Numerisk løsing av partiell differensiallikning for akustiske bølger i tre dimensjoner

Konsertsal Pressure Step 48 Time 0.13

Numerisklsingavpartielldifferensiallikning forakustiskeblgeritredimensjoner StianG.Danenbarger

15.august1996

Forord

DennerapportenerresultatavmitthovedfagsarbeidemotgradenCand.Scient.vedIns- tituttforinformatikk(I),UniversitetetiOslo.OppgaveneriallhovedsakutfrtvedIns- tituttet,padeltidovertoareffektivt.Enstortakkrettestilmineksterneveileder,Cand.Scient.RudiOlufsen,TechnicalSoft- wareConsultantsA/S(TSC),forathanlavilkarenetilretteforenoppgavesomvirkelig engasjerte,ogformegetgodhjelpmedimplementasjoneniTSCsFRONTSIM.Jegvilogsa gjernetakkemininterneveileder,professorOlavDahl,I,forkonstruktivesamtalerom deteoretiskesidenevedoppgaven,ogoppmuntringerdadetstodpasomverst.Takker ogsaPaulTijink,TSC,forathanfantfeilenjegsletmedimaneder,ogadministrasjonen vedOsloKonserthusforvelvilligutlanavarkitekttegninger.Tilsluttviljegspesielttakke Ninaforalltalmodighet,forstaelseogsunnematpakker.

Noenanimasjonerbasertpalsningergenerertvedmetodenebeskrevetidenneoppgaven erlagtutpaInstituttetsWWW-server,medURL-adressehttp://www.i.uio.no/~stiand/

StianG.Danenbarger Blindern,15.august1996

1

Innhold

1Innledning 5

2Akustikk2.1 Planeblger2.2 Sfriskeblger2.3 Staendeblger2.4 Romakustikk2.5 Matematiskmodelleringogakustikk2.1.1 Blgelengde,periodeogfrekvens2.1.2 Lydtrykk2.1.3 Intensitet2.2.1 Inverskvadratlov2.2.2 Absorpsjon2.2.3 Diffraksjon2.2.4 Refraksjon2.2.5 Reeksjon2.2.6 Interferens2.2.7 Nrfelt{fjernfelt2.2.8 Frittfelt2.3.1 Heltlukketrr{heltapentrr2.3.2 Apentienende2.3.3 Rektangulrebokser{rom2.5.1 Elementmetoden2.5.2 Spektralmetoder2.5.3 Tidsdomenet2.5.4 Andreordensuks-konservativelikninger: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : 1212121313131414141414161617171719192077799

3Linearisertakustiskblgelikning3.1 Tilstandslikningen3.2 Kontinuitetslikningen3.3 Bevegelseslikningen3.4 Denlinereblgelikningen3.1.1 Lineariseringavtilstandslikningen3.2.1 Lineariseringavkontinuitetslikningen3.3.1 Lineariseringavbevegelseslikningen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : 2323232425252626

2

INNHOLD 3 4Elementformuleringen4.1 Hilbertrom4.2 Kravtillsningen4.3 Variasjonsformulering4.4 Semidiskretisering4.5 Lokalformulering4.6 Assemblering4.7 Diskretiseringitidsdomenet4.4.1 Basisfunksjonenei3D-rommet4.4.2 Funksjonsrepresentasjon4.4.3 Globalformulering4.5.1 Koefsienterfor4.5.2 Koefsienterfor4.7.1 Startvektorer4.7.2 Skjema4.7.3 Stabilitet4.7.4 Nyaktighet: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :^MSKK-matrisen-matrisen: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2727282829303131323234353637373840

5Implementasjon5.1 FRONTSIM5.2 ImplementasjoniFRONTSIM5.3 Pre-ogPostprosessering5.1.1 Likningslser: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4242424444 6Verikasjon6.1 Blgelikningen|generelllsning6.2 Initialverdierograndbetingelser6.3 Harmoniskeplaneblger6.4 Harmoniskesfriskeogsylindriskeblger6.5 Numeriskeunyaktigheter6.1.1 Fasehastighet6.2.1 Reeksjonerparanden6.3.1 Uendeligkanal6.3.2 Endeligkanal6.3.3 Delvisblokkertkanal6.3.4 Rektangulrtvolum6.4.1 Interferens6.5.1 Stabilitet6.5.2 Dispersjon6.5.3 Konvergens: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45464647484950525658616464687581

7Testeksempel7.1 Diskretiseringavetkomplisertvolum7.2 Resultaterogpresentasjon7.2.1 Impuls7.2.2 Lavfrekventsinus: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8282838386

4 ^INNHOLD 8Konklusjon8.1 Oppsummering8.2 Viderearbeid: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 949495 9Appendiks9.1 Notasjon9.2 KonserthusetsStoreSal9.1.1 Notasjon,kapittel39.1.2 Notasjon,kapittel49.1.3 Notasjon,kapittel6: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 101101101102103103

Kapittel1

Innledning

Grunnlagetfordenneoppgavenblelagtgjennomsamtalermed^Technical^Software^Con- sultants'(^TSC)RudiOlufsenogKyrreBratvedt,somytretnskeomautvidermaets numeriskeplattform.TSCeridagtungtrepresentertinnenprogramvareforreservoar- simulering,menogsasamtidiginteressertiaunderskeanvendelighetenavmatematisk modelleringpaandreomrader.Etpersonliginteressefeltinnenlydoglydreproduksjon fremstodsometmuligutvidelsesomrade,medmangeapplikasjoner.UnderskelsenskullebaserespaimplementasjoneriTSCshovedprodukt,program- pakken^FRONTSIM.Omfattendeglobaleendringeripakkenkunneikkeparegnespadet- teforstadiet,ogimplementasjonenvarmentautnytteeksisterenderutineristrstmulig grad.Oppgavenvarforholdsvisfrittdenert,menskullekunneleggeetgrunnlagforet eventueltviderearbeidpafeltethosTSC.Problemstillingenblefordetteforprosjektetbegrensettilaomfattedenlinere,ho- mogeneblgelikningen,lstoveravgrensedetredimensjonalevolumermedenklerand- betingelser.Denneoppgavenvilhaenakustiskvinkling,mendetbrnevnesatblge- likningenharlangtvidereanvendelsersomistrreellermindregradkanrelaterestilde videreunderskelsene.Settfraenakustikerssynsvinkelvildetvreavstorbetydningatdennumeriskemeto- dener^konsistentmedeventuelleanalytiskemetoder,idenforstandatmetodengirlsnin- gersomsamsvarermedanerkjentteorivedmodelleringavklassiskeproblemstillinger.En paflgendegradviskningavproblemeneskompleksitetkangigrunnlagforenrimelighets- vurderingavnumeriskelsningersomikkekanveriseresdirekte.Faktiskemaleresultatervarikketilgjengeligesomsammenlikningsgrunnlag,ogdisku- sjoneromkringblgelikningensfysiskerelevansinngarikkeiemnetfordenneoppgaven.

