Haarmål og høyreregulær representasjon på kompakte kvantegrupper

Haarmål og høyreregulær representasjon på kompakte kvantegrupper

Vegard Steine Bertelsen

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

Master i fysikk og matematikk

Oppgaven levert:

Hovedveileder:

August 2006

Magnus B. Landstad, MATH

Oppgavetekst

Oppgaven består i å se på sammenhengen mellom Toeplitz operatorer og kvantegrupper, spesielt de operatorene som inngår i Woronowicz^Ò konstruksjon av kvante-SU(2). I forbindelse med dette arbeidet må en se nærmere på noen artikler av A. Van Daele og L. Woronowicz, samt at en må sette seg inn i teorien for Toeplitz operatorer.

Oppgaven gitt: 20. mars 2006

Hovedveileder: Magnus B. Landstad, MATH

Sammendrag

I denne oppgaven vil vi denere og vise eksistens av haarmål på kompakte kvante- grupper, se på hvordan vi ved hjelp av haarmålet kan konstruere en høyreregulær representasjon. Vi vil så gjøre dette ganske eksplisitt for kvante-SU(2).

Innhold

1 Innledning 3

1.1 Anbefalte forkunnskaper . . . 3

1.2 Notasjon . . . 3

1.3 Denisjonsendring fra prosjektet . . . 4

1.4 Kapitteloppbygging . . . 5

1.5 Takk til . . . 6

2 Egenskaper vedC^∗-algebraer og C^∗-algebratensorprodukt 7 2.1 Valg . . . 7

2.2 Ordning og tensorprodukt av avbildninger . . . 7

2.3 Konvolusjonsprodukt . . . 9

2.4 GNS-konstruksjon . . . 10

3 Haarmål 13 3.1 Valg . . . 13

3.2 Haarmål . . . 13

4 Høyreregulær representasjon 20 5 Kvante-SU(2) 29 5.1 Haarmålet på kvante-SU(2) . . . 29

5.2 Høyreregulær representasjon på kvante-SU(2) . . . 35

Bibliogra 37

Kapittel 1

Innledning

Denne oppgaven er skrevet våren og sommeren 2006 som avsluttning på master- studiet i teknologi linje for fysikk og matematikk ved NTNU. Den skal representere 20 ukers arbeid, ikke inklusive helligdager. Oppgaven er ment som en fortsettelse av en prosjektoppgave [2], som ble skrevet høsten 2005 også som en del av master- studiet.

1.1 Anbefalte forkunnskaper

Denne masteroppgaven er ment som en fortsettelse av et prosjekt [2] som ble gjen- nomført høsten 2005. Det vil derfor antas at leseren er fortrolig med de begrepene som ble innført der. Noen endringer vil vi likevel gjøre, og dette er kommentert i avsnitt 1.3. Ut over dette dett anbefales det å ha en viss bakgrunn i elementær funksjonalanalyse, elle enda bedre å ha vært litt borti grunnleggende begrep innen studiet av operatoralgebraer.

1.2 Notasjon

Her følger en liste med noen av de mest brukte symbolene, og hva de blir brukt om.

z Den komplekskonjugerte av det komplekse talletz.

∗ Involusjonen på en^∗-algebra, vi bruker normalt a^∗ om^∗(a). A^∗ Dualen til en kompakt kvantegruppe ellerC^∗-algebra A.

∗ Konvolusjonsprodukt.

·^op Den motsatte multiplikasjonen,a·^opb=ba.

< x, y > Indreproduktet avxmedy.

< A > Idealet generert av mengdenA.

kxk Normen til et elementxi et normert rom.

0 Den additive identiteten i et vektorrom.

1 Den multiplikative identiteten i en algebra, samme symbol vil bli brukt om identiteten i forskjellige algebraer.

1A Den multiplikative identiteten på algebraenA.

∆ Diagonalavbildningen eller en komultiplikasjon, avklares i hvert enkelt tilfelle.

A⊗^cB OmAogB erC^∗-algebraer, erA⊗^cBenC^∗-algebra som inngår i etC^∗-algebratensorprodukt avAmedB.

A⊗^HB OmAogB er hilbertrom, erA⊗^HBet hilbertrom som inngår i et hilbertromtensorprodukt avAmedB.

B(H) C^∗-algebraen av kontinuerlige lineæravbildninger fra og til hilbertrommetH.

B₀(H) C^∗-algebraen av kompakte operatorer på hilbertrommetH. C De komplekse tallene.

clin(X) Tillukningen til det lineære spennet til mengdenX.

Id Identitetsavbildningen på en eller annen mengde, samme symbol vil bli brukt om identiteten på forskjellige mengder.

IdA Identitetsavbildningen på mengdenA. Im(f) Bildet til avbildningenf.

Ker(f) Kjernen til avbildningenf.

lin(X) Det lineære spennet til mengdenX. M(A) Multiplikatoralgebraen til en algebraA. N De naturlige tallene, vi inkluderer 0.

R De reelle tallene, her ser vi på de reelle tallene som mengden av komplekse tall med imaginærdel0.

χ_m,n Den karakteristiske funksjonen til mengden{(m, n)}. Så kan vi nevne noen antagelse vi gjør som vil gjelde i hele oppgaven.

Alle algebraer i hele oppgaven antas å ha et ikkedegenerert produkt.

For ethvert vektorromV, hilbertrom Hog for enhverC^∗-algebra Avil vi alltid bruke (V,·), (H,·) og (A,·) som tensorprodukt, hilbertromtensorprodukt, og C^∗- algebratensorprodukt av V med C,H med Cog A med Cder · i alle tilfellene er skalarmultiplikasjon.

Så kan vi denere følge og vise et eksempel på vår bruk av disse. En følge i en mengdeX er en avbildningf :N→X. Vi kan i denne oppgaven for eksempel ha en følgegav avbildninger fra en algebraAtil de komplekse tallene. I dette tilfellet vil vi skriveg(n)(a)om det komplekse tallet vi får om vi evaluerer detnteelementet i følgen i elementetai algebraen.

1.3 Denisjonsendring fra prosjektet

I prosjektet ble en kompakt kvantegruppe (A,∆) denert som et par bestående av en unital C^∗-algebra A og en komultiplikasjon ∆ : A → M(A⊗^c A) på A, som oppfyller enkelte krav. Det ble også kommentert at siden alle algebraene i denisjonen var unitale, var de isomorfe med sin multiplikatoralgebra. Her vil vi la komultiplikasjonen ha et C^∗-algebratensorprodukt avA medA som kodomene, og

dermed droppe multiplikatoralgebraen. I prosjektoppgaven krevde vi videre av en komultiplikasjon at det eksisterte C^∗-algebratensorprodukt (A⊗^cA, φ)av A med A,(A⊗^cA⊗^cA,Ψ⁰)avA⊗^cAmedAog(A⊗^cA⊗^cA,Ψ⁰⁰)avAmedA⊗^cAslik at for alle(a, b, c)∈A×A×Aville:

Ψ⁰(φ(a, b), c) = Ψ⁰⁰(a, φ(b, c)) (1.1) (∆⊗^cId)◦φ= Ψ⁰◦(∆×Id) (1.2) (Id⊗^c∆)◦φ= Ψ⁰⁰◦(Id×∆) (1.3) (∆⊗^cId)◦∆ = (Id⊗^c∆)◦∆. (1.4) Den endringen vi vil gjøre her er å denere en kompakt kvantegruppe som et trippel(A,∆, φ)derAog∆er som før, og(A⊗^cA, φ)er etC^∗-algebratensorprodukt avAmedAslik at det eksisterer to balanserte avbildningerΨ⁰ogΨ⁰⁰som oppfyller kravene 1.1-1.4.

