NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for samfunns- og utdanningsvitenskap Institutt for lærerutdanning
Kenth Stian Torkildsen
Ungdomsskolelæreres rangering av kriterier for matematiske
definisjoner
En studie med Comparative Judgement
Masteroppgave i Matematikkdidaktikk 5-10 Veileder: Tore A. Forbregd
Mai 2021
Master oppgave
Kenth Stian Torkildsen
Ungdomsskolelæreres rangering av kriterier for matematiske definisjoner
En studie med Comparative Judgement
Masteroppgave i Matematikkdidaktikk 5-10 Veileder: Tore A. Forbregd
Mai 2021
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for samfunns- og utdanningsvitenskap Institutt for lærerutdanning
Sammendrag
Både lærere og studenter synes matematiske definisjoner er vanskelig (G. J. Stylianides
& Stylianides, 2009). Som en del av den nasjonale læreplanen, er det forventet at elever i grunnskolen skal utvikle et presist språk for å uttrykke deres matematiske resonnering.
Det er også forventet at de kan benytte definisjoner i bevisføring (Forbregd et al., u.å.).
På grunn av vanskelighetene med det nevnte emnet er det viktig å belyse området.
Derfor er det betydningsfullt å undersøke de ulike tilnærmingene matematikklærere har til matematiske definisjoner.
Det følgende forskningsspørsmålet implementerer viktigheten av å vurdere matematikklærernes perspektiver på ulike matematiske definisjoner. Hvordan vil matematikklærere på ungdomsskolen rangere kriterier for matematiske definisjoner i undervisningssammenheng, og hvilke begrunnelser ligger bak rangeringen?
Metoden som ble benyttet for å svare på forskningsspørsmålet er Mixed Methods
Research. Ved å bruke både kvantitative og kvalitative forskningsmetoder har jeg kunnet undersøke det krevende emnet fra flere vinkler. For å gjennomføre den kvantitative undersøkelsen har jeg brukt Comparative Judgement for å se på hvordan
matematikklærerne vil rangere utsagnene om definisjoner. Videre ble det gjennomført kvalitative intervjuer for å kunne forstå begrunnelsene bak rangeringen.
Den grunnleggende teorien om matematiske definisjoner er basert på hovedkonseptet fra Forbregd et al. (u.å.). Jeg har benyttet 32 utsagn fra litteratursøket deres i min
kvantitative spørreundersøkelse. For å analysere resultatene av den kvantitative forskningen har jeg brukt følgende verktøy: No More Marking, SPSS, Microsoft Excel, Geogebra og R. Resultatene ble også analysert ved hjelp av Bradley-Terry-modellen.
Basert på resultatene fra den kvantitative undersøkelsen, ser det ut til at
pålitelighetsverdien ligger innenfor de anbefalte verdiene for Bradley-Terry-modellen.
Funnene viser at det ikke er noen signifikant forskjell mellom hvilke kriterier for
matematiske definisjoner som er foretrukket av matematikklærere på ungdomstrinnet.
Selv om det ikke er noen signifikant forskjell, illustrerer resultatene at matematikklærerne har et didaktisk fokus når de begrunner valgene de tok.
Abstract
Both teachers and students often find mathematical definitions difficult (G. J. Stylianides
& Stylianides, 2009). As a part of the national curriculum, elementary school students are expected to develop a precise language to express their mathematical reasoning.
They are also expected to use definitions in proofs (Forbregd et al., n.d.). Due to the difficulties with the aforementioned subject, it is thus important to highlight the issue by investigating the different approaches within mathematical definitions from mathematics teachers.
The following research question implements the importance of considering the mathematics teachers´ perspective on different mathematical definitions. How will middle school teachers rank criteria of mathematical definitions in a teaching context, and what rationale lies behind the ranking?
The method used to answer the research question is Mixed Methods Research. By using both quantitative and qualitative research methods, I have been able to examine the difficult subject from several angles. To conduct the quantitative survey, I have used Comparative Judgement to look at how the mathematics teachers will rank the statements about definitions. Furthermore, qualitative interviews were conducted in order to enable understanding of the justifications behind the ranking.
The fundamental theory about mathematical definitions is based on the main concept from Forbregd et al. (n.d.). Form their literary search, thirty-two mathematical
statements are used as a foundation in my quantitative survey. In order to analyse the results of the quantitative research I have utilised the following tools: No More Marking, SPSS, Microsoft Excel, Geogebra and R. The results are also analysed by using the Bradley-Terry-Model.
Based on the results from the quantitative survey, it appears that the reliability value is within the recommended values for the Bradley-Terry model. According to the findings it turns out that there is no significant difference between the principles for mathematical definitions preferred by middle school teachers. Although there is no significant
difference, the results illustrate that the mathematics teachers have a didactic focus when justifying the choices they made.
Forord
Etter flere år som lærer i skolen, tok jeg et valg om å ta en mastergrad i
matematikkdidaktikk 5-10 ved NTNU. Dette har jeg ikke angret på til tross for at
studiene til tider har vært en krevende reise. Masterstudie ved siden av full jobb har vært utfordrende på mange måter, men det har vært verdt det. Årene som student ved NTNU har gitt meg mye verdifull læring som jeg har tatt med videre i mitt arbeid som lærer.
Først og fremst ønsker jeg å takke min dyktige veileder, Tore A. Forbregd, for gode diskusjoner og konstruktive tilbakemeldinger, både i planleggingsfasen,
gjennomføringsfasen og i skrivearbeidet. Gode veiledningsøkter, Zoom-møter og mailutvekslinger har gitt meg mye god hjelp i arbeidet.
Min bror, Hermund, har vært en viktig støtte i studietiden. Din hjelp, dine konstruktive tilbakemeldinger og motivasjonstaler (selv om de var frustrerende i perioder) har hjulpet meg mye i prosessen. Tusen takk.
Et viktig arbeid i skriveprosessen har vært å korrekturlese og kvalitetssikret det jeg har skrevet. Derfor ønsker jeg å takke alle som har bidratt i den jobben, både med positive og kritiske tilbakemeldinger. En spesiell takk må gå til Vibecke og Hanne, som har korrekturlest hele oppgaven. Takk også til alle som hjalp meg med oversettelsene av utsagnene, spesielt min kollega, Nora, var en viktig bidragsyter sammen med forelesere ved NTNU.
Videre ønsker jeg å rette en takk til mine to sønner, Martin Elias og Eirik André. Dere har vært en inspirasjon for meg, og dere har støttet meg. Takk også til mamma og pappa som alltid har hatt troen på meg, og som har sendt meg oppmuntrende meldinger i tunge perioder.
Til slutt vil jeg takke min forlovede, Christian Nicolai, for å ha holdt ut med meg.
Gjennom de to siste årene har du vært min største motivator, og du har alltid hatt tiltro til meg. Støtten du har gitt har vært uvurderlig.