Eventuellebetraktningervilmattebaserespalsningenskvalitativerimelighet.Avansertreservoar-simuleringforutsetterlsingavetsettmedhyperbolskedifferensial- likninger,typiskbasertpasakalte^implisittenumeriskeskjemaersomkreverlsingavstore likningssystemervedhverttidssteg.Srdeleseffektivelikningslsereerderforenavde viktigsteegenskapenevedTSCsprogrampakkeFRONTSIM.Implisitteskjemaerkanutvi- seetspekteravegenskaper,ogdetblevedtattavurderedisseienblge-ogsignalteoretisk kontekst.Denteoretiskeakustikkenbrerpregavavreformalisertmedutgangspunktimeto- derogkonvensjonerfraelektriskkretsteori,ogdettekommersrligtiluttrykkilitteratur- ensomfattendebrukavkomplekse,periodiskefunksjoner.Innenkretsteorienharmoder- nedatamaskin-basertesimulatorerapnetforenutvidetbrukavsakalttransientanalyseved

5

6 KAPITTEL1.INNLEDNING

eksitasjon-responskarakteriseringenavlinerenettverk.Slikeanalyseritidsdomenetkan gidypereinnsiktihvordansystemethandtereretsignal.Idenneoppgavenerinnfringen avnoenmetoderfradettefeltettilsvarendetenktaskullegiinnsiktinoennumeriskeme- todersegnethetvedblgemodellering.

Sammendrag

Oppgaveninnledesmedeninnfringinoengrunnleggendebegreperinnenakustikken, ognevnernoenfundamentalerelasjonerogkarakteristiskefenomener.Engjennomgang avpubliserteeksemplerpabrukavmatematiskmodelleringiakustikkensetteroppgaven innienhistoriskkontekst.Utledningenavdenlinere,homogeneblgelikningenflges avendetaljertbeskrevet,fulldiskretiseringiromogtid,basertpaeneksibelelement- metode.Fleksibilitetenersrligknyttettilparameterstyrteegenskaperitidsdomenet,og sammenhengenmellomparametreneogskjemaetsstabilitetanalyseres.Videreflgeren kortbeskrivelseavprogrampakkenFRONTSIM,ogdeoppgaverelaterteimplementasjo- nene.Omfattendetestingdannergrunnlagetforvurderingeromkringmetodenskonsis- tens,stabilitetogkonvergens.Avslutningsvisgisetpraktiskeksempelpaenakustiskan- vendelseavmetoden,iformavenmodelleringavStoreSaliOsloKonserthus.

Kapittel2

Akustikk

Vitenskapenomlydkalles^akustikk,fradetgreske^akoustos,sombetyr^<hring^>.Medopp- rinnelseistudietavmekaniskevibrasjonerogblger,harakustikkenhattviktigeanvendelser inestenalleomraderavlivet(segur2.1(fraLindsay[44])).Myeavdagenskunnskapom akustikkeriutgangspunktetervervetvedprvingogfeilinggjennomarhundrene,oger bareganskenyligblittvitenskapeligformalisert.Lyderessensieltsett^blger,ogdefysiskeprinsippenebaklydblgergjelderogsaal- leandretyperblger.Detogrunnleggendeblgeformeneerhenholdsvistransversaleog

longitudinaleTransversaleblgerkjennetegnesvedatbevegelsenernormalt,ellertransversalt,pa. retningenblgenbevegersegi,somblgenlangsetstrukkettaunarendensvingeshurtig fremogtilbake.Elektromagnetiskeblgersomlysellerradioerogsatransversale.Gjennomluftellerandremedierpropagererlydiformavenlongitudinalblge,der denmekaniskevibrasjonensomutgjrblgenharsammeretningsomblgensbevegelses- retning.Enlongitudinalblgekanobserveresienspiralfjrdernoenavspiraleneklem- messammenogderetterslippes,slikatenblge,iformavenfortettingavspiralene,be- vegerseglangsfjren.Blgetransporteniluftutgjresavslikelongitudinalekompresjons- blger,somiettenktgitteravspiralfjrer.Enlydblgebestarmedandreordavmereller mindreperiodisketrykkendringerrundtenlikevektstilstand.

2.1 Planeblger

En^planblgeerenblgesombevegerseggjennomrommetsometplan,ikkesomenkule medkenderadius.Dettekanf.eks.vretilfelletienkanalmeddiameterunder1/6av blgelengden[4].Planeblgergirnyttigemodellforenklingervedmatematiskebeskrivel- seravlyd.

2.1.1 Blgelengde,periodeogfrekvens

Enstemmegaffelvilmedetlettanslaggifrasegenrentonemedenenkeltfrekvens,og trykkendringeneiensliklydblgegjentarsegmedjevnemellomromirommet.Avstanden mellomdissegjentagelsenekallesblgelengden,malesiSI-systemet[53]imeterogrepresen- teresved.Dettarenvisstidforenhelblgelengdeapassereetbestemtpunktirommet, ogdenne^perioden,representertved^T,malesvanligvisibrkdeleravsekunder.Ilpet avhvertett-sekundsintervallpassererdessutenetvisstantallblgelengderdettesamme

7

8 KAPITTEL2.AKUSTIKK

Grunnleggende fysikalsk akustikk

Bioakustikk

Hørsel

Kommunikasjon Psykoakustikk

Musikkskalaer og instrumenter

Rom− og teater−

akustikk

Musikk

Tale Psykologi

Fysiologi Medisin

Seismiske bølger

Atmosfærisk lyd

Undervannslyd Oseanografi

Jord− og atmosfære−

fysikk

Elektroakustikk

Sjokk og vibrasjoner

Støy

Kunst Mekanisk energitransport

i alle materielle media

Fononer (lydkvanter)

Visuell kunst Vitenskap

om jorden

Vitenskap om liv

Anvendt vitenskap

Arkitektur Mekanikk

Elektrisitet og kjemi

Anvendt lyd−

og ultralyd−

teknologi

Figur2.1:Akustikkensomfangogdisipliner.Deninnerstesektorinndelteringenvisertil dentradisjonelleinndelingenavakustikken,mensdenyttersteringennevnertekniskeog kunstneriskeanvendelsesomrader.

punktetirommet,ogdetteantalletbetegneslydblgens^frekvens.Frekvensmalestradi- sjoneltihertz(Hz)ellerkilohertz(kHz),ogrepresenteresved^f.Menneskerhrertypisk frekvensermellom20Hzog20kHz.Sammenhengenmellomfrekvensogperiodeer

f ⁼ T ;¹

ogitilleggerrelasjonenmellomblgelengde,frekvensellerperiodeogblgenshastighet

cgittved

c⁼f⁼ T :

2.1.PLANEBLGER 9

2.1.2 Lydtrykk

Enlydblgeerenforstyrrelseimedietslikevektstilstand,ogivskeroggassergjrtrykket lokalesmautsvingomkringatmosfretrykket.Detlokaleavviketfralikevektkalleslyd- blgens^amplitude,eren^skalarstrrelse,representeresofteved^A,ogmalesipascal(^Pa), eller^N=m2.Detatmosfrisketrykketved^<standardatmosfre^>deneresnormaltsom

10

5Pa,eller^105N=m2.Denminsteamplitudenforentrykkendringsomkanoppfattesav detmenneskeligereteromtrent^10;5Pa,menssmertegrensenliggeromkring^10Pa.Tryk- kendringeneilydblgereraltsamegetsmaiforholdtilatmosfretrykket.Vedslikesma amplituderpropagererenlydblgelinert|dvs.medsvrtlitetap,dispersjonelleran- nenendringiblgeformen.Signikanteulineariteteroppstarfrstnarblgensamplitude naromtrentNarluftbevegelsenesomutgjrenlydblgeersma,erhevingeneogsenkningeneitryk-^100Pa,svarendetil¹⁼¹⁰⁰⁰avatmosfretrykket.

ketogsasmaogtilnrmetlikestore.Tilstandslikningenforenideellgasstilsieratdersom enlukketboksmedgass^kes(hurtig)ivolummed^50%,senkestrykketbareomkring^30%, mensentilsvarendevolum^reduksjonmedfrerendoblingavtrykket.Resultateterennetto trykkkningvedamplituderover^100Pa.

