 65
9.10 Dekomponering av driftkraften i to ledd. . . 65
9.11 Driftkraft for halvkule kvadratisk relasjon ved høy porøsitet. . . 66
9.12 Driftkraft på 2D plate fra Heggen [3]. . . 66
A.1 Approksimasjon av sirkel med 15 paneler.. . . 74
A.2 Eksempel på krummet ate parameterisert i tre dimensjoner . . . . 75
B.1 Illustrasjon av integrasjonsveier som kan velges, Venstre: Konturin- tegral mot klokken, Høyre: Med klokken . . . 78
Kapittel 1 Introduksjon
Denne oppgaven studerer krefter av første og andre orden på porøse geometrier som er delvis eller fullt nedsenket i et uid. Geometrien utfører oscillerende bevegelser eller utsettes for en innkommende plan progressiv bølge. Analysen gjøres i både 2D og 3D med to representasjoner av geometriens kinematiske randbetingelse, hen- holdvis beskrevet av Chwang [4] og Molin [1]. I begge disse artiklene dannes en relasjon mellom strømningshastigheten gjennom geometrien og trykkfallet mellom geometriens indre og ytre side.
I Kapittel2 gjennomgår vi hvilke fysiske parametere som brukes i oppgaven og begrunner den brukte nedskalering. I Kapittel 3introduseres lineær potensialteori og dekomponeringen av problemet i det porøse tilfellet. Deretter i Kapittel4bruker vi Greens integralidentitet (Boundary Element Method) beskrevet i Newman [5] for å lage et sett ligninger som vi løser med egenutviklet programvare og en modisert versjon av WamitTM. Kapittel 5 gjennomgår hvilke modikasjoner som har blitt gjort i Wamit, hva som har blitt utviklet utenfor Wamit og resultater for konvergen- stester. I Kapittel 6 vil resultater for ugjennomtrenglige (solide) og porøse ellipser gjennomgåes. Deretter vil det i Kapittel 7 presenteres resultater for en solid kule i forskjellige avstander fra den frie overaten. I Kapittel 8 vil resultater for en porøs kule settes i sammenheng med resultatene oppnådd for en solid kule. I Kapittel 9 vil resultater for en porøs halvkule liggende ved den frie overaten presenteres.
Teorien veriseres ved å beregne kjente hydrodynamiske identiteter som er blitt utledet med kinematisk randbetingelse for porøse skall:
• Addert masse og dempningskoesenter (Seksjon 6.1)
• Haskindrelasjonen (Seksjon 8.3)
• Energiligningene (Kapittel 8.4)
• Driftkrefter (Kapittel 9.4)
En oppsummering av resultatene er gitt i Kapittel 10, der det er lagt vekt på forskjellen i den lineære og kvadratiske relasjonen mellom trykk og gjennomstrømn- ingshastighet.
Anvendelser og tidligere arbeider
Bølgers interaksjon med naturlige og menneskeskapte strukturer har stor sam- funnsøkonomisk betydning, både i elver, kystsone og til havs. Dette illustreres ved den omfattende forskning innen Marin Hydrodynamikk, der et lite knippe forskning relevant for denne oppgaven nå oppsummeres.
I 1956 beskrev Taylor [6] forskjellige modeller for å beskrive porøsitet bygget på en relasjon mellom trykkfallet over geometrien og gjennomstrømingshastigheten. Dette har senere blitt brukt av en rekke andre, blant annet Chwang [4], Chwang&Li [7] for å modellere porøse bølgemakere i endelige og uendelige kanaler. Disse ble studert med tanke på anvendelser mot faktisk lekkasje i bølgemakerene, samt en ny måte å beskrive jordskred i vann. For beskyttelse av oshorekontruksjoner, har Molin og Nielsen [8] og Molin [1,9] studert kvadratiske og sirkulære porøse dempningsstruk- turer. Disse dempningsstrukturene blir blant annet brukt som stabilisatorer på toppen av skyskrapere for å dempe bygningens egenfrekvens. Molin, i samarbeid med Legras har også studert større porøse strukturer, som ROSEAU-tårn stabil- isatoren [10]. Dette er en slank oshorestruktur forankret til havbunnen for bruk på dypt vann. Williams [11], Williams og Li [12] og Williams, Li og Wang [13] har studert porøse moloer som et alternativ for beskyttelse av havneområder. Zhao, Kinoshita et.al [2] har sammenlignet eksperimentelle resultater for en porøs sylin- der ved fri overate med potensialteori der den lineære hastighet-trykkrelasjonen fra Chwang [4] har blitt brukt.
De este problemene har blitt løst med egenfunksjonutviklinger, se Chwang [4], Zhao, Kinoshita et al. [2], Isaacson [14] og Heggen [3]. I denne oppgaven er en an- nen tilnærming brukt basert på Newman [5]. Vi representerer hastighetspotensialet som en kilde-dipoldistribusjon over overaten til geometrien.
Den lineære relasjonen Chwang [4] bruker til å modellere en sammenheng mellom trykkfallet og gjennomstrømningshastigheten er basert på Darcy's lov [15]. Denne loven er egnet for geometrier med små åpninger, men er lite egnet for geometrier med høy porøsitet. I 1950 introduserte Morison, Johnson, og Schaaf [16] Morisons lov som sier at den totale kraften virkende på en geometri fra bølgekrefter er en sum av treghetskrefter og viskøse krefter hvor det viskøse leddet inneholder et kvadratisk hastighetsledd. Dette gjør at det er ønskelig å approksimere trykket fra et uid på en porøs geometri med en relasjon på samme form. Det er derfor interessant å sammenligne den lineære relasjonen beskrevet av Chwang [4] og den kvadratiske formuleringen beskrevet av Molin [1] for å se om disse gir forskjellige beregnede fysiske resultater.
For å løse Greens integralligninger for det koblede systemet har WAMITTMblitt anvendt. Ved å modisere denne programvaren til å inkludere porøse eekter har vi kunnet beregne kjente hydrodynamiske identiteter. For å verisere ere av mod- ikasjonene gjort i WAMIT har vi utviklet egne programmer som kan beregne løs- ninger av radiasjonsproblemet i uendelig uid for 2D og 3D geometrier.
KAPITTEL 1. INTRODUKSJON
Denne oppgaven er en fortsettelse av masteroppgaven til Heggen [3] skrevet våren 2015. Heggen analyserte krefter på en porøs bølgemaker med bølgeeekter og strøm. Oppgaven er skrevet parallelt med Lars Petter Karstensen [17] sin analyse av den lineære hastighet-trykkrelasjonen for en geometri ved fri overate.
