Lengde Tid

Bølger

Lengde

Tid

01) Bølgefelt side 3

02) Introduksjon El-bølger, mekaniske bølger, ”eter teori” side 7 04) Måling i en krets med gnist, transmisjonslinjer side 12 05) Bølge betraktninger side 25

06) Bølge koblet til legeme side 38 07) Det absolutte rom side 43

08) To dimensjonal bølge og bølgeligning side 46

09) S-parametere side 57

10) Antenner side 63

11) felt kraftlinjer og E= mc² side 75

12) Bølger, Bevegelse, relativitetsteori og alternativ relativitetsteori side 78 13) Bygging av elektronikk i Bergen, praktiske kretser side 87

14) slutt side 94

01

Bølgefelt

:

Bølge og felt, to ord der bølge er først, så da ser vi først på det. Elektromagnetiske bølger kan vi ikke se, men de ligner mye på de mekaniske bølgene vi kan se.

Med bølger tenker en oftest på vann som bølger mot land eller forbi en liten båt. Båten dupper da opp og ned i en tilnærmet sinusfunksjon av tiden. Langs kanten av en fjord som indre deler av

”Puddefjorden” er der rette langstrakte steinvegger og murvegger. Loddrett ned og rette bortover.

Bølgene går da skrått inn mot veggen og skrått ut igjen 180 grader dreiet i forhold til en flate vinkelrett på muren. Sjelden går bølgene langsmed landlinjen men, oftest mer rett mot den og da vil bølgen reflektere fra muren i samme fase men, i tilnærmet motsatt retning og en observerer et todimensjonalt interferensmønster med markante stående bølger nær land.

Elektromagnetiske bølger i fritt rom gir elektriske effekter på tvers av fartsretningen i likhet med de mekaniske utsvingene på vannflaten og kalles transversale bølger. De magnetiske effektene er også transversale, men 90 grader vridd i forhold til de elektriske. Dette skyldes retningen vi måler de mekaniske krefter som forårsakes av elektriske og magnetiske felt.

I lydbølger og bølger i en lang fjær kan en del av luften eller en del av fjæren bevege seg frem og tilbake i lengderetningen som er fartsretningen, da kalles bølgene longitudinale. Enklest å beskrive er trolig en slik bevegelse langs en rekke av fjær og lodd der fjærene er masseløse. Ettersom en da kan skille de forskjellige kreftene fra hverandre i rommet. Forutsetningen her er at en enkelt sinusformet bølge strekker seg over mange ledd av lodd og fjær, eksempelvis 20 eller flere. Mens en serie av lodd og fjær gir longitudinale bølger gir en serie av svinghjul og spindelfjær

transversale bølger. For øvrig er de to systemene svært analoge med hverandre.

. Figuren over viser en serie av svinghjul og spindelfjær som kan transportere en bølge.

.

For raske bevegelser vil få frem merkbare uønskede egensvingninger i et enkelt ledd i rekken.

Hvert lodd i figuren over har massen ”m” i kg og hver fjær fjærstivhet ”k” i N/m.

Hvis rekken av ledd ikke er nesten uendelig lang må en avslutte den med et dempeledd med en gitt verdi demping ”d” i Ns/m. Dette er fordi ikke bølgen skal komme tilbake når den kommer til enden av rekken. Dempeleddet kan være et stempel som beveger seg i en sylinder der luften bare slipper ut gjennom en liten åpning. Da vil skyvekraften på stemplet bli proporsjonal med

hastigheten stemplet beveger seg med inn i sylinderen når sylinderen er i ro.

Tegningen over viser dempeledd

Ser vi på figuren med kulene og lar punktet P svinge langsomt fram og tilbake så vil denne bevegelsen forplante seg med bølgehastigheten _m^k_/^l_l langs linjen av fjær og kuler. Der l er lengden mellom to kuler, i meter. Hastigheten hver enkelt kule eller lodd beveger seg med er derimot mye mindre og direkte avhengig av hvor fort en beveger P og bare det. Etter en tid vil akkurat samme bevegelse skje i enden av linjen, med alle leddene, som bevegelsen i P.

Tidsforsinkelsen i hvert ledd blir _m^k . Vi ser at bølgehastigheten

m k

v l . Tar vi for oss et ledd som er dempet med ”d”, får vi fig:

Vi kan tegne et blokkskjema, en analogisering, over de forskjellige fysiske enheter og forholdet mellom dem dette vil da fremtille det matematiske utrykket for det som skjer.

Vist nedenfor:

Med algebra kan det skrives:

F1 _m^{1 v} k F2

F₁ ²₂(F₂) _d^m_dt^d (F₂) F₂

dt d k

m  



_d¹

i dette tilfellet er dempningen valgt slik : d km da blir F₁ ^m_k ^d_dt²(F₂)^m_{d dt}^d(F₂)F₂ En kan sette avviket av fjæren i forhold til hvilelengden til lengden x

P

Da blir uttrykket litt lettere å huske: F m x d_dt^d x x

dt

d  

 ²₂( ) ( )

1

Kraften F1 er kraften en her øver på kula og kraften F2 kraften dempeleddet øver mot underlaget.

Dempningen er valgt slik fordi dersom en øver en kraft mot en tilnærmerd uendelig lang rekke slike ledd så vil kraften F tilsvare kraften mot et dempeledd med verdien d km , dersom endringene i bevegelsen tar svært lang tid i forhold til leddets tidsforsinkelse, som er _m^k . Om en øker antall ledd til et uoverskuelig stort antall og lar hver fjær være tilsvarende kortere og hvert lodd tilsvarende lettere går en over til en kontinuerlig fordeling av masse og fjærstivnet slik jeg helst ønsker å ha det for å beskrive bølgebevegelser.

