Egenrefleksjon i matematikk - hvordan utvikle elevenes egenrefleksjon i matematikkfaget

Egenrefleksjon i matematikk

- hvordan utvikle elevenes egenrefleksjon i matematikkfaget

Magne Andreassen November 2015

Master i tilpasset opplæring Emnekode: ST314L

1

Forord

Det har vært en lang og arbeidskrevende prosess å jobbe med masteroppgaven. Prosessen har vært lærerik, både innenfor den vitenskapelige sjangeren, men først og fremst innenfor oppgavens tema med refleksjon i matematikk. Å se refleksjon i matematikk som en del av tilpasset opplæring i faget har gitt meg inspirasjon til å bruke dette i den daglige

matematikkundervisningen, og å tenke over dette i planlegging til matematikkundervisning.

Jeg vil takke førstelektor Trond Lekang ved Universitetet i Nordland for veiledning med konstruktiv og hyppige innspill gjennom hele masteroppgaveprosessen. Jeg vil også takke lærerne fra ungdomsskolene som stilte opp som informanter til undersøkelsene. Til sist vil jeg takke familie for hjelp og ekstra øyne til oppgaven. I tillegg rettes en takk til Ingrid Robertsen for hjelp med oversetting av sammendrag.

Bodø, november 2015 Magne Andreassen

2

Sammendrag

Denne studien er en masteroppgave i tilpasset opplæring og omhandler temaet refleksjon i matematikk. Den bygger på undersøkelser med intervju av fire lærere og observasjoner av to lærere. Valg av tema begrunnes med egne opplevelser av lite selvstendige elever i

matematikkfaget, og en undring hvorvidt elevene reflekterer over det de gjør i faget.

Forskning viser at norsk skole handler mye om å gjøre individuelle oppgaver. Dette står litt i motsetning til skolenes mål med en vid tilnærming til tilpasset opplæring gjennom variasjon.

Masteroppgaven er et kvalitativt forskningsarbeid, og bygger på forskningsmetodene observasjon og kvalitative intervjuer. Teorien i masteroppgaven tar i hovedsak for seg

tilpasset opplæring, matematikkdidaktisk teori og generell pedagogisk teori. Gjennom teorien kommer det fram en skole med fokus på oppgaver og terping av ferdigheter. Samtidig

kommer det fram at å undervise med fokus på å utvikle elevenes refleksjonsevne er

fordelsaktig og vil fremme forståelse i matematikkfaget. Masteroppgavens problemstilling er:

Hvordan kan matematikklærere på ungdomstrinnet tilpasse opplæringen til å utvikle elevens egenrefleksjon i matematikkfaget?

Resultatene i undersøkelsen viser at informantene mener egenrefleksjon er viktig i matematikkundervisningen. Det vil gi elevene forståelse og mulighet for å anvende

matematikken. Egenrefleksjon sees dermed som avgjørende for bruk av matematikk senere i livet og i yrkessammenheng. Egenrefleksjonen vil også fremme elevenes evne til å være selvstendige. Samtidig som lærerne i undersøkelsen viser til at egenrefleksjon er fordelsaktig, viser de også til at det kan være vanskelig å gjennomføre. En slik type undervisning blir mer uforutsigbar og lærerne må da legge de forutsigbare sikkerhetsnettene sine litt bort. Samtidig kommer det også fram at det ligger et nesten historisk betinget fokus på mengdeoppgaver i skolen. Disse skal gjerne rette seg mot eksamen i 10.-klasse og lærerne svarer at dette er en av grunnene til at det er vanskelig å gjennomføre nye former for undervisning. På en annen side stiller lærerne seg positive til egenrefleksjon og er klare på at dette burde det være mer av i deres undervisning. Det kommer fram at en klassekultur for deltakelse er avgjørende for å få til refleksjon.

3

Synopsis

This thesis is a study into adapted education, and examines the subject of reflection in mathematics. The study builds upon research conducted through interviews with four teachers, and observations of two teachers. The choice of subject was made on the basis of personal experiences of a lack of independence from students when studying mathematics, and a curiosity about whether the students were reflecting in the subject. Research shows that the Norwegian education system is concerned with students performing individual tasks, which contradicts the schools’ goals of having a wide approach to adapted education through variation.

The thesis is based on qualitative research, and has taken the research methods of

observations and qualitative interviews into use. The theory of the thesis mainly examines adapted education, mathematics didactic theory and general educational theory. Through the theory one discovers a school with focus upon tasks and repetition of skills in order to develop them. At the same time it is revealed that teaching with a focus on developing the students’ ability of reflection is beneficial, and will increase the understanding of

mathematics. The thesis’ research subject is: How can teachers of mathematics in secondary school adapt the education in order to develop the students’ ability of self- reflection in mathematics?

The results of the research show that the study subjects believe self-reflection is important in teaching mathematics. This will provide the students with an understanding and possibility to apply this to mathematics. Self-reflection is therefore looked upon as crucial for the use of mathematics later in life and in a working environment. Self-reflection will also increase the students’ ability to be independent. The teachers involved in the research are concerned both with how important self-reflection is, as well as how difficult it can be to follow through with.

This type of education becomes more unpredictable, and the teachers must stay away from the familiar and tested methods of teaching. The focused upon task quantity seems to be

historically. These are typically aimed towards passing the 10th grade examinations, and the teachers refer to this as one of the reasons why conducting new methods of education is difficult. On the other hand the teachers are positive towards self-reflection and are clear on how this should be used more in their teaching methods. It is discovered that a teaching culture of engagement from students is crucial to enable reflection.

4

Innhold

Forord ... 1

Sammendrag ... 2

Synopsis ... 3

1 Innledning ... 7

1.1 Bakgrunn for valg av tema ... 7

1.2 Problemstilling og avgrensinger ... 8

1.3 Forståelse og min posisjon ... 9

1.4 Formålet med oppgaven ... 10

1.5 Oppbygging av oppgaven ... 10

2 Teoretisk orientering ... 11

2.1 Oppgavegjøring og tilpasset opplæring i matematikk ... 11

2.2 Spørrende og undersøkende undervisning ... 11

2.3 Holdninger til matematikkfaget ... 13

2.4 Forståelse i matematikken ... 14

2.5 Ferdighet eller forståelse først ... 16

2.6 Mønster i matematikken ... 19

2.7 Samtale og dialog i klasserommet ... 21

2.8 Hverdagsmattematikk ... 23

2.9 Problemløsning og utforskende matematikk ... 23

3 Design og metode ... 26

3.1 Forskningsdesign ... 26

3.1.1 Forklare eller beskrive ... 26

3.1.2 Gå i dybden eller i bredden? ... 27

3.1.3 Deduktiv eller induktiv ... 27

3.1.4 Tidsdimensjonen ... 27

3.2 Vitenskapsteoretiske refleksjoner ... 28

3.2.1 Operasjonalisering og begrepsbruk ... 28

3.2.2 Hvordan ser virkeligheten ut? Et ontologisk spørsmål. ... 29

3.2.3 Finnes det kunnskap om virkelighet? Et epistemologisk spørsmål. ... 30

3.2.4 Hermeneutiske refleksjoner ... 30

5

3.2.5 Fenomenologi ... 32

3.2.6 Reliabilitet og validitet ... 32

3.2.7 Etiske betraktninger ... 34

3.3 Forskningsmetode ... 35

3.3.1 Observasjon ... 37

3.3.2 Intervju ... 38

4 Resultater ... 44

4.1 Ulike framgangsmåter er sunt og elevene bør velge den som passer dem best ... 44

4.2 Relasjonsbygging og tillitsbygging virker å være lærerens viktigste egenskap ... 45

4.3 Elevene jobber mye med oppgaver i matematikktimene ... 46

4.4 Skolekultur og forståelse før ferdigheter er avgjørende ... 47

4.4.1 Det må være rom for gale svar ... 47

4.4.2 Det må ligge en kultur i skolen for å fremme selvstendige matematikkelever .. 48

4.4.3 Forståelse må komme før innlæring av regler ... 49

4.5 Refleksjon er å anvende samt å forstå matematikken ... 50

4.5.1 Refleksjon virker avgjørende for matematikk i yrkessammenheng ... 51

4.5.2 Diskusjonen kreves for refleksjon ... 51

4.5.3 Det er de flinkeste som får muligheten til å reflektere ... 52

4.5.4 Eksperimenterende og utforskende undervisning er bra, men det er lite av det 52 4.6 Resultatene kort fortalt ... 53