Kapittel 2
Dimensjonsanalyse
Innkommende bølger er i denne oppgaven beskrevet som plane progressive bølger med amplitude A og frekvens ω. Vi bruker en karakteristisk lengdeskala R for geometrien. I denne oppgaven er R radiusen til sirkelen/kulen/halvkulen som rep- resenterer geometrien. Alle steder hvor radius ikke har blitt spesisert, er R = 1.
Tyngdeakselerasjonen g er i denne oppgaven satt til 9.81. Alle problemer i denne oppgaven er med uendelig dyp, og de este utledninger er gjort med denne an- takelsen. I Gjevik et.al. [18] nner vi da at dispersjonsrelasjonen er gitt somk = ωg2 og at følgende krav må være oppfylt for at bølgen skal være lineær
kA1. (2.1)
Fysisk tolkeskA som bølgesteilheten. I alle forsøk har innkommende bølgevinkelβ blitt satt til 0. I denne oppgave studeres eekten av to forskjellige bølgesteilheter, som begge oppfyller (2.1). Disse er kA = 0.05 og kA = 0.1. I Tabell 2.1 gir en oversikt over hvilke dimensjonsløse fysiske parametere som blir brukt i denne oppgaven.
T∗ =Tp
g/R 12.566 8.347 6.685 5.736 ω∗ =ωp
R/g 0.500 0.753 0.940 1.095 k∗ =kR 0.250 0.567 0.883 1.200 λ∗ =λ/R 25.132 11.088 7.113 5.236 kA=0.1,A/R 0.400 0.176 0.113 0.083 kA=0.05,A/R 0.200 0.088 0.057 0.042
Tabell 2.1: Dimensjonsløse parametere brukt i denne oppgaven
Dette valget av parametere er basert på artikler om skemerder [19,20] publisert i Teknisk ukeblad. Radiusen til en fullskala merde vil typisk være50meter. Siden vi har restriksjoner på bølgesteilhet, og vil holde bølgene innenfor et realistisk spekter, er perioderestriksjonene ovenfor valgt. En bølge medT∗ = 12.566tilsvarer en bølge med bølgelengde påλ = 1.25km, med høydeA= 20m. Høyden på bølgen tilsvarer omtrent høyden til Draupner-bølgen, målt i Nordsjøen på Draupnerplattformen 1.
januar 1995. Derimot var bølgelengden til Draupnerbølgen kun 250 m. Jeg velger likevel å ha med resultater for denne perioden for å se på hvordan relasjonene blir når man går fra korte til lange bølger.
Som nevnt i Kapittel1skal den kinematiske randbetingelsen studeres både med en lineær og en kvadratisk relasjon mellom uidets strømningshastighet over randen og trykkfallet over geometrien. For det lineære tilfellet, vil parameterenG= ρωbµk bli brukt som et dimensjonsløst mål på porøsiteten. Ger også et alternativt Reynolds- tall for uidets strømningshastighet gjennom porene i geometriens vegg. For mer informasjon om denne parameteren, se Chwang [4] .
For det kvadratiske tilfellet brukes beskrivelsen fra Molin [1] for et porøst Keulegan- Carpentertall.
KC = (1−τ)D 2µτ2R ,
der D er utslagsamplituden til geometriens oscillerende bevegelse eller amplituden på den innkommende bølgen,τ porøsitetsratioen og µ en utstrømingskoesient av orden 1. For porøsitet under 50% har Molin [1] latt 0.3 < µ < 0.4. Dette er en empirisk parameter som må bestemmes ved eksperimenter, men i alle i denne oppgaven harµ= 0.3 blitt brukt.
Kapittel 3
Potensialteori og randbetingelser
Vi ønsker å representere hastighetsfelter rundt en geometri med hastighetspoten- sialer, funksjoner Φsom oppfyller ∇Φ =v.
For ligningene vi skal bruke til å nne dette hastighetspotensialet, trenger vi lukkede volumer, se Kapittel 4. Dette fører til at problemet dekomponeres til et potensial som beskriver strømmen inne i geometrien, og et potensial som beskriver strømmen rundt.
3.1 De indre og ytre potensialet
Figur 3.1 illustrer dekomponeringen for en geometri i et volum begrenset av en fri overate og en solid bunn. Den eneste forskjellen fra et problem med uendelig dyp er at kontrollaten ved bunn erstattes med en kontrollate i uendelig. I tre dimensjoner representeres ofte den uendelige kontrollaten som en sylinder derR→
∞ og sylinderens dybde h → ∞ som gjort i all fjernfeltsanalyse i resten av denne oppgaven. Siden den modellerte geometrien er porøs, vil vi også modellere uidet inne i geometrien. Fordi ligningene vi skal bruke (se Kapittel 4). krever lukkede volumer. Derfor er vi kun interessert i selve geometrien og den frie overaten geometrien eventuelt grenser mot, se Figur 3.2.
Kontrollflate ved−∞
Kontrollflate ved bunn
Kontrollflate ved∞ Overflaten av nedsunket legeme Fri overflate
Overflaten av nedsunket legeme
Figur 3.1: Skisse av nedsenket geometri. Venstre: Ytre problem, Høyre: Indre problem
Kontrollflate ved−∞
Kontrollflate ved bunn
Kontrollflate ved∞ Overflaten av nedsunket legeme Fri overflate
Overflaten av nedsunket legeme Fri overflate
Figur 3.2: Skisse av ytende. Venstre: Ytre problem, Høyre: Indre problem
3.2 Generelle randbetingelser
Uavhengig av om geometrien er porøs eller solid, må uidhastigheten normalt på randen av geometrien være den samme på innsiden som på utsiden av geometrien.
Superscript E i denne oppgaven står for det ytre domenet og superscript I står for det indre. Derfor brukes følgende notasjon for normalvektoren i resten av oppgaven n = nE = −nI. Denne notasjonen gjelder også normalvektorens komponenter.
Dette gir følgende kinematiske randbetingelse
n· ∇ΦE = ΦEn = ΦIn=n· ∇ΦI on SB. Generelt har vi da følgende randbetingelse på geometrien
∇ΦE/I =U+W, ΦEn = ΦIn =Un+Wn,
hvorUner normalhastigheten til geometrien, ogWner gjennomstrømningshastigheten.
3.2.1 Fri overate-betingelser
Vi trenger både en kinematisk og en dynamisk randbetingelse for interaksjon med uidets overate. Ved å se på overatehevningen η=η(x, y, t)
z =η(x, y, t),
z+δz=η(x+uδt, y+vδt, t+δt)
=η(x, y, t) + ∂η
∂xδx+∂η
∂yδy+ ∂η
∂tδt, hvor det siste steget i utledningen er en Taylorutvikling i tid.