Kenth Stian Torkildsen Oslo, mai 2021
Innhold
FIGURLISTE ... IX TABELLISTE ... IX
1. INNLEDNING ... 1
2. TEORI ... 5
2.1. DEFINISJONER ... 5
2.2. TEORIRAMMEVERK ... 5
2.2.1. Nature ... 5
2.2.1.1. Stipulated ... 6
2.2.1.2. Arbitrary ... 6
2.2.1.3. Constructed ... 6
2.2.2. Requirements ... 7
2.2.2.1. Formal ... 7
2.2.2.2. Exemplification ... 7
2.2.2.3. Axiomatization ... 8
2.2.3. Preferred features ... 9
2.2.3.1. Minimality ... 9
2.2.3.2. Aesthetic ... 10
2.2.3.3. Comprehension ... 10
2.2.4. Role and function ... 11
2.2.4.1. Baptize ... 11
2.2.4.2. Communication ... 11
2.2.4.3. Basis for deduction ... 11
2.2.5. Type definisjoner ... 12
2.2.5.1. Exclusive og inclusive ... 12
2.2.5.2. Procedural og structural ... 13
2.2.6. Modell for kategorisering av matematiske definisjoner ... 14
3. METODE ... 15
3.1. METODOLOGI ... 15
3.2. MÅLINGER ... 15
3.3. RELIABILITET OG VALIDITET ... 16
3.3.1. Reliabilitet ... 17
3.3.2. Validitet ... 18
3.3.3. Sikring av validitet ... 18
3.4. METODEVALG ... 19
3.4.1. Forberedelse av undersøkelsen ... 19
3.4.2. Pilotundersøkelse ... 20
3.4.3. MMR ... 20
3.4.4. Spørreundersøkelse i No More Marking ... 21
3.4.5. Comparative Judgement (CJ) ... 22
3.4.6. No More Marking ... 23
3.4.7. Bradley-Terry-modellen ... 24
3.4.7.1. Endimensjonalitet ... 25
3.4.7.2. Fit ... 25
3.4.7.3. Logit ... 26
3.4.7.4. Scale separation reliability ... 27
3.4.8. Gruppesamtale (Kvalitativt intervju) ... 27
3.5. METODEKRITIKK ... 28
3.6. ETISKE BETRAKTNINGER ... 29
4. RESULTAT OG ANALYSE ... 31
4.1. KVANTITATIVE RESULTATER ... 31
4.1.1. Comparative Judgement (CJ) og No More Marking (NMM) ... 31
4.1.2. Målestokk ... 33
4.1.3. Gjennomsnitt, median og standardavvik ... 35
4.1.4. Foretrukne egenskaper ... 35
4.1.5. Krav ... 37
4.1.6. Boksplott ... 39
4.1.7. Signifikans-test (Independent samples test) ... 40
4.1.8. Scale Separation Reliability (SSR) ... 41
4.1.9. Interrater-reliabilitet ... 41
4.1.10. Infit ... 42
4.2. OPPSUMMERING AV HOVEDFUNN I DEN KVANTITATIVE UNDERSØKELSEN ... 44
4.3. KVALITATIVE RESULTATER ... 45
4.3.1. Observasjon av respondenter ... 45
4.3.1.1. Matematikklærernes viktige kriterier ... 46
4.3.1.2. Matematikklærernes forståelse av utsagnene ... 47
4.3.1.3. Matematikklærernes rangering av utsagnene og begrunnelser ... 48
4.4. Oppsummering av hovedfunn i den kvalitative undersøkelsen ... 53
5. DISKUSJON ... 55
5.1. KVANTITATIVE DATA ... 55
5.2. KVALITATIVE DATA ... 60
5.2.1. Hvilke kriterier er viktige for matematikklærere i undervisningssammenheng? ... 60
5.2.2. Matematikklærernes forståelse av utsagnene ... 61
5.2.3. Matematikklærernes rangeringer og begrunnelser for rangering av utsagn 5.3. KVANTITATIVE OG KVALITATIVE DATA I SAMMENHENG62 ... 63
6. AVSLUTNING OG KONKLUSJON ... 65
LITTERATURLISTE ... 67
7. VEDLEGG ... 73
Figurliste
Figur 1: Eksempler på trekanter fra den gitte definisjonen ... 8
Figur 2: Firkanter betraktet fra et eksluderende perspektiv ... 12
Figur 3: Firkanter betraktet fra et inkluderende perspektiv ... 13
Figur 4: Betraktning av kriterier for matematiske definisjoner ... 14
Figur 5: Skjermdump fra NMM ... 23
Figur 6: Måling av utsagn adaptert fra Wu & Adams (2007) ... 25
Figur 7: Justering av items adaptert fra Wu & Adams (2007) ... 26
Figur 8: Dot-plot-diagram - utsagn rangert etter logits ... 34
Figur 9: Utsagnenes fordeling ut fra logits for foretrukne egenskaper ... 37
Figur 10: Utsagnenes fordeling ut fra logits for krav ... 39
Figur 11: Boksplott av foretrukne egenskaper og krav ... 40
Figur 12: Forandring i reliabilitetsverdi over tid ... 41
Figur 13: Infit-verdiene til alle utsagnene ... 43
Figur 14: Infit-verdiene til respondentene ... 44
Tabelliste
Tabell 1: Oversikt over rangering av utsagn ut fra logits ... 32Tabell 2: Sentral- og spredningsmål til foretrukne egenskaper og krav ... 35
Tabell 3: Utsagn fra foretrukne egenskaper med logit-score og utsagnnummer ... 36
Tabell 4: Utsagn fra krav med logit-score og utsagnnummer ... 38
Tabell 5: Resultat fra Independent samples test ... 40
Tabell 6: Oversikt over iterasjonene gjennomført i R ... 42
Tabell 7: Viktige kriterier for matematikklærerne ... 46
Tabell 8: Rangering av utsagn for gruppe 1 ... 49
Tabell 9: Rangering av utsagn for gruppe 2 ... 50
Tabell 10: Rangering av utsagn for gruppe 3 ... 51
Tabell 11: Rangering av utsagn for gruppe 4 ... 52
Tabell 12: Matematikklærernes krav til matematiske definisjoner ... 58
Tabell 13: Matematikklærernes foretrukne egenskaper ... 59
Forkortelser
MMR Mixed Methods Research
NMM No More Marking
CJ Comparative Judgement
SSR Scale Separation Reliability
1. Innledning
I matematikk er det forventet at elever skal arbeide med bevisføring allerede på grunnskolen (A. J. Stylianides, 2019). Et godt klassemiljø kan legge til rette for at elevene kan dele sine matematiske idéer, og gir elevene på lavere grunnskolenivå
muligheten til å delta i matematisk resonnering (Schifter, 2009). Høsten 2020 trådte den nye læreplanen, Kunnskapsløftet 2020 (LK20), i kraft. Kjerneelementene legger vekt på at elevene på ungdomstrinnet skal utvikle et presist språk for matematisk resonnering. I tillegg skal de utvikle kritisk tenkning og kommunikasjon gjennom abstraksjon og
generalisering (Utdanningsdirektoratet, 2019). Disse aspektene innbefatter en «dypere læring» (G. Stylianides, 2010), og derfor har bevisføring en grunnleggende rolle i matematikk (A. J. Stylianides & Al-Murani, 2010). Slike matematiske aktiviteter er kognitivt krevende (Miller, 2018) og å føre bevis er vanskelig (A. J. Stylianides, 2019).
Bevisføring krever at de lærende kan resonnere, samtidig som de må være på et bestemt kunnskapsnivå (Balacheff, 1988). Fordi elever får for lite kognitivt krevende oppgaver i matematikk, kan konsekvensen være at elevenes oppfatning i faget ikke endrer seg.
Uten å forstå, og ikke minst se nytteverdien av en matematisk definisjon, vil det trolig være vanskelig å oppnå en matematisk læring, nettopp for å kunne abstrahere og generalisere. Klare og tydelige definisjoner av de matematiske objektene elevene arbeider med er en forutsetning (Mariotti & Fischbein, 1997). Det er derfor
betydningsfullt at lærerne har gode verktøy for å kunne gi elevene oppgaver som utfordrer dem kognitivt.
Matematiske definisjoner er viktige elementer for å kunne bevise, argumentere og resonnere matematisk. For å kunne anvende definisjoner i bevisføring og resonnering er det viktig å forstå innholdet av definisjonene. Ved å forstå betydningen av definisjonene vil elevene, i større grad, være kapable til å benytte dem i resonnering og bevisføring (Edwards & Ward, 2004). For å bevise i matematikk er det essensielt å forstå
definisjonene av begrepene som blir brukt (Fraleigh, 1989). Videre hevder en del
forelesere i matematikkutdanningen at arbeid med definisjoner spiller en viktig rolle for å forstå begreper i matematikk (Gilboa et al., 2018). Det er derfor sentralt at definering av konsepter og begreper har en elementær rolle i all matematisk aktivitet. Anvendelse av matematiske definisjoner for å benytte dem i bevisføring og resonnering er
grunnleggende aktiviteter i en matematisk diskurs (Sfard, 2000). Ettersom bruk av definisjoner er en kognitivt krevende oppgave, opplever elever og studenter på alle nivåer i utdanningsløpet at dette er vanskelig (G. J. Stylianides & Stylianides, 2009).
Et hovedproblem i matematikkutdanningen er å definere (Mariotti & Fischbein, 1997).
Definisjoner er en viktig matematisk konstruksjon som både matematikklærere og elever oppfatter som et krevende fagområde (Miller, 2018). Én av utfordringene er at innholdet av de matematiske definisjonene ikke nødvendigvis er forstått av de lærende (Edwards &
Ward, 2004). Konsekvensen er at det blir utfordrende å benytte definisjonene i
bevisføring og matematisk resonnering. Til tross for at en matematikkstudent eller elev kan gjengi en definisjon og sitere lærerens formuleringer, er det ikke gitt at den
matematiske definisjonen er forstått (Edwards & Ward, 2004). På den andre siden vil matematiske definisjoner som gir mening for elevene gi dem bedre forutsetninger for å delta i bevisføringsaktiviteter. Kommunikasjon er basert på et felles språk som er forstått i miljøet (Levenson, 2012). For å kunne hjelpe elevene til å forstå hvordan de skal
benytte definisjoner etter hensikten, er det viktig med gode og velformulerte
matematiske definisjoner. Videre er det avgjørende at læreren har en matematisk innsikt for å kunne ta fornuftige valg i undervisningssammenheng (Leikin & Winicki-Landman, 2001). Leikin & Winicki-Landman (2001) hevder at lærerens valg vil kunne hjelpe elevene på veien mot å kunne benytte seg av matematiske definisjoner i bevisføring og resonnering. Læreren må derfor tenke nøye gjennom hvilke matematiske definisjoner hen velger i møte med elevene.
Vurderingene matematikklæreren gjør rundt valg av definisjoner styrer, til en viss grad, den matematiske aktiviteten i klasserommet. Det finnes matematiske definisjoner som beskriver det samme konseptet, ekvivalente definisjoner. Hvilken av de ekvivalente definisjonene som blir benyttet av læreren i klasserommet kan lede til at den matematiske aktiviteten blir forskjellig. Eksempler på to ekvivalente definisjoner av partall kan være:
1) Et partall er et tall som kan deles i to like grupper.
2) Et partall er et tall hvor det siste sifferet er 0, 2, 4, 6 eller 8 (Forbregd et al., u.å.) Selv om disse definisjonene er ekvivalente, poengterer de ulike aspekter av et partall.
Formulering (1) forteller at et partall antall objekter kan deles likt mellom to personer.