5 Drøfting ... 54

5.1 Ulike framgangsmåter er sunt og elevene bør velge den som passer dem best ... 54

5.2 Relasjonsbygging og tillitsbygging virker å være lærerens viktigste egenskap ... 55

5.3 Elevene jobber mye med oppgaver i matematikktimene ... 56

5.3.1 Vi gjør oppgaver for slik har det jo vært ... 57

5.4 Skolekultur og forståelser før ferdigheter er avgjørende ... 58

5.4.1 Forståelse må komme før innlæring av regler ... 60

5.4.2 Forståelsen må introduseres før ferdighetene drilles på ... 61

5.4.3 Problemløsning og undersøkende matematikk krever tid ... 61

5.5 Refleksjon er å anvende samt å forstå matematikken ... 62

5.5.1 Eleven må eie matematikken ... 64

5.6 Tredelingsprinsipp ... 65

6

6 Oppsummering ... 67

6.1 Undersøkelsens svar opp mot problemstillingen ... 67

6.2 Undersøkelsens validitet og reliabilitet ... 69

6.3 Metodiske betraktninger ... 70

6.4 Avslutning ... 70

Litteraturliste ... 71

Vedlegg ... 76

Vedlegg 1: Intervjuguide ... 76

Vedlegg 2: Tilbakemelding på melding om behandling av personopplysinger ... 79

Vedlegg 3: Prosjektvurdering ... 80

Vedlegg 4: Forespørsel til rektor for å kontakte lærer til intervju... 82

Vedlegg 5: Forespørsel til rektor for å kontakte lærer til observasjon ... 83

Vedlegg 6: Forespørsel til lærer om deltakelse i intervju ... 84

Vedlegg 7: Forespørsel til lærer om tillatelse til observasjon ... 85

Figur 1.1...31

7

1 Innledning

I den norske skolen er det lovfestet at alle elevene har rett til tilpasset opplæring

(Opplæringslova, 1998). Samtidig kommer det fram av Haug (2010, s. 235) som viser til egne undersøkelser at elevene i norsk skole i gjennomsnitt jobber alene med oppgaver 61 % av tiden de er på skolen. Nordahl (2012, s. 98) problematiserer dette med oppgaver som den største delen av undervisningen, og viser til land som Singapore (Gopinathan, referert i Nordahl, 2012, s. 98). Der jobber elevene i gjennomsnitt bare 18 % av tiden de er på skolen med individuelle oppgaver. Nordahl poengterer samtidig med dette at målet med tilpasset opplæring er å gi best mulig undervisning til flest mulig i den ordinære undervisningen. At den norske skolen er så oppgaverettet som den er, bruker han til å vise at skolen er havnet på en smal tilnærming til tilpasset opplæring, og han poengterer at det egentlig ikke var dette som var intensjonen ved innføring av Kunnskapsløftet.

Utdanningsdirektoratet (2012) viser ved Stortingsmelding nr. 20 at spesialundervisning økte fra ca 6 % av elevene ved innføring av kunnskapsløftet til 8,6 % av elevene i 2011 da dette tallet stabiliserte seg. Dette er mot intensjonen som var tenkt ved innføring av

kunnskapsløftet. Stortingsmelding nr. 30 (Utdanningsdirektoratet, 2004) viser til et mål med et lavere antall elever med spesialundervisning. God ordinær undervisning med fokus på tilpasset opplæring skulle sørge for dette. Når tallene fra utdanningsdirektoratet viser en motsatt utvikling virker tilpasset opplæring som et spennende og ikke minst viktig felt å forske på. Hvordan matematikkundervisningen legges opp slik at elevene får best mulig forståelse for matematikkfaget blir da aktuelt. Dagens situasjon viser i følge Nordahl til en mekanisk rettet matematikkundervisning. Her synes det å ligge lite refleksjon til grunn. På bakgrunn av dette er egenrefleksjon temaet for masteroppgaven, og mer presist hvordan læreren kan tilpasse opplæringen til egenrefleksjon hos elevene.

1.1 Bakgrunn for valg av tema

Bakgrunn for valg av tema startet ved observasjoner gjort både i egen undervisning og

undervisning observert gjennom lærerutdanningen. I forkant av arbeidet med masteroppgaven har jeg flere ganger reflektert over de mange problemstillingene læreren møter på skolen og spesielt i matematikkfaget. Det jeg har tenkt mest over her er elevenes tilsynelatende manglende evne til å være selvstendige i faget. Mange virker langt på vei

helt avhengige av faste regler og ikke minst lærerens tilstedeværelse for å repetere og forklare regneregler og regneoperasjoner. Det virker som om at det elevene får til på skolen med

8

læreren til stede, får de ikke til uten hjelp av læreren. En del elever synes også å ha behov for lærerens oppmerksomhet til hver matematiske utfordring eller oppgave de kommer over.

Matematikkfaget ser ut til å utpeke seg som et fag med lite refleksjon. Kanskje dette er naturlig ettersom en del matematikkundervisning og matematikklærerverk i stor grad legger opp til oppgaveløsning med fasitsvar. Samtidig har jeg observert flere lærere som fokuserer på elevenes tankegang og elevenes tanker som det viktigste. Spesielt i fag som RLE oppleves refleksjon og synliggjøring av elevenes tankegang som mer vanlig. Kanskje kan noe av dette overføres til matematikkfaget. Dette er altså bare en observasjon, som aktualisert med det teoretiske grunnlaget gjennom Nordahl (2012) og stortingsmeldingene danner utgangspunktet for valg av tema til masteroppgaven. Temaet blir refleksjon i matematikk. Oppgaven er også slik at den tar for seg ungdomstrinnet. Dette da det er ungdomstrinnet jeg selv har hatt mest erfaring med, og at det er der observasjonene i forkant av masteroppgaven er gjort.

1.2 Problemstilling og avgrensinger

Med bakgrunn i aktualiseringen av valg av tema blir masteroppgavens problemstilling det følgende: Hvordan kan matematikklærere på ungdomstrinnet tilpasse opplæringen til å utvikle elevens egenrefleksjon i matematikkfaget? Her ligger det flere begreper som krever konkretisering. I prosessen med denne operasjonaliseringen er det utarbeidet fire

forskningsspørsmål ut fra problemstillingen. Disse er:

- Hvordan kan matematikklærere fokusere på elevenes egenrefleksjon i den daglige matematikkundervisningen?

- I hvilken grad er egenrefleksjon i matematikkfaget med på å fremme elevenes forståelse i faget?

- Hvilke arbeidsmåter benytter lærerne seg av i undervisningen?

- I hvor stor grad er elevene selvstendige i matematikkfaget?

Forskningsspørsmålene er operasjonalisert slik at de tydelig tar opp sentrale områder knyttet til problemstillingen. Ved hjelp av disse har målet i intervjuene vært å finne så aktuell empiri som mulig i intervjusituasjonene. Det første forskningsspørsmålet tar sikte på å se hvordan læreren kan sette refleksjon på dagsorden i matematikkundervisningen. Her er det altså meningen å se hvordan lærerne praktisk tenker om gjennomføringsgraden av egenrefleksjon i undervisningen. Det andre forskningsspørsmålet ser mer på om fokus på elevenes

egenrefleksjon vil fremme deres forståelse for matematikkfaget. Dette virker naturlig da det er

9

sentralt å finne ut om det som forskes på i det hele tatt er en aktuell problemstilling. Det tredje forskningsspørsmålet er likt det første, men er mer konkret på hvordan matematikklærerne jobber med egenrefleksjon, og om de har tanker om hvordan det burde jobbes med dette. Det siste spørsmålet er i likhet med det andre forskningsmålet med på å aktualisere

problemstillingen. Egenrefleksjon skal fremme elevenes evne til å være selvstendige i

matematikkfaget. Resultatene her vil kunne gi en forståelse av lærernes inntrykk av elevene.

Problemstillingen tar videre for seg hvem undersøkelsen tar sikte på å undersøke. Det er alle som underviser i matematikk på ungdomstrinnet. Når det står skrevet opplæringen, og ikke undervisningen, er dette bevisst. Tanken her er at begrepet opplæringen er mer overordnet, mens undervisningen er det som skjer på skolen. Masteroppgaven har tatt sikte på å se

hvordan læreren gjennom møtet med elevene på skolen kan gi dem verktøy og kompetanse til selv å tenke og reflektere i matematikken. Bakgrunnen for bruk av ordet "egenrefleksjon" er det observerte inntrykket av elevene der det virker som de er lite selvstendig hva angår å anvende deres forståelse i matematikkfaget. Utdanningsdirektoratet (2014) bruker begrepet i forbindelse med elevenes evne til å selv tenke, og å vurdere seg selv. Masteroppgaven bygger videre på dette begrepsinnholdet, og bruker egenrefleksjon om alle anledninger der elevene selv bruker det de kan til å løse en oppgave, en problemstilling eller en annen situasjon uten faste rammer i matematikkfaget. Årsaken til at egenrefleksjon og ikke bare refleksjon brukes, er for å presisere at det handler om hva eleven selv kan. Gjerne sammen med andre, men de andre skal ikke gi eleven tankene. Dette gjelder både når eleven jobber individuelt, i

samarbeidssituasjoner og ved felles diskusjoner.

1.3 Forståelse og min posisjon

Masteroppgaven skrives som et sjette år i lærerutdanningen. Gjennom oppgaven ligger det et ønske om økt innsikt og gode ideer til jobben som matematikklærer. Som forsker går jeg inn i undersøkelsen med erfaringer fra arbeid som vikar de siste fire årene, og erfaringer fra praksis i lærerskolen. Jeg er nå i jobb i skolen. Til tross for at jeg er fersk som lærer er det viktig å reflektere over hvordan forkunnskap kan påvirke resultater til forskeren. Ingen kan være helt nøytral. All erfaring vil forme meninger i en eller annen retning. Refleksjon over at det er en fortolkningsbasert virkelighet det forskes på blir viktig, samtidig med en refleksjon over hvor viktig det nøytrale forskerblikket blir. Til den fortolkningsbaserte virkeligheten ligger det ulike menneskers fortolkninger av virkelighet (Jacobsen, 2005, s. 27). Informantene i

undersøkelsen er hentet ut fra et strategisk utvalg (Thagaard, 2013, s. 60). Alle informantene

10

er matematikklærere på ungdomstrinnet. Deres arbeidserfaring som grunnskolelærer varierer fra å ha kort arbeidserfaring (lærer 3 og 4) til å ha lengre arbeidserfaring (lærer 1 og 2).

