Eksamensoppgave i
TFY4145 MEKANISK FYSIKK FY1001 MEKANISK FYSIKK
Faglig kontakt under eksamen:Institutt for fysikk v/Arne Mikkelsen, Tlf.:486 05 392 / 7359 3433
Eksamensdato: Fredag 15. august 2014 Eksamenstid: 09:00 - 13:00
Tillatte hjelpemidler (kode C):
Bestemt enkel godkjent kalkulator.
Rottmann: Matematisk formelsamling (norsk eller tysk utgave).
C. Angell og B. E. Lian: Fysiske størrelser og enheter.
Vedlagt formelark.
Annen informasjon:
1. Denne eksamen teller 90 % p˚a endelig karakter, laboratorierapport 10 %. For studenter med laboratorium godkjent 2011 og før teller denne eksamen 100 %.
2. Prosenttallene i parantes etter hver oppgave angir hvor mye den i utgangspunktet vektlegges ved bedømmelsen.
3. Noen generelle faglige merknader:
- Se bort fra luftmotstand med mindre det er spesielt nevnt at luftmotstand skal tas hensyn til.
- Se bort fra rullemotstand ved rein rulling, dvs. ingen energitap pga. rulling.
- Symboler er angitt i kursiv (f.eks.mfor masse), mens enheter angis uten kursiv (f.eks. m for meter).
- ˆi,ˆj,kˆ,ˆr og θˆer enhetsvektorer i henholdsvisx-,y-, z-,r- ogθ-retning.
- Ved tallsvar kreves b˚ade tall og enhet.
4. I flervalgsspørsm˚alene er kun ett av svarene rett. Du skal alts˚a svare A, B, C, D eller E (stor bokstav) eller du kan svare blankt.Rett svar gir 5 p, galt svar eller flere svar gir 0 p, blank (ubesvart) gir 1 p.
Svar p˚a flervalgsspørsm˚al i Oppgave 1 skriver du p˚a første innleveringsark i en tabell liknende den følgende:
a b c d e f g h i j
Mitt svar:
5. Oppgavene er utarbeidet av Arne Mikkelsen.
M˚alform/spr˚ak:Bokm˚al.
Antall sider (inkludert denne forsida):6.
Antall sider vedlegg:2.
Kontrollert av:
Dato Sign
Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsm˚al om din sensur m˚a du kontakte instituttet ditt. Ek- samenskontoret vil ikke kunne svare p˚a slike spørsm˚al.
(blank side)
a. En student sklir med konstant fart nedover et skr˚aplan. Kraftdiagrammet som best representerer kreftene p˚a studenten er
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
(1) s
? * 6
(2) s
? AKAA
(3) s
?
6
(4) s
? *
(5) s
? AA AK
*
b. En massiv sylinder ruller langs et horisontalt golv med fart v. Sylinderens kinetiske energi er A) 14mv2
B) 12mv2 C) 34mv2 D)mv2 E) 54mv2
c. To like kuler henger i hver si snor med lik lengde. ´Ei kule blir sluppet fra en høydehover bunnpunktet og treffer den andre kula p˚a laveste punkt i banen. Under kollisjonen (støtet) festes de to kulene til hverandre og beveger seg videre sammen. Hvilke(n) størrelse(r) er konstant under støtet? (Her erE total kinetisk energi, ptotal bevegelsesmengde ogLtotalt spinn om snorenes festepunkt i taket.)
A)E,pog L B)E ogp C)pogL D)E ogL E) Bare p
d. Vi betrakter samme kuler og størrelser som i oppgaven ovenfor. Etter kollisjonen n˚ar de sammenfestede kulene opp til en felles høydeH som er gitt av
A) 3h/4 B)h/4 C)h/2 D)h
E) Ingen av svarene er korrekte.
e. En student tar fart og hopper p˚a en karusell som dermed begynner ˚a rotere (tilnærmet friksjonsfritt) omkring en aksling som st˚ar fast i bakken, og som passerer gjennom karusellens sentrum. For systemet karusell + student, hvilke(n) størrelse(r) endrer seg ikkefra før til etter studentens innhopp p˚a karusellen?
(Her er E systemets energi, p systemets bevegelsesmengde og L systemets spinn mhp. en akse gjennom karusellens sentrum.)