Den andre definisjonen viser til en fremgangsmåte for å kunne avgjøre om et tallsymbol er et partall eller ikke. Dersom elevene blir bedt om å bevise at et partall multiplisert med et annet partall gir et partall, er det sannsynlig at både argumentet, aktiviteten og representasjonen til elevgruppen vil avhenge av definisjonen som benyttes (Forbregd et al., u.å.). Et annet eksempel, hentet fra Morgan (2005), viser til alternative definisjoner av en sirkel:
a) En sirkel med ett gitt punkt, sentrum, har lik avstand til alle punkter på sirkelbuen.
b) (𝑥 − 𝑎)
!+ (𝑦 − 𝑏)
!= 𝑟
!Selv om det er mulig å benytte begge definisjonene, vil det være stor forskjell i hvordan elevene arbeider med definisjonene (Morgan, 2005). Dermed vil valgene læreren tar i matematikkundervisningen påvirke den matematiske aktiviteten i klasserommet.
Ettersom valg av definisjoner kan påvirke den matematiske aktiviteten, må valgene læreren tar være gjennomtenkte. Én av de betydeligste vurderingene læreren gjør, handler om å lede elevene i riktig retning i den matematiske diskursen (Leikin & Winicki- Landman, 2001). Dette viser igjen at lærerens valg av definisjoner er viktig for de
lærende sin utvikling i faget. Følgelig må matematikklærere ha ulike typer kunnskap for å benytte matematiske definisjoner effektivt i undervisningen (Chesler, 2012). Personlige erfaringer og læring av matematikk påvirker læreren sin undervisningspraksis (Van Zoest et al., 1994). Som tidligere nevnt poengterer Mariotti & Fischbein (1997) at å lære å definere er et grunnleggende problem i matematikkutdannelsen. Av den grunn må de som utdanner matematikklærere hjelpe studentene til å oppnå en matematisk oppfatning for å kunne fordype seg i og forbedre deres matematiske kunnskap (Leikin & Winicki- Landman, 2001). Ved å rette fokuset mot matematikkutdanningen, vil den matematiske innsikten studentene oppnår kunne hjelpe de kommende lærerne å ta fornuftige valg i klasseromsundervisningen (Leikin & Winicki-Landman, 2001).
De gjennomtenkte valgene læreren tar i matematikkundervisningen omhandler blant annet hvilke attributter som har betydning for de matematiske definisjonene. Til forskjell
denne påstanden er sann, vil trolig matematikklæreren ha en større didaktisk tilnærming til matematiske definisjoner enn en matematiker vil ha, fordi de har ulike utgangspunkt.
Samtidig viser det seg at forelesere i matematikkutdanningen ved universiteter verdsetter didaktiske aspekter i matematiske definisjoner (Forbregd et al., 2021).
Borasi (1992) hevder at en god matematisk definisjon må oppfylle to krav. Først og fremst påpeker hun at en matematisk definisjon må tillate å skille mellom eksempler og ikke-eksempler med konsistens og effektivitet. I tillegg må den gange opp og få frem den matematiske essensen av begrepet som skal defineres (Borasi, 1992). Andre forskere hevder av den må være økonomisk og minimal (de Villiers, 2009; Fujita, 2012; Vinner, 2002; Winicki-Landman & Leikin, 2000). Det kan finnes flere definisjoner for det samme begrepet (Forbregd et al., 2021), og de ekvivalente matematiske definisjonene kan velges vilkårlig (de Villiers, 2009; Winicki-Landman & Leikin, 2000). Hva som avgjør om en matematisk definisjon er god eller ikke er vanskelig å avgjøre. Selv om noen hevder at kriteriene som er nevnt over er viktige kriterier for en matematisk definisjon, er det ikke gitt at det kun er disse kriteriene som er avgjørende for at en matematisk definisjon er god nok. En matematisk definisjon har krav til hva den må være (Forbregd et al., u.å.). På den andre siden finnes det betingelser som kan velges bort, avhengig av hva som oppleves som viktig for en matematisk definisjon. Et eksempel på en slik betingelse er estetikk (Forbregd et al., u.å.). Ettersom det kan være vanskelig å avgjøre hva som gjør en matematisk definisjon god, må lærere, og andre utøvere av matematikk, kanskje skape seg et eget bilde av hva en god nok matematisk definisjon må inneholde. Det er naturlig å anta at matematikklærerens oppfatning av hva en god definisjon er, avhenger av lærerens matematiske kunnskaper. Hvorvidt enhver lærers eget bilde av matematiske definisjoner er tilstrekkelig, vil dermed kunne variere.
På bakgrunn av aspektene jeg har pekt på fra litteraturen, er det viktig å belyse hva matematikklærere vektlegger når de velger matematiske definisjoner i
undervisningssammenheng. Ettersom matematiske definisjoner bør vektlegges mer på alle nivåer i matematikkutdanningen, bør også lærerutdanningen ha et større fokus på området (Edwards & Ward, 2004). Forbregd et al. (u.å.) har gjennomført et litteratursøk, funnet utsagn og kategorisert dem. Videre har de spurt eksperter (matematikere og matematikkforelesere ved universiteter) om å rangere kriterier for hva de mener en matematisk definisjon må være (Forbregd et al., 2021). Med utgangspunkt i dette ønsker jeg å se på hvordan matematikklærere rangerer kriterier for matematiske definisjoner, samt hvorfor de velger å rangere på den måten. Ut fra kategoriseringen av kriterier for matematiske definisjoner ønsker jeg å poengtere de viktige aspektene rundt definisjoner i matematikkundervisningen på høyere grunnskolenivå. Forskningsspørsmålet baserer seg på Forbregd et al. (2021) sine oppfordringer om å gjennomføre forskning blant matematikklærere. Forskningsspørsmålet som søker å besvare hvilke vurderinger
lærerne gjør i forbindelse med matematiske definisjoner i undervisningssammenheng er:
Hvordan vil ungdomsskolelærere rangere kriterier for matematiske definisjoner i undervisningssammenheng, og hva slags rasjonale ligger bak denne rangeringen?
Ett av kravene for å kunne besvare problemområdet er endimensjonalitet (se 3.4.7.1).
Dermed er jeg avhengig av å ha fokus på ett attributt av gangen (Bond & Fox, 2015).
Dette betyr at forskningsspørsmålet må bli raffinert til tre spørsmål:
a) Hvilke kriterier foretrekker matematikklærere i ungdomsskolen i en matematisk definisjon?
b) Hvordan forstår matematikklærerne utsagnene om matematiske definisjoner?
c) Hvilke vurderinger ligger bak rangeringen av utsagnene om matematiske definisjoner?
For å kunne undersøke hvordan matematikklærere rangerer kriterier for en matematisk definisjon, har jeg valgt å gjennomføre en spørreundersøkelse i No More Marking.
Spørreskjemaet inneholder 32 ulike utsagn om matematiske definisjoner, hentet fra Forbregd et al. (u.å.). No More Marking baserer seg på Comparative Judgement og analyserer resultatene ved hjelp av Bradley-Terry-modellen. Utvalget av respondenter er 62 matematikklærere fra Oslo, Innlandet, Trøndelag og Vestland. For å kunne vurdere hva slags rasjonale som ligger bak rangeringen av utsagnene, må jeg vite noe om
utsagnene matematikklærerne får presentert er forstått slik de er ment. Dette vil bidra til å besvare delen av forskningsspørsmålet som omhandler hvorfor matematikklærerne rangerer som de gjør. Begrunnelsene for rangeringene av utsagnene vil bli undersøkt gjennom et kvalitativt intervju i grupper, der respondentene skal diskutere seg imellom.
Intervjuet vil i tillegg kunne avsløre om utsagnene fra Forbregd et al. (u.å.) er forstått etter hensikten. Ti lærere fordelt på fire grupper deltok i det kvalitative intervjuet.
2. Teori
2.1. Definisjoner
Som jeg var inne på innledningsvis, er det å definere hva som gjør en matematisk definisjon god nok en vanskelig oppgave. Fra litteraturen kommer det frem at det ikke finnes et entydig svar på hva en god matematisk definisjon er (Forbregd et al., u.å.).
Poincaré (1969) hevder at om en matematisk definisjon er god avhenger av situasjonen:
What is a good definition? For the philosopher or the scientist it is a definition which applies to all the objects defined, and only those; it is the one satifying the rules of logic. But in teaching it is not that; a good definition is one understood by the scholars (Poincaré, 1969, s.295).
En definisjon som er god for en matematiker er ikke nødvendigvis god i en didaktisk sammenheng. Til tross for at Poincaré (1969) hevder at det er viktig at elevene forstår den matematiske definisjonen, er ikke det tilstrekkelig for å kunne kalle det en god matematisk definisjon (Johnson et al., 2014). Selv om det muligens ikke finnes et konkret svar på hva som gjør en matematisk definisjon god nok, finnes det føringer for hva en matematisk definisjon må være (Forbregd et al., u.å.; Leikin & Winicki-Landman, 2000; Miller, 2018; Van Dormolen & Zaslavsky, 2003). I tillegg eksisterer det ekvivalente definisjoner å velge mellom, som blir valgt ut fra den subjektive oppfatning av hva som blir foretrukket (Forbregd et al., u.å.; Johnson et al., 2014; Leikin & Winicki-Landman, 2001, 2018; Poincaré, 1969). Bevissthet rundt at det finnes flere måter å definere ett og samme begrep på er viktig (Leikin & Winicki-Landman, 2001).