Dermed har informantene både et ferskt og et mer erfarent blikk på matematikkfaget. Alle informantene har minimum 30 studiepoeng innenfor utdanning i matematikk.

1.4 Formålet med oppgaven

Formålet med masteroppgaven er å tilføre aktuell forskning som kan berike og gi nyttige refleksjoner for læreren i matematikkundervisningen. Målgruppen er spesielt

matematikklærere på ungdomstrinnet, men oppgaven kan også være nyttig lesing for ansatte i barnetrinnet, og i videregående skole. Videre er masteroppgaven skrevet for

matematikklæreren, men kan også være aktuell for alle ansatte i skolen. Målet med oppgaven har vært å se hvordan matematikklæreren kan hjelpe elevene å bli selvstendige

matematikkelever som tenker og reflekterer i matematikken. Dette er gjort gjennom å forske på hvordan elevenes egenrefleksjon kan utvikles i matematikkfaget.

1.5 Oppbygging av oppgaven

Masteroppgaven er bygd opp gjennom seks kapitler fra denne innledningen som gir en plattform til resten av oppgaven. Her blir tema, min posisjon i forhold til oppgaven,

problemstilling og formål med masteroppgaven tatt opp. I kapittel to blir det presentert aktuell teori som omhandlender blant annet hvordan matematikkundervisningen er gjennomført, hvordan forskjellige undervisningsformer påvirker elever og hvilken plass egenrefleksjon kan ha i matematikkundervisningen. Kapittel tre tar for seg masteroppgavens design i tillegg til metodiske refleksjoner. Kvalitative forskningsmetoder blir her beskrevet med observasjon og intervju som hovedfokus. I kapittel fire presenteres undersøkelsens resultater opp mot

problemstillingen og forskningsspørsmålene til oppgaven. I kapittel fem drøftes funnene i resultatkapitlet opp mot den aktuelle teorien. Avslutningsvis samles og oppsummeres viktige resultater opp mot det som var intensjonen ved oppgaven.

11

2 Teoretisk orientering

I dette kapitlet presenteres aktuell teori for å belyse problemstillingen. Videre danner dette grunnlaget for analyse av resultater, og deretter en drøfting av analysen.

2.1 Oppgavegjøring og tilpasset opplæring i matematikk

Den norske skolen og matematikkundervisningen handler mye om oppgavegjøring. Haug (2010, s. 235) viser til egne undersøkelser der det kommer fram at elever i norsk skole i gjennomsnitt jobber alene med oppgaver 61 % av tiden de er på skolen. Nordahl (2012, s. 98) problematiserer også oppgaver som den største delen av undervisningen. Han viser til

Gopinathan (referert i Nordahl, 2012, s. 98), og drar her Singapore fram som et

sammenlignbart land, der hvor elevene i gjennomsnitt jobber med individuelle oppgaver bare i 18 % av tiden de er på skolen. Målet med tilpasset opplæring er å gi best mulig undervisning til flest mulig i den ordinære undervisningen. Det at skolen er så oppgaverettet som den er bruker Nordahl til å vise at skolen er havnet på en smal tilnærming til tilpasset opplæring, og poengterer at det egentlig ikke var dette som var intensjonen ved innføring av

Kunnskapsløftet.

Utdanningsdirektoratet (2012) viser med Stortingsmelding nr. 20 at spesialundervisning økte ved innføring av kunnskapsløftet, fra ca 6 % av elevene til 8,6 % av elevene da dette tallet stabiliserte seg i 2011. Dette strider mot intensjonen som var tenkt ved innføring av

kunnskapsløftet. Stortingsmelding nr. 30 (Utdanningsdirektoratet, 2004) viser til at det er et mål med et lavere antall elever med spesialundervisning. Buli-Holmberg, Nilsen og Skogen (2008, s. 44) skriver om dette, og poengterer at det er læreren som skal sikre dette. God ordinær undervisning med fokus på tilpasset opplæring og variasjon skulle sørge for dette.

Om tilpasset opplæring skriver Lunde (2001, s. 68) om problemet ved å legge opp

undervisningen til gjennomsnittet i klassen. Han poengterer at dersom læreren skal nå alle må hver enkelt elev i hver time ha et unikt opplegg, men at dette ikke er gjennomførbart.

2.2 Spørrende og undersøkende undervisning

I et prosjekt over tre år fra 2004 til 2007 har åtte ulike skoler samarbeidet sammen med Universitetet i Agder for å utvikle læring og undervisning i matematikkfaget. Prosjektet het

”Læringsfellesskap i matematikk" (LCM). I masteroppgaven blir prosjektet belyst gjennom teoretikerne Borgersen, & Bjulan, Breiteig, Hundeland, Jaworski, Fuglestad, Jørgensen, Steinsland, & Solheim og Kislenko (2007). Prosjektet ble utviklet som en reaksjon på

12

forskning som viser at elever i mange vestlige land ikke presterer ønskelig i matematikkfaget, og har som filosofi å skape spørrende og undersøkende felleskap i matematikk. Dette kaller de inquiry communities, og legger det spørrende og undersøkende til begrepet inquiry. Her følger noen av resultatene og oppdagelsene fra dette prosjektet (Jaworski & Fuglestad, 2007, s. 5-6).

Hundeland (2007, s. 205) skriver i LCM-prosjektet om lærernes oppfatning av

matematikkundervisningen. Til grunn for undervisningen ligger læreplanen. Hundeland viser til at hvorvidt læreplanen blir suksessfullt implementert er svært avhengig av lærerens

entusiasme rundt planen. Han aktualiserer forskningen med å vise til Brown og Mcintyres fokus på hvorfor vi trenger å vite mer om lærernes oppfatning av undervisning. Her kommer tre områder fram: For det første ser de på at studenter i lærerutdanningen må få

førstehåndskunnskap til lærernes håndverk da dette ikke kommer tilstrekkelig fram i litteratur.

For det andre viser de til hvilken rolle lærerne har i utforming av nye læreplaner. Til slutt ser de på hvordan lærerne selv vurderer deres egen virksomhet. Oppsummert er lærerens

oppfatninger og egne refleksjoner av matematikkundervisningen viktig.

Knyttet til matematikklæreres tenkemåter refererer Mellon-Olsen (1991, s. 76) til Focaults begrep diskurs. Til dette legges det hvordan eksempelvis læreren snakker innenfor et saksområde. Ulike saksområder vil ha ulike diskurser. Diskursene er igjen bestemt av en rekke forhold innenfor saksområde, og til sammen utgjør altså diskursen hvordan det blir snakket innenfor saksområde. Det vil da være en egen diskurs blant matematikklærerne.

Hundeland (2007 s. 207) skriver også om begrepet og referer til Mellin-Olsen. Han skriver om begrepet som hvordan noen, og i dette tilfellet læreren, ordlegger seg som han eller hun gjør i et fagområde, og dermed hvorfor undervisningen er som den er. Som matematikklærer ordlegger de seg ut fra hvordan de tenker i situasjonen. Diskursen vil også ligge på

forskjellige nivåer ut fra hvor matematikken foregår, og det er slik at institusjoners historie vil påvirke diskursen også her.

Mellin-Olsen (1991, s. 157) beskrev for over 20 år siden matematikkundervisningen som svært oppgaverettet. Hele undervisningsformen er formet gjennom bruk av læreboka, en mengde fagstoff som skal gjennomgås og en viss tid å gjøre det på. Undervisningen blir derfor styrt gjennom at elevene gjør oppgaver. Mellin-Olsen beskriver dette som en oppgavediskurs. Oppgaver har en stor rolle i norsk matematikkundervisning. Begrepet oppgavediskurs knytter oppgaveregimet i skolen mer institusjonelt og historisk begrunnet

13

framfor lærerens profesjonelle individuelle valg av undervisningsform. Her fremkommer forutsigbarheten ved oppgavegjøring. Det har et fast mønster med den ene oppgaven etter den andre, og oppgavene har en fast begynnelse og slutt. Det er også få oppgaver der

problemløsning kommer inn i bildet. Samtidig viser Hundeland (2007, s. 213) til det naturlige ved valget av oppgaver i matematikken. Eksamensform er nevnt her sammen med trygghet fra læreboka og mer stabilt og forutsigbar bruk av tid. I tillegg nevnes det mer institusjonelle faktorer til valg av oppgaveundervisning, for eksempel oppfatning av fast pensum, og at oppgaver rett og slett er det sentrale i matematikkundervisningen.

Niss (2006, s. 60) skriver også hvordan det er naturlig med et oppgavefokus i matematikken.

