2.4 Likninger og ulikheter med lg x
Oppgave 2.40 a)
1
6 lg 4 2 lg 6 lg 2 lg 4 4 lg 4 lg 1
10 1 10
x x x x x x
x −
+ = ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔
= =
b)
2
7 lg 2 2 lg 8 7 lg 2 lg 8 2 5 lg 10 lg 2
10 100
x x x x x x
x
− = + ⇔ − = + ⇔ = ⇔ = ⇔
= =
c) lgx2−lgx=4 ⇔ 2 lgx−lgx=4 ⇔ lgx=4 ⇔ x=104 =10 000
d) 3
2
lg lg 8 0 3lg lg 8 4 lg 8 lg 2
10 1
100
x x x x x x
x −
+ + = ⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔
= =
Oppgave 2.41
a) 2
2
lg 3lg 2 0 2 lg 3lg 2 lg 2 lg 2
10 100
x x x x x x
x
− + = ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔
= =
b)
( )
2( ) ( )
22 1
3 3 4 1 2 3 1
lg 3lg 2 0 lg
2 1 2
lg 2 lg 1 10 100 10 10
x x x
x x x x
− − ± − − ⋅ ⋅ ±
− + = ⇔ = = ⇔
⋅
= ∨ = ⇔ = = ∨ = =
c)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2
lg 3 2 lg 2 lg 3 lg 2 3 2 3 4 0
3 3 4 1 4 3 25 3 5
4 1
2 1 2 2
x x x x x x x x
x x x
− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔
− − ± − − ⋅ ⋅ − ± ±
= = = ⇔ = ∨ = −
⋅
d)
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
Umulig pga lg på høyre side 2
lg 6 2 lg lg 6 lg 6 6 0
1 1 4 1 6 1 25 1 5
2 3
2 1 2 2
x
x x x x x x x x
x x x
+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ − + + = ⇔
− ± − ⋅ − ⋅ − ± − ±
= = = ⇔ = − ∨ =
⋅ − − −
Oppgave 2.42
a) lg definert
for 0
2 lg 2 4 2 lg 4 2 2 lg 2 lg 1 101
0 10
x x
x x x x x
x
+ < ⇔ < − ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔>
< <
b)
1
3lg 2 lg 6 3lg lg 6 2 4 lg 4 lg 1
10 10
x x x x x x
x x
+ > − + ⇔ + > − ⇔ > ⇔ > ⇔
> ⇔ >
c) 2
2
lg 2 lg 8 0 2 lg 2 lg 8 4 lg 8 lg 2
10 100
x x x x x x
x x
+ − > ⇔ + > ⇔ > ⇔ > ⇔
> ⇔ >
d)
1 2
3 2 1
lg lg lg 3 3lg 2 lg lg 3 6 lg 3 lg 2
10 0 10
x x x x x x x x
x x
+ + ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔
≤ ⇔ < ≤
Oppgave 2.43 a)
lg er voksende 0
1
lg 0
lg 1
lg 0 når 0 1
lg 0 10 1
lg 0 når 1
lg 1 0 når 0 10
lg 1 0 lg 1 10 10
lg 1 0 når 10
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
− >
< < <
= ⇔ = = ⇔
> >
− < < <
− = ⇔ = ⇔ = = ⇔
− > >
lg 0 når 0 1 og når 10 lg 1
x x x
x > < < >
−
0 1 10
x lg x
lg x-1 lg lg 1
x x−
b)
lg er voksende 2
1
2 lg 4 lg 1 0
lg 0 når 0 100
2 lg 4 0 lg 2 10 100
lg 0 når 100 lg 1 0 når 0 10
lg 1 0 lg 1 10 10
lg 1 0 når 10