Ved å brukez =η(x, y, t) får vi
∂z
∂t = ∂η
∂x
∂x
∂t +∂η
∂y
∂y
∂t +∂η
∂t,
KAPITTEL 3. POTENSIALTEORI OG RANDBETINGELSER
hvor
v= (u, v, w) = (∂x
∂t,∂y
∂t,∂z
∂t) =∇Φ.
Ved å Taylorutvikle denne betingelsen rundt z = 0 får vi w=v∂η
∂y +u∂η
∂x + ∂η
∂t, z = 0.
Hvis vi antar at overatehevningen og at hastighetene er relativt små, kan vi linearisere denne betingelsen, og få
w= ∂η
∂t, z = 0. (3.1)
Den dynamiske randbetingelsen kan nnes ved å bruke Bernoullis ligning på overaten.
η =−1 g
∂φ
∂t + 1
2∇φ· ∇φ
, y=η.
Ved linearisering får man
η=−1 g
∂φ
∂t, y= 0. (3.2)
Ved å derivere den dynamiske randbetingelsen (Ligning (3.2)) og sette den inn i den kinematiske betingelsen (Ligning (3.1)) får vi
∂2φ
∂t2 +gη= 0, y= 0.
Disse betingelsene holder ikke for å gjøre randverdiproblemet entydig. Ved å introdusere en ekstra randbetingelse ved uendelig kalt radiasjonsbetingelsen sørger vi for en entydig løsning. I tre dimensjoner er denne betingelsen knyttet til de bølgene som propagerer ut fra legemet. Den er på formen
φj ∝R−12e−ikR, R → ∞, j = 1,· · · ,7.
Mer informasjon om hvordan potensialene oppfører seg i fjernfeltet er beskrevet i TilleggB.
3.2.2 Dekomponering av potensialet
De innkommende bølgene mot geometrien er plane progressive bølger.
Hastighetsresponsen til geometrien vil være sinusodial i tid, med samme frekvens som den innkommende bølgen. Ethvert stivt legeme har seks frihetsgrader for beveg- else; jag, hiv, svai, rull, gir og stamp, som beskrevet i Figur 3.3.
Dette gir oss følgende hastighetsrespons for hver bevegelseskomponent.
Uj,n = Re iωξjnjeiωt
, j = 1,· · · ,6,
Jag Hiv
Rull Stamp
Giring Svai
Figur 3.3: Grask beskrivelse av de seks frihetsgradene til et stivt legemes bevegelse
hvorξj er den komplekse amplituden til geometrien.
Ved små innkommende bølger kan en dekomponere hastighetspotensialetΦsom følger
ΦE= Re(ϕEeiωt) = Re
"
iω
6
X
j=1
ξjφEj +igA
ω (φ0+φE7)
! eiωt
#
, (3.3)
ΦI = Re(ϕIeiωt) = Re
"
iω
6
X
j=1
ξjφIj +igA
ω (φ0+φI7)
! eiωt
#
. (3.4)
Ved å sette dette inn i overatebetingelsen (Ligning 3.2.1) får man
φj,z−ω2
g φj = 0, j = 0,· · · ,7.
3.3 Gjennomstrømningshastigheten
Vi vil ha den romlige avhengigheten av gjennomstrømningshastigheten på dimen- sjonsløs form. Derfor velger vi følgende representasjon
Wj = Re(iωξjweiωt), Wn,j = Re(iωξjwneiωt).
For diraksjonspotensialet blirWn,D på formen Wn,D = Re iωAwn,Deiωt
.
Linerarisert Eulers ligning gir oss trykket som funksjon av hastighetspotensialet.
PE/I =−ρΦE/It =−ρiωΦE/I. (3.5)
KAPITTEL 3. POTENSIALTEORI OG RANDBETINGELSER
3.3.1 Lineær kobling
I Chwang [4] brukes Darcy's lov til å relatere trykkforskjellen på utsiden og innsiden av geometrien til gjennomstrømingshastigheten. Denne relasjonen er
Wn= b
µ(PE−PI), (3.6)
Wn=−ρb
µ(ΦEt −ΦIt).
Denne lineariserte koblingen mellom gjennomstrømningshastigheten og trykkdif- ferenansen inkluderer ikke separasjonseekter gjennom de porøse åpningene. Dette gjør at strømningshastigheten gjennom geometrien må være relativt liten eller at porøsiteten er lav for nøyaktige resultater.
Ved å sette inn i Ligning (3.6) får en at wn,j kan skrives som wn,j =−iρωb
µ (φEj −φIj), mens wn,D kan skrives som
wn,D =−iρbg
µω (φED−φID).
3.3.2 Kvadratisk kobling
I Molin [1] presenteres en metode som inkluderer separasjonseekter, som fører til en kvadratisk gjennomstrømningslov. For denne tilnærmingen trengs følgende betingelser:
• Neglisjerbar tykkelse
• Uendelig antall porer som er uendelig små
Molin utleder den kvadratiske relasjonen for en sjakt med kun én åpning. Han viser også at interne treghetskrefter ikke bidrar til relasjonen.
Ved å bruke Ligning (3.5) og Molin sin variant av trykkfallet kommer vi frem følgende kvadratiske trykkrelasjon på formen
∆p= 1−τ
2µτ2ρWn|Wn|, (pE −pI)n= 1−τ
2µτ2ρWn|Wn|, Wn|Wn|=−2µτ2
1−τ(ΦEt −ΦIt). (3.7) Ligning (3.7) er kvadratisk og vil lineariseres for at ligningssystemet skal kunne løses i frekvensdomenet. For radiasjonsproblemet kan man bruke atWn = Re(iωξjwneiωt) og da blir ligning (3.7)
Re(iωξjwNeiωt)|Re(iωξjwNeiωt)|= 2µτ2
1−τ Re(ω2ξj(ϕE−ϕI)eiωt). (3.8) Denne ligningen kan lineariseres ved hjelp av Fourierserier.
3.4 Fourierserier
SideniωξjwN er kompleks, kan man bruke komplekse identiteter, iωξjwN =a+ib=reiψ, r =|iωξjwN|, ψ = arctan
b a
, Re(iωξjwNeiωt) = Re(rei(ωt+ψ)) = rcos(ωt+ψ) = rcos$,
g(x, y, z, t) = r(x, y, z) cos$|r(x, y, z) cos$|
=r2(x, y, z) cos$|cos$|.