Det er oppgaver som utgjør essensen i matematikkens natur. Niss presiserer også at det i forhold til oppgavegjøring ikke er gjort noen videre utredning av begrepet oppgave. Oppgave kan bety alt fra mengdeoppgaver, til løsning av matematiske problemer. Med bakgrunn i at fokuset i undervisningen er på en oppgavediskurs viser Hundeland (2007, s. 209) til

Kunnskapsløftet, som siden innføringen har gitt lærerne ytterligere rom til å prege

undervisningen. Her er det ikke noe pensum eller faste arbeidsmetoder som skal brukes. Det er derimot kunnskapsmål som det skal jobbes mot. Hundeland har undersøkt, riktignok i videregående skole, lærernes diskurs og sammenlignet denne med oppgavediskursen Mellin- Olsen (1991) viser til. Hovedlinjen her er at det er sammenfallende at lærernes inntrykk er at en viss mengde stoff skal gjennomgås, og det er en viss mengde tid til dette. Lærerne stiller seg for øvrig ikke negativ til mer problemløsning i skolen, men føler at de da trenger med tid.

2.3 Holdninger til matematikkfaget

Lunde (2001, s. 63) skriver om holdninger i matematikkfaget, og hvordan holdninger kan gi angst for faget. Han kobler dette til forståelsen for matematikk. Mange elever har ikke forståelse og dette skaper usikkerhet og angst for matematikken. Med forståelse kan

holdningene til faget bli mer positiv. Han viser til matematikkfaget som preget av en egenart med riktige og gale svar. Dette til forskjell fra andre fag der han mener det er med rom for å analysere å vurdere elevsvar. Denne påminnelsen til elevene med at svaret er galt kan føre til mangel på mestringsfølelse.

LCM-prosjektet tar også for seg elevenes holdning til matematikkfaget. Kislenko (2007, s. 215) fremmer at elevenes læring er avhengig av deres syn på faget. Passive elever får en negativ læringseffekt, mens et positivt syn vil være et bedre utgangspunkt. Hun viser til

14

undersøkelser av Nardi og Steward der det kommer fram at elevene i liten grad føler at det forventes noen reell tenking. Det er mer fokus på at de skal bli ferdige (Kislenko, 2007, s. 225). Samtidig svarer også elevene at matematikk er et viktig fag som krever hardt arbeid.

Dette er i tråd med begrepet livsmatematikk (Lund, 2001, s. 29, Magne, 1994, s. 11). I dette begrepet ligger det at matematikkforståelse og forståelse for de hverdagslige problemene blir et sosialt redskap. Det er viktig for å oppnå sosial selvstendighet og matematikk er dermed et viktig fag. I LCM-prosjektet vises det også til en sammenheng mellom elevenes selvtillitt i faget og interesse. Altså kan interesse i matematikkfaget endre seg. Nardi og Steward (2003, s. 352) poengterer at det ikke er det ene eller det andre som vil gjøre

matematikkundervisningen mer spennende og mer interessant, men variasjon og utfordringer.

2.4 Forståelse i matematikken

Carpenter og Lehrer (1999, s. 24 – 26) skriver at samfunnet er klar for en ny type

matematikkundervisning. De viser da til at dette krever noe nytt av læreren i forhold til type undervisning. Det er spesielt tre momenter som gir utslag her. Det er hvilke oppgaver og aktiviteter elevene skal gjøre, hvordan verktøy i matematikken brukes, og normer i

klasserommet. Til hvilke oppgaver elevene skal løse presiseres det her at oppgaver i seg selv kan gripes fatt på forskjellige måter. Oppgaver er en typisk form for aktivitet i

matematikkundervisningen. Om de skal brukes til å fremme forståelse er det avgjørende at fokuset ligger på forståelsen og ikke det å bli ferdig. Til verktøy i matematikken ligger alt fra penn og papir til de symbolene som representerer matematikken. Her er det viktig at elevene trigges til å lete etter forståelse om hva det de møter i matematikken egentlig betyr. Normene i klasserommet gir rammene for hvordan oppgaver, aktiviteter og verktøy blir sett på. Om normene er slik at elevene forventer at medelevene og læreren hele tiden jobber for forståelse, og ikke for å bli ferdig, vil matematikk med fokus på forståelse ligge naturlig til grunn for undervisningen. Om normen derimot er mer rettet mot et oppgaveregime gjelder hvordan læreren kan oppfordre elevene til refleksjon kommer også dette med normer i klasserommet inn. Det må være som en norm for eleven å kunne forklare hvordan han eller hun tenker.

Læreren bør oppfordre elevene til å forklare og tenke. Samtidig kan det virke vanskelig å tvinge elevene til refleksjon. Slike normer kommer altså ikke av seg selv, men dersom elevene forventer å måtte forklare framgangsmåten og tankegangen deres er det større sannsynlighet for at de reflekterer underveis i oppgaven (Carpenter og Lehrer, 1999, s. 28).

15

Carpenter og Lehrer (1999) er altså opptatt av forståelse. For å oppnå forståelsen må

matematikken elevene møter på skolen samsvare med det de kjenner til av matematikk fra før av. I tillegg til dette er refleksjon avgjørende for læring med forståelse. Når elevene

reflekterer over hva de gjør vil de kunne gå fra å være avhengige av konkreter til å kunne tenke abstrakt i matematikken. Elevene vil også kunne reflektere over hvordan de selv kan løse matematikken, og hvilken framgangsmåte som egner seg best. Dette er helt forskjellig fra å være totalt avhengige av læreren. Carpenter og Lehrer skiller refleksjon i to typer, begge viktige for å få forståelse i matematikk. Den første typen er refleksjon over hva

matematikkeleven selv gjør og hvorfor han eller hun gjør slik underveis i en matematisk problemstilling. Den andre typen er refleksjon i etterkant av oppgaver. Her går refleksjonen på selve oppgaven. Refleksjoner over forskjellige løsningsstrategier er da aktuelt. En norm i klasserommet for å ta opp forskjellige løsningsstrategier er spesielt viktig. Læreren bør undervise om forskjellige framgangsmåter og oppfordre elevene til å diskutere dette. Elevene kan da se sammenhenger i matematikken. Når det kommer til kommunikasjon i klasserommet er det viktig at dette er en arena der alle elever har en felles plattform for å delta. Læreren kan blant annet bruke konkreter og andre verktøy for å oppnå dette. Det er viktig at elevene får muligheten til å uttrykke det de kan til resten av klassen, og dette må læreren jobbe for (Carpenter og Lehrer, 1999, s. 29).

Carpenter og Lehrer (1999) viser videre til refleksjon som en kritisk viktig prosess for å gi elevene en individuell følelse av å eie matematikken selv. Prosessen med refleksjon i all matematikk vil føre til større autonomi i faget. Slik sett vil elevene oppnå større forståelse enn når de utfører det de kan se på som andres matematikk. Lærerens egen tilnærming til

matematikken bør også rettes mot forståelse i faget. Carpenter og Lehrer (1999, s. 30) viser til to viktige elementer som læreren bør besitte når elevene skal lære med forståelse i

matematikk. Læreren må kunne matematikk, og også forstå elevenes tenking. Uten dette vil undervisningen preges at et slavisk program etter boka. Det er viktig at også læreren

reflekterer. Læreren må reflektere over egen praksis slik at han eller hun hele tiden kan utvikle seg som lærer, og dermed hele tiden gi elevene best mulig undervisning.

Jensen og Niss (2002 s. 79) fokuserer også på læreren i undervisningen og skriver om evalueringskompetanse. Dette handler om hvorvidt læreren kan oppdage læringsutbyttet til enkeltelever eller en elevgruppe i matematikkfaget, og videre veilede elevene i

undervisningen ut fra hvor de står nå. Til dette kreves det en løpende evaluering av

16

undervisningen. Bjørkås og Bulien (2010, s.26) har også fokus på læreren, og er inne på matematikksamtalen. Riktignok er deres empiri hentet fra 3.-5.-trinn, men de fokuserer på læringen som skjer når det er en samtale mellom lærer og elev, og om læreren kan avdekke læring når to elever snakker sammen. De legger til grunn teori som går på lærerens kunnskap om når læring faktisk skjer, og bruker her Jensens og Niss teori om evalueringskompetanse.

Tilpasset opplæring i matematikk kommer inn her. Læreren må se hvordan undervisningen skal tilpasses slik at elevene lærer. Bjørkås og Buliens funn går kort beskrevet ut på at undervisningen går sin gang. Det er lite rom for å stoppe opp og oppklare misforståelser. De knytter slike misforståelser opp mot at begrepsforståelse er viktig i matematikk. Hvorfor læreren går videre ved mulige misforståelser vet de ikke, men peker på at det kan skyldes at eleven ikke gir beskjed og at læreren ikke tolker situasjonen dit at eleven har misforstått.

2.5 Ferdighet eller forståelse først

Lunde (2001, s. 59) skriver om forholdet mellom matematikkforståelse og ferdigheter i

matematikk. Han spør seg hva som kommer først av disse. Burde eleven lære seg ferdighetene som kreves for å løse matematikkstykker og slik sett få forståelse, eller burde ferdighetene komme først når forståelse er oppnådd. Til det første viser Lunde til at mange elever kan reprodusere faktasvar, men ha misforståelser og slik sett ingen forståelse for matematikken.

Han poengterer at dette kan gi matematikkvansker i seg selv og at tenking i faget og forståelse må komme først.

Videre kan erfaringer koblet opp mot tenking og refleksjon skape ferdigheter i matematikk.

