ENGLISH 1

(1)

1

ENGLISH

(2)

PROBLEM 1 (60%)

(a)Draw the general primitive vertices used in Feynman diagrams for the following cases: electromagnetic interactions, charged weak interactions, neutral weak interactions, and strong interactions. In each case, explain your notation.

Consider now a different problem. Describe in detail what is meant by the concepts below. It counts as positive if you can also point out the relation between some of these concepts. You should use equations in addition to text when you explain these concepts. It is important that you present the concepts below in a clear and logical way, in effect not just by listing several ’keywords’ that are relevant in each case.

(b)Gauge theories and global vs. local gauge symmetries.

(c)Spontaneous symmetry breaking.

(d)The Higgs mechanism.

(e)Asymptotic freedom in QCD (you only need to define properly what this means - there is no need for a detailed discussion with equations here).

(f)Electroweak theory.

(g)Renormalization in the context of Feynman diagrams.

(3)

PROBLEM 2 (40%) Consider electron-muon scatteringe⁻+µ⁻→e⁻+µ⁻.

(a)Draw the lowest order Feynman diagram and computeM^.

(b)Use Casimir’s trick to obtain an explicit expression forh|M^|²i, which includes a trace overγ^µ-matrices and 4-momenta.

Consider now a different problem: electron-positron scatteringnear theZ⁰-pole, in effect very high energy scattering (much higher than the masses of the particles in the problem):e⁻+e⁺→f+f¯wheref is a quark or lepton (except an electron). After performing Casimir’s trick, one obtains

h|M^|²ⁱ⁼¹ 2

h g²_z q²−(M_Zc)²

i2h

[(c_V^f)²+ (c_A^f)²][(c_V^e)²+ (c^e_A)²]×[(p₁p₃)(p₂p₄) + (p₁p₄)(p₂p₃)]

+4c_V^fc_A^fc^e_Vc^e_A[(p₁p₃)(p₂p₄)−(p₁p₄)(p₂p₃)]i

(1) Above,E is the energy of each particle andθis the angle betweenp₁andp₃ whileq=p1+p2=p3+p4. The electron is labelled p1, positron p2, antifermion p3, fermion p4. The differential scattering cross section in the CM frame for a generic process 1+2→3+4 is given by the formula:

dσ dΩ =hc¯

8π

2 Sh|M^|²ⁱ (E₁+E₂)²

|p_f|

|p_i|. (2)

The meaning of the symbols should be known.

(c)Draw the Feynman diagram for this process which is consistent with the above notation. Perform a detailed calculation which shows that the total cross section for our electron-positron scattering process is given by

σ=F(E,M_Z)×G(c_V^f,c_A^f,c^e_V,c^e_A) (3) whereEis the energy of the particles andM_Z is theZ⁰-boson mass. Identify explicit expression for the functionsFandG.

Formulae that may be useful. The meaning of the symbols is assumed to be known.

ψ¯ ≡ψ^†γ⁰,Γ¯≡γ⁰Γ^†γ⁰,

∑

s=1,2

u^(s)u¯^(s)= (γ^µp_µ+mc),

∑

s=1,2

v^(s)v¯^(s)= (γ^µp_µ−mc),(γ⁰)^†=γ⁰,(γ⁰)²=1, γ^ν=γ⁰(γ^ν)^†γ⁰. (4) Photon internal line:−ig_µν/q². Vertex factor: ig_eγ^µ.

(4)

4

BOKM ˚ AL

(5)

OPPGAVE 1 (60%)

(a)Tegn de generelle primitive verteksene som brukes i Feynman diagrammer for følgende tilfeller: elektromagnetisk vekselvirkning, ladet svak vekselvirkning, nøytral svak vekselvirkning samt sterk vekselvirkning. Forklar i hvert av tilfellene hva din notasjon betyr.

Betrakt n˚a et annet problem. Beskriv detaljert hva som menes med hvert av konseptene nedenfor. Det teller positivt der- som du ogs˚a kan trekke frem sammenhenger mellom konseptene. Du bør bruke b˚ade likninger og tekst n˚ar du forklarer konseptene. Det er viktig at din presentasjon av konseptene er tydelig og logisk - det holder ikke ˚a bare skrive opp flere

’stikkord’ som er relevante i hvert tilfelle.

(b)Gauge teorier samt globale og lokale gauge symmetrier.

(c)Spontant symmetri brudd.

(d)Higgs mekanismen.

(e)Asymptotisk frihet i kvantekromodynamikk (du trenger her kun ˚a definere hva som menes med dette begrepet - en inng˚aende diskusjon med likninger er ikke nødvendig).

(f)Elektrosvak teori.

(g)Renormalisering i sammenheng med Feynman diagrammer.

(6)

OPPGAVE 2 (40%) Betrakt elektron-muon spredninge⁻+µ⁻→e⁻+µ⁻.

(a)Tegn det laveste ordens Feynman diagrammet og beregnM^.

(b) Bruk Casimir’s knep til ˚a utlede et eksplisitt uttrykk for h|M^|²i, som inkluderer et ’trace’ over γ^µ-matriser og 4- impulser.