Vi vil nå vise at for en gitt ∆ avhenger eksistensen av tensorprodukt (A⊗^c A⊗^cA,Ψ⁰) og (A⊗^cA⊗^cA,Ψ⁰⁰) slik at kravene 1.1-1.4 er oppfyllt av valg av C^∗-algebratensorprodukt(A⊗^cA, φ).

Siden de eneste endringene vi kan gjøre med Ψ⁰ eller Ψ⁰⁰ slik at parene (A⊗^c A⊗^cA,Ψ⁰)og(A⊗^cA⊗^cA,Ψ⁰⁰)fremdeles erC^∗-algebratensorprodukt, er å sette sammen med en automor på A⊗^cA⊗^cA, vil koassosiativiteten ikke avhenge av hvilke avbildninger Ψ⁰ og Ψ⁰⁰ vi velger, bare de oppfyller de kravene vi har stilt.

Det at de eneste endringene vi kan gjøre er å sette sammen med en automor, er teorem 11.1.3 i [6].

Så kan vi se på et eksempel som viser at koassosiativiteten til∆forutsetter noe om valg av balansert avbildning φ. LaG være en kompakt gruppe, ogA =C(G), mengden av kontinuerlige avbildninger fra GtilC. Vi legger punktvise algebraop- erasjoner påAog vi bruker punktvis komplekskonjugering som involusjon. Med ten- sorproduktet(A⊗^cA, φ)derA⊗^cA⊆C(G×G)ogφ(f, g)(x, y) =f(x)g(y)for alle (f, g)∈A×A, og komultiplikasjon ∆ :A→A⊗^cAgitt ved at∆(f)(x, y) =f(xy) med f ∈A og(x, y)∈G×G, er∆koassosiativ. Nå kan vi se hva som skjer om vi bytterφmed φ⁰ gitt ved atφ⁰(f, g)(x, y) =f(x)g(y⁻¹).

Da må vi bytte minst en av Ψ⁰ og Ψ⁰⁰ for at Ψ⁰◦(1×φ⁰) = Ψ⁰⁰◦(φ⁰×1) skal holde. Vi velger A⊗^cA⊗^cA ⊆C(G×G×G)og denerer Ψ⁰ :A×(A⊗^cA)→ A⊗^cA⊗^c A ved at for alle (f, g) ∈ A×(A⊗^cA) og (x, y, z) ∈ G×G×G er Ψ⁰(f, g)(x,(y, z)) =f(x)g(y, z). Dermed måΨ⁰⁰: (A⊗^cA)×A→A⊗^cA⊗^cAvære slik atΨ⁰⁰(g, f)((x, y), z) =g(x, y⁻¹)f(z⁻¹)for atΨ⁰◦(Id×φ⁰) = Ψ⁰⁰◦(φ⁰×Id)skal være oppfylt. Nå kan vi legge merke til at medf ∈A⊗^cAog(x, y, z)∈G×G×G er (∆⊗^cId)(f)(x, y, z) = f(xy⁻¹, z) og (Id⊗^c∆)(f)(x, y, z) = f(x,(yz)⁻¹). Så er det bare å regne ut((Id⊗^c∆)◦∆)(f)(x, y, z) = ∆(f)(x,(yz)⁻¹) =f(x(yz)⁻¹) mens ((∆⊗^cId)◦∆)(f)(x, y, z) = ∆(f)(xy⁻¹, z) =f(xy⁻¹z), og det eksisterer en kontinuerlig funksjonf fra en kompakt gruppe inn iCslik at det eksisterer element x,y ogzmed f(xy⁻¹z)6=f(x(yz)⁻¹).

1.4 Kapitteloppbygging

Først i enkelte av kapittelene er det et avsnitt om valg og betingelser på C^∗- og hilbertromtensorprodukt som vil bli brukt i kapittelet. Grunnen til at dette er samlet først i hvert kapittel og ikke der det kan være behov for denne informasjonen er at det ofte vil fremgå av sammenhengen hvilke betingelser som er gjort, og at valg av tensorproduk ofte ikke er hovedsaken der tensorproduktet brukes. Om det likevel skulle være uklart, er det mulig å slå opp i starten av kapittelet. Dersom det er uklart om det eksisterer valg som oppfyller kravene som stilles, vil dette vises eller sannsynliggjøres etter at alle betingelsene er stilt. Det anbefales ikke å lese

valgavsnittene før man leser resten av kapittelet, men heller bruke det som oppslag om noe skulle være uklart. Derfor vil også symbolene som brukes i disse avsnittene ofte være denert der valget blir gjort, og ikke i valgavsnittet.

1.5 Takk til

Så vil jeg takke de som har hjulpet meg med denne oppgaven. Spesielt vil jeg nevne Sigurd Segtnan og Asgeir Steine som har hjulpet til med korekturlesing, og med nyttige diskusjoner underveis. Sist men ikke minst vil jeg takke min veileder Magnus B. Landstad som har gitt meg en interessant oppgave, og som har vært tilgjenngelig for spørsmål underveis.

Kapittel 2

Egenskaper ved C ^∗ -algebraer og C ^∗ -algebratensorprodukt

2.1 Valg

I denisjon 6 erId⊗^cξogξ⊗^cIddenert med hensyn påφog skalarmultiplikasjon i Aogξ⊗^cξ⁰ med hensyn påφog multiplikasjon iC.

I utregningene etter denisjonen av konvolusjon erId⊗^cg ogId⊗^ch denert med hensyn påφog skalarmultiplikasjon iA, mensf⊗^cgogh⊗^cη er denert med hensyn påφog multiplikasjon iC.

2.2 Ordning og tensorprodukt av avbildninger

I dette avsnittet vil vi denere positive element i en C^∗-algebra, og bruke dette til å denere en delvis ordning, utlede noen enkle egenskaper ved denne ordningen, samt å gjenngi noen resultater om generelleC^∗-algebraer. Mye av innholdet i dette avsnittet er hentet fra [6] og [7].

Først tre denisjoner fra [6].

Denisjon 1 (positive element i en unital C^∗-algebra). Et positivt element i en unital C^∗-algebra er et selvadjungert element hvis spekter er inneholdt i de ikkenegative reelle tallene.

Denisjon 2 (positiv lineærfunksjonal). En lineærfunksjonal ρ på en unital C^∗-algebraA er positiv dersomIm(ρ|_M+)⊆ {x∈R|x≥0}, derM⁺ er de positive elementene i A.

Denisjon 3 (hermitesk lineærfunksjonal). En lineærfunksjonalρpå en unital C^∗-algebraA kalles hermitesk omρ(a) =ρ(a^∗)for allea∈A.

Denisjon 4 (tilstand). En tilstand på en unital C^∗-algebra A er en positiv lineærfunksjonal som sender 1A på1_C.

Denisjon 5 (C^∗-algebratensorprodukt av avbildninger). La A, B, C og D væreC^∗-algebraer,C^∗-algebratensorprodukt(A⊗^cB, φ)avAmedBog(C⊗^cD, ψ). Dersom vi har avbildningerf :A→C ogg:B →D vilf⊗^cg denert med hensyn påφog ψvære en avbildningf⊗^cg:A⊗^cB→C⊗^cD slik at (f⊗^cg)(φ(a, b)) = ψ(f(a), g(b))for alle (a, b)∈A×B.