2.1.3 Intensitet

Lydintensitetellerenergiukserenvektorstrrelse,medenhet^W=m2,sombeskriverkvan- titetenogretningentilnettoytenavakustiskenergiietgittpunkt.Lydtrykkertilsammen- likningenskalar.Detkanvises[20]atintensitetsvektoren,ietmediumutennettomasseyt,svarertildet tidsmidledeproduktetavtrykketogpartikkelhastighetenietpunkt,uttryktved

I=p⁽t^)u(t⁾; (2.1)

deroverstrekmarkerertidsmidling.Uttryktienakseretningkan(2.1)seesahadenelektr- iskeanalogenImotsetningtillydtrykkskillerlydintensitetmellomden^<effekt=spenningstrm^>. ^aktiveog^reaktivedelenavet lydfelt.Denreaktivekomponentenviltidsmidlestilnull,ettersomdenbestarienytav energiienretningifrstehalvperiode,ogeneksaktlikestorenergiytimotsattretning iandrehalvperiodeavensvingning.Reaktivintensitetutgjrlikevelendelavdentotale energitettheten.Partikkelhastighetkanlikeledesogsasplittesienaktivogreaktivkomponent,herkalt

u^aktivog^ureaktiv,der^uaktiverifasemedtrykketog^ureaktiver⁹⁰⁰uteavfasemedtrykket.

Vedtidsmidlingvilbareproduktetmellom^uaktivogtrykketvreuliknull,somvistig.

2.2.Irentreaktivelydfelterintensiteten,ogdervednettoenergitransport,liknull,somvist ig.2.2.Eteksempelerenideellstaendeblge,dertrykketharmaksimavedveggater derpartikkelhastighetenernull.Partikkelhastighetenkanseesavre⁹⁰⁰uteavfasemed lydtrykket.Enplanblgeifrittfelt(se2.2.8)ereksempelpaetrentaktivtlydfelt,derpartikkel- hastighetenkannnesfratrykketveddenakustiskeanalogentilOhmslov(^<strm⁼ spenning/resistans^>),

u^aktiv= p c;

10 KAPITTEL2.AKUSTIKK

p p

u(aktiv) u(reaktiv)

p x u(aktiv) p x u(reaktiv)

p x u(aktiv) − tidsmidlet p x u(reaktiv) − tidsmidlet

Figur2.2:Aktiveogreaktivelydfeltiendimensjon.Trykketsmagnitudeogfase(verst) forbliruendretietreaktivtfelt,menspartikkelhastigheten(nestverst)faseforskyves⁹⁰⁰, slikatproduktetavtrykkoghastighet(nederst)tidsmidlestilnull.

2.1.PLANEBLGER 11 der^cermedietsakustiskeimpedans.Intensitetsmagnitudenerdatilsvarendegittved

jIj=pu^aktiv= p²

c ⁼ p²_RMS

derbenevnelsen^RMS(=^<Root^Mean^Square^>)henspeilerpaatdetteerdentidsmidledec ;

amplitudentilenperiodiskstrrelse.Intensitetkanmedandreordberegnesindirektefra lydtrykkunderfrittfelts-betingelser,der^cermedietsakustiske^impedans.

Akustiskimpedans

Generelter(spesikk)akustiskimpedansenkompleksfunksjon,denertsomforholdet mellomtrykketogpartikkelhastigheten.Impedansenerenskalar,menkannnesfrapartikkel- hastigheteniengittretning.Detkanforeksempeloftevrehensiktsmessigaberegne impedansennormaltpaatentilenlydkilde.Denakustiskeimpedansenerdenertover- altifeltet,menharsrligmeningparanden,knyttettilenergi-kilderog-sluk.Deeste anvendelseneavakustiskimpedansersaledesrelaterttilstudieromkringmaterialerslyd- absorpsjon(se2.2.2)oglydkilderseffektivitet.

Desibel

Hremekanismentaklerbademegetsmaogmegetstoretrykkblgervedavreuliner,i denforstandatmekanismenermereffektivisinresponsovenforlydermedlitenamplitu- deennovenforlydermedmegetstoramplitude.retsulinearitetgjrdethensiktsmessig aanvendeenlogaritmiskskalavedbeskrivelseravlydintensitet,ogipraksiser^desibel(^dB) mestkjent.Lydintensitetgittidesibeldeneresved

L_I ⁼¹⁰log⁽I I⁰⁾;

der^LI erintensiteti^dB,malti^W=m2.Referanseintensiteten^I0,tilsvarende^0dB,erinten- sitetentilen^1kHzlydblgevedhregrensen|omtrent^10;12W=m2.

LI (^dB1301201001109080706050403020100) ^{W=m111111111111110000000000000;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;122} EksempelArtilleri-ildpanrthold(smertegrense)Rockekonsert,jetmotorpanrtholdHyorkestermusikkfrapublikumsplassElektrisksagInnvendigibussellerlastebilInnvendigibilGjennomsnittliggatesty,hytelefonringingNormalsamtale,apentkontorlandskapRestaurant,privatkontorStilleromiprivathjemStilleauditorium,soveromRadio-,TV-ellerinnspillingsstudioLydtettromTotalstillhet(hregrense)

12 KAPITTEL2.AKUSTIKK

DesibeleriSI-systemet[53]strengttatterstattetav^Neper(^Np),denertved

L_I ^{= 1}

2

ln⁽I I⁰⁾;

med^LI og^I0somover.

2.2 Sfriskeblger

Irealitetenbevegerenblgesegsjeldenienrettlinje,menekspandereristedetiformav enrekkesfriskeblgefronter.Hvertpunktpaenblgeerisegselvenkildetilsfris- keblger,kjentsomHuygens'prinsipp.Huygensvistevedprinsippetomsuperposisjon

A B C

Figur2.3:Huygens'blgefronter,vistmedfrontenetilhhv.sirkulre(A)ellerplane(B) blgersomkilde.(C)viserdiffraksjonrundtethjrnebasertpaHuygens'prinsipp.

atenvilkarligblgefrontersummenavet(uendelig)antallsfriskeblgefronter,der hverblgefrontbevarersinopprinneligeform.Observerteblgefenomenererresultatav destruktivellerkonstruktivinterferens(2.2.6)mellomslikeblger.Prinsippeterogsagrunn- leggendevedFourieranalyse.