En kan også tenke seg et system av spindelfjærer og svinghjul der hvert ledd er dreiet 90 grader og at det er alt som skal til for å gå fra en transversal til en longitudinal bølge.

Frekvensresponsen til en ikke kontinuerlig linje kan beskrives flat opptil en knekkfrekvens

for så å falle: ₂

) ( 1

1







  j   j

 gir absoluttverdi:

2 2

2) ( )

) ( 1 (

1







  



der   _m^k og er vinkelfrekvensen 2f .

Når antall ledd blir uoverskuelig mange blir  forsvinnende liten og frekvensresponsen blir rett for alle aktuelle frekvenser.

Elektromagnetiske bølger i fritt rom er transversale.

Om en skjærer ut et langt smalt rektangulært spor i rommet i fartsterningen til en elektromagnetisk bølge kan denne bølge gjenskapes inne i et tilsvarende rør med topp og bunn av materiale med ekstrem høy dielektrisk ledningsevne  og sideplater av ekstrem høy magnetisk ledningsevne μ . Bølgen er da vertikalt polarisert. Figuren nedenfor viser dette:

En kan prøve å dele denne opp i enkeltelementer ved å se på et kort stykke som figur vist her:

≈ spenning spenning ut

En dekomponert figur for dette er vist nedenfor:

Her er kondensatorene CH >> C og påvirker ikke bølgen ved de frekvenser vi betrakter.

Tilsvarende kan en tenke seg induktanser parallelt med C, men med så høy induktans at det heller ikke får noen betydning. Denne oppdeling av kreftene i feltet gjør det enklere å beregne

funksjonen for linjen og lage en ligning for den.

Med algebra kan det skrives:

V1 _L^{1 i} _C¹ V2

R ₁ 2( ₂) ( ₂) ₂

2 V V

R V L LC

V _dt^d

dt

d  



Ligningen gjelder et ledd med sluttmotstand der R _C^L

En kan vise her at ved lave frekvenser blir tidsforsinkelsen   CL Ligningen kan da også skrives: ₁ ² 2( ₂) ( ₂) ₂

2 V V V

V _dt^d

dt

d  

 

Også her er: ₂

1 2

) ( 1

1







 j j

V V







  som gir fase endringen:  Ved de aktuelle frekvenser. Også ut fra dette kan en utlede at tidsforsinkelsen er τ . Inngangsimpedansen

1 1

i

V blir.









 j j L j

V i

 



 











 

 1

) ( 1

1 1 ₂

1

R _C^L

i

V  



1

1

ved lave frekvenser.

Et filosofisk fysisk spørsmål kan en stille seg etter dette. Har det tomme rom en egenskap som tilsvarer en distribuert kondensator(induktans) og en distribuert induktans og står disse i så fall all tid i ro i forhold til fartsretningen? På det vil jeg formode ja på begge, men om disse egenskapene virker ut fra en kapasitans/induktans i en forklaringsmodell der disse ikke er i ro så vil disse egenskapene likevel virke på målingene som om disse var i ro. Jeg kaller denne teorien en eterteori, men det er ikke den eterteorien som ble kjent etter Maxwell ved slutten av 1800 tallet.

Relativitetsteorien kan også benyttes her og den vil også gi det samme svar som min eterteori av nyere dato. (2006).

02

Introduksjon El-bølger, mekaniske bølger Felt

figuren over ,simulert i Multifysik, viser feltlinjer mellom to elektriske ladninger med forskjellig potensial.

Her betraktes feltet som en egenskap ved rommet slik jeg har valgt å se på det.

Befinner en seg i rommet rundt ladningene og har en elektrisk dipol, så vil en kraft prøve å dreie dipolen slik at den vil stå langs med feltlinjene som går ut fra den ene ladningen til den andre. En stav med stor dielektrisk ledningsevne, vil også rette seg inn på samme måte. Sistnevnte vil likevel kunne stille seg inn i to mulige terninger i motsetning til en ren dipol. Eksempel vis materiale av fast stoff med

dielektrisitetskonstant 38 for frekvenser opptil 12 GHz (produsert av Murata for dielektriske resonatorer). Linjene på tvers av retningene mellom ladningene vil da representere endring av spenningspotensialer. Det vil si at hvor stor spenning en måler, tilsvarer antall slike linjer en har mellom de to målepunktene. Tettheten av linjene på tvers representerer den elektriske feltstyrken på stedet. Feltstyrken E = U/d der U er en målt spenning og d er avstand. Når d er så liten at feltstyrken ikke har merkbar endring langs lengden d. I beskrivelsen over forutsettes det at de to ladningene er i ro i forhold til måleelektrodene eller ”eteren” for den saks skyld. På en elektrisk ladning med verdi Q plassert i et felt med styrke E virker en kraft F = Q·E . En type måler for elektrisk felt kan være to små plater som i en

luftkondensator, der platene vibrerer mot hverandre. Det ligner en

kondensatormikrofon. Spenningsendringene gir da opphav til en liten strøm.

Tilstrekkelig til at feltet er mulig å måle i praksis.

Er det bevegelse i de to ladningene oppstår nye og andre fenomen som vi kommer

Magneter

Fig

Dersom vi setter sammen magneter til en hestesko ser vi også her to poler, nemlig nordpol og sydpol. Mønster av feltlinjer fra disse polene blir helt likt med mønsteret rundt de elektriske ladningene. De langsgående linjer fra pol til pol, bestemmer retningen for en magnetisk dipol som ellers dreier seg fritt, og retningen for et magnetisk ledende materiale. Eksempelvis jern, jernpulver eller ferritter.