I en del tilfeller vet vi at det eksisterer nøyaktig en avbildning som i den- isjonen over, som oppfyller noen ekstra egenskaper. Vi skal bare ramse opp noen

resultat som sier noe om eksistens og entydighet av slike. I alle tilfellene nedenfor er avbildninger av typen f ⊗^c g som i denisjonen over denert med hensyn på de C^∗-algebratensorproduktene som er nevnt og skalarmultiplikasjon om den ene algebraen er C. I hele resten av oppgaven vil vi bare referere til avbildninger av typenf⊗^cg, og da mene en avbildning som oppfyller de ekstra kravene som er gitt nedenfor. Meningen er at hvilke ekstra egenskaper det er snakk om skal avgjøres ut fra hvilken av de tre neste teoremenef ogg oppfyller kravene til.

Først skriver vi ned et spesialtilfelle av korallar 3.2.7 i [3], beviset for resultatet er å nne i [3].

Proposisjon 1 (Korrolar 3.2.7 i [3]). Laf ∈A^∗ og g∈B^∗ være kontinuerlige lineærfunksjonaler påC^∗-algebraene A og B respektivt. Det eksisterer nøyaktig en kontinuerlig lineærfunksjonalf⊗^cg påA⊗^cB. Normen til f⊗^cg er dessuten gitt vedkf ⊗^cgk=kfkkgk.

Så et resultat som gir oss eksistens av såkalte slice maps.

Proposisjon 2 (Teorem 1 i [9]). La A og B være C^∗-algebraer. For enhver kontinuerlig lineæravbildningφ:A→Cog for enhver kontinuerlig lineæravbildning ψ : B → C eksisterer det en kontinuerlig surjektiv lineæravbildning Rφ : A⊗^c B → B og en kontinuerlig surjektiv lineæravbildning Lψ : A⊗^c B → A slik at R_φ(P

(a,b)∈Dξ(a, b)) = P

(a,b)∈Dφ(a)b og L_ψ(P

(a,b)∈Dξ(a, b)) = P

(a,b)∈Daψ(b), der (A⊗^c B, ξ) er et C^∗-algebratensorprodukt av A med B og D er en vilkårlig endelig delmengde av A×B. Disse avbildningene vil dessuten kommutere, i den forstand at for alle x∈A⊗^cB er(φ◦L_ψ)(x) = (ψ◦R_φ)(x) =φ⊗^cψ(x). Vi har dessuten at for enhver ikkenull x∈A⊗^cB eksisterer det en tilstandφ påAog en tilstandψ påB slik at Rφ(x)6= 06=Lψ(x).

Med Rφ og Lψ som i proposisjonen over vil avbildningene Rφ vil herfra bli betegnetφ⊗^cIdogL_ψ vil bli betegnetId⊗^cψ.

Så et spesialtilfelle av proposisjon 11.1.3 i [6], beviset er å nne i [6].

Proposisjon 3 (Proposisjon 11.1.3 i [6]). La A, B, C ogD være C^∗-algebraer og la f : A → C og g : B → D være ^∗-homomorer. Det eksisterer nøyaktig en

∗-homomorf⊗^cg. Dersom bådef ogg er injektive erf⊗^cg også injektiv.

Da kan vi merke oss at avbildninger på formen (Id⊗^cρ)eller(ρ⊗Id)bevarer involusjon omρer hermitesk.

Så følger noen resultater om C^∗-algebraer vi ikke vil bevise her, men referere disse til andre kilder.

Så gjengir vi proposisjon 5.2 og 5.3 fra [8, s. 21-22].

Proposisjon 4 (Proposisjon 5.2 i [8]). Dersom π:A→B er en ^∗-homomor fra en involutiv banachalgebra A inn i en C^∗-algebraB, er kπ(x)k ≤ kxk for alle x∈A.

Proposisjon 5 (Proposisjon 5.3 i [8]). LaAvære en C^∗-algebra ogB en invo- lutiv banachalgebra. Om π :A →B er en injektiv ^∗-homomor, er kπ(x)k ≥ kxk for allex∈A.

Proposisjon 6 (Korolar 4.3.7 i [6]). Alle kontinuerlige lineærfunksjonaler på en unitalC^∗-algebra kan skrives som en lineærkombinasjon av maksimalt 4tilstander.

Når vi i tillegg vet at dualen til ethvert banachrom skiller punkter i banachrom- met, må tilstandene skille punkter iC^∗-algebraen.

Proposisjon 7 (Teorem 4.3.2 i [6, s. 256-257]). Om M er et selvadjungert underrom av en unitalC^∗-algebraAogMinneholder identiteten iA, er en lineær funksjonalρpåM positiv hvis og bare hviskρk=ρ(Id).

Proposisjon 8. Alle positive lineærfunksjonaler er hermiteske.

Bevis. Alle element a ∈ A kan skrives på formen a₁+ia₂ der a₁ og a₂ er sel- vadjungerte. Vi kan la a₁ = ¹₂(a+a^∗) og a₂ = ⁱ₂(a^∗−a). Dermed vil for enhver lineærfunksjonalρ,

ρ(a)−ρ(a^∗) =ρ(a1) +iρ(a2)−ρ(a^∗₁)−iρ(a^∗₂)

=ρ(a1) +iρ(a2)−ρ(a1)−iρ(a2),

som er null om imaginærdelen til ρ(x)er null for alle selvadjungertex∈A. Dersom a∈ A er selvadjungert, ligger spekteret til a i intervallet [−kak,kak], slik at kak1−aer positiv.

Omρer positiv ogaer selvadjungert vil derforρ(a) = ¹₂ ρ(kak1 +a)−ρ(kak1− a)

∈R, ogρmå være hermitesk.

Her kommer en denisjon av konvolusjon, og noen enkle egenskaper. Vi følger [10].

2.3 Konvolusjonsprodukt

Denisjon 6 (konvolusjon). La ξogξ⁰ være kontinuerlige lineærfunksjonaler på den kompakte kvantegruppen (A,∆, φ), og laa∈A. Nå kan vi denere

ξ∗a= (Id⊗^cξ)(∆(a)) a∗ξ= (ξ⊗^cId)(∆(a)) ξ∗ξ⁰ = (ξ⊗^cξ⁰)◦∆

Uttrykkt ved konvolusjon blir denisjonen av et haarmål hpå(A,∆, φ) at for alle a∈Aer

a∗h=h∗a=h(a)Id.

La(A,∆, φ)være en kompakt kvantegruppe og laF være mengden av avbild- ninger fra A×A til Cmed endelig støtte. Vi vet at det for alle a∈ A eksisterer en følge x:N→F slik atlim_n→∞P

(a₁,a₂)∈A×Ax(n)(a₁, a₂)φ(a₁, a₂) = ∆(a). Nå følger en noe grisete utregning for å vise at for kontinuerlige lineærfunksjonaler f

ogg påA erf(g∗a) = (g∗f)(a)for allea∈A, f(g∗a) =f((Id⊗^cg)(∆(a)))

=f((Id⊗^cg)( lim

n→∞

X

(a1,a2)∈A×A

x(n)(a₁, a₂)φ(a₁, a₂)))

= lim

n→∞f((Id⊗^cg)( X

(a₁,a₂)∈A×A

x(n)(a1, a2)φ(a1, a2)))

= lim

n→∞f( X

(a1,a2)∈A×A

x(n)(a1, a2)g(a2)a1)

= lim

n→∞

X

(a1,a2)∈A×A

f(x(n)(a₁, a₂)g(a₂)a₁)

= lim

n→∞

X

(a₁,a₂)∈A×A

x(n)(a1, a2)g(a2)f(a1)

= lim

n→∞

X

(a1,a2)∈A×A

x(n)(a1, a2)(f⊗^cg)(φ(a1, a2))

= lim

n→∞

X

(a1,a2)∈A×A

(f⊗^cg)x(n)(a₁, a₂)(φ(a₁, a₂))

= lim

n→∞(f ⊗^cg) X

(a₁,a₂)∈A×A

x(n)(a1, a2)(φ(a1, a2))

= (f⊗^cg) lim

n→∞

X

(a1,a2)∈A×A

x(n)(a1, a2)(φ(a1, a2))

= (f⊗^cg)∆(a)

= (g∗f)(a).