A) Bare L B)Log E C)Logp D)L,E ogp E) Bare p
f. Et legeme som beveger seg med konstant banefart i en sirkel A) Har ingen akselerasjon
B) Har ingen endring i hastighet
C) Har ingen resultantkraft som virker p˚a seg D) Har ingen arbeid gjort p˚a seg
E) Er beskrevet ved alle utsagn ovenfor.
g. Et skilt med vekt 150 N holdes oppe av en horisontal bjelke og et skr˚att tau, som vist i figuren. Bjelken har jamn tykkelse og vekt 100 N og er hengslet ved veggen. Strekkrafta i tauet har størrelse (med tre siffers nøyaktighet)
A) 150 N B) 300 N C) 400 N D) 346 N E) 200 N
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......
.....
.....
... ............
.. .............
. ...... ..... ..... .......................................
. ...... ..... ..............................
. .............
. ...... ..... ..............................
.
..............................................................................................................................................................................................................................................................
...q ..................
...
......
......
..
......
......
...
......
..
...
......
......
......
.....
...
......
......
......
..
......
...
...
......
.....
...
......
...
...
......
.....
...
......
......
...
...
.....
......
...
......
...
..
......
......
...
......
.....
......
......
......
...
.....
.....
.....
...
...
...
...
...
......
30◦
.........................................................................................................................................................
...
...
...
...
....
G= 150 N
h. Et sykkelhjul, ei massiv kule og ei hul kule (kuleskall) slippes p˚a toppen av et langt skr˚aplan og ruller nedover uten rullemotstand og uten ˚a skli. Anta det vesentlige av hjulets masse er samla i felgen/dekket.
Hvilket legeme har den største fartenv ved bunnen av skr˚aplanet og hvilken har den minste?
A) Hjulet har minst, den massive kula har størst B) Hjulet har minst, den hule kula har størst
C) Den hule kula har minst; den massive kula har størst D) Den hule kula har minst; hjulet har størst
E) Kan ikke avgjøre uten ˚a ha opplysninger om legemenes masse Tips:Treghetsmoment for de tre legemer i formelark.
i. En massiv kube (terning) med jamn tetthet er plassert p˚a et skr˚aplan. Friksjonskoeffisientene mellom kuben og underlaget erµk= 0,45 andµs= 0,65. N˚ar skr˚aplanvinkelen blir økt (se figuren), vil kuben først begynne ˚a skli eller vil den først tippe over?
A) Den vil først tippe over B) Den vil først begynne ˚a skli
C) Den vil tippe over p˚a samme tid som den sklir
D) Det er umulig ˚a gi et svar uten ˚a vite massen til kuben E) Det er umulig ˚a gi et svar uten ˚a vite størrelsen til kuben
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
...
..
...
..
...
..
..
. ........................
θ
j. Et legeme svinger harmonisk ifølge likningen x(t) = 2 m
π ·sin 4πs−1t+π/6
. Ved tida t = 2 s er hastigheten til legemet
A) 2/3 m/s B) 1/πm/s C) 2/πm/s D) 4 m/s E) 4√
3 m/s
Fs
F-x
6 Fy
...θ0
L A
B ............
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
Ei tynn, rett, homogen stang AB har masse M og lengde L.
Stanga st˚ar p˚a et plant, horisontalt underlag og danner vinke- len θ = θ0 med vertikalretningen. Stanga holdes i ro med ei horisontal snor som er festa i enden A og i veggen, som vist i figuren. FriksjonskraftaFxi B er stor nok til ˚a hindre at stanga glir mot underlaget. Tyngdens akselerasjon er g.
a. Finn snorkraftaFs og kraftkomponenteneFxog Fy uttrykt med M,g ogθ0.
b.Hvor stor m˚a den statiske friksjonskoeffisienten µsminst være for at stanga ikke skal gli mot underlaget n˚ar θ0 = 30◦?
P˚a et gitt tidspunkt kuttes snora. Straks etter faller stanga ved at den roterer fritt om endepunktet B.
Friksjonen er stor nok til at endepunktet B ikke glir.
c.Finn uttrykk for stangas treghetsmoment for rotasjon om punktet B.
d. Bruk Newtons 2. lov for rotasjon (spinnsatsen) til ˚a finne stangas vinkelakselerasjon, α, om punktet B n˚ar stanga danner vinkelen θ≥θ0 med vertikalretningen, uttrykt medg, Logθ.
e.Bruk energibetraktning til ˚a finne uttrykk for vinkelhastighetenω= ˙θ ved vinkelenθ.
Tips:Kinetisk energi utgjøres kun av rotasjonsenergi om B.