2.2. Teorirammeverk
Det teoretiske rammeverket er basert på Forbregd et al. (u.å.) sine litteratursøk om matematiske definisjoner. Van Dormolen & Zaslavsky (2003) beskriver matematiske definisjoner som en diamant med flere sider. Det finnes med andre ord flere perspektiver å betrakte matematiske definisjoner fra. Artikkelen til Forbregd et al. (u.å.) gir et
innblikk i sentrale aspekter som er knyttet til definisjoner fra forskningslitteratur. Fra litteratursøket har Forbregd et al. (u.å.) utarbeidet en oversikt over de ulike kriteriene for matematiske definisjoner. Funnene har resultert i fire hovedtemaer for matematiske definisjoners karakteristikker; nature, requirements, preferred features og function (Forbregd et al., u.å.). I de kommende avsnittene vil disse aspektene bli beskrevet. Et femte tema skilte seg ut fra de andre, ifølge Forbregd et al. (u.å.). Type blir beskrevet som dimensjoner av definisjoner, fremfor at de gir en beskrivelse av matematiske definisjoners karakteristikker (Forbregd et al., u.å.).
2.2.1. Nature
Hovedtemaet nature omhandler definisjoner på et metamatematisk nivå (Forbregd et al., u.å.). Området kan knyttes opp til egenskapene til matematiske definisjoner. Forbregd et al. (u.å.) har delt nature inn i tre underkategorier for egenskapene til en matematisk definisjon. De tre kategoriene er stipulated, arbitrary og constructed.
2.2.1.1. Stipulated
Ifølge Vinner (2002) er matematiske definisjoner stipulated. Jeg har valgt å oversette dette uttrykket til stipulerte. Kontrasten til stipulerte definisjoner er extracted definitions, eller ekstraherte definisjoner på norsk. En definisjon som klassifiseres som ekstrahert gir kun en beskrivelse av hvordan et ord bli benyttet, gjerne etterfulgt av et eksempel (Forbregd et al., u.å.). Edwards & Ward (2004) hevder at matematikkstudenter og matematikklærere ser på matematiske definisjoner som ekstraherte. Motpolene er matematikere på høyere nivå som forstår at matematiske definisjoner er stipulerte.
Videre påpeker Edwards & Ward (2004) at matematiske definisjoner er stipulerte, mens hverdagsdefinisjoner er ekstraherte. Stipulerte definisjoner er formelle (Van Dormolen &
Zaslavsky, 2003) og strenge (Forbregd et al., u.å.; Poincaré, 1969; Zazkis & Leikin, 2008). Forbregd et al. (u.å.) fremhever at en stipulert definisjon er den eneste
betydningen av et begrep. Dersom begrepet er anvendt i en annen sammenheng, er det kun innholdet presisert i definisjonen som er relevant (Forbregd et al., u.å.).
2.2.1.2. Arbitrary
Valg av matematiske definisjoner er arbitrary (Forbregd et al., u.å.). Direkte oversatt betyr det at valget av matematiske definisjoner er vilkårlig. Imidlertid betyr ikke det at det er tilfeldig hvilke definisjoner som blir benyttet. Det finnes flere ekvivalente
definisjoner for ett og samme begrep (Forbregd et al., u.å.; Leikin & Winicki-Landman, 2000; Van Dormolen & Zaslavsky, 2003; Vinner, 2002). Hvilken formulering som velges blant de ekvivalente definisjonene er subjektiv (Van Dormolen & Zaslavsky, 2003), og kan være basert på avgjørelser knyttet til hvilke situasjon den skal benyttes i (Poincaré, 1969). Det kan være både matematiske og didaktiske begrunnelser knyttet til den subjektive vurderingen (Forbregd et al., 2021; Poincaré, 1969). Uavhengig av valget vil de gjenstående ekvivalente formuleringene være teoremer som må bevises (Forbregd et al., u.å.; Van Dormolen & Zaslavsky, 2003).
2.2.1.3. Constructed
Definisjoner kan være et produkt av menneskelige aktiviteter, altså constructed (Morgan, 2005). Vinner (2002) hevder også at matematiske definisjoner er konstruerte.
Konstruksjonene er i stadig utvikling og er et resultat av et behov (Forbregd et al., u.å.).
Om matematiske definisjoner er et resultat av oppdagelse eller en menneskelig konstruksjon er et spørsmål om tolkning (Forbregd et al., u.å.). Forbregd et al. (u.å.) presiserer imidlertid at de fleste artiklene i litteratursøket poengterer at matematiske definisjoner er konstruerte. I undervisningssammenheng er det viktig at elevene får delta aktivt i defineringsprosesser (Edwards & Ward, 2004), fordi det er forventet at de skal være deltakende i bevisføring og matematisk resonnering (Forbregd et al., u.å.). Slike aktiviteter kan oppstå i sammenhenger der elevene for eksempel skal bevise en påstand eller lage egne eksempler (Zandieh & Rasmussen, 2010). Fokus på at elevene deltar i defineringsprosesser vil også kunne gi dem muligheten til å både undersøke og forstå matematiske definisjoners karakter, samt at de vil kunne anvende definisjonene i bevisføring og matematisk resonnering (Edwards & Ward, 2004).
2.2.2. Requirements
Requirements, som jeg har valgt å oversette til krav, innbefatter kriterier for hva en matematisk definisjon må være (Forbregd et al., u.å.). Krav er blitt inndelt i ytterligere tre underkategorier; formal, exemplification og axiomatization (Forbregd et al., u.å.).
2.2.2.1. Formal
I arbeid med definisjoner finnes det formelle krav utøveren av matematikk må følge (Forbregd et al., u.å.). Johnson et al. (2014) hevder at en matematisk definisjon må være konsistent og ikke motstridende. Dette betyr at matematiske definisjoner ikke må være selvmotsigende eller tvetydige (Chesler, 2012). Flere forskere peker på viktigheten av at definisjoner må være entydige (Chesler, 2012; Foster & de Villiers, 2016; Morgan, 2005, 2006). Entydige matematiske definisjoner er veldefinerte (Forbregd et al., u.å.) fordi de ikke hevder noe annet enn tidligere benyttede definisjoner gjør (Guan & Hoong, 2012). Dersom begrepet oddetall skal defineres, er det ikke tilstrekkelig å si at det er annethvert heltall på en tallinje. Definisjonen er ikke feilaktig, men det vil avhenge av startpunktet på tallinja (Forbregd et al., u.å.). Dersom null benyttes som startpunkt, eller et hvilket som helst partall, vil definisjonen beskrive et partall i stedet. Derfor trengs en ytterligere presisering for å gjøre den matematiske definisjonen entydig – og dermed veldefinert.
2.2.2.2. Exemplification
Flere av artiklene fra litteratursøket til Forbregd et al. (u.å.) presiserer at minst ett eksempel av det definerte begrepet må eksistere. Dette betyr at utøverne i matematikk må kunne vise til minst ett eksempel av definisjonen som er utarbeidet (Avcu, 2019;
Edwards & Ward, 2008). En definisjon kan si noe om hva et begrep er, men det må i tillegg vise at det eksisterer innenfor det gitte systemet (Van Dormolen & Zaslavsky, 2003). Videre hevder van Dormolen & Zaslavsky (2003) at det må være mulig å gi eksempler (eller ikke-eksempler) på enheter som oppfyller (eller ikke oppfyller) kravene til en definisjon (s.93). Av den grunn må definisjonen kunne skille mellom eksempler og ikke-eksempler av begrepet (Avcu, 2019; Forbregd et al., u.å.; Johnson et al., 2014;
Morgan, 2005, 2006).
Innenfor et gitt representasjonssystem er det også viktig at definisjonen ikke blir endret, selv om representasjonen skulle bli endret (Forbregd et al., u.å.; Zaslavsky & Shir, 2005). Forbregd et al. (u.å.) viser eksempler på definisjoner av partall der
formuleringene strukturelt sett er like, men representasjonen er forskjellig (s.14):
a) En mengde kuber er et partall antall kuber dersom de kan bli delt i to like grupper.
b) Et partall a er et tall som kan skrives som summen av to like naturlige tall.
I eksemplene over er representasjonen i definisjon (a) fysiske kuber, mens i definisjon (b) blir partallet representert ved symboler. Dermed blir ikke betydningen av
definisjonene endret, til tross for at representasjonen er ulik. Enhver matematisk definisjon er gitt innenfor et representasjonssystem og må være uforanderlig under endring av representasjoner (Avcu, 2019; Edwards & Ward, 2004; Johnson et al., 2014;
Sánchez & García, 2014).
Eksempelrommet til en matematisk definisjon kan utlede degenererte tilfeller (Forbregd et al., u.å.; Van Dormolen & Zaslavsky, 2003). Degenererte tilfeller er uønskede
eksempler. Et eksempel på en definisjon er gitt under:
Definisjon. En trekant er en figur med tre punkter A, B og C og linjestykker AB, BC og AC.