Lund (2001, s. 139-140) viser til at mange metodikere i dag mener at læring ikke kan komme uten forståelse. Samtidig viser han til at elever i skolen i lang tid har lært på andre måter, blant annet ved mekanisk innlæring og pugg. Opplegg av typen nysgjerrigper der elevene skal oppdage matematikk kan være bra, men er tidskrevende. Oppleggene kan gi rom for

refleksjon og tenking. Han viser også til at det er læreren som må stake veien her, og han eller hun må finne balansen mellom emnene og arbeidsformene. Lunde (2001, s. 24-26) støtter seg til synet på at matematikk er et tradisjonelt fag der drill og øving av ferdigheter er sentralt, men det bør altså være slik at forståelse og tenking kommer før ferdigheter. Dette for å unngå misforståelser. Tenkingen og læringen er ikke prosesser som foregår hver for seg, men prosesser som utfyller hverandre. Det virker mer aktuelt at eleven skal konstruere sin egen forståelse av et problem enn å få svarene for så å pugge dem. En slik tenking om

matematikkfaget er innenfor konstruktivismen. Her er lærerens rolle som en passende veileder

17

det viktige. Også Carpenter og Lehrer (1999, s. 27) er inne på spørsmålet om hva som bør komme først av forståelse og ferdigheter i matematikk. De avviser tanken om at ferdighetene må komme før forståelsen kan utfordres. Dette er prosesser som virker sammen. Arbeid med ferdigheter før forståelse vil skade forståelsen.

Moghaddam, Nilsson og Stankiewicz (2000) er opptatt av elevenes tanker og syn på

matematikkfaget, og i likhet med Carpenter og Lehrer er de opptatt av eierforholdet elevene har til matematikken. Elevene tror på at det i matematikk skal følges regler mekanisk og slavisk. Elevene tenker ikke selv, men bruker matematikken som andre har bestemt og funnet ut av. De bruker andres matematikk og elevene kan dermed ikke eie det de holder på med.

Den tradisjonelle undervisningen er slik. Læreren viser elevene, og elevene gjør det læreren viser. I stedet bør læreren være opptatt av å la elevene reflektere over hvordan de selv jobber, da kan elevene gjøre matematikken til sin egen. Dette kaller de explorativ matematikk. I dette ligger det at elevene skal oppdage matematikken, og resonering med hverandre er da viktig.

Forskjelllige innspill fra elevene, både med tanke på svar og framgangsmåte må være til stede. Slik kan det varieres med elevenes vante mønster med å lete etter fasitsvar. Da kan elevene i en større grad oppdage matematiske problemstillinger, og utfordre den matematiske tankegangen deres. Videre kan de oppdage at problemene kan knyttes til kjent matematikk og slik sett generalisere problemene. Det i motsetning til å få en formel med beskjed om å finne svaret. Forskjellige svar i klassen vil kunne få fram refleksjon i klasserommet, mens ensidig bruk av læreboka vil derimot ikke få fram dette i samme grad. Læreboka er ofte bygd opp etter faste mønstre, og gir elevene et bilde av at matematikken ikke tilhører dem. I den exlorative matematikken bør heller fokuset være på elevenes valg i matematikken, og eleven kan da selv velge framgangsmåter. Læreren bør legge til rette for dette, og dens innsikt til hvordan elevene tenker er da viktig. Læreren må dermed bruke tid på å lære seg å kjenne elevene.

I forhold til tidsaspektet ved en slik mer undersøkende matematikk vil det i likhet med all ny undervisning kreve noe ekstra av læreren. Dette vil likevel han eller hun kunne få igjen med den spennende undervisningsformen. Moghaddam, Nilsson og Stankiewicz, (2000, s, 57) bygger opp under tankene med en friere matematikkundervisning med internasjonale

undersøkelser. Her inngår undersøkelsene fra Boaler (1997) fra England som viser til at elever med friere undervisning enn den tradisjonelle undervisningen, oppnår bedre resultater.

Elevene kan her tilpasse framgangsmåtene de kan fra før til nye situasjoner. Det kom også

18

fram at jentene trivdes bedre i matematikkundervisningen enn ved en mer tradisjonell undervisning. Slike friere arbeidsmetoder har også vært testet ut i USA. Her vises det til Silver (1997) med resultater i retning av at umotiverte elever får ny motivasjon.

Carpenter og Lehrer (1999, s. 19) er også inne på fokuset med læring for forståelse i matematikkfaget. De presiserer da allerede i 1999 at dette ikke er et nytt fokus. Nytt da var måten å komme dit. Tidligere hadde læringsmiljøet i matematikk tatt utgangspunkt i læring med et fokus slik som matematikere forsto matematikken, mens det nå var fokus på forskning som fokuserer på hvordan elevene lærer, og hvordan elevene kan skape forståelse for faget selv. Nå må klasserommene omorganiseres for å gi plass til denne nye måten å se på forståelse i matematikk. Et hovedargument for å lære forståelsen av matematikken før ferdigheten, er at læring med forståelse vil gi elevene muligheten til å bruke denne

kunnskapen i andre problemstillinger. Om det er slik at eleven ikke skjønner hva han gjør, vil han kun ha muligheten til å følge et fast mønster, altså bruke ferdigheten. Når mønsteret endrer seg litt vil eleven igjen stå fast å trenge hjelp.

For å kunne bruke matematikken utenfor skolen er elevene altså helt avhengig av forståelse for å kunne tolke å løse ulike problemstillinger knyttet til matematikk i hverdagslivet sitt.

Carpenter og Lehrer (1999, s. 20) mener at forståelsen av matematikk kommer gjennom fem typer mentale aktiviteter: å knytte det til noe kjent, utvide og bruke matematisk kunnskap, reflektere over egne erfaringer, sette ord på det han eller hun vet, og å gjøre matematisk kunnskap til sin egen. Til det første her ligger det et viktig fundament til forståelse av matematikken. Dersom matematikken elevene lærer på skolen ikke kan knyttes til noe kjent vil elevene kunne sitte igjen med to typer matematikk. Den ene er den de kjenner til i

hverdagen sin, og den andre er den de har lært på skolen. Matematikk med fokus på forståelse ønsker å knytte disse to typene sammen og vise elevene at de er det samme. Den andre typen som går på å utvide og å bruke den matematiske kunnskapen, er med tanke på at elevene skal lære nye momenter i matematikken best mulig. Når de kan relatere ny kunnskap til noe eksisterende vil det være enklere å huske dette. I refleksjon over egne erfaringer ligger det et viktig moment for læring for forståelse, fordi i refleksjonen ligger det at eleven hele tiden tenker over hvilke kunnskaper han eller hun har, og hvordan den nye problemstillingen slik sett kan løses. Elevene må øve på refleksjonen, dette er en gradvis prosess. Å sette ord på det de vet ligger det til grunn at de faktisk reflekterer. Det å sette ord på matematikken er i seg selv refleksjon. Til det siste momentet ligger det ikke til grunn at læreren ikke kan undervise

19

om noe spesifikt. Det betyr bare at eleven må utforske det den lærer og tilpasse det til seg selv. Forholdet i klasserommet er essensielt i veien til dette. I klasserommet må da eleven se forståelsen for det de lærer som viktig, og ønske å gjøre det til deres egen kunnskap. Veien hit går gjennom refleksjon av det de møter i matematikkundervisningen. Carpenter og Lehrer poengterer at disse fem mentale aktivitetene ikke vil gi en slavisk oppskrift til suksess da alle elevene er forskjellig. Poenget med de fem mentale prosessene er at elevene på en eller annen måte lærer gjennom disse. For eksempel kan refleksjon skje på mange måter, men elevene kan ikke utvikle en forståelse uten refleksjon.

2.6 Mønster i matematikken

Johnsen-Høines og Alrø (2012, s. 21) er opptatt av begrepet inquery. De ønsker å presisere begrepet ved å undersøke om en spørrende undervisning forutsetter at læreren må stille

spørsmål, og refererer til Gadameres tanker om ekte spørsmål. Ekte spørsmål vil si at det noen spør etter er noe det er verdt å spørre om, og noe de virkelig vil vite. Dette står i motsetning til spørsmål der det egentlig ikke er noe det er verdt å spørre om. Matematikkundervisningen er preget av spørsmål og svar, og tanken med spørsmålene er at de er viktige for elevenes læring.

Kommunikasjonen i klasserommet preges av dette. Flere forskere har beskrevet slike mønster i undervisningen. Sinclair og Coulthard (1975, s. 50) beskriver et mønster i

matematikkundervisningen som kjennetegnes med initiativ, respons og feedback (IRF). Her er det læreren som har kontroll og alltid det siste ordet (Sinclair og Coulthard, 1975, s. 130-133).

Mønsteret ble beskrevet som tydelig og hyppig i undervisningen. Mer dagsaktuelt refererer Johnsen-Høines og Alrø (2012, s. 22) til mønsteret. De mener det kan virke autoritært, men samtidig føler mange lærere at dette kan være trygt og forutsigbart. For å bryte mønsteret må læreren stille spørsmål som ingen vet svaret på, og slikt sett være spørrende og samtidig undersøkende. Slike spørsmål kan være noe elevene virkelig vil finne ut av. Dette er ekte spørsmål.