På tilsvarende måte blirf(a∗g) = (g∗f)(a).

Dersom h er et haarmål på en kompakt kvantegruppe (A,∆, φ)vil for enhver kontinuerlig lineærfunksjonalη og allea∈A

(η∗h)(a) = (η⊗^Ch)(∆(a))

=η(Id⊗^Ch)(∆(a))

=η(h(a)Id)

=h(a)η(Id)

=η(h⊗^cId)(∆(a))

= (h⊗^Cη)(∆(a))

= (h∗η)(a) Det vil altså si at

(η∗h) = (h∗η) =η(1)h. (2.1)

2.4 GNS-konstruksjon

Vi vil hente innholdet i dette delkapittelet fra [6, s. 274-285].

Husk at en ^∗-representasjon av en C^∗-algebra A på et hilbertrom H er en ^∗- homomor fraAtilB(H).

Denisjon 7. La A være en C^∗-algebra ogH et hilbertrom. En ^∗-representasjon π:A→B(H)kalles syklisk med syklisk vektorξ₀∈ Hom mengden {π(a)(ξ0)|a∈ A} ligger tett i H.

Proposisjon 9. La ρvære en tilstand på en C^∗-algebra A,∆ :A→A×A være diagonalavbildningen, ^∗ være involusjonen på A og ·^op være den motsatte multip- likasjonen påA, med dette mener jeg at ab=b·^opa. La viderey=ρ◦ ·^op◦(Id×^∗), dvsy(a, b) =ρ(b^∗a) for alle(a, b)∈A×A.

Da vil mengdenI={a∈A|ρ(a^∗a) = 0}=ker(y◦∆)være et lukket venstreideal iA, ogy induserer et indreprodukt påA/I.

Bevis. Sideny(−, a) :A→A, denert ved aty(−, a)(b) =y(b, a)for en gitta∈A, er en sammensetning av lineære avbildninger erylineær i første faktor. At et bytte av argumentene til y gir en komplekskonjugering er proposisjon 8. Aty(a, a)∈ R ogy(a, a)≥0 følger av ata^∗aer positiv og atρer positiv.

Nå vilI være lukket under venstremultiplikasjon fraA fordi Cauchy-Schwartz ulikheten, [6, s. 256], gir oss |y(a, b)|²≤y(a, a)y(b, b)for alleb∈A, og oma∈I er dermed y(a, b) = 0. Spesielt gjelder dette om vi larb=c^∗cafor en vilkårlig c∈A. Slik ser vi at 0 = y(a, b) =ρ(b^∗a) = ρ(a^∗c^∗ca) =y(ca, ca) = (y◦∆)(ca)og at ca ligger iI for allec∈A.

AtI er lukket kommer av at det er kjernen til en kontinuerlig avbildning. For å vise atI er et undervektorrom avAser vi atI1 =T

{ker(y(−, a))|a∈A}er et vektorrom siden det er et snitt av kjerner til lineæravbildninger. Cauchy-Schwartz- ulikheten gir oss at omb ∈I er for allec ∈A,|y(b, c)|²≤y(b, b)y(c, c) = 0slik at b ∈I1. AtI1 ⊆I ser vi fordi omb ∈ I1 er y(b, a) = 0 for alle a ∈A og spesielt for a= b^∗, slik at I =I₁. Dermed er I et undervektorrom og et venstreideal. Nå induserery en avbildning by påA/I denert ved atby([a]) =y(a)for alle a∈A. At yber et indrepodukt påA/I følger nå siden vi har vist aty er lineær i første faktor, bytte av argumentene gir komplekskonjugering, y(a, a)≥0 og y(a, a) = 0 hvis og bare hvis[a] = [0]iA/I der[ ]er restklasser iA/I.

Så la oss bare skrive ned et enkelt resultat om kvotientrom.

Proposisjon 10. Gitt topologiske romT ogT⁰, en ekvivalensrelasjon∼påT og en kontinuerlig avbildning f :T /∼ →T⁰. Hvis avbildningen fe:T →T⁰, denert ved atfe(x) =f([x]), er kontinuerlig, da er ogsåf kontinuerlig.

Bevis. Lap:T →T /∼være avbildningen slik at p(t) = [t]. En mengdeAiT /∼ er åpen hvis og bare hvisp⁻¹(A)er åpen iT, dermed er en avbildningg:T /∼→T⁰ kontinuerlig hvis og bare hvisg◦per kontinuerlig. Nå ser vi atf ◦p=feslik atf er kontinuerlig hvis og bare hvis feer kontinuerlig.

Så har vi endelig det vi trenger for å vise eksistensen av en GNS-representasjon.

Proposisjon 11. GNS-Representasjon.

Dersom ρer en tilstand på en C^∗-algebraAeksisterer det en syklisk representasjon π:A→B(H) på et hilbertrom Hmed syklisk vektor ξ der kξk = 1slik at for alle a∈Aer ρ(a) =< π(a)ξ, ξ >.

Bevis. La ey = ρ◦ ·^op◦(Id×^∗) der ·^op er den motsatte multiplikasjonen i A. La I=ker(ye◦∆)der∆er diagonalavbildningen. Nå blir, som i proposisjon 9,Ke=A/I et indreproduktrom med y som indreprodukt, dery er avbildningen indusert avye. Kompletteringen KavKe blir et hilbertrom. La nåL(K)e være algebraen av lineære operatorer på Ke med punktvis addisjon og skalarmultiplikasjon, samt sammenset- ning som multiplikasjon. Vi vil først vise at avbildningen πe : A →L(K)e , denert ved at for alle a∈A og[b]∈ Ke er eπ(a)([b]) = [ab], der [ ]er ekvivalensklasser, er en algebrahomomor. At πe faktisk avbilder inn i L(K)e følger av bilineariteten til produktet iA.

Lineariteten følger siden π(axe +cy)([z]) = [(ax +cy)z] = [axz] + [cyz] = (eπ(ax) +eπ(by))(z)foraogb iCogx,yogziA, dette er distributiviteten av mul- tiplikasjon i A. Multiplikativiteten holder sidenπ(xy)([z]) = [xyz] =e π(x)([yz]) =e eπ(x)(eπ(y)([z])) = (π(x)e ◦eπ(y))([z]). På denne måten blirπe en algebrahomomor.