Definisjonen vil kunne gi alle type trekanter, men det utelukker ikke de degenererte eksemplene som er vist i figur 1 (c og d). Alle eksemplene i figur 1 passer til
definisjonen. Grunnen til at de degenererte eksemplene ikke er gyldige trekanter, er at teoremet om vinkelsummen i en trekant ikke gjelder for de trekantene. Ettersom linjestykkene overlapper hverandre, vil vinkelsummen i disse trekantene være 0°.
2.2.2.3. Axiomatization
Direkte oversatt til norsk betyr axiomatization aksiomatisering. Ett av kriteriene for en matematisk definisjon innenfor aksiomatisering er at definisjonen bygger på allerede kjente begreper. Ifølge Morgan (2005) er en definisjon en del av et deduktivt system og er hierarkisk oppbygget. Dette vil videre bety at begrepet utøverne av matematikk arbeider med er et spesialtilfelle av et mer generelt begrep (Van Dormolen & Zaslavsky, 2003). Eksempler på dette kan være:
a) Et kvadrat er et spesialtilfelle av et rektangel.
b) Et primtall er et spesialtilfelle av et tall.
I et didaktisk perspektiv vil definisjoner som bygger på begreper som allerede er kjent omhandle begreper som målgruppen allerede er innforstått med (Winicki-Landman &
Leikin, 2000). Videre handler aksiomatisering om at det finnes flere formuleringer av et Figur 1: Eksempler på trekanter fra den gitte definisjonen
Zaslavsky, 2003; Zazkis & Leikin, 2008). Eksempelvis kan rektangelet defineres på følgende måte:
I. Et rektangel er et parallellogram med rette vinkler
II. Et rektangel er en firkant med rette vinkler og motstående sider er like lange.
Når én av definisjonene er valgt, må det bli bevist at de gjenstående formuleringene er et uttrykk for det samme matematiske begrepet.
2.2.3. Preferred features
Preferred features kan bli oversatt til foretrukne egenskaper. Denne kategorien
omhandler egenskaper som kan velges i en matematisk definisjon, men som strengt tatt ikke er nødvendige krav (Forbregd et al., u.å.). Kriteriene i denne kategorien består av både didaktiske og matematiske egenskaper. Forbregd et al. (u.å.) har kategorisert foretrukne egenskaper i tre undergrupper; minimality, aesthetic og comprehension.
2.2.3.1. Minimality
Minimality, minimalitet på norsk, er en omdiskutert kategori. Diskusjonen bunner i om minimalitet er et krav til en matematisk definisjon eller ikke (Forbregd et al., u.å.; Miller, 2018). Van Dormolen & Zaslavsky (2003) hevder på den ene siden at det ikke alltid er mulig å avgjøre om en definisjon er minimal eller ikke. Spesielt kan det være krevende å benytte minimale definisjoner sett fra et didaktisk perspektiv (Zaslavsky & Shir, 2005).
Borasi (1992) hevder på den andre siden at minimalitet er essensielt i arbeidet med å skille et eksempel fra et ikke-eksempel. Minimalitet er et kriterium som omhandler å nevne kun de egenskapene som er nødvendige for å definere et begrep. «A definition tries to minimize redundancies in the stipulated properties» (Burroughs & Burke, 2016, s.58). Forklart med andre ord; definisjonen inneholder ikke overflødig informasjon (Miller, 2018). Videre påpeker Miller (2018) at tekstbøker i matematikk på skolen ofte inneholder overflødig informasjon i de matematiske definisjonene. Dette skal være en didaktisk tilnærming som skal gi elevene større mulighet til å finne andre egenskaper.
Sett fra et annet perspektiv gir minimale definisjoner elevene mulighet for å oppnå en høyere matematisk tenkning, spesielt i geometri (Miller, 2018, s.145). Eksemplene under viser forskjellen mellom en minimal og en ikke-minimal formulering:
a) Et rektangel er en firkant med fire rette vinkler.
b) Et rektangel er en firkant med tre rette vinkler.
(Van Dormolen & Zaslavsky, 2003)
Formulering (b) er en minimal definisjon, men det kan diskuteres hvorvidt den ene formuleringen er bedre enn den andre. Hvis elevene allerede vet at et rektangel har en vinkelsum på 360°, ligger det implisitt i den minimale definisjonen (b) at den fjerde vinkelen også må være rett. Derfor er det overflødig å nevne at rektangelet har fire rette vinkler. Til tross for at det ikke er feilaktig eller motstridende å opplyse om at rektangelet har fire rette vinkler, kan minimalitet gi en mer estetisk definisjon (Van Dormolen &
Zaslavsky, 2003). På den andre siden kan en ikke-minimal formulering være mer fordelaktig i et didaktisk perspektiv. Derfor hevder van Dormolen & Zaslavsky (2003) at det kan være fordelaktig å jobbe med formuleringer som ikke oppfyller kravet om minimalitet. Deretter er det mulig å arbeide for å oppnå kravet om minimalitet på et senere tidspunkt i læringsprosessen. Et begrep som er introdusert for å dempe
hindringen av læring på grunn av minimale definisjoner er barely-not-minimal (Zazkis &
Leikin, 2008). Slike definisjoner inneholder både tilstrekkelige og nødvendige kriterier,
uten at de er helt minimale (Johnson et al., 2014). Johnson et al. (2014) hevder at et eksempel på en barely-not-minimal definisjon kan være at et kvadrat er en rombe med fire rette vinkler.
2.2.3.2. Aesthetic
Den norske oversettelsen av aesthetic er estetikk, og blir sett på som en betydningsfull egenskap for mange. Det er viktig å være klar over at det finnes flere ekvivalente formuleringer for ett og samme begrep (Leikin & Winicki-Landman, 2000). Valget som blir tatt i forbindelse med utvelgelse av en definisjon kan være basert på estetikk. Ofte kan én formulering se finere ut enn en annen, fordi den for eksempel består av færre ord eller symboler (Van Dormolen & Zaslavsky, 2003). Hvor estetisk en definisjon kan være avhenger av konteksten og er en subjektiv vurdering (Forbregd et al., u.å.). Fra
litteraturen presiserer forskere at en definisjon bør være elegant, presis og tydelig, noe som også avhenger av det enkelte individ sin oppfatning (Forbregd et al., u.å.). Selv om en minimal definisjon er mer elegant i en gitt situasjon, hevder Forbregd et al. (u.å.) at det ikke er sikkert at minimalitet oppleves som fordelaktig i for eksempel didaktiske sammenhenger (se 2.2.3.1). Vinner (2002) viser til to eksempler av absoluttverdi for å fremheve hvorfor en matematisk definisjon bør være estetisk:
a) |𝑥| = , 𝑥; ℎ𝑣𝑖𝑠 𝑥 ≥ 0, −𝑥; ℎ𝑣𝑖𝑠 𝑥 ≤ 0.
b) |𝑥| = √𝑥
!Begge disse definisjonene er korrekte, ekvivalente og minimale (Forbregd et al., u.å.).
Van Dormolen & Zaslavsky (2003) hevder at en matematisk definisjon med færre symboler enn en annen er mer estetisk. Dermed kan definisjon (b) oppleves som mer elegant og finere enn (a), også fordi definisjon (b) gir en bedre innsikt i begrepet absoluttverdi (Forbregd et al., u.å.).
2.2.3.3. Comprehension
Comprehension kan bli oversatt til oppfatning eller forståelse. Selv om denne kategorien ikke er et nødvendig kriterium for en matematisk definisjon, har den fordeler sett fra et didaktisk ståsted. Dette fordi kategorien omfatter funksjoner i definisjoner som letter undervisning og læring (Forbregd et al., u.å.). Ifølge Leikin & Winicki-Landman (2000) må en definisjon passe til elevenes kunnskap og behov. Ettersom det er forventet at elever skal delta i aktiviteter som innbefatter bevisføring (Forbregd et al., u.å.), vil det følgelig være nødvendig at definisjonen må være didaktisk tilpasset målgruppen
(Poincaré, 1969; Winicki-Landman & Leikin, 2000; Zazkis & Leikin, 2008). De didaktiske avveiningene læreren gjør avhenger både av matematikk og læringsprosesser. Derfor bør den matematiske definisjonen bygge på begreper som allerede er kjent for elevene.
En definisjon som kan bli benyttet av et individ for å skape eller reprodusere et formelt argument er en formally operable definition (Forbregd et al., u.å.).
2.2.4. Role and function
Flere forskere påpeker viktigheten av matematiske definisjoner og fremhever den
sentrale rollen definisjoner spiller i læring av matematikk (Forbregd et al., u.å.; Johnson et al., 2014; Miller, 2018). I tillegg til at definisjonen har et formål om å sette navn på objekter, er den et viktig kommunikasjonsverktøy (Miller, 2018) og danner grunnlaget for deduksjon (Forbregd et al., u.å.). Dette hovedtemaet er delt inn i tre undergrupper;
baptize, communication og basis for deduction.
2.2.4.1. Baptize
Underkategorien baptize handler om å sette navn på, og Zazkis & Leikin (2008) hevder at å definere er å gi navn til noe. Matematiske definisjoner er et verktøy for å navngi en samling objekter eller et fenomen og for å innføre nye notasjoner (Forbregd et al., u.å.).