Den følgende ligningen er denisjonen av Fourierserien til en funksjon g(t), g(t) = a0
2 +
∞
X
n=1
(αncos(nt) +βnsin(nt)).
Vi ønsker å nne en linearisering av g(t) på formen eiωt, så det søkes kun etter løsninger på formen
g(t) = α0
2 +α1cos(t) +β1sin(t).
Om g(t) er en komposisjon av to andre funksjoner f(t) og F(t) med Fourier- koesienteran, bn ogAn, Bn har man fra Tolstov [21] at
αn = a0An 2 +1
2
∞
X
m=1
[am(Am+n+Am−n) +bm(Bm+n+Bm−n)], βn = a0Bn
2 +1 2
∞
X
m=1
[am(Bm+n−Bm−n)−bm(Am+n−Am−n)].
Ved å denere følgende notasjon, der F(f) er Fourierserien til f(t), kan det vises at om a er en konstant, er F(a· f(t) = aF(f(t)). Vi kan ta ut r(x, y, z)2 av Fourierserien, og sette den inn igjen når serien er ferdig beregnet. Ved å bruke Fourierserien på venstresiden av ligning (3.8), får vi følgende funksjoner
g($) = cos($)|cos($)| f($) = cos($),
F($) = |cos($)|.
Både cos($) og |cos($)| er jevne funksjoner, det vil si at f(−x) = f(x). En konsekvens av dette er at alle Fourierkoesientene kan nnes ved å ta to ganger integralet fra 0til π istedenfor fra −π tilπ. I tillegg er alle koesienterbn, Bn = 0 Dette gjør at vi kun trenger
α0 = a0A0 2 +
∞
X
m=1
amAm, α1 = a0A1
2 + 1 2
∞
X
m=1
[am(Am+1+Am−1)].
KAPITTEL 3. POTENSIALTEORI OG RANDBETINGELSER Fourier-koesientene tilcos($) kan det enkelt vises at er
a0 = 0, a1 = 1, an = 0, n∈[2,∞].
Dette gjør at vi kun trenger å nneA0, A1, A2 Det er litt mer jobb å nne Fourier- koesientene til |cos($)|, da cos($) endrer fortegn på intervallet 0 til π. Ved å identisere nullpunktet til funksjonen er, kan vi skrive om
F(x) =|cos($)|=
(cos($) for $∈[0,π2]
−cos($) for $∈[π2, π].
Ved å nå dele integralet opp i to deler kan det enkelt vises, som demonstrert i Heggen [3]
A0 = 4
π, A1 = 0, A2 = 4 3π. Vi ender da opp med
α0 = 0, α1 = 1
2 4
π + 4 3π
= 8 3π, g($) = cos($)|cos($)|= 8
3πcos($).
Ved å sette dette inn i ligning (3.8) og bruke at r =|iωξjwN| blir ligningen ω|ξj||wn,j||iωξjwn,j| 8
3π cos($) = 2ω2µτ2
1−τ (ϕE −ϕI).
Ved å gjenkjenne at |iωξjwn,j|cos$= Re(iωξjwNeiωt) får man wn,j =−i3π
4 µτ2 1−τ
1
ξj|wn,j|(φEj −φIj).
Her lar vi ξj være en kjent parameter. Ved å gjenta samme prosedyre for dirak- sjonsproblemet blir resultatet
wn,D=−i3π 4
µτ2 1−τ
1
kA|wn,D|(φED−φID)
kAer bølgesteilheten til de innkommende bølgene. også en kjent parameter. Begge disse ligningene er fortsatt ikke-lineære. En bruker Picard-iterering ved å gjette på wn,D/j på høyre side av ligningene.
3.5 Oppsummering av randbetingelser
PotensialetΦ oppfyller Laplaces ligning, og kan dekomponeres til formen ΦE/I = Re
( igA
ω φE/ID +iω
6
X
j=1
ξjφE/Ij
! eiωt
) , φED =φ0+φE7, φID =φ0 +φI7.
Den lineariserte frie overatebetingelsen er
∂φj
∂n −kφj = 0, z = 0, j = 0,· · · ,7, k= ω2 g Radiasjonsbetingelsen er
φj ∝R−12e−ikR, R → ∞, j = 1,· · · ,7.
Potensialet som beskriver den innkommende plane progressive bølgen er på formen φ0 =C(z)e−iKRcos(β−θ),
C(z) =
(cosh(k(z+H))
coshKH Ved endelig dyp eKz ved uendelig dyp, ω2
g =ktanh(kH).
Randbetingelsen ved endelig dyp er
∂φj
∂z = 0, j = 0,· · · ,7.
Randbetingelsen på geometrien er
∂ΦEj
∂n = ∂ΦIj
∂n =Uj +Wn,j, ∂φEj
∂n = ∂φIj
∂n =nj +wn,j, (3.9)
∂ΦED
∂n = ∂ΦID
∂n =Wn,D, ∂φED
∂n = ∂φID
∂n =wn,D, (3.10) som kan skrives ut som
Uj = Re iωξjnjeiωt , Wn,j = Re iωξjwn,jeiωt
= Re iωξjiαj(φEj −φIj)eiωt
, j = 1,· · ·6, Wn,D = Re
igA
ω wn,Deiωt
= Re igA
ω iαD(φED −φID)eiωt
, αj =
(−ρbωµ for lineær relasjon
−4(1−τ)ξ3πµτj|w2n,j| for kvadratisk relasjon , (3.11) αD =
(−ρbωµ for lineær relasjon
−4(1−τ)A|w3πµτ2n,D| for kvadratisk relasjon (3.12)
Kapittel 4
Grunnligninger
4.1 Greens identitet
Fra Newman [5] bruker vi følgende form av Greens identitet Z Z
S
φ∂ϕ
∂n −ϕ∂φ
∂n
dS(ξ, η, ζ) = 0, (4.1)
hvorϕ=ϕ(x, y, z, ξ, η, ζ)ogφ=φ(ξ, η, ζ)er to potensialer som oppfyller Laplace's ligning;
∇2ξϕ= 0,
∇2ξφ = 0.
Der φer hastighetspotensialet for en strøm rundt en geometri. Potensialet ϕer en kildedistribusjon over geometrien.
Kildepotensialer i to og tre dimensjoner skrives på formen ϕ= log(r) (2D),
r=
(x−ξ)2+ (y−η)212 , ϕ= 1
r (3D), r=
(x−ξ)2+ (y−η)2+ (z−ζ)212 .