På grunn av at multiplikasjonen iA er kontinuerlig gir proposisjon 10, oss at alle elementene i Im(eπ)er kontinuerlige og dermed kan utvides kontinuerlig til opera- torer påK. La π:A→B(K)sendea∈Atil den kontinuerlige utvidelsen avπ(a)e for allea∈A. På denne måten blirπen kontinuerlig algebrahomomor. Før vi viser atπer en^∗-homomor ser vi på sammenhengen mellomρog indreproduktet påK. Vi kan bruke [1] som syklisk vektor. Siden ρ er en tilstand er k[1]k = 1. Vi har at< π(a)([1]),[1]>=<[a],[1] >=ρ(a). Vi ser også at< π(a)^∗([x]),[y]>=<

[x], π(a)([y])>=ρ(y^∗a^∗x) =< π(a^∗)([x]),[y]>og dermedπ(a)^∗=π(a^∗)på en tett delmengde ogπer involusjonsbevarende.

Kapittel 3

Haarmål

3.1 Valg

I denisjon 8 er avbildningene h⊗^cIdogId⊗^chdenert slik at(Id⊗^ch)(φ(a, b))

=ah(b)og(h⊗^cId)(φ(a, b)) =h(a)bfor alle (a, b)∈A×A.

I denisjon 10 og utregningen etterω₁⊗^cω₂,ω₁ω₂⊗^cω₃ogω₁⊗^cω₂ω₃ denert med hensyn på φog multiplikasjon iC,Id⊗^c∆ o∆⊗^cIder denert med hensyn på et par av balanserte avbildninger Ψog Ψ⁰ slik at kravene i 1.1 til 1.4 i avsnitt 1.3 er oppfyllt, og ω1⊗^cω2⊗^cω3 er denert med hensyn påΨog multiplikasjon i C.

I beviset for lemma 2 er Id⊗^c∆ og ∆⊗^cIddenert som kommentert først i beviset, Id⊗^chogId⊗^cω denert med hensyn på φog skalarmultiplikasjon iA, h⊗^cρer denert med hensyn påφog multiplikasjon iC,h⊗^cρ⊗^cher en kortform for(h⊗^cρ)⊗^chsom er denert med hensyn påΨog multiplikasjon iC.

I beviset for teorem 1 erω⊗^chdenert med hensyn påφog multiplikasjon iC, mens Id⊗^cher denert med hensyn påφog skalarmultiplikasjon ia.

3.2 Haarmål

I dette avsnittet denerer vi haarmål på en kompakt kvantegruppe.

Vi henter først to denisjoner fra [1].

Denisjon 8 (invariant lineærfunksjonal). La(A,∆, φ)være en kompakt kvan- tegruppe. En lineærfunksjonalher venstreinvariant om for allea∈A, er((Id⊗^ch)◦

∆)(a) =h(a)1, og høyreinvariant om for allea∈A, er((h⊗^cId)◦∆)(a) = 1h(a). Denisjon 9 (haarmål). En tilstand som er en venstreinvariant lineærfunksjonal kalles et haarmål.

Denisjon 10 (dual). La (A,∆, φ) være en kompakt kvantegruppe. Da er A^∗ mengden av kontinuerlige lineærfunksjonaler påA. Vi girA^∗en vektorromsstruktur ved å gi den punktvis addisjon og punktvis skalarmultiplikasjon. Vi gjør såA^∗ til en algebra ved å legge på en multiplikasjon denert ved at for alle (ω₁, ω₂)∈A^∗×A^∗ oga∈Aer ω₁ω₂(a) = (ω₁⊗^cω₂)(∆(a)).

For å vise at multiplikasjonen på den duale denerer en normert algebra med op- eratornorm må vi vise at de distributive lovene holder, at for alle(ω₁, ω₂)∈A^∗×A^∗ vilkω1ω₂k ≤ kω1kkω2k, samt at multiplikasjonen er assosiativ. Vi begynner med as- sosiativitet. Vi bruker de samme C^∗-algebratensorproduktene som i proposisjonen.

Nå vil

(ω1ω2)ω3(a) = (ω1ω2⊗^cω3)(∆(a))

= ((ω₁⊗^cω₂⊗^cω₃)◦(∆⊗^cId)◦∆)(a)

= ((ω1⊗^cω2⊗^cω3)◦(Id⊗^c∆)◦∆)(a)

=ω₁⊗^cω₂ω₃(∆(a))

=ω1(ω2ω3)(a)

for alle(ω1, ω2, ω3)∈A^∗×A^∗×A^∗ oga∈Aså multiplikasjonen er assosiativ.

De distributive lovene gjelder siden ∆ er lineær, og avbildningen som sender (ω1, ω2)tilω1⊗^cω2er bilineær. Sidenkω1ω2k=k(ω1⊗^cω2)◦∆k ≤ kω1⊗ω2kk∆k ≤ kω1kkω2k, ser vi at denne multiplikasjonen gjør den duale til en normert algebra.

Vi vil vise at venstremultiplikasjon med et element ω er en kontinuerlig av- bildning også om vi bruker svak^∗-topologi følger av, proposisjon 2. Dener av- bildningen (ω,−) : A^∗ → A^∗ ved at (ω,−)(x) = ωx. Vi kan se på mengden G={{a∈A^∗ |g(y)∈T} |y∈AogT er åpen iC}. Vi vet atGer en underbasis for svak^∗-topologien på A^∗ og at inversbilde kommuterer både med snitt og union.

Dermed holder det å vise at(ω,−)⁻¹(g)∈Gfor alleg∈G. LaR_ωvære avbildningen i proposisjon 2, og lag={f ∈A^∗|f(x)∈T}. Sidenωh= (ω⊗^ch)◦∆ =h◦R_ω◦∆ for alleh∈A^∗ må

(ω,−)⁻¹(g) ={f ∈A^∗|ωf(x)∈T}

={f ∈A^∗|(f◦Rω◦∆)(x)∈T}

={f ∈A^∗|f((Rω◦∆)(x))∈T}.

Dermed er(ω,−) kontinuerlig også om vi bruker svak^∗-topologi både i domene og kodomene. På tilsvarende måte kan vi vise at høyremultiplikasjon med gitt element er kontinuerlig.

Så noen mer trivielle resultat som vil brukes videre.

Proposisjon 12. Mengden av tilstander på en unitalC^∗-algebraAer svak^∗-lukket.

Bevis. LaM⁺ være mengden av positive element iAog for enhvera∈A la fa :A^∗→C

ω7→ω(a).

Svak^∗-topologi er denert som den minste topologien som gjør alle disse funksjonene kontinuerlige. Nå vil de positive lineærfunksjonalene være

P =\

{f_m⁻¹({x∈R|x≥0})|m∈ M⁺}.

Dette blir en lukket mengde siden inversbildet til lukkede mengder under kontin- uerlige funksjoner er lukket og vilkårlig snitt av lukkede mengder er lukket. Til- standene vil værePTf₁⁻¹

A({1_C})og dermed lukket.

Vi kan så følge fremgangsmåten i [1], for å vise at det på enhver kompakt kvan- tegruppe eksisterer nøyaktig et haarmål. Begge lemmaene og teoremet er hentet fra [1].

Lemma 1. La ω være en tilstand på en kompakt kvantepruppe (A,∆, φ). Det ek- sisterer en tilstand hpå(A,∆, φ)slik at hω=ωh=h.

Bevis. Dener følgen x : N → A^∗ der x(n) = _n¹Pn

i=1ωⁿ. Nå vil for alle n ∈ N, x(n)igjen være en tilstand. Detta ser vi fordi vi vet at x(n)er en sum av positive

lineærfunksjonaler og dermed positiv, og at x(n)(1) = 1, slik at x(n)har norm 1 fra teorem 4.3.2 i [6]. At ωⁿ(1A) = 1_Cviser vi induktivt. Atω(1A) = 1_Cer allerede antatt. Dersom vi vet at ωⁿ(1A) = 1_Cser vi at

ωⁿ⁺¹(1A) = (ω⊗^cωⁿ)(∆(1A))

= (ω⊗^cωⁿ)(1_A)

= 1_C·1_C.