2.2.1 Inverskvadratlov

Iteorienvilenplanblgepropagereiallevighet,uendretogutentap.Dettegjelderikke sirkulreellersfriskeblger,derintensitetenavtarmedavstandenblgenpropagerer.

Etterhvertsomdesirkulreellersfriskeblgefronteneekspanderer,fordelesenergien overenstrreogstrreoverate,gittvedgeometrieniekspansjonen.Energienpr.lengde- enhetrundtomkretsenavensirkelfallerlinertmedkenderadius,mensenergienpr.

ateenhetiensfriskblgereduseresmedkvadratetavradien.Uttryktidesibelfallerintensiteteniensfriskblgemed^6dB forhverdoblingav avstandenfrakilden.

2.2.2 Absorpsjon

Itilleggtildetgeometriskeintensitetsfalletbeskrevetveddeninversekvadratlov(over), omdannesenlitendelavdenmekaniskeenergienienlydblgetilandreenergiformer gjennomereulikefysiskeprosesser.Igasserogvskererviskositetenviktigarsaktil

2.2.SFRISKEBLGER 13 slikomdanning.Ulinerefenomenersomfremmerovergangfrakoherenttilinkoherent molekylrbevegelseeristrreellermindregradkjentfraalletyperavmedier.Dissetofys- iskeprosesseneutgjrdenklassiskeabsorpsjonenavenlydblge.Dennetypeabsorpsjon erproporsjonalmedkvadratetavlydblgensfrekvens,uttryktved^=f2,derermateria- letsabsorpsjonskoefsientog^f erfrekvens.

Noenabsorpsjonskoefsienter:

Gasser

Helium ^52:5

Hydrogen ^16:9

Nitrogen ^133:0

Oksygen ^165:0

Luft ^137:0

Karbondioksyd ^140:0

Vsker

Vann,ved^{0oC 0:569} Vann,ved^{20oC 0:253} Vann,ved^{80oC 0:079} Kvikkslv,ved^{25oC 0:057} Metylalkohol,ved^{30oC 0:302}

2.2.3 Diffraksjon

DiffraksjoneretdirekteresultatavHuygens'prinsipp,ogerlydblgersevnetilaavbyes vedhjrnerogtilaspresetterpasseringavetlitehullellerenslisse.Enplanblgevil,etter passeringavendelbarrieresomvistig.2.3C,avbyesogspresinnoveribarrierens^<skyg- ge^>somsirkulreellersfriskeblgefronter,forutsattatbarrierenogblgelengdeneer avsammestrrelsesorden.Enlydblgesevnetiladiffraktererundtobjekterreduseresmedkortereblgelengder, relativttilstrrelsenpaobjektene.Erblgelengdenkortnok,vilblgenomtrentikkedif- fraktere,ogdetdannesenakustiskskyggebakobjektet.Omvendtvilenblgepassereet objekttilnrmelsesvisupavirketnarblgelengdenerlangiforholdtilobjektetsstrrelse.

2.2.4 Refraksjon

Refraksjonerbyningellerspredningavlydblgerpagrunnavendringeriblgenspropagasjons- hastighet.Eteksempelerrefraksjonsomskyldesatmosfrensnaturligetermiskegradien- ter.Ettersomlydblgerpropagererhurtigereivarmluft,erlydhastighetenhyerenr jordensoverateomdagen.Lydenrefrakteresdatypiskoppoveriatmosfren.Omnat- tenkanforholdetvreomvendt,slikatlydblgerrefrakterestilbakemotjordoveraten, oglyderkanhresklartoverlangeavstander.

2.2.5 Reeksjon

Reeksjonerspillerenviktigrolleirom-ogauditorieakustikk,ogeristorgradavgjrende forhvorvidtensaleregnetformusikkoppsetningerellerandreformal.Enakustiskreektorkandirigereenblgefrontpatilsvarendematesomenlysreektor dirigererlys,ogreektorerbenyttestilenrekkeformal.Parabolskemikrofonerbenytter

14 KAPITTEL2.AKUSTIKK

reektorerforafokusereparallellelydblgertiletpunkt,slikatsvakelyderforsterkes.I konsertsalererslikfokuseringunsket,ogglatte,kurvedeaterbrderforunngas.Narlydpassererfraetmediumtiletannetmeduliklydhastighet,reekteresnoeav lydenvedovergangen,mensrestenpasserergjennom.

2.2.6 Interferens

Interferenseretfenomensomoppstarnarblgefrontersummerespabasisavsuperposi- sjonsprinsippet.Toblgefronterpasammestedtilsammetidkaninterfererekonstruktivt

dersomdeerifase,ellerdestruktivtdersomdeeruteavfase.Konstruktivinterferensker densummerteblgensamplitude,mensdestruktivinterferenskanmedfretotalkansel- lering.Styundertrykkingerenmuliganvendelseavdestruktivinterferens.Dettekanskje vedsanntidsmalingogaktivreproduksjonavstyen,menimotsattfase,slikatdestruktiv interferensredusererstynivaet.

2.2.7 Nrfelt{fjernfelt

Omradetinrhetenavenlydkildebetegnesoftenoeupresistfor^nrfeltet.Tomervel- denertebetegnelsererhenholdsvis^akustisknrfeltog^geometrisknrfelt[45].Detakust- iskenrfeltetdeneressomomradetnrenlydkildederdenreaktiveintensitetenikke erneglisjerbarsammenliknetmeddenaktive.Detgeometriskenrfeltetertilsammen- likningdenertsomomradetnrenlydkildesomkjennetegnesvedsrligdypeminima ellernulleritrykket,slikatdetavgittefeltetikkekanapproksimeresvedplaneellersfr- iskeblger.Dettilsvarendegeometriskefjernfelteterkarakterisertvedplaneellersfriske blgerderdenreaktiveintensitetsvektorengjernekanvrestor,menavvikerlitefraret- ningentildenaktive,slikatpartikkelbevegelsenerrettlinjetogikkeelliptisk.

2.2.8 Frittfelt

Enlydkildesomplasseresienomgivelsesomermegetstorirelasjontildenavgittelyd- ensblgelengde,deravgrensendeaterersvrtlangtunnaogeventuelleandreobjekter megetsmaellersvrtlangtunnaiforholdtilblgelengden,siesavreiet^frittfelt.

2.3 Staendeblger

Toidentiskesinusoidalelydblgersombevegersegimotsattretninggjennometrreller enkanalvildanneensakaltstaendeblge,dvs.enblgesomikkebevegerseginoenrom- retning.Denstaendeblgenersinusoidal,somdetoblgekomponentene,ogoscillerer medsammefrekvens.Denkjennetegnesdessutenvedsakalte^nodermedenhalvblge- lengdesavstand,med^antinodermidtimellom.Deⁿ-teharmoniske^{(n = 1;2;3)}staende trykkblgeneirrsomhenholdsviserapneibeggeender,lukketienendeellerlukketi beggeenderervistig.2.4.