Tilsvarende vil tettheten av linjene på tvers representere Magnetisk feltstyrke H. H

= I / h, der I er generert strøm i en ideal leder ”superleder” formet som et lite rør og innføres i feltet. Rører må være meget kort og tilsvare lengden d i forrige oppstilling og rørets diameter mye mindre en lengden. En lang stav med fluks Φ plassert i feltet i feltet så det virke en kraft F på en. F = Φ ·H.

Fig

I

En ser at de elektriske og magnetiske effekter er analoge med hverandre. En dobbelt samenheng. En kan sette opp en tabell som viser denne analogien. Her setter

enhetene i klammeparentes, fra sekund, meter, Volt og Amper.

Ladning [As] Q

Φ

^[Vs] Magnetisk fluks

Elektrisk felt [V/m] E H [A/m] Magnetisk feltstyrke

Ladningstetthet [As/m²] D B [Vs/m²] Magnetisk flukstetthet

Elektrisk permeabilitet i

tomt rom [As/(Vm)] ε0 μ0 [Vs/(Am)] Magnetisk permeabilitet i

tomt rom

Spenning [V] V I [A] Strøm

Lengde i retning 1 [m] d h [m] Lengde i retning 2

Kapasitans [As/V] C L [Vs/A] Induktans

ε0 = 8,85·10^-12 F/m μ0 = 1,26·10^-6 H/m

N

S

I tillegg til disse to forskjellige systemer av felt er analoge er det også en innbyrdes sammenheng etter som ladninger i bevegelse er strøm og når en leder beveger seg i et magnetfelt oppstår det spenning over lederen. Om en observatør beveger seg med fart v i et B felt, observerer han et E felt med verdi E

1

= B

1

·v forutsett rettlinjet og homogent felt. Om E feltet (som er samme E felt som over) vil bevege seg med farten v vil en observatør som er i ro observere at B felt med verdi B

2

= E

2

·

^ε0

·

^μ0

·v , i tomt rom med homogene og rette feltlinjer. Hvor stor fart trengs da for at feltene E

1

= E

2

og B

1

= B

2

?

E = B ·v = E ·

^ε0

·

^μ0

·v

²

dette medfører

0 0

1



 



v

Dette er lysets hastighet. Ved så enkelt eksempel kan bølgehastigheten vises

Bølgefelt gjennom magnetisk og dielektrisk leder

Det kan fortsatt være fascinerende å se likhetene mellom masse fjær og det elektromagnetiske, selv om en ikke skal tekke sammenligningen for langt.

Ser her på disse forhold ved en rampefunksjon inn, sin dette vil gi en så enkel løsning av

daffligningene. Fjærstivheten betegnes med k , men jeg tillater meg å innføre betegnelsen fjæring y = 1/k .

Masse fjær linjen

(en prikk over bokstav betyr derivert en gang med hensyn på tid)

2 2 2

1 m y F m y F F

F       

innsetter t t F F

0 0 2  t t

F t y F m F

0 0 0

0

1   

siden tidsforsinkelsen

vc

 l

 blir ( )

0 0

1 v_c

t l

t F  F 

og m y

v_c l

 

v er bølgehastighet_c

i

motsetning til massens hastighet v₁

Den elektromagnetiske linjen

(en prikk over bokstav betyr derivert en gang med hensyn på tid)

2 2 0 0 2 2 0 0

1 l V l V V

V         

innsetter t t V V

0 0 2  t t V t l V F

0 0 0

0 0 0

1     

siden tidsforsinkelsen

vc

 l

 blir ( )

0 0

1 v_c

t l

t V V 

og

0 0

1



 

c 

v

v

1

·t

”F”

( i fartsretning)

”l”

(lengde i fartsretning)

y/l

F

Er ikke transversale lengder

y

F·t

”v

1

”

( i fartsretning)

”m·v

1

”

(fartsretning)

m/l

v

1

ikke transversal lengde

m

Q

E

D ε

0

V d C

Φ

H

B μ

0

I h L

Analogien nedenfor gir også samme oppsett fra mase- flær til induktiv – kapasiv effekt, som passet til daffligningen over.

vc

m yt

v ²  

som gir

^{t } ^{ mv}_c

av enhetslengden ”l ” får en

y m v_c l

 

Romlige forhold ved de elektromagnetiske rommet overføres til kun lengdeforhold og høyde- bredde settes til ”1” for sammenligningrens skyld.

I en aktiv dynamo er magnetene utrykk for strømmen mens en kan måle en spenning over spolene. Lignende er en sprettert en maskin som overfører kraft til hastighet, når erten med masse m holdes stramt med kraften F og strekket i spretterten har fjærstivhet k eller flæring y. Når en slipper erten skjer overgangen fra kraft til fart i likhet med at strøm gir opphav til spenning.

De elektriske feltlinjer fra en enkelt ladning i et tomt rom eller i forhold til ledende vegger i et meget stort rom i forhold til figuren til venstre.

En negativ ladning En positiv ladd kule på et bord.

Et batteri sørger for spenning til de ledende veggene.

Jeg tenker meg at det tome rom, eller eteren, har en ladningstetthet som er satt til verdien: null, uten å vite om det tomme rommet er uten noen ladning i absolutt forstand. En tenker seg da at rommet rundt q

1

påvirker av q

1

slik at q

2

påvirkes av en kraft fra rommet i rute (a), eventuelt at det er q

2

som påvirker rommet og q

1

kjenner en kraft F

1

fra rommet. Kreftene mellom q

1

og q

2

Er selvnaskt gjensidige. Her er kraftfeltet representert ved punkttettheten.