Selv om navngivelse er nevnt i forbindelse med logiske prinsipper som en matematisk definisjon må følge, hevder Forbregd et al. (u.å.) at dette er viktig, men ikke et krav til en matematisk definisjon. Dessuten er det ikke tilstrekkelig å gjenkjenne eller sette navn på definisjoner dersom innholdet ikke er forstått. Som nevnt i innledningen, fremhever Fraleigh (1989) viktigheten av at utøverne av matematikk forstår innholdet av
definisjonen av begrepene som benyttes i aktiviteter, som for eksempel i bevisføring.
2.2.4.2. Communication
En matematisk definisjon skal hjelpe utøvere i faget å kommunisere matematiske idéer effektivt (Forbregd et al., u.å.; Gilboa et al., 2018). Både definisjoner og fysiske
representasjoner er måter å kommunisere matematiske idéer på (Miller, 2018). For å kunne utvikle deduktive argumenter og kunne formidle dem godt, er det avgjørende at definisjonene er presise (Alcock & Simpson, 2017; Forbregd et al., u.å.). Poincaré (1969) fremhever at kommunikasjon har en sentral rolle i matematiske definisjoner. Ifølge Borasi (1992) tillater matematiske definisjoner kommunikasjon gjennom å skape en entydighet for de matematiske begrepene.
2.2.4.3. Basis for deduction
Matematiske definisjoner danner et grunnlag for deduksjon og strukturering av bevis (Forbregd et al., u.å.). Videre utvider definisjoner utøverne i matematikk sin forståelse av ulike matematiske områder (Forbregd et al., u.å.), i tillegg til at de gjør det mulig å klassifisere matematiske objekter (Zaslavsky & Shir, 2005). Det er viktig å tenke gjennom at definisjonene skal være brukervennlige (Morgan, 2006; Zaslavsky & Shir, 2005; Zazkis & Leikin, 2008). En definisjon har et formål, og valget av definisjoner er bevisst med hensyn på å lage teoremer, strukturere bevis og kommunisere matematisk (Forbregd et al., u.å.). Videre hevder Alcock & Simpson (2017) at definisjonene må være presise. Gracià & Sànchez (2013) fremhever også at definisjonene må være presise i terminologien som blir benyttet.
2.2.5. Type definisjoner
2.2.5.1. Exclusive og inclusive
En definisjon kan være partional (exclusive) eller hierarchical (inclusive) (De Villiers, 1994; Miller, 2018). Jeg har valgt å oversette disse begrepene til ekskluderende (exclusive) og inkluderende (inclusive) definisjoner. En ekskluderende klassifisering innebærer at undergrupper av begrepet er skilt fra hverandre. På den andre siden bygger inkluderende definisjoner av et spesielt begrep på undergrupper av det mer generelle begrepet (De Villiers, 1994). Et eksempel på en ekskluderende definisjon kan være:
Definisjon. Et trapes er en firkant der to sider er parallelle og to sider ikke er parallelle (Miller, 2018).
Til sammenlikning kan en inkluderende definisjon av det samme begrepet være:
Definisjon. Et trapes er en firkant der minst to sider er parallelle (Miller, 2018).
Ifølge De Villiers (1994) er ingen av definisjonene feil, men det får konsekvenser for hvordan klassifiseringen av firkanter blir. Videre vil det påvirke hvordan sammenhengen mellom ulike firkanter blir betraktet. Figur 2 viser hvordan firkanter blir betraktet ved bruk av ekskluderende definisjoner. Figur 3 fremhever forholdet mellom firkanter dersom trapeset blir sett på fra et inkluderende perspektiv:
Firkanter
Trapes
Parallellogram
Rombe
Rektangel
Kvadrat
Figur 2: Firkanter betraktet fra et eksluderende perspektiv
Figur 2 og 3 er laget ut fra forklaringene som kommer fra litteraturen om ekskluderende og inkluderende definisjoner. Figurene viser at den ekskluderende klassifiseringen (figur 2) av trapeser utelukker parallellogrammer, romber, rektangler og kvadrater som typer trapeser. På den andre siden vil bruk av inkluderende definisjoner (figur 3) inkludere alle regulære firkanter som eksempler av trapeser (Miller, 2018). Et slikt syn på definisjoner vil også implisere at arealet til et rektangel kan regnes ut ved hjelp av formelen for arealet av et trapes.
Mennesker som er mest komfortable med å arbeide med ekskluderende definisjoner vil ha problemer med å forstå forholdet mellom ulike typer firkanter (De Villiers, 1994;
Fujita, 2012; K. Jones, 2000; Miller, 2018). Det finnes ulik kunnskap av geometrisk oppfatning, og van Hiele-nivåene beskriver ulike ranger av geometrisk kompetanse (Burger & Shaughnessy, 1986). Etter hvert som de lærende oppnår et visst van Hiele- nivå, vil de kunne forstå det inkluderende perspektivet av definisjoner (Fujita, 2012).
Didaktisk sett kan ekskluderende definisjoner være didaktisk fordelaktig (Van Dormolen
& Zaslavsky, 2003), men det er et poeng at de lærende skal få en forståelse av det inkluderende perspektivet.
2.2.5.2. Procedural og structural
Fra litteratursøket til Forbregd et al. (u.å.) kom det frem to ulike
definisjonsformuleringer. En matematisk definisjon kan være en prosedyre. Med det menes det at definisjonen fremstår som en oppskrift for hvordan et matematisk problem skal løses. Eksempler på en prosessuell (procedural) definisjon kan være algoritmen for å konstruere en vinkel eller en midtnormal. Et matematisk konsept vil dermed bli gitt som resultatet av en foreskrevet prosess (Borasi, 1992; Forbregd et al., u.å.; Gilboa et al.,
Trapes
Parallellogram
Rektangel Rombe
Kvadrat Firkanter
Figur 3: Firkanter betraktet fra et inkluderende perspektiv
2018; Zaslavsky & Shir, 2005). På den andre siden finnes strukturelle definisjoner som er en beskrivelse av objektets egenskaper (Gilboa et al., 2018).
Et eksempel på en strukturell definisjon er:
Definisjon. Et kvadrat er en firkant der alle sider er like og alle vinklene er 90°
(Avcu, 2019).
2.2.6. Modell for kategorisering av matematiske definisjoner
Figur 4 viser en modell utarbeidet av Forbregd et al. (u.å.) basert på litteratursøket de har gjennomført, og beskriver hvordan matematiske definisjoner kan bli betraktet. Videre er den et resultat av kategoriene som er nevnt i avsnittene fra 2.2.1 til 2.2.4.
Modellen er et utgangspunkt for min undersøkelse, men jeg vil hovedsakelig fokusere på karakteristikkene for krav og foretrukne egenskaper.
Figur 4: Betraktning av kriterier for matematiske definisjoner
3. Metode
3.1. Metodologi
Ordet metode kommer fra gresk, methodos, som betyr å følge en vei (Johannessen et al., 2019). Enhver forsker må innhente informasjon som trengs for å undersøke et gitt område. Ifølge Johannessen et al. (2019) forholder mennesker seg til to verdener; den lille verden og den store verden. Den lille verden innbefatter individets egne erfaringer og er en liten del av en større helhet – den store verden. På grunn av at hvert enkelt
individs erfaringer utgjør den store verden, er det umulig å få en fullstendig kunnskap om den (Johannessen et al., 2019). Forskning handler derfor om å få et innblikk i den store verden for å få en helhetlig forståelse av den.
I en forskningsprosess er det viktig med gode forberedelser. Forskeren må finne en virkelighet hen ønsker å få en bedre forståelse av (Johannessen et al., 2019). I tillegg må forskeren avgjøre hvilke(n) metode(r) hen skal benytte. Når forskeren skal velge metode må valget være basert på forskningsspørsmålet (Greene, 2008).
Forskningsspørsmålet må derfor bli formulert først for å kunne vite noe om hvordan datainnsamlingen skal foregå. Hvis valget ikke passer med forskningsspørsmålet, kan resultatet bli at forskeren ikke får et innblikk i det Johannessen (2019) omtaler som den store verden. Det er forskningsspørsmålet som styrer og driver forskningen, ettersom forskningsspørsmålet danner grunnlaget for hva som skal bli undersøkt (Cohen et al., 2018). Når forskningsspørsmålet er godt formulert, er det neste steget å finne ut av hvordan forskeren skal få et større innsyn av området hen skal studere.
Hovedgruppene av forskningsmetoder er kvantitative og kvalitative undersøkelser. De kvantitative undersøkelsene er tallfestet og det er mulig å lage statistiske data av det. På den andre siden er kvalitativ datainnsamling ofte basert på refleksjoner fra
respondentene eller observasjon av dem. Noen eksempler på metoder for å samle inn data er spørreskjema, intervjuer, observasjoner og testing (Cohen et al., 2018;
Johannessen et al., 2019). Det er kanskje mest vanlig å velge enten et kvantitativt eller kvalitativt fokus for innsamling av data i forskning. Cohen et al. (2018) påpeker
imidlertid at forskeren ikke nødvendigvis trenger å forholde seg til én tilnærming. Mixed Methods Research (heretter kalt MMR) er en metodologisk tilnærming der kvantitative og kvalitative data sammen skaper et større bilde av det som blir undersøkt (Cohen et al., 2018; Creswell & Tashakkori, 2007; Day et al., 2008; Fetters & Freshwater, 2015).