Ligning (4.1) gjelder kun når punktet (x, y, z) ikke er innesluttet i det volumet V. Om en vil se på punkter (x, y, z) inni volumet eller på randen av volumet, må en integrere seg rundt singulariteten i ϕ. Resultatet blir
3D: (4.2)
Z Z
S
φ∂ϕ
∂n −ϕ∂φ
∂n
dS =
0 hvis (x, y, z)6∈V
−2πφ(x, y, z) hvis (x, y, z)∈S
−4πφ(x, y, z) hvis (x, y, z)∈V,
2D: (4.3) Z Z
S
φ∂ϕ
∂n −ϕ∂φ
∂n
dS =
0 hvis (x, y)6∈V πφ(x, y) hvis (x, y)∈S 2πφ(x, y) hvis (x, y)∈V, hvorS er randen som omslutter volumetV.
I mange problemer har man for eksempel fri overate, vegger, bunn eller andre grensebetingelser som må oppfylles. En eektiv løsningsmetode for å nne φ er å la kildefordelingen oppfylle de samme grensebetingelsene som løsningen skal.
Dette gjøres ved å introdusere en Greenfunksjon G =ϕ+H(x, y, z, ξ, η, ζ), der H oppfyller Laplaces ligning. Da kan vi substituere ϕ med G i (4.2) og (4.3). Et eksempel på dette nnes i TilleggB.
4.2 Radiasjonsproblemet
Vi kan dekomponere problemet vårt til to problemer. Det første er at vi tvinger geometrien til å bevege seg og nner potensialet denne bevegelsen skaper.
Figur 4.1: Grask fremstilling av radiasjonsproblemet Vi har da
Φ= Re iω
6
X
j=1
ξjφj
! eiωt
! .
Siden disse bevegelsene er uavhengige av hverandre kan vi løse hver bevegelse for seg selv, for å så kombinere dem til mer avanserte bevegelser.
ΦE/Ij = Re
iωξjφE/Ij eiωt ,
PjE/I = Re(ρω2ξjφE/Ij eiωt), (4.4) nE= (nE1, nE2, nE3),
x×nE= (nE4, nE5, nE6).
Her er x avstanden fra rotasjonssentrum. Overaten vi skal integrere over er S =Sb+Sf +Sbottom+S∞.
KAPITTEL 4. GRUNNLIGNINGER
Hvis vi nå setter opp Greens ligning for det ytre og indre potensialet 2πΦEj +
Z Z
S
"
ΦEj ∂G
∂nE −G∂ΦEj
∂nE
#
dS= 0,
2πΦIj − Z Z
Sb+Sf
"
ΦIj ∂G
∂nE −G∂ΦIj
∂nE
#
dS= 0.
Integralene over bunnen, den frie overaten og uendelig langt unna geome- trien blir null grunnet randbetingelser på faste vegger, den lineariserte overate- betingelsen og radiasjonsbetingelsen.
2πΦEj + Z Z
Sb
"
ΦEj ∂G
∂n −G∂ΦEj
∂n
#
dS= 0,
2πΦIj − Z Z
Sb
"
ΦIj∂G
∂n −G∂ΦIj
∂n
#
dS = 0,
2πΦEj + Z Z
Sb
ΦEj Gn
dS− Z Z
Sb
[GUj]dS− Z Z
Sb
[WN jG]dS = 0, (4.5)
2πΦIj − Z Z
Sb
ΦIjGn
dS+ Z Z
Sb
[GUj]dS+ Z Z
Sb
[WN jG]dS = 0. (4.6)
Ved å addere og subtrahere Ligning (4.5)-(4.6) og anvende identitetene Xj = ΦEj + ΦIj, Yj = ΦEj −ΦIj
2πXj + Z Z
Sb
[YjGn]dS = 0, (4.7)
2πYj + Z Z
Sb
XjGndS−2 Z Z
Sb
[WN jG]dS = 2 Z Z
Sb
[GUj]dS. (4.8)
4.3 Diraksjonspotensialet
Den andre delen av dekomponeringen går ut på at geometrien holdes i ro, og blir utsatt for plane progressive bølger, beskrevet av potensialet φ0. Geometrien vil da reektere deler av den innkommende bølgen, beskrevet av potensialet φ7.
Siden geometrien holdes i ro, vil hastigheten på Sb kun være gjennomstrømn- ingshastigheten W.
Φ0 = Re igA
ω φ0eiωt
, ΦE/I7 = Re
igA
ω φE/I7 eiωt
.
x y z
Figur 4.2: Grask fremstilling av diraksjonsproblemet
Randbetingelsen på geometrien blir da
∂
∂n(Φ0+ ΦE7) = ∂ΦED
∂n = ∂ΦID
∂n =nE ·W.
Integralligningene vi nå skal løse er
2πΦED+ Z Z
S
ΦEDGn−G∂ΦED
∂n
dS = 0,
2πΦID− Z Z
Sb+Sf
ΦIDGn−G∂ΦID
∂n
dS = 0.
For begge disse ligningene vil integralet over den fri overaten forsvinne. I til- legg vil integralet over en eventuell havbunn forsvinne for det eksterne potensialet grunnet randbetingelse på havbunn. Reeksjonspotensialetφ7 oppfyller radiasjons- betingelsen og integralet over kontrollaten ved uendelig blir null. Dette gjelder ikke forφ0 da dette er en innkommende bølge fra uendelig. Vi sitter da igjen med
2πΦED+ Z Z
Sb
ΦEDGn−G∂ΦED
∂n
dS+ Z Z
S∞
ΦE0Gn−G∂ΦE0
∂n
dS = 0, (4.9)
2πΦID− Z Z
Sb
ΦIDGn−G∂ΦID
∂n
dS = 0.
Ved å anvende Greens teorem på φ0 avgrenset av en kontrollate i uendelig og en fri overate, kan en omskrive integralet over kontrollaten ved uendelig i (4.9).
Integralet over den frie overaten er null grunnet randbetingelsen og det er kun integralet over kontrollaten ved uendelig som er igjen. Da har man ligningen
−4πΦE0 = Z Z
S∞
ΦE0Gn−G∂ΦE0
∂n
dS
som gjelder for et punkt i volumet avgrenset av kontrollaten ved uendelig.
Ved substitusjon av dette inn i ligning (4.9) og innsetting av randbetingelser, får en ved addisjon og substraksjon
KAPITTEL 4. GRUNNLIGNINGER
2πXD + Z Z
Sb
[YDGn] dS= 4πΦE0, (4.10)
2πYD + Z Z
Sb
[XDGn] dS−2 Z Z
Sb
GWN DdS = 4πΦE0, XD = ΦED+ ΦID(4.11), YD = ΦED−ΦID.