Figuren til venstre viser retningene og tetthet på feltet mellom to ulike ladninger. Til høyre de dette vist på en annen måte.

04

Måling i en krets med gnist, transmisjonslinjer Måling med gnist*)

Det kan være en utfordring å måle spenningsforløp og strømforløp, der spenningen endrer seg svært raskt fra svært høyt nivå til lavt nivå. Eksemplet er utladningen av en elektrisk gnist.

Spenningen endrer seg fra 10-15 kV til noen titals V på mindre enn mikrosekunder. Vi ønsker å .

En kan da utforme kretsen geometrisk slik at en brokobling oppstår mot balanserte målepunkter der strømmen måles. Slik vil koblinger fra det sterke spenning signalet lignes ut og i tilegg skjermes ut slik signalet inne i en koaksial kabel skjermes til fordel for rommet utenfor kabelen.

En kan også hindre eller begrense utstråling av elektromagnetiske bølger på denne måten.

Signalet, fra gnisten, oppstår ved spissene i gnistgapet og forplanter seg langs med ledningene og endrer form og fase underveis. Refleksjoner oppstår i varierende styrke og skjer spesielt i den andre enden av signallinja. Denne enden er forventet å være kortsluttet av kondensatoren som tegnet inn i figuren. Signalene fra shuntmotstandene, som er gitt av strømmen i kretsen kan måles mest mulig uforstyrret. Samtidig kan en måle spenningsforløpet med andre prober.

Vi vil i førstningen se på overføringslinjer, slik de kan arte seg i saken over, og generelt. Uten å gå for dypt inn i alle matematiske framstillinger, som preger spesial litteratur, prøver vi her å få en mer intuitiv forståelse. Vi ser at kobberbåndene og de lange tynne stiftene har likheter med

overføringslinjer, eksempelvis en metallstang over en smal plate. Vist fortløpende overganger her.

Enklere er det i midler tid å betrakte to parallelle metall plater eller strimler. En ser da bort fra effektene langs kanten som har liten betydning og kan da beregne de homogene krefter og felt.

Et utsnitt av et plate par er vist her, avstanden mellom dem er kort i forhold til bølgelengden, strømmen fordeler seg langs bredden(h) og betegnes i .

Strømtettheten blir da: strøm pr lengde

h

i avstanden mellom platene er d.

Har platestrimlene stor lengde l i forhold avstanden d kan linjen kortsluttes i høyre ende uten praktisk betydning for magnetfeltet mellom platene. En har nå samme forhold som for

magnetfeltet som det er under en tråd med en vikling. Det er vist her.

Nedenfor vises de elektriske felt på de samme to platene

Jernkjernen forsterker feltet slik at effektene blir lettere å måle. Vi vil ofte ta utgangspunkt i det som er enkelt å måle på for å forklare resten. Vi tenker at tydelige målinger vil korrigere oss om vi skulle ha en feil intuitiv forståelse, sjansen for å ta feil blir minst mulig. Arealet av tverrsnittet til jernkjernen tilsvarer arealet: dl (avstand  lengde)

Den magnetiske fluks som går gjennom hele arealet er:  = B d  l (B er flukstettheten). Videre er

 = i d  l 0  1/h , merk at større h gir lengre B-feltlinjer og svakere fluks. Strømtettheten og B blir proporsjonale. Indusert spenning over en slik lukket sløyfe er : (antall tørn)

dt

V  d

Induktansen er: _{( )}

) ( / )

( tørn

i tid d strøm d

spenning

L 

Her blir antall tørn = en, for et utsnitt av linja med lengde l.

0

h l L d

 Energien er : ₂¹Li² av magnetisk årsak En kan skissere strøm og spennings kurver over en induktans, som vist :

Et utsnitt av linja med lengde l har også en energi av elektrisk årsak: : ₂¹CU² Spenning V = elektrisk felt  avstand = E  d

Strøm tilført utsnittet av linja

dt h dQ

dt l

idE  ₀ 

kapasitansen er :

V Q tid d spenning d

strøm

C  

) ( / ) (

0

d h

C i videre er ladningen Q = V h  l 0  1/d analogt med  = i d  l 0  1/h En kan skissere strøm og spennings kurver over en kapasitans, som vist :

E1

0

1

 B

0

1

 E2 - -

0

1 Z

(teori om koaks kabel)

x 1

x

1

x

1 Z₀

V1 L

1 I C

1 V2 - -

0

1 Z

.

En kan dele opp plate leder linjen induktanser og kapasitanser, som vist:

Betingelsen er at bare en liten del av bølgelengden legger seg over hvert element i kjeden. For eksempel 5%. Linjen er avsluttet med en motstand med motstand = karakteristisk impedans.

Tidsforsinkelsen i hvert element blir   LC , karakteristisk impedans blir

C Z₀  L

Blokk diagrammet for et element avsluttet med en motstand er tegnet under.

V1 L

1 i C

1 V2 - -

0

1 Z

Er det fare for refleksjon i linjen, på grunn av avslutning med motstand forskjellig fra Z0, bør generatoren som tilfører signalet ha indre motstand = Z0, eksempelvis ved firkantpuls inn.