Denne metoden er valgt, blant annet, fordi det gir rom for refleksjon hos deltakerne, slik at statistisk (kvantitativ) og reflektert (kvalitativ) data kan sees i sammenheng. For ytterligere begrunnelser av valget om MMR, se kapittel 3.4.3.
3.2. Målinger
Målinger er noe vi mennesker forholder oss til daglig i ulike sammenhenger, enten det er snakk om tid, vekt, temperatur, fart eller strekning. Fysiske målinger har vært i
menneskers interesse langt tilbake i historien, og det er noe de fleste har kjennskap til (Wu & Adams, 2007). De ulike måleenhetene er universelle, og alle som kjenner til lengdeenhetene er av samme oppfatning av hva begrepet meter innbefatter (Wu &
Adams, 2007). Det finnes ideelle teoretiske måleredskaper for å gjøre de ulike målingene, men et fysisk måleinstrument vil inneholde unøyaktigheter (Bond & Fox, 2015). For at et måleinstrument skal være reliabelt må det være endimensjonalt (Bond &
Fox, 2015; Sherry, 2011). Eksempelvis har en vekt kun til formål å måle massen av noe.
På slutten av 1500-tallet forsøkte Galileo å lage et instrument som skulle måle temperatur. Termoskopet, som han kalte det, var følsomt for både temperatur og atmosfærisk trykk (Bond & Fox, 2015). Derfor kunne ikke barotermoskopet stoles på, hverken for atmosfærisk trykk eller temperaturen som ble målt (Sherry, 2011).
Mangelen på endimensjonalitet ga instrumentet til Galileo en lav reliabilitet.
På samme måte som fysiske måleinstrumenter må målinger i psykososiale kontekster også kun ha fokus på ett attributt av gangen (Bond & Fox, 2015). Dermed er det også gitt at endimensjonalitet er en forutsetning for å kunne gjøre reliable undersøkelser i psykososiale sammenhenger. Ifølge Wu & Adams (2007) er ikke psykososiale målinger like veletablerte som de fysiske målingene. En lærer gjennomfører målinger og
vurderinger av elevers kompetanse i et gitt fag. Målinger i psykososiale kontekster, som prestasjonsmålinger er, sier noe om grad av måloppnåelse eleven har oppnådd.
Psykososiale målinger omtales ofte som psykometriske målinger (Wu & Adams, 2007). I vurderingssituasjoner kan ikke målingen av elevens kompetanse være like etablert som fysiske målinger. Dette er fordi læreren gjør subjektive vurderinger underveis. Samtidig kan lærerne tolke læreplanen ulikt, til tross for at den setter føringer for hva lærerne skal vektlegge i vurderingen. Wu & Adams (2007) hevder at vitenskapen om å måle latente egenskaper kalles psykometri. Latente egenskaper er målinger som ikke kan gjøres direkte ved observasjon. Skal en lærer måle kompetanse elevene har oppnådd. Må læreren innhente informasjon om elevenes nivå i faget. Målingene gjøres på bakgrunn av observerbare indikatorer av det som blir målt. I eksempelet over er den observerbare indikatoren det eleven formidler til læreren, som videre kan bli uttrykt ved en karakter på en karakterskala.
I min undersøkelse ønsker jeg å måle hvilke kriterier for matematiske definisjoner matematikklærere ser på som de viktigste. Rangeringen er en latent egenskap og kan derfor ikke måles direkte. Følgelig vil undersøkelsen være en psykometrisk måling. I tillegg vil jeg finne ut av begrunnelsene lærerne har i forbindelse med rangeringen. Dette er heller ikke direkte observerbart. Jeg må dermed finne metoder for å innhente
informasjon om hva lærerne mener. Fokuset må ligge på ett attributt av gangen for å sørge for endimensjonalitet i forskningen. På grunn av behovet for endimensjonalitet var jeg nødt til å dele opp forskningsspørsmålet, slik jeg kan ha søkelyset på én ting av gangen.
3.3. Reliabilitet og validitet
Truslene som finnes mot reliabilitet og validitet kan aldri bli eliminert (Cohen et al., 2018). I denne delen av kapittelet vil jeg definere begrepene reliabilitet og validitet, og vise hvordan jeg har arbeidet for å redusere truslene for å kunne oppnå et reliabelt og valid resultat.
3.3.1. Reliabilitet
Reliabilitet er et begrep som omfavner pålitelighet, konsistens, replikerbarhet over tid, instrumenter som er benyttet og respondenter (Cohen et al., 2018). Nøyaktighet i alle stadier av undersøkelsen er viktig for å sørge for at funnene i forskningen er reliable. Det er også viktig å vise at samme undersøkelse med samme type respondenter ville gitt det det samme resultatet. Reliabilitet avhenger også av lengden på datainnsamlingen. En datainnsamling som er tidkrevende vil kunne føre til at undersøkelsen ikke blir
gjennomført helhjertet. Valget av respondenter og metoden som anvendes har også en stor betydning (Cohen et al., 2018). Cohen et al. (2018) skiller mellom reliabilitet i kvantitativ og kvalitativ forskning.
Cohen et al. (2018) snakker om tre hovedtyper av reliabilitet i kvantitativ forskning. For det første må undersøkelsen inneha et mål for konsistens på dataen som samles inn – reliabilitet som stabilitet. Et reliabelt instrument vil gi det samme resultatet over tid med samme type respondenter (Cohen et al., 2018). Et resultat med konsistente resultater vil inneha dette prinsippet for reliabilitet. Reliabilitet som ekvivalens er den andre typen reliabilitet Cohen et al. (2018) fremhever. Hvis forskeren gjennomfører en pretest og en posttest og disse samsvarer, vil undersøkelsen inneholde denne typen reliabilitet. En slik type reliabilitet omhandler også enigheten om hvilke data som tilhører hvilken kategori.
Det må være samsvar mellom teorirammeverket og forskerens oppfatning av området som blir undersøkt. Den siste formen for reliabilitet i kvantitativ forskning er reliabilitet som intern konsistens (Cohen et al., 2018). Her deles undersøkelsen i to, slik at begge halvdelene har lik vanskelighetsgrad. Dersom begge halvdelene er utformet slik at respondentene svarer like bra, uavhengig av hvilken halvdel de får, innehar
undersøkelsen denne type reliabilitet. En annen måte å sjekke intern konsistens er å gjennomføre en split-half-test på undersøkelsen (Zhu & Lowe, 2018). Dette begrunner de med at det ikke alltid er mulig å gjennomføre en pretest og posttest med de samme respondentene. Følgelig vil en split-half-test være en god substitutt for reliabilitet som ekvivalens. For å estimere split-half-reliabilitet deles undersøkelsen i to halvdeler. Når dette er gjort, regnes en Pearson-korrelasjonskoeffisient mellom scorene til de to
halvdelene (Zhu & Lowe, 2018). Korrelasjonsskalaen har en verdi mellom -1 og 1, der 0 representerer ingen korrelasjon. Korrelasjonskoeffisienten, også kalt r-verdi, bør ligge på 0.7 eller høyere for at det skal kunne regnes som en god reliabilitet i undersøkelsen (Litwin, 1995).
Reliabilitet i kvalitativ forskning blir ofte kalt for pålitelighet (Cohen et al., 2018). Selv om også kvalitative undersøkelser skal ha en stabilitet i observasjonene forskeren gjør, er det ikke en nødvendighet å tilstrebe ensartethet. Det gjøres subjektive tolkninger, og disse tolkningene kan variere (Cohen et al., 2018). Ifølge Cohen et al. (2018, s. 271) må forskeren stille seg selv tre spørsmål:
• Dersom observasjonene hadde blitt gjort på ulike tider, ville observasjonene og tolkningene vært det samme?
• Dersom andre observasjoner hadde blitt gjort samtidig, ville observasjonene og tolkningene vært det samme?
• Dersom en annen observatør hadde benyttet samme rammeverk, ville hen observert og tolket på samme måte?
Selv om disse tre spørsmålene er relevante, hevder Johannessen et al. (2019) at
observasjoner er kontekstavhengige, og at en forsker aldri vil kunne klare å duplisere en annen forskers kvalitative forskning (s.229).
3.3.2. Validitet
Vurdering av reliabilitet er nødvendig, men ikke tilstrekkelig når psykometriske målinger skal gjennomføres (Litwin, 1995). En undersøkelse uten validitet er verdiløs (Cohen et al., 2018). Derfor må det vurderes om validiteten er god. For å sørge for at en
kvantitativ forskning undersøker det som er hensikten, bør det gjennomføres en
pilottest. Pilottesten kan gjennomføres på mennesker med kjennskap til området som blir undersøkt På den måten er det lettere å se om både undersøkelsen og instrumentet som benyttes er hensiktsmessig.
I gjennomføringen er det viktig å redusere reaksjonspåvirkninger (Cohen et al., 2018). I en situasjon der forskeren kommenterer spørsmålene som stilles, kan medføre at
respondentene påvirkes i måten de svarer undersøkelsen på. Datainnsamlingen bør foregå ved hjelp av standardiserte fremgangsmåter for å sørge for at utgangspunktet for respondentene er likt (Cohen et al., 2018). Respondentene må også være motiverte for å gjennomføre undersøkelsen, slik at de ikke besvarer den halvhjertet.