Vi ser at venstresidene i disse to ligningene er på samme form som Ligning (4.7) og (4.8).
4.4 Frekvensdomenet
I ligningene (4.7) og (4.8) inneholder alle ledd Re (iωξj(· · ·)eiωt). Dette gjør at vi kan løse dette problemet i frekvensdomenet, altså uavhengig av tiden. Dette gir følgende ligninger
2πxj+ Z Z
Sb
[yjGn]dS = 0, (4.12)
2πyj+ Z Z
Sb
xjGndS−2iαj
Z Z
Sb
[yjG]dS = 2 Z Z
Sb
[njG]dS, (4.13) xj =φEj +φIj,
yj =φEj −φIj.
For diraksjonsproblemet inneholder alle ledd Re igAω (· · ·)eiωt
. Ved samme prosedyre som for radiasjonsproblemet får en da
2πxD + Z Z
Sb
[yDGn] dS = 4πφE0, (4.14) 2πyD +
Z Z
Sb
[xDGn] dS−2iαD
Z Z
Sb
yDGdS = 4πφE0, (4.15) xD = 2φ0 +φE7 +φI7,
yD =φE7 −φI7.
Konstanteneαj ogαD er beskrevet i ligning (3.11) og ligning (3.12).
Kapittel 5
Modisering av Wamit
Wamit er en lisensiert programvare skapt av J.N. Newman og hans medarbeidere ved Massachusetts Institute of Technology (MIT). Programvaren løser radiasjons- og diraksjonsproblemet for geometrier i et uid begrenset av en fri overate med endelig eller uendelig dyp. I programmet er det også implementert rutiner for å evaluere drivkrefter i det solide tilfellet. Versjonen av Wamit brukt i denne mas- teroppgaven er versjon 5.3 av Wamit, sist oppdatert av Universitet i Oslo i 1998.
For å kunne bruke Wamit til å løse våre ligningsett (4.7), (4.8),(4.10), (4.11), måtte nye matriser implementeres i Wamit, samt alle veriseringrutiner må gjen- nomgåes for porøse geometrier, se Kapittel 6.1 for addert masse- og dempningsko- esienter, Kapittel8.4 for energidissipasjon og Kapittel8.3 Haskindrelasjonen.
Figur 5.1 beskriver hvordan Wamit og Python har blitt brukt for å løse lignin- gene for den lineære og kvadratiske trykk-hastighetsrelasjonen.
5.1 Matriseoppsett
I Wamit beregnes det totale bidraget avRR
Sb[G]dS,RR
Sb
∂G
∂n
dS og RR
Sb
∂Gx
∂n
dS i wavegr.f. Disse blir brukt i matrisene som settes opp for å løse radiasjons- og diraksjonsproblemet. Integralene beregnes i Wamit som originalt, men istedenfor å løse matriseligningen i Wamit sendes disse til et Python-program for å bli løst.
5.2 Løsning av ligningene
Wamit sin egne matriseløser fungerer ikke for den kvadratiske relasjonen ved høy porøsitet, da den slutter å konvergere. En konsekvens er at jeg har løst alle ligninger i Python. Løseren jeg har valgt å bruke er linalgsolveren fra numpy-biblioteket.
Denne løseren er tregere enn Wamit sin implementerte løser, men konvergerer for alle parametervariasjoner. For det lineære tilfellet kalles denne løseren syv ganger, mens i det kvadratiske må man iterere inntil konvergens for hver av de åtte prob- lemene, hvor det åttende er kildeproblemet som omtales i Kapittel 9.4. En kon- sekvens av at løseren er tregere er at jeg for alle simuleringer for nedsenket kule har redusert parameterområdet mitt til re ω∗ og to bølgesteilheter per ω∗. Disse
Wamit
Python
.POT .GDF
Wamit
Radiation and diffraction potentials
Python
.out
Right hand sides of the old problem Integral of the Green function
Porosity information:
Linear/Quadratic Porosity value
Source distribution for radiation Velocities in x-direction
Setup of parts of matrices
Solving linear problem Iterative solver for quadratic problem Postprosessing
and its derivatives Start with porosity = 0
Use new porosity
Figur 5.1: Oversikt over hvordan mitt Python-program og Wamit samhandler for å løse radiasjons og diraksjonsproblemt for lineær og kvadratisk porøsitet- slov. Python-progammet løser også kildedistribusjonen til diraksjons potensialene.
Python-programmet lagrer informasjonen fra Wamits .out-ler i komprimerte ler i et spesisert mappesystem.
nnes i Tabell 2.1. For halvkulen på overaten, har jeg brukt 15 ω∗ jevnt fordelt i området mellom den minste og største verdien i Tabell 2.1. Itereringen for den kvadratiske trykkrelasjonen er gjort med Picard-iterasjoner med en avslapningsfak- tor v = 0.5. Picard-iterasjoner for ODE og PDE-er er beskrevet av Langtangen [22]. Denne metoden kan brukes for vår ikke-linære ligning ved at man bruker et initialgjett for å linearisere ligningen.
5.3 Addert masse og dempningskoesienter
I Wamit 5.3 sees det kun på ett potensial (det ytre), mens vi i det porøse tilfellet i tillegg har et indre potensiale. Ved å modisere beregningene av addert masse og dempning originalt implementert i Wamit, produserer amdmp.f nå resultater for det indre, det ytre og det totale potensialet i .out-len.
5.4 Haskind
Haskindrelasjonen er et forhold mellom diraksjons- og radiasjonspotensialet. I Wamit 5.3 beregnes eksitasjonskraften fra potensialene φ0+φE7, mens i det porøse tilfellet skal beregnes for φE7 −φI7. For radiasjonspotensialet inneholdt i Kochin- funksjonen beskrevet i Tillegg B er det kun randbetingelsen ∂φ∂nj som må endres.
Haskindrelasjonen for den kvadratiske hastighet-trykkrelasjonen får et tilleggsledd.
Dette er utledet i Seksjon 8.3.2. I len dfrc.f har dette tilleggsleddet blitt lagt til i beregningen når vi løser det kvadratiske problemet.
KAPITTEL 5. MODIFISERING AV WAMIT
5.5 Energi
Ligningene for energi utledet i Kapittel8.4 er på samme form som standard utled- ning av energiligningene. Dette har eksempelvis blitt gjort av Zhao[2] og Nossen et al. [23] med randbetingelsene beskrevet i Kapittel 3.5 i Kochin-funksjonene.