Oppgave 3. Svingesystem (teller 20 %)
Ei fjær med fjærkonstant k = 200 N/m er i ene enden festa til en vegg og andre enden festa midt p˚a en aksling med to like kuler i hver ende av akslingen. Kulene er massive med samla masse M = 1,00 kg mens akslingen og fjæra kan regnes masseløse. Hver kule har radiusR= 5,0 cm. Systemet med kulene og akslingen kan bevege seg p˚a underlaget og det strammes opp tilx=x0= 0,100 m og slippes slik at det svinger fram og tilbake om x = 0. Svingingen skjer uten ˚a slenge til sidene eller ˚a rotere om noen vertikal akse, dvs.
bevegelse bare ix-retning. N˚ar akslingen roterer skjer dette fritt uten hindring av fjærfestet.
a.Anta først at kulene glir friksjonsfritt p˚a underlaget. P˚a grunnlag av Newtons 2. lov finn systemets beveg- elseslikning, gjenkjenn denne som en udempet harmonisk svinging og finn herfra svingetidaT0 i sekunder.
I det følgende antar vi at det er tilstrekkelig friksjon mellom kulene og underlaget til at kulene med aksling under bevegelsen ruller uten ˚a skli.
b.Tegn opp systemet sett fra siden i høyre ytterstilling (x=x0) og tegn her inn fjærkraftF og friksjonskraft Ff p˚a kulene, med angrepspunkt, retning og omtrent riktige størrelser relativt hverandre.
c.P˚a grunnlag av Newtons 2. lov for translasjon, finn systemets bevegelseslikning. Gjenkjenn denne som en udempa harmonisk svinging og finn herfra svingetidaT i sekunder.
Oppgitt: I høyre ytterstilling vil friksjonskrafta ha størrelse (sett bort fra retning) Ff = 25M a der a er systemet akselerasjona. Dette kan du bruke uten bevis.
Oppgave 4. Sirkelbevegelse (teller 8 %)
En partikkel beveger seg i en sirkelbane med radius r = 3,00 m. I posisjonen P, som vist i figuren, er absoluttverdien av partikkelens akselerasjon gitt ved verdien |~a| = 18,0 m/s2. Akselerasjonsvektoren
~a, danner vinkelen (180◦−θ) med posisjonsvektoren~r til P. Vinkelen θ= 48,2◦.
N˚ar partikkelen er i posisjon P: Finn sentripetalakselerasjonen og tangentialakselerasjonen og bestem deretter banefarten v = |~v| (alle tallsvar).
.. .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. . .. . . .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. .. . .. . . .. . .. .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. .. . .. . . .. . .. .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . . .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. . . .. .. .. . .. .
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
@@@r
...x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
y
3
~r J P JJ J ] ~v
XX XX X y
~a
...
...
...
...
............
θ
Oppgave 5. Klosser (teller 12 %)
De to klossene, A og B, i figuren har masse henholdsvis mA = 5,00 kg og mB = 3,00 kg. Kloss B er plassert opp˚a kloss A. Kloss A ligger p˚a et horisontalt underlag. Statisk friskjonskoeffisient mellom kloss A og B samt mellom kloss A og underlaget er µs = 0,600. De to klossene er forbun- det med en masseløs stram snor som ligger over en ideell masseløs og friksjonsløs trinse.
P˚a massen A virker ei kraft
→
F i retning som angitt i figuren.
Tegn inn alle krefter som virker i horisontal retning p˚a kloss A og B. Hva er den minste verdien av kraftaF =|
→
F |som trengs for ˚a bevege de to klossene?
........
....
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
mB
mA F~-
.......
...................
...............
...............
...............
...............
....
.......
...................
...............
...............
...............
..............
...
.......
...................
..............
..............
...............
....
.......
........
.......
...................
..............
...
.......
...................
..............
...
.......
...................
..............
..............
...............
....
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . . . .. . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . .. . . . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .............................................................................................................................................................................................. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .................................................................... .
...
...
Formlenes gyldighetsomr˚ade og de ulike symbolenes betydning antas ˚a være kjent. Symbolbruk som i fore- lesningene.
Nødvendige konstanter hentes fra Angell & Lian: Fysiske størrelser og enheter.