En koaksial kabel er i prinsippet samme signal leder som to parallelle plater bare med den forskjell at induktansen i innerlederen er større enn i ytterlederen. koaksial kabelen har ikke kanteffekter eller begrensning i frekvens i prinsippet. Nedenfor er vist utledningen for signalledningen der lengden langs med kabelen er tatt med i beregningen. Da kan jeg her betrakte kabelens kapasive effekter på tvers av kabelretningen, og kabelens induktive effekter ,på langs av kabelretningen, som konturnierlig fordelt langs kabelen. blir xkabellengdedel

Blokk diagrammet for dette, avsluttet med en motstand er tegnet under.

x

1

x

1 Z₀

V1 L

1 I C

1 V2 - -

0

1 Z

Nedenfor er vist diagram fra simuleringer der spolene har verdien 1mH , kondensatorene 0,1µF og motstand 100 Ohm. En ser strømmer og spenninger.

Maxvell

Maxvells ligninger kan forenkles når det gjelder plane bølger i rom. De får to ligninger, begge derivert i fartsretningen x og med hensyn på tiden t. Overgangen fra disse til den generelle bølgeligningen er vist nedenfor. Det er her en ren mettematisk beskrivelse.

) ( )

(T Bt

E t



 







) ( 0 0 )

(t Et

B t



 



  

til

) ( )

(T Bt

E t

x 

 

 



) ( 0 0 )

(t Et

B t

x 

 



  

setter inn: ^{B(t) 00}



^E_t^{(t) dx} får da : ^_^_x^E₍^t₎ ^₀^_{0 }^_t(



^E_t^{(t) dx}₎



_^

 

  E dx

E t

x ₍^t₎ ₀₀ ( _{2 (}^t₎)

) 2 ( 2 0 0 ) 2 ( 2

t

t E

E t

x 

 



   Dette er den generelle bølgeligningen der farten

0 0

1



  c

Tegningene viser en magnet som faller mot en metallplate. Det oppstår en ringstrøm i platen som igjen setter op et magnetfelt motrettet feltet fra magneten. Ved superledende plate ville

magnetfeltet fra platen bli permanent så lenge magneten er i luften over. En magnet som faller i luft møter også et motsatt magnetfelt grunnet dielektrisk ledningsevne i tomt rom. Denne kraft er svært svak for normale hastigheter. Motfeltet tilsvarer feltet fra en ledning og en kondensator som tegnet. For sterke elektriske ladninger i form av kuler som faller ned mot en ferritt ring med høy magnetisk ledningsevne oppstår tilsvarende effekt. På grunn av ladningsbevegelsen oppstår et stigende og relativt kraftig magnetfelt i ringen dette setter i sin tur opp et elektrisk felt motrettet ladningene som faller. I de to siste tilfellene er motkraften der bare så lenge magneten eller

ladningene har fart. Ved normal fart er motkraften proporsjonalt med det deriverte av feltet ringen ser med hensyn på tid. Ved ekstrem fart, nær lysfart, er motkraften nesten bare proporsjonalt med feltet ringen ser.

Nedenfor er vist hel trukne B linjer og E linjer i tverrsnittet av kapasitans henholdsvis et magnetisk felt, når feltet er i endring og bare da.

En feritt ring på tre cm diameter, vanlig tverrsnitt, får en teoretisk egenresonans på noen

hundretalls MHz. En glass ring på tre cm diameter, samme tverrsnitt, får en teoretisk egenresonans på noen titalls GHz .

To plane parallelle plater er bølgeleder og er avsluttet i et horn mot rommet, de elektriske feltlinjene er tegnet. Signalet er generert med en sinus generator. Nær midten av bølgetoget utenfor munnungen av bølgelederen oppfører bølgene seg omtrent som om de var inne i

bølgelederen. De krefter og motkrefter som virker ligner tilsvarende som gjelder for en bølge på vann sendt ut gjennom an kanal med samme form og derfra ut i vann. I den grad at vannbølgene kan beskriver av den generelle bølgeligningen (liten bølgehøyde dypt vann) Energiutvekslingen til siden blir liten i dette eksemplet fordi arealet av flaten mellom to bølgefronter, sett på papiret, har en mindre del av sin grenselinje til sidene. Den relative grenselinjen eller grenseflaten i rom er mye større framover og bakover og her er energiutvekslingen mot bølgen foran og bak, som også i bølgelederen. Det er en liten del av energien som blir reflektert fra munningen av bølgelederen av samme grunn, selv om det er en totalrefleksjon av den delen av linjen/flaten, mellom to bølger, som grenser direkte til bølgelederen. Energiutvekslingen blir som lengden mellom bølgene sideveis i forhold til lengden bølgen har felles med foregående bølge.

Ved plane rombølger er feltene på tvers av fartsretningen både et elektrisk og magnetiske felt.

Dette genererer også motkrefter både mot de elektriske og magnetiske kildefelt. Her ved side veis orienteringen blir “motkreftene” proporsjonalt med det deriverte av feltet i

fartsretningen hensyn på lengde, integrert over tid. Som i den generelle bølgeligningen. Jeg har forutsatt at bade det dielektriske og det magnetisk ledende materialet er i ro i forhold til

bø1gebevegelsen. Det forutsetter at referansen for dielektrisitetskonstanten εo og den magnetisk lednings konstanten μ0 er i ro i forhold til bø1gebevegelsen. En bølge er en fasebevegelse og ikke en masse som beveger seg i vanlig forstand.

Vist en mate a beskrive et plant “medium” for utbredelse av elektromagnetiske bølger overført til spoler og kondensatorer. Dette beskriver Elektriske forhold. Magnetiske forhold kan også

beskrives «dualistisk» der magnetisk ledningsevne i et stykke rom beskrives som en magnetisk kondensator, som da blir oppladet med et magnetfelt. En magnetisk kondensator gir da et motrettet magnetfelt ved sprang i magnetfeltet på grunn av rask oppbygning av E felt.