For en fritt ytende geometri beregnes vanligvis Respons Amplitude Operatoren (RAO) i Wamit. I det kvadratiske tilfellet må ξj og A gis for å løse ligningsettet.
For at det som allerede er implementert i Wamit skulle fungert, måtte en ytre iter- ativ løser blitt lagt til for å se om ξj/A som gis inn er identitsk med resultatet av beregningene i rao.f. Massen til solide geomterier i vann er det fortrengte udiets masse. For våre porøse geometrier har vi ingen informasjon om geometriens masse.
Vi beregner på en uendelig tynn ate og derfor har vi ikke kunnet beregne RAO for fritt ytende geometrier. For å kunne gjøre dette trengs det informasjon fra eksperimenter eller leverandør av merder. Vi har derfor beregnet energidissipasjo- nen i radiasjon og diraksjon individuelt med verdiene ξj og A gitt som input til Wamit.
5.6 Drift
Driftkrefter for diraksjon har blitt implementert av Karstensen [17] i Wamit for lineær hastighet-trykkrelasjon. Denne implementasjonen har blitt modisert til å kunne ta inn gjennomstrømningshastigheter fra l beregnet i Python-programmet.
Dette gjør at nesten hele implementasjonen av denne rutinen er identisk med det beskrevet av Karstensen. Driftkreftene trenger de retningsderiverte av dirak- sjonspotensialet. Dette gjør at vi trenger å bruke kildeformuleringen formulert i TilleggC.
5.7 Løsninger som input i Wamit
I Python beregnes løsninger for φEj , φIj, j = 1,· · ·7, σ7E,σ7I, wn,j, j = 1,· · ·7.
For at Wamit skal kunne fungere med disse løsningene, må disse sendes tilbake til poten.f, slik at de kan formateres som Wamit-ler. Dette er gjort i subroutinen py_to_wam.f.
5.8 Konvergens av resultater
For Boundary Element Methods (BEM) nnes det få feilestimater, Costabel [24].
Derfor veriserer vi at løseren vår konvergerer mot eksakte resultater der disse kan oppnås. Videre er det viktig å få identisert hvor mange paneler til representasjon for å ha liten feil.
I Figur7.1i Kapittel7ser vi at den koblede Wamit-løseren for solide geometrier konvergerer mot eksakte svar når geometrien er langt unna den frie overaten.
Siden vi har oppnådd god konvergens ved 400 paneler, blir det i resten av oppgaven brukt mellom 600-700 paneler for å representere geometrien. Nedenfor viser vi til
feilestimater for addert masse og driftkrefter for porøse geomtrier der både den lineære og kvadratiske trykkrelasjonen har blitt anvendt.
For den lineære porøse relasjonen kan vi i Figur 5.2 se at vi har god konvergens ved både høy og lav porøsitet. Ved bruk av interpolasjon ser vi at feilestimatet for den lineære relasjonen med 486 paneler er innenfor1%av den interpolerte løsningen.
I Figur 5.3 ser vi at for en halvkule ved overaten er det største avviket fra den interpolerte løsningen ved 441 paneler ved lav porøsitet. Der avviket er på5.37%og ved bruk av 600 paneler kan vi anvende interpolasjonen og anta at feilen i løsningen er på under4.5%.
For drift ser vi i Figur 5.4 at konvergensen for solid geometri og lav kvadratisk porøsitet er god. Derimot observerer vi at for høy porøsitet ser det ut til at man må bruke ere enn 200 paneler for å få gode resultater. Det ser ut som at det danner seg en rett linje fra 1./N < 0.022(∼ 500 paneler) som går gjennom koordinatet (0,0.00345). Dette betyr at vi må bruke mer enn 400 paneler for å representere høy porøsitet i det kvadratiske tilfellet. Vi ser at for det lineære tilfellet i Figur 5.5 er konvergensen god ved høyere porøsitet.
En avslapningsfaktor på 0.5 har blitt brukt i den iterative Picardløseren. Det initielle gjettet for den iterative løseren er0.1for alle ukjente. Antall iterasjoner før konvergens er 11 til 14 ved dette initielle gjettet. Det har også blitt prøvd å bruke den lineære løsningen som initialverdi for den kvadratiske løseren. Dette førte ikke til nevneverdig reduksjon i antall iterasjoner og er grunnet sin kompleksitet ikke blitt undersøkt videre i oppgaven.
Fordi Wamit er et lisensiert program ligger ikke koden åpent ute på Github.
Vennligst kontakt Newman og deretter forfatteren av denne oppgaven for å få tilgang til de private lene.
Figur 5.2: KuleH/R=−5: Addert masse for lav og høy porøsitet mot1/N, der N er antall paneler brukt til å representere geometrien.
KAPITTEL 5. MODIFISERING AV WAMIT
Figur 5.3: Halvkule ved fri overate: Addert masse for lav og høy porøsitet mot 1/N, der N er antall paneler brukt til å representere geometrien.
Figur 5.4: Halvkule ved fri overate: Drift for solid, lav og høy porøsitet mot1/N, der N er antall paneler brukt til å representere geometrien.
Figur 5.5: Halvkule ved fri overate for lineære porøsitetsrelasjon. Drift for solid, lav og høy porøsitet mot 1/N, der N er antall paneler brukt til å representere geometrien.
Kapittel 6
Resultater for 2D beregninger
6.1 Beregning av addert masse og dempingskoe- sienter
Ligning (4.4) beskriver trykket i uidet i et hvilket som helst punkt. For trykket som virker fra væsken på geometrien har vi da følgende ligning
Pj = (PjE −PjI)n= Z Z
Sb
(PjE −PjI)n dS
= Re
Z Z
Sb
ρω2ξj(φEj −φIj)nE dSeiωt
. Hvis vi ser på trykkraften komponentvis har vi da
Pji = (PjE −PjI)nEi = Re
Z Z
Sb
ρω2ξj(φEj −φIj)nEi dSeiωt
. Fra Newtons andre lov har vi at
Pji =−mijaij =mijRe ω2ξjeiωt , mij = Re
Z Z
Sb
ρ(φEj −φIj)nEi dS
, (6.1)
hvormij betegnes som den adderte massen til geometrien. For å nne dempningsko- esienten bruker man at
Pji=−bijuij =−bijRe iωξjeiωt , bij = Re
Z Z
Sb
ρiω(φEj −φIj)nEi dS
. (6.2)
6.2 Solide geometrier
For 2D solide geometrier i uendelig uid nnes det eksakte løsninger for addert masse. Dette har blitt brukt for å verisere at den utviklede koblede løseren med Gauss-kvadratur fungerer. Fra Newman [5] har vi eksakte løsninger av den adderte massen til en ellipse og en sirkel som vi bruker nedenfor og i Seksjon 6.3.
