Mathematical Model of the Geomagnetic Field

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June 2006

Eugenia Malinnikova, MATH

Master of Science in Physics and Mathematics

Submission date:

Supervisor:

Norwegian University of Science and Technology Department of Mathematical Sciences

Mathematical Model of the Geomagnetic Field

Kjetil Thorsen

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Problem Description

One of the famous problems of geophysics is the reconstruction of the magnetic field of the earth using surface data. The aim of the project is to study the mathematical model of this problem, analyze the non-uniqueness phenomena known as the Backus effect and look at the modern theoretical approaches to resolving the Backus problem.

Assignment given: 20. January 2006

Supervisor: Eugenia Malinnikova, MATH

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l=1 l

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m= − l

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l

X

m= − l

[g _l ^m r ⁻ ^(l+2) + k ^m _l r ^l ⁻ ¹ ] ∇ 1 Y _l ^m (ˆ r),

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Mathematical Model of the Geomagnetic Field

June 2006

Eugenia Malinnikova, MATH

Master of Science in Physics and Mathematics

Submission date:

Supervisor:

Norwegian University of Science and Technology Department of Mathematical Sciences

Mathematical Model of the Geomagnetic Field

Kjetil Thorsen

Problem Description

Assignment given: 20. January 2006

Supervisor: Eugenia Malinnikova, MATH

φ = r − 1 Y 0 0

φ = r − 2 Y 1 0

φ = c 1 r − 2 Y 1 0 + c 2 r − 3 Y 2 0

φ = r − 3 Y 2 1

k h k L 2 (S R 0 )

k∇ h k L 2 (S R 1 )

k∇ h k L 2 (S R −1/2 )

k∇ h k L ∞ (S R 0 )

R 3 \ B

B 1

B 2

| B 1 − B 2 | < Cε 1/6 ,

ε

C

µ

R 3

r = (x, y, z)

| r | = p

x 2 + y 2 + z 2

r

ˆ

x = (1, 0, 0)

y ˆ = (0, 1, 0)

ˆ z = (0, 0, 1)

r ∈ R 3

r = rˆ r

| ˆ r | = 1

x = r cos λ sin θ y = r sin λ sin θ z = r cos θ

E ⊂ R 3

E

E

∂E

E

E

∂E = E \

(E)

E

R 3 ∪ {∞}

∂ ∞ E

x

R

B(x, R)

S(x, R)

x = 0

B R

S R

B

S

A(r 1 , r 2 ) = { r ∈ R 3 : r 1 < | r | < r 2 }

n ∈ N

E ⊂ R 3

L n

f

E

k f k L n (E) =

Z

E | f | n dr 1/n

.

L 2

L 2

L n (E) = { f : E → C : k f k L n (E ) < ∞} .

z

z

f ∈ L 1 (S)

< f >=

Z

S

f dˆ s.

φ = r ⁻ ¹ Y ₀ ⁰

φ = r ⁻ ² Y ₁ ⁰

φ = c 1 r ⁻ ² Y ₁ ⁰ + c 2 r ⁻ ³ Y ₂ ⁰

φ = r ⁻ ³ Y ₂ ¹

k h k L ² (S R 0 )

k∇ h k L ² (S R 1 )

k∇ h k L ² (S R −1/2 )

k∇ h k L ^∞ (S R 0 )

R ³ \ B

B ₁

B ₂

| B ₁ − B ₂ | < Cε ^1/6 ,

R ³

x ² + y ² + z ²

r ∈ R ³

E ⊂ R ³

R ³ ∪ {∞}

∂ ^∞ E

B _R

S _R

A(r ₁ , r ₂ ) = { r ∈ R ³ : r ₁ < | r | < r ₂ }

E ⊂ R ³

L ⁿ

k f k L ⁿ (E) =

E | f | ⁿ dr 1/n

L ²

L ²

L ⁿ (E) = { f : E → C : k f k L ⁿ (E ) < ∞} .

f ∈ L ¹ (S)

lim _| _x _|→ _a ^f(x) _| _x _| = 0

∇ f = (∂ _x f, ∂ _y f, ∂ _z f)

∆ = _∂x ^∂ ² 2 + _∂y ^∂ ² 2 + _∂z ^∂ ² 2

∇ = ˆ r∂ _r + ˆ λ 1

r sin θ ∂ _λ + ˆ θ 1 r ∂ _θ

r ∂ _r (r∂ _r + 1) + 1 r ²

sin ² θ ∂ _λ ² + ∂ _θ ² + 1 tan θ ∂ _θ

∇ r = r∂ _r

∇ 1 = ˆ λ _sin ¹ _θ ∂ _λ + ˆ θ∂ _θ

∆ _r = r∂ _r (r∂ _r + 1)

∆ ₁ = _sin ¹ 2 θ ∂ _λ ² + ∂ _θ ² + _tan ¹ _θ ∂ _θ

r ² ∆ = ∆ _r + ∆ ₁

R ³

f ∈ C ² (E)

∂ ^∞ E

{ Y _l ^m } l,m

L ² (S)

Y _l ^m (λ, θ) = ( − 1) ^m s

(l + m)! P _l ^m (cos θ)e ^imλ ,

P _l ^m

P _l ^m (x) = 1

2 ^l l! (1 − x ² ) ^m/2 ∂ _x ^l+m (x ² − 1) ^l ,

P _l ^m = 0

< Y _l ^m 0 ⁰ Y _l ^m >= δ _ll ⁰ δ _mm ⁰

Y _l ^m = ( − 1) ^m Y _l ⁻ ^m

| Y ^m _l | ² ≤ ^2l+1 _4π

p(r) = r ^l p(ˆ r)

p _l

h _l

0 = r ² ∆h _l (r) = h _l (ˆ r)∆ _r r ^l + r ^l ∆ ₁ h _l (ˆ r)

= [l(l + 1)h _l (ˆ r) + ∆ 1 h _l (ˆ r)]r ^l ,

∆ ₁ h _l (ˆ r) = − l(l + 1)h _l (ˆ r).