F~(~r, t) = d~p
dt, der~p(~r, t) =m~v=m~r˙ F~ =m~a Konstant~a: ~v=~v0+~at ~r=~r0+~v0t+1
2~at2 v2−v20= 2~a·(~r−~r0) Arbeid dW = F~·d~s W12=
Z 2
1
F~ ·d~s
Kinetisk energi Ek=1
2mv2 Potensiell energi Ep(~r), tyngde:Ep(h) =mgh, fjær:Ep(x) = 12kx2 E= 12m~v2+Ep(~r) + friksjonsarbeide = konstant
Konservativ kraft: F~ =−∇~Ep(~r) Endim:´ Fx=− ∂
∂xEp(x, y, z) f.eks. Hookes lov (fjær): Fx=−kx Tørr friksjon: Statisk:|Ff| ≤µsF⊥, kinetisk:|Ff|=µkF⊥
V˚at friksjon (luft/vann):F~f =−kf~v (litenv) F~f=−bv2ˆv (storv)
Massefellespunkt: ~rcm= 1 M
X
i
~rimi→ 1 M
Z
~r·dm M =X mi
Kraftimpuls: R
∆tF~(t)dt=m∆~v Alle støt: P
~
pi= konstant Elastisk støt: P
Ek,i= konstant
Vinkelhastighet~ω=ωωˆ |~ω|=ω= ˙θ Vinkelakselerasjon~α= d~ω
dt α=dω dt = ¨θ Konstantα:~ ω=ω0+αt θ=θ0+ω0t+1
2αt2 ω2−ω20= 2α·(θ−θ0) Sirkelbev.: v=rω Sentripetalaks.:~ac=−vωˆr =−v2
r ˆr =−rω2ˆr Baneaks.:at=dv
dt =rdω dt =r α Kraftmoment (dreiemoment) om origo:~τ =~r×F~ Arbeid: dW =τdθ
Betingelser for statisk likevekt: ΣF~i=~0 Σ~τi=~0, uansett valg av referansepunkt for~τi
Spinn (dreieimpuls) og spinnsatsen: ~L=~r×~p ~τ = d
dtL~ Stive legemer: ~L=I·~ω ~τ =I·d~ω dt der treghetsmomentIdef= P
mir2i →R
r2dm medr= avstanden frami (dm) til rotasjonsaksen.
Rotasjonsenergi:Ek,rot= 12I ω2,
Med rotasjonsaksen gjennom massemiddelpunktet:I→I0, og da gjelder:
massiv kule:I0=25M R2 kuleskall:I0= 23M R2 sylinder/skive:I0 =12M R2
˚apen sylinder/ring:I0=M R2 lang, tynn stav:I0= 121 M `2 Parallellakseteoremet (Steiners sats): I=I0+M d2
Legemer som har translasjon og rotasjon: ~L=R~cm×M ~V +I0~ω, Ek= 12M V2+12I0ω2
Gravitasjon: F~(~r) =−Gm1m2
r2 ˆr Ep(r) =−GM r m Udempa svingning: x¨+ω20x= 0 T =2π
ω0
f0= 1 T = ω0
2π Masse/fjær:ω0= rk
m Tyngdependel: θ¨+ω20sinθ= 0, der sinθ≈θ Fysisk:ω0=
rmgd
I Matematisk:ω0= rg
` Dempa svingning: x¨+ 2γx˙+ω20x= 0 Masse/fjær:ω0=p
k/m γ=b/(2m) γ < ω0 Underkritisk dempa: x(t) =Ae−γtcos(ωdt+φ) medωd=p
ω02−γ2 γ > ω0 Overkritisk dempa: x(t) =A+e−α(+)t+A−e−α(−)t medα(±)=γ±p
γ2−ω20 eller x(t) =Ae−γtcosh(βt+φ) med β=p
γ2−ω20 Tvungen svingning: x¨+ 2γx˙+ω20x=f0cosωt, med (partikulær)løsning n˚ar tγ−1 :
x(t) =A0cos(ωt−δ), der A0(ω) = f0
p(ω02−ω2)2+ 4γ2ω2 tanδ= 2γω ω02−ω2
“Rakettlikningen”: m(t)d~v
dt =F~Y+β~uex der β= dm
dt og~uex= utskutt masses hastighet relativ hovedmasse Gauss’ feilforplantningslov: (∆q)2=
n
X
i=1
∂q
∂ai
∆ai
2
Middelverdi (gjennomsnittsverdi):x= 1 N
N
X
i=1
xi
Standardavvik (feil i enkeltm˚aling):δx= v u u t 1
N−1
N
X
i=1
(xi−x)2
!
Standardfeil (feil i middelverdi):δx= δx
√N