Gadamer viser til det hermenautiske ved spørsmål (referert i Johnsen-Høines og Alrø, 2012, s. 23). Til dette ligger det at det ved et spørsmål er viktig å fortsette og spørre for å kunne reflektere. Et spørsmål bør altså ikke være lukket, men åpent for nye svar. Samtidig presiserer forfatterne at alle spørsmål ikke må være spørrende. I IRF-mønstret innegår det slike

situasjoner. Mønsteret vil kunne kreve korte enkle svar. Dette vil være nødvendig i

undervisningssituasjonen, men det må ikke bli for ensrettet. Elevene vil da gi minimalt med respons. Om læreren kan ta det ikke spørrende og på mange måter autoritære bort fra IRF-

20

mønsteret og erstatte det med noe spørrende, vil det føre til elever med en undrende holdning og kritiske evner. Skal elevenes interesse vekkes vil det være fordelsaktig om læreren kan vekke elevenes indre drivkraft. Spørrende undersøkelser vil føre til dette (Lindfors, referert Høines og Alrø, 2012, s. 31). Slike aktiviteter er det som kalles inquiery. Lindfors skiller mellom to typer: den første går ut på å søke informasjon om noe eleven ikke vet, og den andre på nysgjerrige utsagn. Det første er faktasøkende, mens det andre er undrende. De er begge undersøkende og har begge kvaliteter i seg selv. Johansen-Høines og Alrø (2012) viser til at en balanse der de to typene inquery er til stede kan virke fordelsaktig. Spørrende spørsmål vil skille seg ut fra IRF-mønstret ved at evalueringen har lite der å gjøre.

Å være spørrende handler mer om å lære og bli klokere sammen (Johnsen-Høines og Alrø, 2012, s. 32). Dette skjer gjennom en spørrende væremåte. Her kan læreren riktignok stille spørsmål, men det er mer en invitasjon til utforsking. Knyttet til det spørrende miljøet skriver de også om lytting. Aktiv lytting innebærer at den ene parten har mer en lytterolle enn en responsrolle, og at det er den ene personen i samtalen som er i fokus. Som et alternativ til dette finnes Stewart og Logans (1999, s. 226) begrep dialogisk lytting. Der den aktive

lyttingen hører hjemme i IRF-mønsteret legger den dialogiske lyttingen mer vekt på balanse i dette forholdet, og slikt sett det som egentlig ligger til dialogbegrepet. Denne typen lytting kan ikke garanteres av læreren, men den kan oppmuntres til. Den dialogiske lyttingen vil fremme refleksjon og undring i klasserommet. Det er ingen fast oppskrift på å komme dit, men det kreves en åpen og nysgjerrig væremåte. Dette i tråd med det de legger i inquery, en spørrende og undrende stil på undervisningen. En annen type lytting er det som Davis (1996, s. 53) kaller hermenautisk lytting. Dette beskrives som en av tre måter matematikklæreren kan lytte på. De to andre er evaluerende og fortolkende lytting. Til den evaluerende lyttingen poengterer Davis at det handler om riktige og gale svar. Den fortolkende lyttingen går et steg lengre i elevenes forståelse. Her fortolker læreren det elevene tenker. I den hermenautiske lyttingen er fokuset spesielt på samspillet mellom partene i samtalen. Den hermenautiske lyttingen fremmer hva partene i samtalen tenker sammen. Samtalen er mer forhandlende og den som tradisjonelt sett er lytteren er med i forhandlingen. Slik skal den få fram tankene hos deltakerne.

Mehan (1979, s. 54) beskriver også et gjentakende mønster i matematikkundevisningen. Her går det i likhet med Sinclair og Coulthards (1975) IRF-mønster ut på at læreren setter noe i gang og elevene responderer og læreren evaluerer svaret (IRE). Forskjellen ligger i ordene

21

evaluere og feedback. Det virker dog ikke som det er noen stor forskjell her siden feedback ofte er evaluerende (2012, Hana, s. 41). Karlsen (2014, s. 29) er også opptatt av gjentakende mønster i matematikkundervisningen og problematiserer dette. Hun skriver at

matematikkundervisningen har hatt lange tradisjoner med spørsmål som krever enkle svar som enten er riktig eller galt. Hun poengterer at matematikklæreren bør åpne mer for dialog og mindre for faste mønster. Med faste mønster mener hun at elevene forventer at det er læreren som både er mest skriftlig og muntlig aktiv i undervisningen. Om fokuset heller er på dialog vil det i følge Karlsen fremme forståelse. Karlsen referer til Lampert (2014, s. 29) og skriver om hvordan læreren kan utvide IRE-mønsteret til å omhandle en matematisk samtale.

Her er tanken å ta bort det evaluerende med mønsteret å erstatte dette med dialog.

2.7 Samtale og dialog i klasserommet

Knyttet til LCM-prosjektet blir det sett på hvordan læreren kan undervise med formål om at elevene skal utforske i matematikken, og hvordan dialog kan hjelpe elevene å oppdage matematiske sammenhenger. Om å oppdage matematikk refereres det til et utsagn fra

Torkildsen (referert i Jørgensen, Steinsland & Solheim 2007, s. 75). Her kommer det fram at han i matematikkundervisningen unnlater å forklare. Forklaringen er erstattet med samtale.

Vedrørende samtalen kontra forklaringen viser han til tre viktige kjennetegn. Samtalen skal være læringsorientert, uforutsigbar og risikofylt. Læreren må her kunne bruke matematikken og pedagogikken på stående fot. Når oppdagelsen gjøres gjennom dialog presiseres det også at oppdagelsen er en subjektiv opplevelse (Jørgensen, Steinsland & Solheim 2007, s. 79).

Læreren kan ikke oppdage for eleven, og dialog framfor forklaring er fordelsaktig. Jørgensen Steinsland og Solheim skriver videre om holdninger i faget og ser dette i forhold til

oppdagelse. Oppdagelsen er knyttet til det emosjonelle og slik sett til holdninger i

matematikkfaget. Om eleven kan oppdage vil det kunne vekke positive emosjoner, og dermed positive holdninger til faget.

Lunde (2001, s. 98) har også spennende tanker om samtaler og dialog i matematikken. Han skriver om at det er ønskelig å få fram elevenes tanker om matematikken, da det er slik refleksjon og felles tankegang kommer fram. Han skriver også om hvordan det blir når elevene ikke kan sette ord på matematikken. Elevene kan sitte med taus kunnskap, og får dermed ikke alltid fram det de kan i undervisningen. Læreren har her en oppgave i å få fram den tause kunnskapen eleven sitter med. Å hjelpe eleven å rydde i hodet kan føre til en mer fruktbar undervisning.

22

Hana (2012, s. 38) viser til det sosiale med matematikkfaget. Når ulike synspunkter og meninger kommer fram gjennom erfaringer i en sosial kontekst er dette en

meningskoordinering. Dette er avgjørende for en felles oppfattelse i klasserommet. Det er her ulike begreper og prosesser kan forstås. I meningskoordinering ligger det å få fram de ulike synspunktene, og her er deltakelse viktig. Nærliggende til meningskoordinering skriver han at et koordineringspotensiale er hvor vidt alle kan delta. Elevene ligger på forskjellige nivåer i forskjellige fag. Et koordineringspotensiale viser til at alle kan delta i samtalen, om enn ikke på samme nivå. IRF-mønsteret blir også her skrevet om (Hana 2012, s. 41). I mønsteret er det særlig læreren som har et slikt koordineringspotensial og ikke eleven.

Cobb & Yackel (1996, s. 178) skriver om sosiomatematiske normer. Dette handler om hvordan matematikken blir tatt opp i klasserommet og hvordan deltakerne i klasserommet reagerer på hverandre. Karlsen (2014, s. 21) har også fokus på de sosiomatematiske normene.

Hun mener at læringsmiljøet i matematikkundervisningen bør bygge på respekt for hverandre.

Ikke bare på grunn av de sosiale faktorene, men også på grunn av forståelsen for matematikk.

Det er her viktig å skape de riktige sosiale og sosiomatematiske normene. Også Ragnes (2012, s. 54) skriver om Cobb og Yackels teori om sosiomatematiske normer. Her blir det presisert at de handler om det som er eksplisitt og implisitt uttalt om matematikkundervisningen. Etter hvert som elevene kommer høyere opp i trinnene på skolen vil de gjennom erfaring ha fått klarere og klarere for seg hva de sosiomatematiske normene er. Disse er sjeldent gjenstand for forhandling. Læreren med fokus på de sosiomatematiske normene kan forme de slik at

elevene blir vant med problemstillinger, undringer og deltakelse. Og om normene skal få gjennomslag bør de formes ut fra et samspillet mellom lærer og elev.

Focaults begrep diskurs (referert i Mellin-Olsen, 1991) blir også brukt av Rangnes (2012, s. 53) i forhold til begrepet sosiomatematiske normer. Hun skriver om på hvilken måte diskursbegrepet inneholder hvordan de kulturelle rammene påvirker innholdet i noe. At elevene er vant med oppgaver er som følge av en oppgavediskurs i skolen. Det som her er verdsatt i diskursen er å få oppgavene riktige. Fleksibiliteten blir lite verdsatt. Det viser seg at det er læreren som koordinerer de sosiomatematiske normene for sin klasse. Om læreren følger oppgavediskursen og en elev blir avvist for å være utenfor de sosiomatematiske normene, vil eleven miste læringsmuligheter. Kritisk bruk og rom for fleksible holdninger virker da å være viktige (Rangnes, 2012, s. 63).