På grunn av at enhetsballen er kompakt i svak^∗-topologi (Banach-Alauglus teo- rem) må xha en svak^∗-konvergent delfølge. Lah være en svak^∗-grense av en slik konvergent delfølge. Nå ser vi at for allea∈Aer

|x(n)(a)−(x(n)ω)(a)| ≤ kx(n)−x(n)ωkkak

= 1

nkωⁿ⁺¹−ωkkak

≤ 2 nkak

slik at i grensen erhω=h, og tilsvarende for venstremultiplikasjon medω.

Lemma 2. Laωoghvære tilstander på den kompakte kvantegruppen(A,∆, φ)slik athω=ωh=h. Dersomρ∈A^∗ og0≤ρ≤ω så er ρ(1)h=ρh.

Bevis. VelgC^∗-algebratensorprodukt(A⊗^cA⊗^cA, ψ)avA⊗^cAmed Aog(A⊗^c A⊗^cA, ψ⁰)avA medA⊗^cAslik at:ψ(φ(a, b), c) =ψ⁰(a, φ(b, c)),(∆⊗^cId)◦φ= ψ◦(∆×Id),(Id⊗^c∆)◦φ=ψ⁰◦(Id×∆),(∆⊗^cId)◦∆ = (Id⊗^c∆)◦∆.

La a ∈ A og dener b = (Id⊗^c h)(∆(a)). I utregningene som kommer vil det være praktisk å velge en avbildning f fra A×N til mengden av avbildninger med endelig støtte fra A×A til de komplekse tallene, slik at for alle a ∈ A vil

∆(a) = lim_n→∞P

(a⁰,a⁰⁰)∈A×Af(a, n)(a⁰, a⁰⁰)φ(a⁰, a⁰⁰).

Nå vil

(Id⊗^cω)(∆(b)) = (Id⊗^cω)(∆((Id⊗^ch)(∆(a))))

= (Id⊗^cω)(∆((Id⊗^ch)( lim

n→∞

X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)φ(a⁰, a⁰⁰))))

= (Id⊗^cω)(∆( lim

n→∞

X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)a⁰h(a⁰⁰)))

= lim

n→∞(Id⊗^cω) X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)h(a⁰⁰)∆(a⁰)

= lim

n→∞(Id⊗^cω) X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)h(a⁰⁰)

m→∞lim X

(d⁰,d⁰⁰)∈A×A

f(a⁰, m)(d⁰, d⁰⁰)φ(d⁰, d⁰⁰)

= lim

n→∞ lim

m→∞

X

(a⁰,a⁰⁰,d⁰,d⁰⁰)∈A×A×A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)f(a⁰, m)(d⁰, d⁰⁰)h(a⁰⁰)(Id⊗^cω)(φ(d⁰, d⁰⁰))

= lim

n→∞ lim

m→∞

X

(a⁰,a⁰⁰,d⁰,d⁰⁰)∈A×A×A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)f(a⁰, m)(d⁰, d⁰⁰)h(a⁰⁰)ω(d⁰⁰)d⁰

= lim

n→∞ lim

m→∞(Id⊗^cω⊗^ch) X

(a⁰,a⁰⁰,d⁰,d⁰⁰)∈A×A×A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)f(a⁰, m)(d⁰, d⁰⁰)ψ(φ(d⁰, d⁰⁰), a⁰⁰))

= lim

n→∞(Id⊗^cω⊗^ch) X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)ψ( lim

m→∞

X

(d⁰,d⁰⁰)∈A×A

f(a⁰, m)(d⁰, d⁰⁰)φ(d⁰, d⁰⁰), a⁰⁰)

= lim

n→∞(Id⊗^cω⊗^ch)( X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)ψ(∆(a⁰), a⁰⁰))

= (Id⊗^cω⊗^ch)◦(∆⊗^cId) lim

n→∞( X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)φ(a⁰, a⁰⁰))

= ((Id⊗^cω⊗^ch)◦(∆⊗^cId)◦∆)(a)

= ((Id⊗^cω⊗^ch)◦(Id⊗^c∆)◦∆)(a)

= (Id⊗^cωh)(∆(a))

= (Id⊗^ch)(∆(a))

=b.

Vi har også at

(Id⊗^cω)((∆(b)−φ(b,1))^∗(∆(b)−φ(b,1)))

= (Id⊗^cω)(∆(b^∗b)−φ(b^∗,1)∆(b)−∆(b^∗)φ(b,1) +φ(b^∗b,1))

= (Id⊗^cω)(∆(b^∗b))−(Id⊗^cω)(φ(b^∗,1)∆(b))−(Id⊗^cω)(∆(b^∗)φ(b,1)) +b^∗b

= (Id⊗^cω)(∆(b^∗b))−(Id⊗^cω)(φ(b^∗,1) lim

n→∞

X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(b, n)(a⁰, a⁰⁰)φ(a⁰, a⁰⁰))−(Id⊗^cω)( lim

m→∞

X

(b⁰,b⁰⁰)∈A×A

f(b, n)(b⁰, b⁰⁰)φ((b⁰)^∗,(b⁰⁰)^∗)φ(b,1)) +b^∗b

= (Id⊗^cω)(∆(b^∗b))−(Id⊗^cω) lim

n→∞( X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(b, n)(a⁰, a⁰⁰)φ(b^∗a⁰, a⁰⁰))−

(Id⊗^cω)( lim

m→∞

X

(b⁰,b⁰⁰)∈A×A

f(b, n)(b⁰, b⁰⁰)φ((b⁰)^∗b,(b⁰⁰)^∗)) +b^∗b

= (Id⊗^cω)(∆(b^∗b))− lim

n→∞( X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(b, n)(a⁰, a⁰⁰)b^∗a⁰ω(a⁰⁰))−

m→∞lim ( X

(b⁰,b⁰⁰)∈A×A

f(b, n)(b⁰, b⁰⁰)(b⁰)^∗bω((b⁰⁰)^∗)) +b^∗b

= (Id⊗^cω)(∆(b^∗b))−b^∗(Id⊗^cω)(∆(b))−(Id⊗^cω)(∆(b^∗))b+b^∗b

= (Id⊗^cω)(∆(b^∗b))−b^∗b.

Husk at proposisjon 2 gir oss ath◦(Id⊗^cω) =ω◦(h⊗^cId) = (h⊗^cω)Slik vil h((Id⊗^cω)((∆(b)−φ(b,1))^∗(∆(b))−φ(b,1))) =h((Id⊗ω)(∆(b^∗b))−b^∗b)

=h((Id⊗ω)(∆(b^∗b)))−h(b^∗b)

= (h⊗ω)(∆(b^∗b))−h(b^∗b)

=hω(b^∗b)−h(b^∗b)

=h(b^∗b)−h(b^∗b)

= 0.

Sidenρ≤ω vil

ρ((h⊗^cId)(∆(b)−φ(b,1))^∗(∆(b)−φ(b,1)))

≤ω((h⊗^cId)(∆(b)−φ(b,1))^∗(∆(b)−φ(b,1)))

= (h⊗^cω)(∆(b)−φ(b,1))^∗(∆(b)−φ(b,1))

= 0.