Her er også vist bølgebevegelser i masse fjær systemer. Systemene er velig analoge med elektromagnetiske bølger, bortsett fra kreftenes/feltenes orientering og lognitulal /transversal orientering.

05)

Bølge beregninger (ligninger, betraktninger)

Vi ser på en gitarstreng av fullstendig elastisk nylon som vibrerer med lite utslag i u retning. Vist på fig over. (u og x har enheten i meter) Her kan vi utlede den

endimensjonal bølgeligningen. Ser på små tverrgående vibrasjoner av en elastisk streng , som er strukket etter lengde L og deretter festet på endepunktene . Anta at strengen har et utslag til siden og deretter ved et bestemt øyeblikk , si, t = 0 . frigjøres og tillates å vibrere.

I dette tilfelle gjør vi følgende forutsetninger .

1 . Masse av strengen per enhet lengde er konstant ( homogen streng) . Strengen er perfekt elastisk og gir ikke noen motstand ved bøying .

2 . Spenningen forårsaket ved å strekke Strengen før du fester det på endepunktene er så stor at virkningen av tyngdekraften på strengen kan bli

neglisjert .

3. Strengen utfører en liten tverrgående bevegelse i et vertikalt plan; slik at

så godt som hver partikkel av strengen beveger seg strengt vertikalt og slik at den nedbygninger på hvert punkt på strengen forblir lite i

absolutt verdi. En tenker seg en stor strekkraft i strengen. Vi ser på en liten del av strengen fra x til x+  x. Ettersom strengen ikke gir motstand overfor

bøying blir spenningen er tangentiell til kurven av strengen ved hvert punkt.

Vi lar T

1

og T

2

være spenningen ved endepunktene over x og x+  x. Siden

det ikke er noen bevegelse i horisontal retning, vil de horisontale komponenter av spenninger, må være konstant. Ved å bruke notasjonen er vist i fig over får vi: (1) T

1

cos  = T

2

cos  = T = konstant.

I vertikal retning har vi to krefter, som er de vertikale komponenter

- T

1

sin  og T

2

sin  av T

1

og T

2

: her minustegnet vises fordi

denne komponenten på punktet over x er rettet nedover. Av Newtons andre lov blir resultanten av disse to krefter til totalkraften på massen m. Denne massen tilsvarer massetettheten  multiplisert med lengden  x. m =    x. Ved dette tidsøyeblikket får    x akselerasjonen:

2

2

t u



for den del av strengen som ligger mellom x og x+  x.

2

2 1

2

sin sin

t x u T

T 

 



  



Ved å bruke : T

1

cos  = T

2

cos  = T = konstant

Får vi:

2

2

1 1 2

2

tan tan

cos sin cos

sin

t u T

x T

T T

T





 





   









Nå er: tan  og tan  buktninger i krumningen mellom x og x+  x.

En kan skrive:

x

x

u 



 







 



tan _og

x

x

x

u





 

 







 

 tan

Her kan vi sette sammen dette til en dobbeltderivert og så en partiell diffligning:

2 2 2 2 2

v x t

u



 





der bølgehastigheten er: v der  v

²

 T

Denne ligning kalles den endimensjonale bølgeligningen.

Dette er også en kinematisk beskrivelse av en bølge som beskriver bevegelsen uten hensyn til de fysiske årsaker. I midler tid gjør andregradsleddene at løsninger av ligningen beskriver alle formene på strengen som stående bølger og ved bevegelse og passer inn ved de fysiske forutsetninger for bølger.

Ligningen kan gjøres om til:

₂

2 2

2 2 2

t v x

u v u



 



 

Videre kan en bølge beskrives som: ^{u ( x , t )} 

₂¹

 ^f

m

^{( x}  ^{vt )}  ^f

m

^{( x}  ^{vt )} 

Stående bølger kan beskrives som nedenfor, avhengig av grensebetingelser:

L n t n

t B

t x

u ( , )  (

_n

cos 

_n

 

_n

sin 

_n

) sin  (n=1, 2,..) der L er strengens lengde.

Fjær

Vi betrakter nå en lang utstrakt fjær, som på figuren over er sammenrullet.

Vi ser bort fra tyngdekraften og lar fjæren være litt strekt slik at den både kan strekkes å tøyes i et område.

Ved den ene enden av flæren er det skapt en sammen trengning etterfulgt av en utstrekning. Dette parti av fjæren vil bevege seg i retning som vist over med en fart v. Fjæra står tilnærmet i ro, mens sammentrekningen beveger seg som en bølge. Hær kan en bruke tilnærmet same utregning.

Partikklene i fjæren beveger seg sakte i det sammentrekningen passer er punkt langs

fjæren sett fra dette punktet og stanser etter sammentrekningen og utstrekningen har

passert. Denne farten er merket med V eller  . Bølgefarten er merket v og er mye

større enn V. Retningen på V er langs x-aksen. Fjæren har en massetetthet:  .

Massen på et lite område av fjæren, med lengde  x blir: m =    x. Ved tidspunktet

i fig over får    x en akselerasjon på:

2 2

t

  , i

retning x, for den del av strengen som ligger mellom x og x+  x. Dette kaldes longditunale bølger.

Den totale kraft på massen: m=    x er:

 

 



 



 







 

 

 











 x x

x

t

D  t 

der D er dempningen fjærstykket  x møter til begge sider, altså ved x og x+  x. Dette fordi en lang flær med fordelt masse

påvirker en påtrykt bevegelse som et dempeledd med dempning: D. D    k

s

der k

s

er fjærstivnet for en meter. Dette skal utledes senere.