2.3.1 Heltlukketrr{heltapentrr

Ietlukketrrharenstaendetrykkblgevedⁿ⁼¹,ellergrunnfrekvensen,trykk-antinoder ihverendeogentrykknodeimidten,slikatlengdenavetlukketrrerlikenhalvbl-

2.3.STAENDEBLGER 15

Figur2.4:Defrstetreharmoniskestaendetrykkblgeneirrsomhenholdsviserapnei beggeender,lukketienendeellerlukketibeggeender.Trykknoder(X)og-antinoder(O) erangitt.Denandreharmoniskennesikkeienlukketkanal.

16 KAPITTEL2.AKUSTIKK

gelengde.Tilsvarendeforetapentrr,mentrykk-antinodenerdaanneimidten,mens trykknodeneerihverende.Grunnfrekvensen(^f1)erdervedgittved

f¹⁼ c ^{1 =} c

2L_ll ⁼ c

2L^åå;

der^Lll og^Låå erlengdenavrretsomerhenholdsvislukketibeggeenderellerapenti beggeender.Blgelengdenⁿtildeflgendeharmoniskeervideregittved

n^{= 2}L_ll

n ⁼

2L^åå

medfrekvens n ;

f_n⁼ nc

2L_ll ⁼ nc

2L^{åå =}nf¹:

2.3.2 Apentienende

Etrrsomerapentienendeoglukketidenandre,harentrykknodeveddenapneenden ogentrykk-antinodeveddenlukkede,slikatlengden^Llåavrrettilsvarerenkvartbl- gelengde.Randverdieneietsliktrrtillaterbareetoddeantallkvartblgelengderlangs engittlengde,slikat

n^{= 4}Ll^å

n ; nodde^:

Staendeblgerietrrsomerapentienendeoglukketidenandreinnebefatteraltsabare frekvensersomtilsvareroddeharmoniske,slikat

f_n⁼ nc

2Ll^{å =}nf¹; nodde^:

2.3.3 Rektangulrebokser{rom

Etluftromformetsomenrektangulrbokskjennetegnesvedenrekkeikke-harmoniske (luft)resonanseriformavstaendeblger.Deavgrensendeateneertrykk-antinoder,og detdannesstaendeblgermellomtoogtoparallelleater,ogmellommerkomplekse kombinasjoneravater.Volumerbyggetoppavrektangulreseksjonerkjennetegnesved treklasseravresonanser,^aksielle,tangentielleog^oblikke,medfrekvensergittvedrelasjonen

f ⁼c

2

v

u

u

t n_x

L_x

2

+

n_y L_y

!

2

+ n_z

L_z

2;

der^Lx,^Ly og^Lz erdetrektangulrevolumetsdimensjoner,og^nx,^ny og^nz erpositive heltall.Permutasjonerav^nx,^ny og^nz dertoverdierernullgiraksielleresonanser,en verdiliknullgirtangentielle,mensalle^nx,^nyog^nzuliknullgiroblikkeresonanser.Selv omdeaksielledempesminstogdeoblikkemest,saerdetlikeveldetstoreantalletoblikke resonansersomdominerervedhyerefrekvenser,ogstatistiskteoriutgjrgjernedetbeste modelleringsverktyet.

2.4.ROMAKUSTIKK 17

2.4 Romakustikk

Studietavhvordanlydoppfrersegietrombaserersegihovedsakpatoteorier{^blge- teorienogdengeometrisketeorien.Dengeometrisketeorien,frstpresentertavSabine[58], erenkel,meneffektivnardetgjelderaidentiseredeviktigsteparametrenesominnvirker paetterklangstiden.Dengiretbrukbartinntrykkavrommetsakustiskeegenskaper,og anvendesderfornrmestuniverseltifrsteutkastvedakustiskromkonstruksjon.Merde- taljertestudierkreveranvendelseavblgeteorien.MorseogBolt[49]girenomfattendegjennomgangoganalyseavromakustikken,dis- kutererSabinesogandresgeometrisketeorierogpresentererenteorisominnebefatter romresonanserograndatenesakustiskeimpedans.Anvendelsenavrandimpedanstil- lateratstivhetogmasseinuererresonansfrekvensenesavelsomdempingen.Blgeteorien erbeskrevetilitteraturenavMorse[48]ogMorseogIngard[50],ogbegrensersegihoved- saktilrektangulreromseksjoner.

2.5 Matematiskmodelleringogakustikk

Etavdenteoretiskeakustikkensviktigstemalharvrtakunnemodellere,ogderved forutsi,deakustiskeegenskapenevedetmerellermindreavgrensedeluftvolum,somfor eksempelrom,resonatoreroguliketyperakustiskeltre.Tidligidetnittendearhundre samletSabine[58]storemengderdataomeksisterendeakustikkrom,ogkunnepabasisav dettefastsetteempiriskeretningslinjertilbrukvedfremtidigekonstruksjoner.Innen1930blemetoderbasertparandatersom^<akustiskespeil^>anvendtforastu- dereetterklangstidirom[18].Metodenharsenerevrtbenyttetmyeiutforskningenav hvasomkrevesavluftvolumerderlydskeskontrollert.Enalternativ,mentilsvarende,teknikkersakalt^raytracing,derlyd-^<straler^> (rays) antasastraleutfrakildenialleretninger[40].Stralenestarnormaltpablgefronten,og nardetrefferenrandateblirdedelvisreektertogdelvisabsorbert,avhengigavover- atensabsorberendeegenskaper.Enavteknikkensbegrensningerliggeridenalminnelige antakelsenomatreeksjoneneerspekulreogikkediffuse,menmodiserteteknikkerfor akommerundtproblemetharvrtvist[64].Borish[6]utvidet^<speilbilde^>-teknikkenog diskuterteraytracingensbegrensninger.GibbsogJones[23]diskutertespeil-kilde(^<image-source^>)tilnrmingenmedhensyn paberegningavlydfelterienkle,rettvinklederom,menmatteantaabsorpsjonskoefsienter pa^0:27;0:88forafabrukbareresultater.Metodenharvistsegahabegrensningernar absorpsjonenerliten.Waterhouse[65][66]benyttettilsvarendemetoderforastuderereek- sjonerfraakustiskerandater.Analysenebegrensetsegtilmaksimalttreortogonaleveg- ger,ogkunnederforikkeforutsiresonansfenomenersomstaendeblger.

2.5.1 Elementmetoden

Elementmetodenharblittenuniverselllsningsmetodeforstatiskogdynamiskanalyseav strukturellesystemer[3][10][68].Ilpetavdetresistetiareneharmetodenvrtanvendtpa y-ogromfartsstrukturer,pabygningerogandresivilestrukturer,ogogsapamaskiner oglandbasertekjrety.Kommersielleprogrampakkerfordennetypensimuleringerer alminneligtilgjengelige,ogsaforPC.

18 KAPITTEL2.AKUSTIKK

Tilpassingenavslikefaststoff-strukturelleelementmetodertilbrukvedrepresentasjon avuider(vskeroggasser)eravnyeredato,oganvendelseneikkelikeutbredt.Eksem- pelviserdetakustiskefeltetomkringentransduser[37][38][41][47][59]ikkelikeinngaen- destudertsomderentstrukturelleegenskapenevedtransduseren[39][52][60][63].Enar- sakkanvreatmangeakustiskeproblemstillingerbaserersegpaantakelsenometsakalt

<frittfelt^>(se2.2.8),sompr.denisjoneretsvrtstortdomene.Analyseravlydkilder ifrittfeltkreverbrukavspesielleteknikkerforaavgrensedomenetogdervedbegrense likningssystemetsstrrelse.