23 2.8 Hverdagsmattematikk

Om refleksjoner i matematikk skriver Mosvold (2008) om ulike typer matematikkoppgaver og hverdagsmatematikk. Han tar utgangspunkt i undervisningen til tre lærere. Hvordan

hverdagsmatematikken påvirker elevenes refleksjon er her viktig. Han problematiserer hva hverdagsmatematikk egentlig er oghvordan matematikken i skolen bør være forankret.

Mosvold ser hverdagsmatematikken som den vi har bruk for i hverdagslivet, og som vi kan trekke ut fra livene våre. Videre problematiserer han at selv om det er brukt ord fra

hverdagslivet er det ikke nødvendigvis hverdagsmatematikk. Her kommer et lite sidespark til å følge læreboka slavisk. For boka kan bruke ord fra hverdagslivet, men bruke dem utenfor reelle hverdagssituasjoner. Samtidig krever det mye av læreren å til en hver tid konkretisere og å gå utenfor læreboka, selv om det er nettopp dette Kunnskapsløftet legger opp til. En av de tre lærerne i Mosvolds eksempler på undervisning ser også en side der det argumenteres for at matematikken faktisk ikke bør knyttes til hverdagen, men styres av logisk tenking. Han viser til en variasjon blant lærere på området. Lærerne er både kritiske og positive til bruken av hverdagsmatematikk. Viktig for Mosvold er det at kunnskap burde bindes til kontekst.

Skolematematikken bør kunne brukes i hverdagslivet. Kan elevene prosentregning på skolen bør de kunne det i butikken også.

Kverndokken (2013) problematiserer også hvordan det er læreboka som bestemmer matematikkfagets innhold og framdrift. Han viser til læreplanen som det som egentlig bestemmer, og at skolen og læreren sånn sett kan benytte seg av en bokløs

matematikkundervisning. Blant annet vil dette kunne føre til en matematikk mer tilpasset de utfordringene som passer elevene. Uteskole dras fram som et eksempel som kan gjøre elevenes hverdagsmatematikk nærmere den de lærer på skolen. Mosvold (2008) argumenter her med utdanningsdirektoratets fokus på mer elevaktivitet, og læreplanens tanker om variasjon.

2.9 Problemløsning og utforskende matematikk

Lunde (2001, s. 97) beskriver problemløsning som avhengig av tenking, og at det kreves strategier for tenking. Elevene bør øve på tankestrategier og slikt sett oppnå fordeler i

problemløsningsfasen av matematikken, og dermed forståelsen. For det er nettopp forståelsen som er poenget med problemløsning. Problemløsning er nærmere essensen i matematikken enn den tradisjonelle oppgavegjøringen. Lunde poengterer videre at det ikke er nok å lære

24

elevene å tenke og reflektere, men at elevene bør trene på strategier i problemløsningsarbeid.

Slik kan matematikken på skolen nærme seg den virkelige matematikken ute i hverdagslivet.

LCM-prosjektet tar også for seg arbeid med problemløsning. Borgersen og Bjuland (2007, s. 254) viser til faser eller fokuser der de tar spesielt hensyn til ved problemløsning: det skal gi mening, elevene skal bevise eller overbevise (de må gi en begrunnelse) og elevene skal ende opp slik at de skal kunne generalisere deres funn. Her kommer det fram at det vanskeligste ofte er å begrunne det de gjør, men at dette også kan være det mest givende å få til. Dette sammen med at generaliseringen fører til refleksjon over hva elevene gjør. At elevene får nok tid når de først skal holde på med problemløsning er viktig. De må ikke bare ha nok tid til å bli ferdig. Tid til refleksjon er viktig for å oppnå en bedre forståelse. Små grupper virker også fordelsaktig. Da kan alle få delta, og de kan jobbe sammen (Borgersen og Bjuland 2007, s. 261).

Lampert (1990) skriver om hvordan matematikken i skolen kan komme nærmere den virkelige matematikken. Svaret kan ligge i å gjøre matematikk. Problemløsning og matematisk argumentasjon kan her være en måte å undervise på. Breiteig (2007, s. 263) belyser også gjennom LCM-prosjektet dette med problemløsning. Han skriver at matematikk er mer enn svar, og viser til Lampert og hennes tanker om hva matematikk egentlig er. Hun mener elevene må gjøre matematikk og at den tradisjonelle matematikken med riktige og gale svar kan motvirke dette. Når elevene skal introduseres for den naturlige matematikken må de heller tenke og forklare. Problemløsning er en ny rolle for læreren. Her er læreres oppgave å finne problemer og legge til rette for tenking og diskusjon. Det viktigste med et godt problem er at det er tilgjengelig og kan engasjere alle elevene. Læreren burde i problemløsning få elevene til å sette navn på sine strategier. Selv om det å gjøre matematikk og slikt sett komme nærmere den faktiske matematikken er ønskelig, viser Breiteig til en del kritiske sider ved det.

Problemløsning og utforskende arbeidsmetoder krever tid og utfordrer helt klart læreren.

Karlsen (2014) er opptatt av undersøkende matematikkundervisning. Hun tar utgangspunkt i hvordan elevene kan tenke selv der det utforskende er viktig. Hun skriver blant annen om hvilke typer oppgaver som egner seg til utforskende matematikk, og mener at oppgavene må være egnet for å stille hypoteser. De må da være av en slik karakter at svarene ikke er for opplagte. Elevene må trene i å stille hypoteser. Dette både slik at elevene tillater andres svar og hypoteser, men også slik at hypotesene bygger på tidligere erfaringer. Slik går

25

matematikkeleven fra gjetning til mer kvalifisert gjetning. Etter hypotesene kan utforskingen begynne (Karlsen, 2014, s. 18). En annen måte for utforskende matematikk beskriver Karlsen som å gi elevene en oppgave som skal løses, for så å ha fokus på etterarbeidet. Svarene i seg selv er ikke så interessante. Her skal elevene sette seg sammen og presentere sin vei til svaret.

Dette får i gang tankeprosessen hos elevene og de må sette ord på det de har gjort. Her må læreren unngå at gale svar blir et nederlag, men heller fremme en kultur og et læringsmiljø for at tankegangen fram til et svar er noe klassen er interessert i. Det må også bli et klassemiljø for at elevene deltar i denne diskusjonen. Dersom dette miljøet ikke eksisterer, kan enkelte elever unngå å delta. Ólafsdòtir (2000, s. 153) er med på å utfylle Karlsen, og fremmer at det ved problemløsning er viktig med etterarbeid. Refleksjon og diskusjon er et av

hovedpoengene med denne arbeidstypen. Dette samtidig med at læreren må kjenne elevene sine når han eller hun lager undervisningsopplegg.

26

3 Design og metode

Dette kapitlet tar for seg hvilket forskningsdesign masteroppgaven har. Til forskningsdesignet ligger det hvilken type problemstilling oppgaven har, hvordan undersøkelsene til oppgaven skal gjennomføres, hvordan tilnærmingen til aktuell teori skal foregå og hvilken

tidsdimensjon oppgaven har og hvordan dette kan prege oppgaven. Altså alt som knytter seg til forskningen. Videre blir aktuelle vitenskapsteoretiske betraktninger beskrevet. Her er aktuelle spørsmål til forskningen tatt opp. Begrep som reliabilitet og validitet hører til dette.

Etiske betraktninger blir også tatt opp her. Til sist i kapittelet beskrives valg av forskningsmetode.

3.1 Forskningsdesign

I planleggingen av undersøkelsene var det aktuelt å starte med hvilket forskningsdesign masteroppgaven ville bygge på. Dette fordi forskningsdesignet omhandler alt som knytter seg til alt ved forskningen (Johannessen, Kristoffersen og Tufte, 2005, s. 73) Her er det aktuelt både hvordan undersøkelsen blir gjennomført, hvem som undersøkes og alle spørsmål en som forsker må stille seg ved en slik undersøkelse. Forskningsdesignet blir som en plan for den videre undersøkelsen (Thagaard, 2013, s. 54). Hvilket design undersøkelsen skal ha er en naturlig vitenskapsteoretisk refleksjon å starte med. Jacobsen (2005, s. 87) viser til to dimensjoner til ulike undersøkelsesopplegg. Den ene dimensjonen går på om forskeren skal gå i bredden eller i dybden, mens den andre dimensjonen går på om det skal beskrives eller forklares noe. Thagaard (2013 s. 197) viser også til valget mellom deduktive og induktive undersøkelsestilnærminger. Tidsdimensjonen i masteroppgaven er også noe reflektert over til gjennomføringen. Disse tre hensynene har til sammen påvirket hvilke metoder som er brukt i masteroppgaven. Undersøkelsene er gjennomført ved kvalitativ forskning. Dette blant annet fordi at når det kommer til undersøkelsesdesign viser det seg å være mere fleksibelt å benytte seg av en kvalitativ forskning. Her kan forskeren tilnærme seg et design framfor å være bastant om valget av et. Forskeren må da være åpen for endringer i opplegget. Det viktigste er å finne ut det undersøkelsen er ute etter (Thagaard, 2013, s. 55).