Siden bølgehastigheten er v blir:

x

x

v x

t 



 







 

 



 







  

derfor blir:

2 2

x t x

D x t v

D t

x x x

x x

x



 



 



 



 



 







 

 

 







 

 



 



 



 







 

 

 

















 









Dette gir andregradsledd på begge sider: ₂

2 2

2

D t

x v 

 

 

   

Fra dette utleder en at: v  D 

eller:

 

 k

_s

k

_s

v  

₂



Ve har sett at vi ikke tok med fjærstivheten i første omgang fordi denne ble tatt med i dempningen fra dempeleddene.

Hvordan beregne dempningen D?

Figuren over viser et ledd i kjeden med fjær, masse og avsluttet med dempeledd.

Under er en tegning av overføringsfunksjonen til figuren over.

Blokkene med spiss beskriver integrasjon med hensyn på tid.

Fjærmykhet Lsp Masse msp Dempning D [1/(N)] [kg/m] D [Ns/m]

V

^INN

1

1 1

x L

_sp



1

1 1

x m

_sp



y

Z

0

V^UT

der : D    k

s og Fjærmykhet Lsp er invers av fjærstivhet ks for en meter.

y er et uspesifisert signal ut og m

sp

=  .

Nå beregner jeg fra tegningen funksjonen for V INN og V UT skrevet som



_INN og



_UT

y D y

t m y L

_sp

t

_sp

INN

 



 



 



 



 

 1

 1

og





 



 



 



 y

D t

m y D

^sp

UT

1

1

 1

y y m D

y y y

y C D

y y y

m L

sp D L D

L sp

sp UT

INN

sp sp









 













 

 1 '

' '

1

'

"

_{1 1}



Tilnærmingen er gjort fordi en kan se bort fra andregradsleddet om signalfrekvensen er liten da blir den dobbelt integrerte av y tilnærmet null

.

Siden lengden  x er ekstrem kort og går mot null han vi gjøre dette her.

Nå er

sp sp

m D  L

1

som gjør at ₁^Lsp_D

 1 D  m

_{sp slik at}

 1





UT INN

Dette viser at en linje som avsluttes med et dempeledd med verdien

D    k

_s vil belaste en signalkilde ved starten av linjen som den var et dempeledd med verdien

k

s

D   

.

Frekvensrespons

Frekvensresponsen kan også forklare det som ble beskrevet over ved derivasjon.

Påtrykker en sinusbølger som sweeper over et frekvensområde så vil belastningen i forholdet hastighet pr kraft bli:

Etter ordning er

.

s sp sp

in k j m j m k

D      

  ¹

/ 1 /

1

[m/Ns]

En kan her vise at når vinkelfrekvensen ω blir meget liten blir det

frekvensavhengige leddet enda mindre, det vil si som funksjon i andre potens av ω.

Altså 1/D

in

~ L

sp

·m

sp

(jω)

²

+ (L

sp

/m

sp

)

^½

og Z

in

~ (L

sp

/m

sp

)

^½

for lavere frekvenser i forhold til 1/ τ. Tilnærmingen (~) kan bli brukbar når ω er mindre en 10% av 1/(L

sp

m

sp

)

^½

.

Tidsforsinkelsen er: φ/ω (faseforskyvning/vinkelfrekvens) frekvensresponsen fra VV

1

til VV

2

egentlig V

2

/V

1

,blir etter ordning av figuren over til:

LC j j

LC  







 

2 1

2

) ( 1

1

ved lave frekvenser kan en fjerne andregradsleddet

og :

sp spm L j





  1

1

1

2

faseforskyvningen = tan

^-1

(L

sp

m

sp

·ω

²

)

^½

.

Siden dette gjelder små verdier av tan

^-1

(L

sp

m

sp

·ω

²

)

^½

, blir φ ~ (L

sp

m

sp

·ω

²

)

^½

Dette gir tidsforsinkelsen τ = φ/ω = (L

sp

m

sp

)

^½

.

Elektriske linjer og elektromagnetiske bølger

En transmisjonslinje som flatkabelen her kan deles inn i mange små elementer av spoler og kondensatorer som over når disse elementer blir ekstrem små og går mot null, så tenker en seg antall elementer blir ekstremt stort.

Hvert element kan beskrives som skjema til høyre dersom en påtrykker in spenning inn, og skjema til venstre om en påtrykker en strøm på inngangen a - b.

Transmisjonslinjen blir uten refleksjon når den avsluttes med em motstand R med verdi: R  L

_s

C

_s , inngangsimpedansen for linjen blir da Z0 = R.

Nedenfor er blokkskjema for et element.

Ls er Induktans pr lengde og Cs er kapasitans pr lengde.

der : D    k

s og Fjærmykhet Lsp er invers av fjærstivhet ks for en meter.

Bølgeligning:

Ser her på ladningen q som går gjennom spolen L. Denne ladningen i endring er forskjellig på utgangen i forhold til på inngangen, årsaken er at det er en distribuert kapasitans, uten at verdien av den tas med i beregningen der, men er med i

beregningen av R på begge sider.

Spenningen V over L er: L t V q

₂

2



 

Spenningene over begge motstandene R er:

2

1

ogV

V

så blir:

V  V

₁

 V

₂ Strømmen

over de to respektive motstandene er:

t

x

i q 



 







 

1 Videre er:

t R V q

x

 



 







 

1

R

t V q

x x

 



 







 





2

 

_s

x x x

t L q x

q x

q v x

R V

x V 



 

 

 



 



 







 

 

 









 







 

_ ²

2 2

1

1 1

Over er

v 

bølgehastigheten.