Randbetingelser

Erelementmetode-domenetstortnoktilatdeterminerenderandateneerutenforkildens geometriskenrfelt(se2.2.7),viltrykkogpartikkelhastighetvreifase,ogmedietsimpe- danskanantaslik^c.Dettekreveroftestoredomener,ogantalletelementerkaninoentil- fellerbliuhandterlig.Ielementmetode-programmermedtrykksomnodevariabel,maman vedensliktilnrmingkontrollereatdempingsmatrisen(senedenfor)harverdien^1=calle stederpahoveddiagonalensomsvarertildeterminerenderandatene.Dempingsmatrisen vilpadenneformenvrefullstendigimaginrsomresultatavdenrentdissipativerand- en.Kagawaetal.[37]ogOsipovogShirkouskii[55]benytteten^c-randmedgodtresul- tat,menmedetstortantallelementer.Strrelsenpaproblemetkaneventueltreduseres, utenaavkortedomenet,vedaintroduseresakalte^<uendeligeelementer^>[5].Basertpa enforholdsvisenkellineravbildningfraetuendeligdomenetiletendelig,harmetoden funnetmangeanvendelserinnenfysikkogteknikk[69].Entredjemuligheterabenyttetest- funksjonermedverdierognormalderivertesomtilsvareranalytiskefjernfelts-lsningeri randnodene.DettebleanvendtavSwenker[62]ogJanseogKaizer[30].Problemetsstrrelsekanreduseresdrastiskvedforeksempelaantaatkilden(trans- duseren)ermontertienbaffel,slikatimpedansenibaffelapningenkanapproksimeres meddenklassiskeanalytiskelsningenforetrigidstempelienuendeligbaffel.Randen bringesdatypiskinnitransduserensnrfelt(se2.2.7),slikatrandimpedansengarover tilablibadereaktivogdisspativ.Ettersomrandaten,iformavethullibaffelen,ikkeer rigid,vilenkeltehyereordensfenomenerkunneintroduserefeil[22].Metoderderrandenbringesinninrfeltetogimpedansenmodelleresanalytiskhar ogsavrtpublisertavHunt[28],somterminertemedenadmittansgittvedsfriskehar- moniskefunksjoner,ogberegnetdet^<ytre^> lydfeltetmedenintegrallikningsteknikkpa basisavtrykkfordelingenidet^<indre^>elementmetode-domenet.AstleyogCummings[2]

beregnetlydfeltetfraenuendeligkanal(ipraksisensakalt^<linjekilde^>),oglotetsylindr- iskelementmetode-domeneforbindekanalenogdetanalytiskeytrefeltet,mensKristian- senogJohansen[41]lotetsfriskelementmetode-domeneinneholdeenaksesymmetrisk hornhyttalerutenbaffel.Moritaetal.[47]modellertefeltetrundtenhornhyttalerien baffelmedenkombinasjonavelementmetodenogGreensfunksjoner.

Demping

Deestestrukturelleelementmetode-problemerkanlsesmedhensynpamasse-ogstivhets- matrisenealene.Forenklingenerrimeligpabakgrunnavdenvanligvismegetbegrensede dempingenislikeproblemer,ogeventueltkanlittdempingleggestiletteratlsningener funnet.

2.5.MATEMATISKMODELLERINGOGAKUSTIKK 19 Iakustikkenkantilsvarendeforenklingerbenyttesforlettdempedesystemer[21],og Craggs[11]ogShukuogIshihara[61]harrapportertgoderesultateretteranvendelseav elementmetodenvedberegningavresonanseriirregulrerom.MilnerogBernhard[46]

studerterommedtoparallelleatervedbrukavelementmetoden,ogoptimertepropor- sjonerogresterendeatevinklermedhensynpaenjevnestmuligfordelingavresonansene.Kagawa[34]visteatelementmetodenkunnebenyttestilmodelleringavakustiskeltre, oggavetberegningseksempel.YoungogCrocker[67]beregnetoverfringskarakteristikken tiletto-dimensjonaltakustiskltermedenelementmetode-tilnrming,ogsammenliknet resultatermeden-dimensjonalplanblgeteori.KagawaogOmote[35][36]anvendteteknik- kenpaaksesymmetriskeakustiskeltremedvilkarligsirkulrttverrsnitt,ogsammen- liknetdeberegnederesulatenemedmalinger.Teknikkenvistesegaforutsioverfrings- karakteristikkenmedgodnyaktighet.Ovennevnteltermodellervartilegnetstudieravutelukkendereaktivefenomener,og omfattetikkeenergitransport.Energitransport,ellerintensitet(se2.1.3),forekommerkun idissipativesystemersomkjennetegnesvedfaseforskjellerilsningenoverulikedeler avdomenet.Dissipasjon,ogdervedogsamodelleringavintensitet,kreverinformasjon ombadeamplitudeogfasevinkel,ogforutsettermedandreordendempingsmatrisemed komplekseverdieritilleggtildevanligemasse-ogstivhetsmatrisene.Randendermodel- lentermineresmadessutenogsakunnerepresentereenergidissipasjon.Metoderbasertpakompleksrandimpedansinnebefattersomregelenantakelseomat medietsreaktiveegenskapervedrandatenerrentlokale[12][13][37].Antakelsenerikke ndvendigvisgyldig,menkangibrukbareresultaterutenamattekestrrelsenpaprob- lemet,ogdettilhrendelikningssystemetsomskallses.Craggs[12]benyttetelementmetodenparentreaktiveakustiskeltre,modellertsom dissipativepagrunnavenergiensomforsvinnerutgjennominn-oguttakeneilteret.

Kagawa,YamabuchiogMori[37]presenterteentilsvarendeformulering,ogvisteitillegg treberegningseksemplerderresultatenesammenfaltgodtmedmaleresultater.Craggs[14]

utvidetelementmetodentilogsaaomfatteabsorpsjonsmaterialet,ogmodellertederved utvidedereaktivematerielegenskaper.Ettersometstrreantallfrihetsgradererpakrevet, kerbrukenavegneabsorpsjonselementerproblemetsstrrelse.Spesiellemetodermatte dessutenanvendesforakopleabsorpsjonselementenetildetakustiskesystemet[15][16].

2.5.2 Spektralmetoder

Ennrtbeslektetapproksimasjonsteknikksomharvrtanvendtiutstraktgradinnen uidmekanikken[9],ogtildelsogsainnenseismiskmodellering[56],ersakalte^spektral-

metoder[7][24].Metodeneergenereltgodtegnettilblge-problemer,ettersombasisfunksjonene (se4.1)inoengradinneharfeltetsblgenatur.Spektralmetodenekreverderforgenerelt frrefrihetsgraderenndiskreteelement-ogdifferansemetoder.Tilgjengjeldegnerme- todenesegbestforglatteblgefunksjoneroverdomenermedmegetenkelgeometri,og taklerikkediskontinuitetersrliggodt.