Cauchy-Schwarz-ulikheten (se for eksempel teorem 4.3.1 i [6, s. 256]) gir oss nå at for alle ciAer

|(h⊗^cρ)(φ(c,1)^∗(∆(b)−φ(b,1)))|²

≤(h⊗^cρ)((∆(b)−φ(b,1))^∗(∆(b)−φ(b,1)))(h⊗^cρ)(φ(c,1)φ(c,1))^∗

= 0,

det vil si at (h⊗^cρ)(φ(c,1)^∗(∆(b)−φ(b,1))) = 0. Dersom vi putter inn for b =

(Id⊗^ch)(∆(a)), får vi at

0 =(h⊗^cρ)(φ(c^∗,1)(∆(b)−φ(b,1)))

=(h⊗^cρ)(φ(c^∗,1)(∆((Id⊗^ch)∆(a))−φ((Id⊗^ch)(∆(a)),1)))

=(h⊗^cρ)(φ(c^∗,1)∆((Id⊗^ch)(∆(a))))−

(h⊗^cρ)(φ(c^∗,1)φ((Id⊗^ch)(∆(a)),1))

=(h⊗^cρ)(φ(c^∗,1)∆((Id⊗^ch)( lim

n→∞

X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)φ(a⁰, a⁰⁰))))−

(h⊗^cρ)(φ(c^∗,1)φ((Id⊗^ch)( lim

n→∞

X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)φ(a⁰, a⁰⁰),1)))

=(h⊗^cρ)(φ(c^∗,1)∆( lim

n→∞

X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)a⁰h(a⁰⁰)))

−(h⊗^cρ)(φ(c^∗,1)φ( lim

n→∞

X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)a⁰h(a⁰⁰),1))

=(h⊗^cρ)( lim

n→∞

X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)φ(c^∗,1)∆(a⁰)h(a⁰⁰))−

n→∞lim X

(a⁰,a⁰⁰)∈A×A

f(a, n)(a⁰, a⁰⁰)h(c^∗a⁰)ρ(1)h(a⁰⁰)

=(h⊗^cρ⊗^ch)(ψ(φ(c,1),1)(∆⊗^cId)(∆(a)))−ρ(1)(h⊗^ch)(φ(c,1)∆(a)), på denne måten blir

(h⊗^cρ⊗^ch)(ψ(φ(c,1),1)(∆⊗^cId)(∆(a))) =ρ(1)(h⊗^ch)(φ(c,1)∆(a)). (3.1) Siden

ψ(φ(c,1),1)((∆⊗^cId)(∆(a))) = (ψ(φ(c,1),1)((Id⊗^c∆)(∆(a))))

= (Id⊗^c∆)((φ(c,1))∆(a)),

og element på formen φ(c,1)∆(a) ligger tett i enhver kompakt kvantegruppe og (Id⊗^c∆) er kontinuerlig vil likheten (3.1) gjelde også for alle element på formen φ(1, q). Vi setter innφ(1, q)forφ(c,1)∆(a)og får

(h⊗^cρ⊗^ch)(Id⊗^c∆)(φ(1, q))) =ρ(1)(h⊗^ch)φ(1, q) og dah(1) = 1 vil

(ρ⊗^ch)(∆(q)) =ρ(1)h(q) for enhverq∈A.

Teorem 1. For enhver kompakt kvantegruppe (A,∆, φ) eksisterer det nøyaktig et haarmål. Haarmålet er også høyreinvariant.

Bevis. Igjen henter vi beviset fra [1]. For enhver positivω∈A^∗ laKω={h∈A^∗| her en tilstand ogωh=ω(1)h}. La videreP være mengden av tilstander påA. Nå vilKω=f_ω⁻¹(0)∩P der

fω:A^∗→A^∗

h7→ωh−ω(1)h.

På denne måten blirKωen svak^∗-lukket delmengde av den lukkede enhetsballen, og dermed svak^∗-kompakt. På grunn av lemma 1 vil det for enhver positivω6= 0eksis- tere en tilstandhslik at _ω(1)^ωh =hda _ω(1)^ω er en tilstand, og dermed erKωikketom.

Lemma 2 sier oss at om0≤ρ≤ω erKω⊆Kρ. Dermed vilKω₁+ω₂ ⊆Kω₁∩Kω₂

for alle positive ω1 ogω2. På denne måten er∩A6=∅for alle endelige delmengder A av {Kω | ωer en positiv lineærfunksjonal påA}, og siden enhetsballen er kom- pakt medfører dette at snittet av alle er ikketomt. Dermed har vi at det eksisterer en h ∈ T

{Kω|ω ∈ A^∗, ω ≥ 0} slik at (ω ⊗^c h)◦∆ = ω(1)h for alle positive lineærfunksjonalerω. Og siden positive lineærfunksjonaler skiller punkter iAbetyr dette at for alle a ∈ A er (Id⊗^c h)◦ ∆(a) = h(a)1_A, og dette denerer ven- streinvarians. Vi har dermed vist at det eksisterer minst en venstreinvariant til- stand. På tilsvarende måte kan vi vise at det eksisterer en høyreinvariant tilstand, la L_ω = {h ∈ A^∗ | her en tilstand oghω = ω(1)h}. Snittet av alle L_ω er ikke- tomt av samme årsak som for K_ω så vi må ha minst en høyreinvariant tilstand.

La hvære en venstreinvariant og h⁰ en høyreinvariant tilstand. Nå må h∈ Lh⁰ så hh⁰=h⁰(1)h=hogh⁰ ∈Kh så hh⁰=h(1)h⁰ =h⁰ ogh=h⁰.

Kapittel 4

Høyreregulær representasjon

Dette delkapittelet er hentet fra kapittel 5 i [1], forskjellen er først og fremst at be- visene her gjøres i litt mindre steg og at vi her ikke går fullt så langt. Vi vil nå innføre en del symboler for dette kapittelet. La πK : A → B(K) være en kontinuerlig in- jektiv^∗-homomor slik atIm(πK)har en ikkedegenerert virkning på hilbertromet K. La (A,∆,Ψ) være en kompakt kvantegruppe, der C^∗-algebratensorproduktet (A⊗^cA,Ψ) er denert med hensyn på πK i begge faktorene og hilbertromtensor- produktet(K ⊗^HK, φ⁰). La videreπ_H være en GNS-representasjon med hensyn på haarmåleth, avApåHmed syklisk vektorξ₀, ogI være den naturlige inklusjonen avB₀(H)iB(H).

Da vi denerte C^∗-algebratensorprodukt i [2], hentet fra [6], denerte vi ten- sorprodukt med hensyn på injektive representasjoner av hver faktor og valg av hilbertromtensorprodukt.

Nå kan vi velge hilbertromtensorprodukt (H ⊗^HK, φ) avHmedK

(H ⊗^HK ⊗^HK,Θ) avH ⊗^HK medK (H ⊗^HK ⊗^HK,Θ⁰) avHmedK ⊗^HK

slik at for alle(ξ, η1, η2)∈ H × K × K erΘ(φ(ξ, η1), η2) = Θ⁰(ξ, φ⁰(η1, η2)). At det eksisterer slike valg følger av assosiativiteten til tensorproduktet som blant annet er vist i [6, s. 847].

Dersom vi nå denererC^∗-algebratensorproduktene

C^∗-algebratensorprodukt: med hensyn på

(B(H)⊗^cB(K),Λ) avB(H)med B(K) Id, Idog(H ⊗^HK, φ) (B(H)⊗^cA,Ω) avB(H)med A Id, π_K og(H ⊗^HK, φ) (B0(H)⊗^cA,Ω|_B0(H)×A) avB0(H)med A I,π_K og(H ⊗^cK, φ) (B0(H)⊗^cA⊗^cA, ζ⁰) avB0(H)med A⊗^cA I, π_K ⊗^H π_K og

(B0(H) ⊗^H A ⊗^H A,Θ⁰).