Cohen et al. (2018) hevder at det er lett for å gjøre subjektive tolkninger av
datamaterialet som er samlet inn. Slike tolkninger fører til at forskningen ikke er valid.
Alle tolkninger må bli begrunnet i teorirammeverket som er valgt, slik at forskeren unngår å gjøre egne vurderinger utover det som dataene tilsier. Derfor er det viktig å ikke trekke konklusjoner og generalisere mer enn analysen av datamaterialet viser. I analysen er det også viktig at resultatet er transparent. Å være selektiv i utvelgelsen av dataene gjør at undersøkelsen ikke er representativt for det som er forsket på (Cohen et al., 2018). Dataene må videre bli benyttet til å belyse forskningsspørsmålet med
teorirammeverket som grunnlag.
3.3.3. Sikring av validitet
For å sikre en god reliabilitet i undersøkelsen har jeg sørget for å ha et høyt antall respondenter i NMM-undersøkelsen (se 3.4.4). Dette vil kunne påvirke scale separation reliability (SSR), som måler intern konsistens av svarene i undersøkelsen (se 3.4.7.4). I tillegg har jeg valgt å gjøre en split-half-test i samarbeid med min veileder, fordi det ikke har vært mulig å gjennomføre en pretest-posttest. I split-half-testen uttrykkes en
korrelasjonskoeffisient, som forteller om den interne konsistensen i svarene til respondentene er god eller ikke.
Validitet er en viktig forutsetning i forskning. Først og fremst har jeg sikret at
oversettelsene som er gjort på utsagnene i undersøkelsen er gode. Jeg har spurt flere matematikk- og engelsklærere om hjelp til denne oversettelsen. I tillegg spurte jeg noen matematikkforelesere ved lærerutdanningen på NTNU om de kunne kvalitetssikre
oversettelsen. Før selve undersøkelsen gjennomførte jeg en pilottest på
matematikkforelesere ved lærerutdanningen på NTNU, da de har god kjennskap til forskningsområdet.
I den kvalitative undersøkelsen har jeg vært passiv. Dette for å unngå
reaksjonspåvirkninger. I intervjuene hverken bekreftet eller avkreftet jeg noe av det matematikklærerne sa. Analysen og diskusjonen skal ikke være påvirket av mine
svar på forskningsspørsmålet og knyttet det opp mot teorirammeverket. En forskning skal være transparent, og datamaterialet som er presentert i oppgaven er representativt for undersøkelsen som er gjort.
3.4. Metodevalg
For å finne ut hvilken metode jeg skulle benytte, var det naturlig å ta utgangspunkt i forskningsspørsmålet som er utarbeidet. Som tidligere nevnt er det også avgjørende å fokusere på ett attributt av gangen for å sørge for endimensjonalitet (Bond & Fox, 2015;
Sherry, 2011), og på grunn av dette er MMR et naturlig valg. I tillegg hevder Creswell &
Tashakkori (2007) at dersom forskningsspørsmålet består av to spørreord, bør forskning med MMR anvendes. I den kvantitative delen av undersøkelsen har jeg valgt å benytte Comparative Judgement (heretter kalt CJ). Dette er på bakgrunn av Thurstone (1927) sin oppdagelse om at mennesker er bedre til å sammenlikne enn å gjøre absolutte vurderinger. For å besvare spørsmålet om hva slags rasjonale som ligger bak
matematikklærernes vurderinger, har jeg valgt å benytte gruppesamtale, som er en form for kvalitativt intervju (Johannessen et al., 2019).
3.4.1. Forberedelse av undersøkelsen
Det første jeg gjorde etter formuleringen av forskningsspørsmålet, var å velge
forskningsmetode. Som tidligere nevnt er MMR hensiktsmessig når forskningsspørsmålet består av to spørreord. Hensikten med studien er å se hvordan lærere rangerer kriterier for matematiske definisjoner, og hva slags rasjonale som ligger bak rangeringen de har gjort. Videre valgte jeg å benytte CJ og gruppesamtaler som metoder for å belyse forskningsspørsmålet.
I forberedelsesfasen leste jeg gjennom ulike artikler som Forbregd et al. (u.å.) har henvist til. De har gjennomført et grundig litteratursøk, og utsagnene i min undersøkelse er hentet fra deres arbeid. I forskningen de har gjennomført med matematikere og forelesere i matematikk ved universiteter, har de kategorisert 32 utsagn (Forbregd et al., 2021). Disse utsagnene er i kategoriene krav og foretrukne egenskaper, og vil være grunnlaget for min undersøkelse. Videre ble utsagnene, som er på engelsk, oversatt til norsk for å kunne bli brukt i undersøkelsen om norske matematikklærere. I en
oversettelse er det lett for at viktig informasjon kan forsvinne eller få en annen betydning enn det som er ment. Språket kan være en hindring i formidlingen (Kaufmann &
Kaufmann, 2015). Ettersom Kaufmann & Kaufmann (2015) viser til at språket kan være en hindring i formidlingen, var jeg bevisst på å oversette på en måte slik at informasjon ikke forsvinner. Samtidig passet jeg på at oversettelsene fikk en betydning som er i samsvar med utsagnene på engelsk. Når utsagnene blir formidlet til respondentene, er det viktig at faguttrykk er riktig uttrykt, for å begrense feiltolkningsrommet. For å øke validiteten til undersøkelsen, spurte jeg fire uavhengige personer (matematikk- og engelsklærere) om hvordan de ville oversatt de 32 utsagnene. I tillegg spurte jeg noen forelesere ved matematikkutdanningen på NTNU om å se gjennom mine oversettelser.
En slik kvalitetssikring er viktig for å sørge for en hensiktsmessig oversettelse.
Utsagnene ble redigert etter hvert som kvalitetssikringen ble gjennomført.
3.4.2. Pilotundersøkelse
En pilotundersøkelse skal være med på å øke validiteten til undersøkelsen. Ved å samle en gruppe mennesker i forkant av forskningen, er det mulig å diskutere ord og
formuleringer i spørreundersøkelsen som skal bli gjennomført. I tillegg kan ikke feil og upresise formuleringer rettes opp i når undersøkelsen er i gang (Johannessen et al., 2019). En pilotundersøkelse bør, ifølge Johannessen et al. (2019), bli gjennomført med mennesker som har kjennskap til området som skal forskes på. Derfor spurte jeg
forelesere og matematikere ved lærerutdanningen på NTNU om å gi tilbakemeldinger på undersøkelsen jeg hadde laget. Ut fra veiledningen som ble gitt, ble både undersøkelsens utforming og noen av oversettelsene videreutviklet og endret på.
3.4.3. MMR
Tradisjonelt sett har forskning blitt gjennomført ved at forskere benytter seg av enten kvantitativ eller kvalitativ metode (Cohen et al., 2018). De senere årene har en tredje metodologisk bevegelse blitt tatt i bruk, der forskeren gjennomfører både en kvantitativ og en kvalitativ undersøkelse. MMR har fått en stor plass i forskning (Cohen et al., 2018).
Ved å benytte to spørreord, mener Creswell & Tashakkori (2007) at forskningsspørsmålet blir en hybrid. Følgelig krever forskningsspørsmålet innsamling av både kvantitative og kvalitative data.
Kvantitative metoder, sammen med kvalitative undersøkelser, kan gi et større bilde av forskningen enn komponentene gjør hver for seg (Fetters & Freshwater, 2015). Derfor vil MMR kunne gi en mer helhetlig forståelse av hvordan virkeligheten er. Én
forskningsmetode alene vil ikke alltid kunne gi forskeren tilstrekkelige svar når et fenomen skal bli undersøkt. Ved å blande kvantitative og kvalitative data, vil forskeren kunne se ett og samme fenomen fra flere vinkler. For å kunne bidra til økt viten innenfor et fagområde, krever det at forskeren arbeider systematisk med sine undersøkelser (Cohen et al., 2018; Johannessen et al., 2019). Valget av forskningsmetoder vil kunne være avgjørende for å stille de riktige spørsmålene, og kunne bidra med forskning som er av interesse for fagområdet som blir undersøkt. MMR oppfordrer til at forskeren skal betrakte gamle problemer fra en ny vinkel, men også se verden fra ulike perspektiver. På den måten kan MMR bidra til å styrke forskningen, dersom fraværet av MMR vil redusere kvalitet, validitet, reliabilitet og nytte av forskningen (Day et al., 2008). Nøye
konstruerte undersøkelser, som gir gode måleestimeringer av enkeltattributter, kan suppleres med kvalitative data for å utfylle de kvantitative resultatene (Bond & Fox, 2015). Dermed kan undersøkelsen bestå av to ulike datainnsamlinger som fokuserer på hvert sitt attributt.
Når forskeren har tatt valget om å benytte MMR, må forskeren bestemme hvordan dataene skal samles inn. Cohen et al. (2018) hevder at det ikke finnes en fasit på hvordan forskeren arbeider med MMR. «(...) each piece of research is unique and the researcher has to decide how to design and implement the research, based on its purposes, foci, merits and characteristics» (Cohen et al., 2018, s. 38). Hvilke typer datainnsamling forskeren benytter, avhenger av forskningsspørsmålet som blir stilt, og den røde tråden mellom forskningsspørsmålet og metodevalg må være tydelig.