2.5.3 Tidsdomenet

Teorienbaklinerefunksjonsrom(se4.1)viseratenfullverdigfunksjonsrepresentasjoni enreferanserammekanlineravbildesoverienlikefullverdigrepresentasjonienannen referanseramme,ogsaselvomdennyerammenharlaveredimensjonalitet,forutsattatvis- sekravertilfredsstilt.Detteerblantannetenavforutsetningenebakenhverdiskretisering,

20 KAPITTEL2.AKUSTIKK

sompr.denisjoninnebrerenreduksjonidimensjonalitet[8].AkustikkeneretavfeltenederFouriersteorieromlinereveidesummeroverorto- normalefunksjoner,srligrepresentertvedsinus-ellerkomplekseeksponensialfunksjo- ner,harfattstrstgjennomslag.Ipraksiserdettefundamentetfordensakalte^<steady state^>-analysenavakustiskeproblemer.Herbenyttesenperiodiskfunksjonmedpassen- defrekvenssom^drivendefunksjon,eksempelvisgittved

p⁽t⁾⁼p⁰e^j(!0t+);

der^!0=2f0,med^f0somfrekvens,^perlydtrykk,^p0er^RMS1amplitudeogerfase.Pe- riodisitetenapnerforattidsdomenet,somenegendimensjon,ikketrengerabetraktessom delavreferanserammen.Klassiskanalytiskakustikkharmedutgangspunktidette^<lant^>

etkomplettsettavmetoderfraelektriskkretsteori,noesomistorgradformetakustikken someksaktvitenskap[4].Idatamaskinenestidsalderer^<steadystate^>-analysenfortsattdominerende,ikkeminst understreketvedat^samtligeovennevntereferansertilanvendelseravnumeriskemetoder innenakustikkenerbasertpaenslikreferanseramme.Matematisksettbetyrdetteatde esteakustiskeproblemstillingenekanrepresenteresiformavelliptiskedifferensiallik- ninger,ogdasrligulikevarianterav^Helmholtz'likning[4],forlydtrykkgittved

r

2p^=;!⁰ c⁰

2p ;

der^!0 og^p ersomover,og^c0 erlydhastighet.Elliptiskedifferensiallikningerermeget godtrepresentertidennumeriskeanalysen,oglsningsmetodererinngaendebeskrevet (sef.eks.referanseri[31]).Etavdenteoretiskeakustikkenshovedmalermodelleringavakustiskeegenskaper ogfenomener.IenutvidetEuklidskgeometrikanmodelleringavblgerbetraktessom etredimensjonaltproblem{dvs.treromdimensjonerogtid[25][26].Tryktfremstilling tillaterkuntodimensjonalrepresentasjon,evt.basertpaforholdsvisenkellinermapping fratredimensjoner,ogbaresrdelesoversiktligelsningertillatereneventueltytterligere innfringavtidskoordinaterimappingen(f.eks.iformavfasefronter).Dersomhensikten medmatematiskmodelleringeraginyinnsiktietproblemkompleks,kandeneventuelle kompleksitetenidenvisuellefremstillingenavenlsningtenkesavremedpaabegrense modelleringensmuligheter.Komplekse,erdimensjonalenumeriskeberegninger,gjernehentetfrareelleeksemp- ler(sef.eks.7.1),stillerspesielthyekravtilfremstillingsform.Visuellpresentasjon,eller

visualisering,avnumeriskedatahardaogsablittenegenfagdisiplin.Idenseneretidhar denraskeutviklingeninnenbadehard-ogsoftwareapnetforaintroduseretidsdomenet, iformavsakalt^animert(bevegelig)visualisering,ogdettemakunneseessomsrliggodt egnetforpresentasjonavdatafranumerisklstepartielledifferensiallikninger.Utbredels- enavdetsakalte^<WorldWideWeb^>forinformasjonsoverfringkandessutenogsatenkes agjrepubliseringavanimertelsningspresentasjonermervanlig.

2.5.4 Andreordensuks-konservativelikninger

Blgelikningen,enandreordenspartielldifferensiallikningforakustiskeblger,ermedhen-

1RootMeanSquare,seseksjon2.1.3

2.5.MATEMATISKMODELLERINGOGAKUSTIKK 21 synpatrykketgittved _@2p

@t^{2 =}c^20r2p ;

med^pog^c0somover,ogutledesikapittel3.Denkarakteriseresblantannetvedavre utendiffusjon,ogregnesiklassenavhyperbolske,sakalteuks-konservativelikninger,pa

formen _@u

@t ^{=;r F(u)};

der^uerenvektor,og^Frefererestilsomkonservertuks.Linereandreordenslikningerpa denneformenkanomformestilsystemeravfrsteordenslikninger

@^u

@t ^=;

d

X

i⁼¹

Ai@^u

@xi;

der^{d = m ;1}erromdimensjonen,^xi erromkoordinatene,^Ai ersymmetriske^mm- matriserog^ueren^m-vektor.Dentredimensjonaleblgelikningenkanomformespadenne matenvedforeksempelabenyttenotasjonen

u= @p

@t @p

@x @p

@y @p

@z

T

der^perlydtrykketsomgittover,og^fx;y;zgerromkoordinater.Stabileognyaktigeme-;

toderforslikefrsteordenshyperbolskelikningssystemerharvrtvist[31](seogsaspe- sielt[32][33]),menettersomomformingavdentredimensjonaleblgelikningenipraksis redoblerantalletvariable,kandetuansettvregodgrunntilaforskeaapproksimere likningenidenformdenstar.Johnson[31]skriveratnumeriskemetodermedgodstabilitetoghynyaktighetfor andreordenshyperbolskeproblemerikkeerkjent,menskissererlikeveletikkenavngitt trestegsskjemabasertpatidsdiskretiseringavsystemetavordinredifferensiallikninger somfremkommervedsemidiskretisering(se4.4)avblgelikningen.Metodenkreverto variableihvertnodepunkt(^U og^@U=@t),oghartoparametresomkanvarieresforagi ulikeegenskaper.Hanvisertilytterligereenklasseavmetodermedvariableparametre kalt^Newmarksmetode[51],ogskissererogsaheretskjemasomkrevertovariable(^U og

@U=@t)ihvertnodepunkt.ZienkewicsogMorgan[69]beskriverentrestegsmetodesom svarertilNewmarks,ogutlederdennesomenelementmetodeitidsdomenetmedbareen variabelihvertnodepunkt.Degirogsaenstabilitetsanalyse.Vedetbestemtvalgavparametrevilbeggeovennevntemetodersvaretildenkanskje mestkjentemetodenfortidsdiskretiseringavblgelikningen|denklassisketrestegs^sent-

rertedifferanse-metoden[31][43].Metodener^eksplisitt(se4.7.3),haringennumeriskdem- ping,ogfungereriflgeJohnsonmegetgodtdersomdeneksaktelsningenerglatt,men diskontinuerligeinitialdatakanmedfrekraftigespuriseoscillasjoner.Elementmetoderanvendtoverhelerom-tids-domenetermindrevanlig,averear- saker[69].Etstorttidsdomenekanresultereietuhandterligstortlikningssystem,som dessutengenereltblirusymmetrisk,selvmedGalerkin-vekting(se4.4.3).Tidsdomeneter geometrisksettukomplisert,ogenkledifferansererderfornrliggende.Eneventuellvi- sualiseringavenirregulrrom-tidselementmetodelsningkandessutenvrevanskelig aoppfatteintuitivt.