x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
− ≥
−
< < <
− = ⇔ = ⇔ = = ⇔
> >
− < < <
− = ⇔ = ⇔ = = ⇔
− > >
2 lg 4
0 når 0 10 og når 100 lg 1
x x x
x
− ≥ < < ≥
−
c)
( )
lg er voksende 2
1 10
1 1
10
3lg 3 1 lg 1
3lg 3 3lg 3 3lg 3 lg 1
1 1 0 0 0
lg 1 lg 1 lg 1 lg 1
2 lg 4 lg 1 0
lg 0 når 0 100
2 lg 4 0 lg 2 10 100
lg 0 når 100 lg 1 0 når 0
lg 1 0 lg 1 10
x
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x −
− − ⋅ +
− < ⇔ − − < ⇔ < ⇔ − − − < ⇔
+ + + +
− <
+
< < <
− = ⇔ = ⇔ = = ⇔
> >
+ < < <
+ = ⇔ = − ⇔ = = ⇔ 1
10
lgx+ >1 0 når x>
3lg 3 1
1 når 100
lg 1 10
x x
x
− < < <
+
0 101 100 x 2lg x – 4
lg x + 1 2 lg 4
lg 1 x x
− +
0 1 10 100
x 2lg x – 4
lg x – 1 2 lg 4
lg 1 x x
−
−
d)
( ) ( )
1 2
2
lg er voksende 0
1 2
2 lg lg 0 lg 2 lg 1 0
lg 0 når 0 1
lg 0 10 1
lg 0 når 1
2 lg 1 0 når 0 10
2 lg 1 0 lg 10 10
2 lg 1 0 når 10
x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
− > ⇔ ⋅ − >
< < <
= ⇔ = = ⇔
> >
− < < <
− = ⇔ = ⇔ = = ⇔
− > >
( )
22 lgx −lgx>0 når 0< <x 1 og når x> 10
e)
( ) ( ) ( )
Nullpunkter lg 3 og lg 2 2
lg er voksende 3
2
lg 5 lg 6 0 lg 3 lg 2 0
lg 3 0 når 0 1000
lg 3 0 lg 3 10 1000
lg 3 0 når 1000 lg 2 0 når 0 100
lg 2 0 lg 2 10 100
lg 2 0 når 100
x x
x
x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
= =
− + < ⇔ − ⋅ − <
− < < <
− = ⇔ = ⇔ = = ⇔
− > >
− < < <
− = ⇔ = ⇔ = = ⇔
− > >
( )
lgx 2−5 lgx+ <6 0 når 100< <x 10000 100 1000 x lg x – 3
lg x – 2
(
lgx−3 lg)(
x−2)
0 1 10 x lg x
2lg x –1
( )
lgx⋅ 2 lgx−1
f)
( )
( ) ( )
( ) ( )
Nullpunkter for teller
2 2
lg 3 og lg 1
lg er voksend 3
2 lg 3 lg lg 2
2 lg 3 2 lg 3
lg lg 0 0
lg 2 lg 2 lg 2
2 lg 3 lg 2 lg lg 4 lg 3
0 0
lg 2 lg 2
1 lg 3 lg 1
lg 2 0
lg 3 0 lg 3 10 1000
x x
x
x x x
x x
x x
x x x
x x x x x
x x
x x
x
x x x
= =
− − ⋅ −
− −
> ⇔ − > ⇔ > ⇔
− − −
− − + − + −
> ⇔ > ⇔
− −
− ⋅ − ⋅ −
− >
− = ⇔ = ⇔ = = ⇔ e
1
2
lg 3 0 når 0 1000 lg 3 0 når 1000 lg 1 0 når 0 10
lg 1 0 lg 1 10 10
lg 1 0 når 10
lg 2 0 når 0 100
lg 2 0 lg 2 10 100
lg 2 0 når 100
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
− < < <
− > >
− < < <
− = ⇔ = ⇔ = = ⇔
− > >
− < < <
− = ⇔ = ⇔ = = ⇔
− > >
2 lg 3
lg når 0 10 og når 100 1000 lg 2
x x x x
x
− > < < < <
−
0 10 100 1000 x -1
lg x-3 lg x-1 lg x-2 Brøk