Betrakt n˚a et annet problem: elektron-positron spredningnærZ⁰-polen, dvs. spredning med veldig høy energi (mye høyere enn massene til partiklene i problemet):e⁻+e⁺→f+f¯hvor f er en kvark eller et lepton (med unntak av et elektron). Etter ˚a ha utført Casimir’s knep f˚ar man:

h|M^|²ⁱ⁼¹ 2

i2h

(5) Her er E energien til hver partikkel mensθer vinkelen mellomp₁ogp₃ samtq=p1+p2=p3+p4. Elektronet kalles p1, positronetp₂, antifermionet p₃, fermionet p₄. Det differensielle spredningstverrsnittet i masse-senter referansesystemet for en generell prosess 1+2→3+4 er gitt ved likningen:

dσ dΩ =hc¯

8π

2 Sh|M^|²ⁱ (E₁+E₂)²

|p_f|

|p_i|. (6)

Betydningen av symbolene antas være kjent.

(c)Utfør en detaljert beregning som viser at det totale spredningstverrsnittet for v˚ar elektron-positron sprednings prosess er gitt ved:

σ=F(E,M_Z)×G(c_V^f,c_A^f,c^e_V,c^e_A) (7) hvorEer energien til partiklene ogM_ZerZ⁰boson massen. Identifiser konkrete uttrykk for funksjoneneF ogG.

Likninger som kan være nyttige. Betydningen til symbolene er antatt ˚a være kjent.

ψ¯ ≡ψ^†γ⁰,Γ¯≡γ⁰Γ^†γ⁰,

∑

s=1,2

∑

s=1,2

v^(s)v¯^(s)= (γ^µp_µ−mc),(γ⁰)^†=γ⁰,(γ⁰)²=1, γ^ν=γ⁰(γ^ν)^†γ⁰. (8) Intern foton linje:−ig_µν/q². Verteks faktor: ig_eγ^µ.

(7)

7

NYNORSK

(8)

OPPG ˚AVE 1 (60%)

(a) Teikn dei generelle primitive verteksane som vert brukte i Feynman diagram for følgjande tilfelle: elektromagnetisk vekselvirkning, ladet svak vekselvirkning, nøytral svak vekselvirkning og dessutan sterk vekselvirkning. Forklar i kvart av tilfella kva notasjonen din tyder.

Vurder no eit anna problem. Skildre detaljert kva som vert meint med kvart av konsepta nedanfor. Det tel positivt der- som du og kan trekkje fram samanhengar mellom konsepta. Du bør bruke b˚ade likningar og tekst n˚ar du forklarer konsepta.

Det er viktig at presentasjonen din av konsepta er tydeleg og logisk - det held ikkje ˚a berre skrive opp fleire ’stikkord’ som er relevante i kvart tilfelle.

(b)Gauge teoriar og dessutan globale og lokale gauge symmetriar.

(c)Spontant symmetri brot.

(d)Higgs mekanismen.

(e)Asymptotisk fridom i kvantekromodynamikk (du treng her berre ˚a definere kva som vert meint med dette omgrepet - ein inng˚aande diskusjon med likningar er ikkje naudsynt).

(f)Elektrosvak teori.

(g)Renormalisering i samanheng med Feynman diagram.

(9)

9 OPPG ˚AVE 2 (40%)

Betrakt elektron-muon spreiinge⁻+µ⁻→e⁻+µ⁻.

(a)Teikn Feynman diagrammet til l˚agaste orden og bereknM^.

(b) Bruk Casimir’s knep til ˚a utlede eit eksplisitt uttrykk for h|M^|²i, som inkluderer eit ’trace’ over γ^µ-matriser og 4- impulsar.

Vurder no eit anna problem: elektron-positrion spreiingnærZ⁰-polen, dvs. spreiing med veldig høg energi (mykje høgare enn massane til partiklane i problemet):e⁻+e⁺→ f+f¯der f er ein kvark eller eit lepton (med unntak av eit elektron). Etter ˚a ha utført Casimir’s knep f˚ar ein:

h|M^|²ⁱ⁼¹ 2

i2h

(9) Her erE energien til kvar partikkel medanθer vinkelen mellomp₁ogp₃og dessutanq=p1+p2=p3+p4. Elektronet vert kallap₁, positronetp₂, antifermionetp₃, fermionetp₄. Det differensielle spreiingstverrsnittet i masse-senter referansesystemet for ein generell prosess 1+2→3+4 er gjeve ved likningen:

dσ dΩ =hc¯

8π

2 Sh|M^|²ⁱ (E₁+E₂)²

|p_f|

|p_i|. (10)

Tydinga av symbola vert antekne kjenne.

(c)Utfør ein detaljert beregning som viser at det totale spreiingstverrsnittet for v˚ar elektron-positron spreiing er gjeven ved:

σ=F(E,M_Z)×G(c_V^f,c_A^f,c^e_V,c^e_A) (11) korEer energien til partiklane ogM_ZerZ⁰boson massen. Identifiser konkrete uttrykk for funksjonaneFogG.

Likningar som kan vere nyttige. Tydinga til symbola er antekne ˚a vere kjent.

ψ¯ ≡ψ^†γ⁰,Γ¯≡γ⁰Γ^†γ⁰,

∑

s=1,2

∑

s=1,2

v^(s)v¯^(s)= (γ^µp_µ−mc),(γ⁰)^†=γ⁰,(γ⁰)²=1, γ^ν=γ⁰(γ^ν)^†γ⁰. (12) Intern foton linje:−ig_µν/q². Verteks faktor: ig_eγ^µ.