22 KAPITTEL2.AKUSTIKK

HughesogHulbert[27]visteenelementmetodeformuleringibaderomogtidforandre- ordenshyperbolskedifferensiallikninger,menforusatteenvissregularitetidiskretiserin- genogtidsstegproporsjonalemedelementenesstrrelse.Flereminstekvadratersleddvar lagttiliskjemaetforaviseetkonvergensteorem.Enliknendeformulering,medutgangs- punktidensakalte^<diskontinuerligeGalerkin^>-metoden[31][32][33]blesenerevistav French[19].Dettilhrendekonvergensteoremetstilteingenproporsjonalitetskravtiltids- stegenesstrrelse,ogkrevdeingentilleggavminstekvadratersleddiformuleringen.

Kapittel3

Linearisertakustiskblgelikning

Trykketogtettheteniengassellervskeved^likevekt,dvs.frmedietforstyrresaven lydblge,betegneshenholdsvis^p0og⁰.Disseantaskonstantegjennomhelemediet.Lyd karakteriseresvedsmatrykk-ogtetthetsperturbasjoner,^p0 og⁰,ogsmastrmmer^{U =}

(u;v;w⁾,somfunksjonavtidogrom.Tyngdekraftenharubetydeliginnvirkningpahr- barelydblger.Hardaat _p

= p⁰⁺p^{0 = 0+0};

der^p0 refererestilsomdet^akustisketrykketelleroverskuddstrykketietpunkt,mens^p kallesdet^instantanetrykketellertotaltrykket.Tilsvarendefortettheten.

3.1 Tilstandslikningen

Tilstandslikningenerenrelasjonsombeskriversammenhengenmellomtilstandsvariablene

tetthet,trykk^pogtemperatur^T iengassellervske,paformen

⁼⁽p;T⁾:

Forhrbarlydviltilstandsendringenemedgodtilnrmelsekunneregnessomisentropiske

elleradiabatiske,detvilsiatendringeneitrykkogtettheterforhurtigetilatnoensigni- kantvarmetransportfrakomprimerteomraderkanforekommeinnenkompresjonener opphrt[40][54].Forandremedierennideellgassbrdenisentropiskerelasjonenmellom trykkogtetthetutarbeidesempirisk.EnTaylorutviklingavdennerelasjonenkangissom

p⁼p⁰⁺@p

@

^0(;0)+1

2 @²p

@²

^0(;0)2+::: ; (3.1) derindeksetbetegnerverdieravdepartieltderivertevedlikevektstilstanden.

3.1.1 Lineariseringavtilstandslikningen

Vedtilstrekkeligsmauktuasjonerkan(3.1)lineariseresvedasebortfrahyereordens ledd[40],somgir

p^;p⁰⁼K ^{;0 0} ;

23

24 KAPITTEL3.LINEARISERTAKUSTISKBLGELIKNING

der^{K =0(@p=@)0}erdenadiabatiskekompresjonsmodulenformediet.Tilstandslikningen kanuttrykkesmerkompaktmedhensynpadetakustisketrykket^p0ogrelativtetthetsend- ring,ellerkondensasjon,^s=(;0)=0,som

p⁰⁼Ks; (3.2)

forutsattat^jsj1.

3.2 Kontinuitetslikningen

Kontinuitetslikningenerfundamentaliuidmekanikken,oggiretmatematiskuttrykkfor prinsippetomatmasseverkenskapesellerdelegges.Likningenviseratmassensompas- sererinngjennomoveratenpaetlitevolumelementerlikdeninnvendigemassekningen ivolumet.Figur3.1viseretvolumelementformetsometrettvinkletparallellepipedmed

x

y z

dx

dy dz

u u

Figur3.1:Massestrmgjennomvolumelement^dxdydz

sidekanter^dx,^dyog^dz.Antarethomogentmateriale,ogkandasebortfradiffusjon,slikat komponententilmassestrmmeni^x-retningergittved^u,i^y-retningved^vog^z-retning ved^w,gittstrmningshastigheten^U=(u;v;w).Massestrmmenⁱⁿⁿgjennomelementet i^x-retningerda^udydz,ogtilsvarendeer

u⁺@⁽u⁾

@x dx

dydz

likmassestrmmen^utisammeretning.Nettobidragetavinnstrmmetmassetilvolumet i^x-retningenitidsrommet^dtererderfor

;

@⁽u⁾

@x

dxdydzdt;

ogtilsvarendeuttrykkfasforbidragenei^y-og^z-retningen.Elementetsmassekningi sammetidsrom^dtkanskrives _@

@tdxdydzdt;

3.3.BEVEGELSESLIKNINGEN 25 ogetterprinsippetombevaringavmassemadennekningenskyldesnettoinnstrmming avmasse.Detbetyrat _@

@t ⁺@⁽u⁾

@x ⁺ @⁽v⁾

@y ⁺@⁽w⁾

@z ⁼⁰;

somkalleskontinuitetslikningen,ogsomkanuttrykkesved

@@t ^+r(U)=0 (3.3)

ettersomdivergensen^{r(U)=@(@xu) +@(@yv)+@(@zw)},der^U=(u;v;w).

3.2.1 Lineariseringavkontinuitetslikningen

Likning(3.3)eruliner,ettersomdenandretermeniuttrykketinvolvererproduktetav partikkelhastighetoginstantantetthet,sombeggeerakustiskevariable.Omformesut- trykketfordenrelativetetthetsendringentil^=0(1+s),der^skanantasmegetlitenog

⁰erenkonstantibadetidogrom,kan(3.3)lineariserestil

@s@t ^+rU=0: (3.4)

3.3 Bevegelseslikningen

BevegelseslikningenuttrykkerNewtonslovforvolumelementetnevntover.Forutentryk- kraftenkanvolumkreftersomtyngdekraften,treghets-ellermagnetiskekrefter,ogate- krefterpagrunnavvisksfriksjonvirkepaelementet.Vilherantaalleandrekrefterenn trykkraftenerneglisjerbare.Denmidleretrykkraftenpasideatenesomstarvinkelrettpa

x-aksenigur3.1ergittvedhenholdsvis

p⁺ @p

@xdx

2 dydz

og

p^;@p

@xdx

2

dydz;

slikatkraftresultanteni^x-retningpagrunnavtrykketblir

;

@xdxdydz:@p

Resultantkreftenei^y-og^z-retningnnespatilsvarendemate.Dentotalekraftensomvirker pavolumelementetpagrunnavtrykketkandaskrives

; @p

@xⁱ⁺@p

@y^j+@p

@z^k

dxdydz;

ellertilsvarende

;rpdxdydz:

Antarelementetlitenoktilatmassenergittved_@^{U dxdydz},ogakselerasjonenergittved

@t,der^{U = (u;v;w)},salengeelementetikkebevegersegifeltet.Newtonslovsierat