3.1.1 Forklare eller beskrive

Forskjellige problemstillinger fører til forskjellige design. Beskrivende problemstillinger fører til beskrivende eller deskriptive design, mens forklarende problemstillinger fører til

forklarende eller kausale design. Ved kausale forskningsdesign skal forskeren gjerne bevise noe, eller bevise sannsynligheten for noe. Her er det slik at det tas utgangspunkt i årsak og

27

virkning. Dersom årsaken er noe spesielt blir sannsynligvis virkningen også dette (Jacobsen, 2005, s. 108). Med bakgrunn i Thagaards (2013) argument om fleksibilitet er ikke

undersøkelsen rettet bastant på hverken et kausalt eller et deskriptivt design.

Problemstillingen viser hvordan matematikklærerne kan gjøre noe, samtidig som det i problemstillingen er forklarende å se på hvordan matematikklæringen kan tilpasse

opplæringen. Slik sett blir undersøkelsen mer tilnærmet en blanding av et deskriptivt design og et kausalt design.

3.1.2 Gå i dybden eller i bredden?

Den andre dimensjonen som går på om undersøkelsen går i bredden eller i dybden, kalles for intensive og ekstensive opplegg. Ekstensive undersøkelsesopplegg vil gå i bredden med et stort utvalg. Fordelen her er at svarene forskeren kan komme fram til vil være mer generelle enn om det kun forskes på noen få enheter i dybden. Det siste her heter et intensivt opplegg.

Her vil det i motsetning til ved et ekstensivt opplegg være mulig å få et mer helhetlig bilde (Jacobsen, 2005, s. 89). Masteroppgaven har ikke gått i bredden, men i dybden ved intervju, dermed har oppgaven blitt gjennomført ved et tilnærmet intensivt opplegg.

3.1.3 Deduktiv eller induktiv

Forskerens utgangspunkt for undersøkelsen i forhold til om han eller hun beveger seg fra teori til empiri, eller motsatt, vil avgjøre om undersøkelsen er deduktiv eller induktiv. En induktiv tilnærming er når forskeren tar utgangspunkt i teori før han utfører en undersøkelse, og kan herfra se etter nye sammenhenger og nye mønstre. Her går det fra teori til empiri. En deduktiv tilnærming innebærer det motsatte, fra empiri til teori. I en posisjon mellom disse

tilnærmingene ligger abduksjon. Her ligger det et gjensidig forhold mellom teori og empiri (Thagaard, 2013, s. 197). Undersøkelsen til masteroppgaven vil være tilnærmet abduksjon.

Dette da inngangen til observasjonene gikk ut fra lite teoretisk ballast, mens inngangen til intervjuene var preget av en større teoretisk ballast.

3.1.4 Tidsdimensjonen

Når det kommer til tidsdimensjonen til masteroppgaven setter tiden oppgaven har til rådighet visse begrensninger. Det mest naturlige har vært å gjennomføre masteroppgaven som en tilnærmet tverrsnittundersøkelse. Her går forskeren inn og utfører en undersøkelse over ett tidspunkt (Johannessen, Kristoffersen og Tufte, 2005, s. 74-75). Ulempen ved en slik undersøkelse er at det må vises forsiktighet med tanke på å trekke konklusjoner som

omhandler forvandling over tid. En undersøkelse over tid kalles en longitunell undersøkelse

28

og har fordelen at den med mer sikkerhet kan generalisere over tid. Ulempen er at det da kreves lang tid, og det egner seg slik sett dårlig til en studentundersøkelse slik som denne.

3.2 Vitenskapsteoretiske refleksjoner

Til masteroppgaven betraktes vitenskapsteorien som et verktøy med spørsmål til egen

forskning, altså en refleksjon. Fuglseth (2006 s. 257) omtaler vitenskapsteorien som: "eit steg til sides for å vurdere kva som går føre seg når vi sier at vi forskar". Ut fra dette reflekteres det her over hvordan forskere finner kunnskap, sannheter og ikke minst hvordan de ved forskning av mennesker hele tiden må ta hensyn til tolkning. Aktuelt til dette kan det ut fra vitenskapsteorien leses en motsetning mellom to modeller for vitenskap. På den ene siden finnes positivismen der det er naturen som studeres. Her tenkes det på idealene fra

naturvitenskapen der forskeren beviser og avviser naturgitte lover med fysikken som det fremste eksemplet (Ryen, 2002, s. 36). På den andre siden finnes det en slags antipositivisme der det er mennesket som studeres, slik som i denne oppgaven. Videre er det vanlig å skille mellom tre ulike vitenskapsområder. Det ene er naturvitenskapen der forskeren betrakter undersøkelser ut fra naturgitte lover, og de to andre det samfunnsvitenskapelige og det menneskevitenskapelige utgangspunktet (Fuglseth, 2006 s. 257). Det er vanskelig å skille klart mellom disse. Spesielt vil de to siste overlappe hverandre. Masteroppgaven vil tilnærmet ta utgangspunkt i de to sistnevnte.

3.2.1 Operasjonalisering og begrepsbruk

Når forskeren skal ut i felten å forske på noe, vil han få noen resultater. For at disse

resultatene skal være så nøyaktige som mulig, er det viktig at forskerne spør seg selv om det de måler er det de er ute etter. Operasjonalisering går på dette. Her skal forskeren gjøre et begrep målbart. Konkretisering blir da viktig (Jacobsen, 2005, s. 234). Johannessen, Kristoffersen og Tufte (2005, s. 241) knytter operasjonaliseringen til konkretisering. Dette beskriver de som prosessen der begrepene går over til å være konkrete og brukbare i

undersøkelser. Begrepene forskerne bruker må være operasjonelle. Med dette menes det at de er slikt utformet at de ikke får så mange former for tydninger, men er konkrete (Jacobsen, 2005, s. 346-348). Når det er snakk om komplekse begreper vil forskerne aldri kunne komme fram til en perfekt operasjonalisering. Jacobsen presiserer samtidig at forskeren gjennom en kritisk operasjonaliseringsprosess vil kunne få god gyldighet. I prosessen er begrepsmessig gyldighet viktig for operasjonaliseringen. En måte å oppnå dette på er å teste begreper opp mot personer med kunnskap på området. Dette har vært viktige refleksjoner spesielt før

29

intervjuene. Her var det viktig at begrepene var entydige, samt at de var mulig å forklare nærmere.

Til problemstillingen i masteroppgaven er det utformet fire forskningsspørsmål. Disse spørsmålene er viktige for å konkretisere problemstillingen og har vært sentral i

operasjonaliseringen av den (Johannessen, Kristoffersen og Tufte, 2005, s. 64). Arbeidet med å være konkret har vært viktig. Jo mer entydig forskningsspørsmålet er ledet ut fra

problemstillingen, jo tydeligere blir problemstillingen og det masteroppgaven tar sikte på å forske på (Dallan, 2012, s. 227). Om begrepsvaliditet skriver Næss (2006, s. 103) at likhet mellom et teoretisk begrep og det begrepet som er operasjonalisert vil føre til begrepsvaliditet.

Altså om disse samsvarer er det en indikasjon på et gyldig begrep.

3.2.2 Hvordan ser virkeligheten ut? Et ontologisk spørsmål.

Hvordan virkeligheten ser ut har vært et aktuelt spørsmål som har krevd refleksjon opp mot masteroppgaven og egen forskning. Dette har påvirket hvordan undersøkelsene er utformet.

En undersøkelse slik som denne har tatt sikte på å finne ut noe om det som skjer i virkeligheten. Virkeligheten til denne masteroppgavene er ute i skolene, og mer presist i matematikkopplæringen. Ontologi og læren om hvordan virkeligheten faktisk ser ut, er noe forskeren må tenke over. Dette har det vært særlig vanskelig å finne et entydig svar på ut fra problemstilling i masteroppgaven. En sentral ontologisk debatt blir spørsmålet om verden kan sees som bestående av et sett med regelmessigheter og lover (Jacobsen, 2005, s. 25), herav skillet mellom det positivistiske og det antipositivistiske. Thagaard (2013, s. 106) beskriver det positivistiske vitenskapssynet som å kunne hente ut informasjon fra det forskeren undersøker. Videre er det å overføre tankene fra det positivistiske med regelmessigheter og faste lover til studier av det sosiale mennesket ikke problemfritt. Flere i forskningsmiljøet motstiller seg slike generelle lovmessigheter.

Samfunnsvitenskapen og menneskevitenskapen ønsker i likhet med naturvitenskapen å etablere kunnskap om virkeligheten, men forskjellen er at det her er den sosiale virkeligheten som står i sentrum. Kunnskapen må her bli mer unik framfor generell, og all kunnskap er gjenstand for fortolkninger. Det må tas hensyn til konteksten undersøkelsen skjer i. Dette er viktig både i forkant, underveis og i etterkant av en undersøkelse. Til undersøkelsene til masteroppgaven har det vært nødvendig å ta hensyn til de unike situasjonene som har fremkommet under arbeidet. Objektiviteten og arbeidet med fortolkning og analysen til forskeren blir her viktig. Det er dette som er med på å bygge opp om forskerens resultat. Selv