Av dette vår vi bølgeligningen 2

2 2 2

t q x

q L

v R

s



 



 



medfører

s

s

C

v L

 1 

Impedansen inn =

iL

V₁

ved lav frekvens

Det kan være lettere å se på frekvensresponsen enn tidsresponsen. Ser her på

1

UT.

iz

1/Z0

- V

1

+ 1/L

j

1

^iL +

^ic

1/C

j

1

Etter ordning er

CL

in L j C j

Z     

 ¹

En ser igjen at når vinkelfrekvensen ω blir meget liten blir det frekvensavhengige leddet enda mindre, det vil si som funksjon i andre potens av ω. Altså Z

in

~ L·C(jω)

²

+ (L/C)

^½

og Z

in

~ (L/C)

^½

for lavere frekvenser i forhold til 1/ τ. Tilnærmingen (~) kan bli brukbar når ω er mindre en 10% av 1/(LC)

^½

.

Tidsforsinkelsen er: φ/ω (faseforskyvning/vinkelfrekvens) frekvensresponsen fra V

1

til V

2

egentlig V

2

/V

1

,blir etter ordning av figuren over til:

LC j j

V LC V



 

 

2 1

2

) ( 1

1

ved lave frekvenser kan en fjerne andregradsleddet og :

LC V j

V



  1

1

1

2

faseforskyvningen = tan

^-1

(LC·ω

²

)

^½

.

Siden dette gjelder små verdier av tan

^-1

(LC·ω

²

)

^½

, blir φ ~ (LC·ω

²

)

^½

Dette gir tidsforsinkelsen τ = φ/ω = (LC)

^½

.

Elektromagnetisk felt i rom

På figuren over tenker e n seg rommet oppdelt i partier med stor magnetisk

ledningsevne i område

 X

og stor dielektrisk ledningsevne i platene på begge sider av

 X

. Her går det en strøm i i retning som vist over i den første platen (til venstre).

Dette vil skape et magnetfelt med tetthet B inne i rommet innenfor

 X

, vist med blå tykke linjer. Om platen til høyre er en ren leder eller har tilnærmet uendelig

permeabilitet blir strømmen i denne lik strømmen i men motsatt rettet. Det er strøm

ved induksjon, men ikke selvinduksjon. Dette medfører at det bare er magnetfelt i

rommet mellom platene og utenfor platene kansellerer effektene av strømmene

eventuelle magnetfelt. I midler til har ikke platen til venstre uendelig permeabilitet,

men en permeabilitet som er avhengig av di elektrum ɛ i rommet. Slik at et E felt

stiger etter hvert i strømretning langs denne platen. Videre avtar strømmen i denne

platen og et nytt magnetfelt bygges opp utenfor platen til høyre. Dersom strømmen i

venstre plate ble forårsaket av en plutselig spenning over platen i i retning so vil det

på tilsvarende punkter i platen til høyre gradvis oppstå en spenning. Spenningen

mellom disse punkter V vil da minke på tilsvarende måte som over en induktans

skapt av tre ledende vegger som vist på figuren over. Dette til tross for at disse ikke

er ledere og de heller ikke er dielektrisk forbindelse t retningen

 X

. Årsaken til det

siste, er at en betrakter platene som mye, mye større en lengden,

 X

.

impedans som er 120Ω for en kvadratisk flate for fritt rom, eventuelt

Z₀  L_S C_S

for skissen over. En legger merke til at strømmen som framkommer etter første integrering blir multiplisert med µ og deretter delt på µ for å markere at det ene er strømmen på venstre plate og det andre er strømmen på høyre plate, og at det er et galvanisk skille mellom dem, til forskjell fra en transmisjonslinje.

Forsinkelseslinje på to

ferrittstaver.

Forsinkelseslinjen på ferrittstaver i bildet over viser transmisjon oppstykket i trinn slik at beskrivelsen av å stykke opp rommet kan sammenlignes lettere. Det er to ferrittstavet sammenkoblet med en ferrittblokk i enden. Her kan en starte et magnetisk signal fra en spole, eksempelvis en puls. Deretter vil den første spolen

med kondensator på bilde redusere magnetfeltet kraftig i starten av pulsen inntil kondensatoren lader opp og

magnetfeltet kommer sterkere ut på den andre siden og der lekker det over til den andre ferrittstaven, men mye av

magnetsignalet vil gå over til neste spole og så videre. Det vil da for hver gang bli tidsforsinket. En annen måte å framstille transmisjonslinje som oppstykkede rom er ved hjelp av

koaksialkabler. I figuren til venstre er innerleder sylindrisk

med en strøm i oppover på figuren. Dette setter opp en

tilsvarende strøm i ytterleder og et magnetfelt B i rommet

mellom. Koaksialkabelen kan kobles i ring, kondensatoren innføres ved å bryte opp

ytterlederen og sette inn høvelig kondensator over bruddet. For at transmisjonen

skal lede signalet i samme form må frekvensene ikke være mye lavere en den

inverterte tidsforsinkelse i et ledd.

Figuren over viser en bølge i en dimensjon (z) plassert i tid og lengde.

 ^{ }



 

_{2 1 2} ²

2

( V V ) x

V y

Tilsvarende stående bølger som i en sylindrisk glasstav skjer i en rundt metall rør som er

bølgeleder. Feltet i glasstaven er den innerste delen av feltet i røret som vist nedenfor. Feltet I røret er da feltet i glasstaven og det feltet speilet utover met rørveggen.