Ellipse
En ellipse med halvaksera = 2, b= 1 er geometrien som har blitt approksimert med panelmetoden, se TilleggA. Figuren 6.1 viser den ytre adderte massen for ellipsen.
Figur 6.1: Addert masse for solid ellipse med forskjellig antall paneler
KAPITTEL 6. RESULTATER FOR 2D BEREGNINGER
Det indre potensialet vil beskrive inkompressibel væske som følger geometriens bevegelse. Dette betyr at den indre adderte massen vil tilsvare massen til uidet inne i geometrien, gitt som ρπab. Figur 6.2 viser eksakt addert masse mot våre beregninger.
a
b
Figur 6.2: Venstre: Indre addert masse for den solide ellipsen, Høyre: Illustrasjon av ellipsen
6.3 Porøse geometrier
For porøsitet har modeller fremstilt av Chwang [4] og Molin [1] blitt brukt. Disse er forklart i detalj i Kapittel3.
6.3.1 Lineær hastighetslov
Beregninger av addert masse og dempning for en porøs sirkel, se Figur6.3. Som vist i Tillegg6.1er relasjonene uforandret for porøse geometrier. Molin [1] får vi ved bruk av skaleringen i Figur6.3at dempningen når sitt maksimum i skjæringspunktet med addert masse. Dette er også tilfelle ved bruk av den lineære trykk-hastighetsrelasjonen.
Det observeres også at dempningens maksverdi er halvparten av den adderte massen i det solide tilfellet.
Figur 6.3: Sammenligning av skalert addert masse og dempning med 1024 paneler plottet mot porøsitet.
6.3.2 Kvadratisk hastighetslov
Den kvadratiske hastighetsloven er direkte sammenlignbar med Molin[1]. Han nner et eksakt uttrykk for radiasjonspotensialet. Dette fører til eksakte uttrykk for den adderte massen og dempningen. Disse er gitt ved
Ca= 2−C(√
C2+ 4−C), Cb =
rc 2(√
C2+ 4−C)32, C =
3π 4
2
µτ2 1−τ
a ξ.
KAPITTEL 6. RESULTATER FOR 2D BEREGNINGER
hvor Ca er addert masse, Cb dempningen og a radiusen til sirkelen. Figuren 6.4 sammenligner denne eksakte løsningen med mine beregninger.
Figur 6.4: Sammenligning med Molin[1] ved bruk av 1024 paneler.
Som vi ser i Ligningsettet 4.12-4.13 er det αj som er størrelsen på det porøse bidraget. Da denne inneholder ξ−1 vil det å øke geometriens maksutslag være ekvivalent med å minke porøsiteten. Dette er illustrert ved valg av abscisse i Figur 6.4. I det lineære tilfellet er ikke den adderte massen eller dempningen avhengig av ξ.
Kapittel 7
Resultater: Solid kule
For en solid kule er addert masse 23πR3ρ, hvor ρ er tettheten til uidet. Massen til en kule er 43πR3ρ, som vil være den indre adderte massen ved en beregning med den koblede løseren.
Ved å sammenligne egen løser med de eksakte verdiene kan en verisere at det koblede ligningsettet er korrekt implementert for null porøsitet. For å beregne integralene av Greenfunksjonen, har Gauss-kvadratur med 32×32 punkter blitt anvendt.
7.1 Wamit
For integralene avGog∂G∂n bruker Wamit eksakt integrasjon. Der brukes det i tillegg en mer komplisert Green-funksjon med tilleggsledd for fri overate, se TilleggBfor mer informasjon om denne. Ved å beregne indre og ytre addert masse for en kule på 10 meters dyp, burde eekter av overatebølger være neglisjerbare og kunne sammenlignes med egen løser. Som observert i Figur 7.1 er resultatet fra Wamit som forventet bedre enn svaret fra egen løser. Ved å øke antall Gausspunkter brukt i integraltilnærminger, vil egen løser konvergere mot Wamit sin tilnærming for like mange paneler. Allerede for 485 paneler er indre og ytre adderte masse under2%fra det eksakte svaret. Vi vil derfor i alle simuleringer fra nå av bruke minst 600 paneler for å representere en geometri. I Seksjon5.8er det vist konvergens for addert masse for lineær og kvadratisk trykk-hastighetsrelasjon, samt for driftkrefter.
Fra nå av vil alle resultater være produsert av Wamit-modiseringen og ikke den egenutviklede programvaren.
Siden Greenfunksjonen inneholder et fri-overateledd, bør eekten av avstanden fra kulens sentrum til den frie overaten undersøkes. I Figur 7.2 ser man som forventet at den indre adderte massen og dempningen ikke blir påvirket av hvor nær kulen er overaten. En observerer også at den ytre dempningen og adderte massen først blir påvirket av dybden nårH >−3. Dermed har dybdeneH =−1.2 ogH =−5blitt valgt henholdsvis for å inkludere og ekskludere eekten av den frie overaten.
Figur 7.1: Indre og ytre addert masse for solid kule i WAMIT sammenlignet med egen løser. Vi ser at den koblede løseren i Wamit har bedre konvergens enn egen løser med 32x32 gausskvadratur. Begge løserene konvergerer mot det eksakte svaret.
Figur 7.2: Indre og ytre addert masse for solid kule mot hvor dypt kulen er ned- senket. Vi ser at når kulen er ved H/R= 3 begynner den frie overaten å påvirke resultatene.
Kapittel 8
Resultater: Porøs kule
Som i Kapittel 7 analyserer vi en kule for både den lineære og kvadratiske formu- leringen av porøsitet anvendt i Greens integralligninger.
8.1 Addert masse og dempning
Som i det solide tilfellet er det naturlig å starte med og evaluere radiasjonspoten- sialet. Dette blir evaluert ved beregninger av addert masse og dempning for både det indre og ytre potensialet. Se Ligning (6.1) og (6.2) for detaljer. I Figur 8.1 observerer vi at når den solide kulen er i nærheten av overaten, vil den adderte massen og dempningen være en funksjon av frekvensen.
Figur 8.1: Addert masse og dempning som funksjon av frekvensen til den os- cillerende bevegelsen. Vi ser at når ω∗ er mellom 0 og 2 varierer den ytre adderte massen og dempningen mye. Vi observerer at for høy frekvens konvergerer den ytre adderte massen.