(B0(H)⊗^cA⊗^cA, ζ) avB0(H)⊗^cAmedA I ⊗^c π_K, π_K og (B0(H)⊗^HA⊗^HA,Θ) La til slutt(A⊗^cA⊗^cA,Ψ⁰)være etC^∗-algebratensorprodukt avA⊗^cAmed A, og(A⊗^cA⊗^cA,Ψ⁰⁰)etC^∗-algebratensorprodukt avAmedA⊗^cAmedA slik at kravene 1.1-1.4 i avsnitt 1.3 er oppfyllt.

Alle utvidelser av par av avbildninger(f :B→D, g:C→E)mellom par av al- gebraer eller hilbertrom forskjellig fraCblir gjort med hensyn på tensorproduktene som er valgt over, og vil bli betegnet(f⊗^H/cg) :B⊗^H/cC→D⊗^H/cE. Der super- skriptet til ⊗er avhengig av om det erC^∗-algebra- eller hilbertromtensorprodukt vi utvider til.

Nå kan vi merke oss at med våre valg er følgende oppfyllt for alleξ∈ H,ξ⁰∈ H, η∈ K,η₁∈ K η₂∈ K,a∈A, a⁰ ∈A,a⁰⁰∈A,x∈B(H),y∈B(K)ogx₀∈B₀(H):

1. A⊗^cA⊆B(K ⊗^HK)

2. (π_H⊗^cπ_K)Ψ(a, a⁰)(φ(ξ, η)) =φ(π_H(a)(ξ), π_K(a⁰)(η)) 3. B0(H)⊗^cA⊆B(H ⊗^HK)

4. Ω(x, a)(φ(ξ, η)) =φ(xξ, π_K(a)η) 5. B0(H)⊗^cA= clin(Im(Ω|B₀(H)×A)) 6. B0(H)⊗^cA⊗^cA⊆B(H ⊗^HK ⊗^HK)

7. ζ⁰(x₀,Ψ(a, a⁰))(Θ(φ(ξ, η₁), η₂)) = Θ(φ(x₀ξ, π_K(a)η₁), π_K(a⁰)η₂) 8. ζ(Ω(x0, a), a⁰) =ζ⁰(x0,Ψ(a, a⁰))

9. Λ(x, π_K(a)) = Ω(x, a)

10. Θ(φ(ξ, η1), η2) = Θ⁰(ξ, φ⁰(η1, η2)) 11. Λ(x, y)(φ(ξ, η1)) =φ(xξ, yη1) 12. Ψ⁰(Ψ(a, a⁰), a⁰⁰) = Ψ⁰⁰(a,Ψ(a⁰, a⁰⁰)) 13. (∆⊗^cId)◦∆ = (Id⊗^c∆)◦∆

14. < φ(ξ, η₁), φ(ξ⁰, η₂)>=< ξ, ξ⁰>< η₁, η₂>

og det er disse egenskapene vi vil bruke videre.

Vi vil så gjenta denisjonen av multiplikatoralgebra fra [2].

Denisjon 11 (Multiplikatoralgebra). MultiplikatoralgebraenM(A)til en alge- braAer mengden av par(ρ1, ρ2)av lineæravbildninger fra og tilAslik at for enhver (a, b)∈A×A eraρ1(b) =ρ2(a)b med punktvis addisjon og skalarmultiplikasjon og multiplikasjon denert ved at for alle multiplikatorer (ρ1, ρ2)og(σ1, σ2)er

(ρ₁, ρ₂)(σ₁, σ₂) = (ρ₁◦σ₁, σ₂◦ρ₂) og involusjon denert ved at

(ρ₁, ρ₂)^∗= (σ₁, σ₂) der σ1(a) =ρ2(a^∗)^∗ ogσ2(a) =ρ1(a^∗)^∗ for allea∈A.

Vi vil brukeM(A)om multiplikatoralgebraen til en algebraA. Om vi har en al- gebrahomomorf fraAtil en algebraBvil vi brukeM(f)om algebrahomomoren fraM(A)tilM(B)som oppfyller at for allea∈AerM(f)(ρ1, ρ2) = (ρe1,ρe2)derρ1

er venstremultiplikasjon medaogρ2er høyremultiplikasjon meda,ρe1er høyremul- tiplikasjon medf(a)ogρe2er venstremultiplikasjon medf(a). DersomBer unital vil vi brukem(f)om avbildningen fraM(A)tilBsom oppfyller atm(f)(ρ1, ρ2) =f(a) for alle a∈A.

Dette var all den kapittelspesikke notasjonen, nå vil vi hente noen resultater fra [1]. Bevisene er hentet rett fra kilden, men vi gjør ting i litt mindre steg.

Proposisjon 13. Det eksisterer nøyaktig en unitær operatorupåH ⊗^HK slik at u(φ(πH(a)ξ0, η)) = (πH⊗^cπK)(∆(a))(φ(ξ0, η)) (4.1) for alle a∈Aogη∈ K.

Bevis. Siden π_H er syklisk med syklisk vektor ξ0 er mengden {π_H(a)ξ0 | a ∈ A}

tett i H. Dermed ligger lin({φ(π_H(a)ξ0, η) | (a, η) ∈ A× K}) tett i H ⊗^HK. På denne måten kan det maksimalt være en unitær operator slik at (4.1) er oppfyllt.

For å vise at det eksisterer minst en lineær avbildning som oppfyller (4.1) ser vi først pålin(Im(φ)). Vi kan velge en vektorromsbasisB_K forK, og velge en del- mengdeB_A avAslik at B_H ={π_H(a)ξ₀|a∈B_A} er en basis for det tette under- romet{π_H(a)ξ₀|a∈A}avH. Her vilIm(φ|_BH×BK)være en basis forlin(Im(φ)). Dermed vet vi at det eksisterer en lineær avbildningub:lin(Im(φ|_lin(BH)×BK))→ H ⊗^H K slik at bu(φ(π_H(a)ξ0, η)) = (π_H ⊗^cπ_K)(∆(a))(φ(ξ0, η)) for alle (a, η) ∈ BA×BK.

Dersomf :BA→Cogg:BK →Char endelig støtte vil

u(φ(b X

a∈BA

f(a)π_H(a)ξ₀, X

η∈BK

g(η)η))

=u(b X

(a,η)∈BA×BK

f(a)g(η)φ(π_H(a)ξ₀, η))

= X

(a,η)∈BA×BK

f(a)g(η)uφ(πb _H(a)ξ0, η)

= X

(a,η)∈BA×BK

f(a)g(η)(π_H⊗^cπ_K)(∆(a))(φ(ξ0, η))

= X

(a,η)∈BA×BK

(π_H⊗^cπ_K)(∆(f(a)a))(φ(ξ₀, g(η)η))

= (π_H⊗^cπ_K)(∆( X

a∈BA

f(a)a))(φ(ξ0, X

η∈BK

g(η)η))

slik at (4.1) holder pålin(Im(φ|_lin(BH)×K))som ligger tett iH⊗^HK. Dermed holder det å vise at det eksister en kontinuerligbu.

Vi kan så vise at det eksisterer en isometriskub. LaN være en endelig delmengde avlin(B_A)×K. La også for alleaoga⁰iA,f_aa⁰være en følge av endelige delmengder