Løsningsforslag eksamen i matematikk for forkurset 2018
Oppgave 1 a)
∙ ( − 2 + 1) ∙ ln ∙ sin 4
( ) ∙ ∙ ( − 1) ∙ √2 = ∙ ( − 1) ∙ ∙ √2 2
∙ ∙ ( − 1) ∙ √2 = ( − 1) 2 b)
sin 3 = −1 [− ,
3 = −
2+ 2
3 = − − + 2 = + 2 = − + 2 ( )
= −6+ 2 3
= −6+(−1)2
3 = −5
6 = −1
= −6+0 ∙ 2 3 = −
6 = 0
= −6+1 ∙ 2
3 =
2 = 1
= −5 6 , −
6, 2
c)
ln( + 2) − ln = 1 ∈ 0, →
ln + 2
= 1 + 2=
+ 2 =
− = −2 (1 − ) = −2
2
=1 − =
− 1
= 2
− 1 d)
( ) = sin( ) ∙
( ) = ∙ cos + ∙ sin = (cos + sin )
= sin = cos
= =
e)
( ) = ln(cos )
=− sin
cos = − tan
f) 4
− 4 = 2 2
− 4= 2 ln| − 4| +
g) 4
− 4 = 4 − 4 + 4
− 4 = 4 − 4
− 4+ 4
− 4 = 4 1 + 4
− 4
= 4( + 4 ln| − 4|) +
ø :
4
− 4= 4
( − 2)( + 2)= 1
− 2− 1 + 2
4
− 4 = 1
− 2− 1
+ 2 = ln| − 2| − ln| + 2| 4 3
= ln|4 − 2| − ln|4 + 2| − (ln|3 − 2| − ln|3 + 2|) = ln 2 − ln 6 + ln 5 = ln 2 − (ln 2 ∙ 3) + ln 5
3
= ln 2 − ln 2 − ln 3 + ln 5 = ln5 3
i)
( ) = 1 +
√7+ 7 +
7√7+
49+ ⋯
= = √7
1 =
√7
−1 < < 1
−1 <
√7< 1
−√7 < < √7 eller ∈ 〈−√7, √7〉
( ) =
1 − = 1
1 −√7
= √7
√7 −
Oppgave 2 a)
= ∖ 0
( ) = 0 4 + 1
= 0 4 + 1 = 0
ℎ ø ℎ ( ) .
b)
: 0.
→ ( ) =
→
4 + 1
= ±∞ = 0
( ) =4 + 1
=4 +1
= 4 +1
= 4 å :
lim ( ) −
→ ±∞ =lim 4 +1− 4
→ ±∞ = lim 1
→ ±∞= 0 å = 4
4 c)
( ) =4 + 1
= 4 + 1 = 8
= = 1
( ) =8 ∙ − (4 + 1) ∙ 1
=8 − 4 − 1
=4 − 1
( ) = 0 4 − 1
= 0 4 − 1 = 0
=1 4
= ±1 2
( ) =4 − 1
=4( −1
2)( +1 2)
1
2 = 4 1 2 + 1
12
= 4
5
−1
2 =4(−1 2) + 1
−1 2
= −4
−1
2, −4 1 2, 4
∈ 〈←, −1 2〉 ∪ 〈1
2, →〉
∈ 〈−1
2, 0〉 ∪ 〈0,1 2〉
= ∖ 〈−4,4〉
Oppgave 3 a)
⋅ = −2,1, −1 ⋅ 1, −2,3 = (−2) ⋅ 1 + 1 ⋅ (−2) + (−1) ⋅ 3 = −7
× = −2 1 −1
1 −2 3
= + 5 + 3 = 1,5,3
6 b)
| | = (−2) + 1 + (−1) = √6
| | = 1 + (−2) + 3 = √14
cos = ⋅
| | ∙ | |= −7
√6 ∙ √14 ⇒ = 140°
c)
× = 1,5,3 å (0,0,0) 1( − 0) + 5( − 0) + 3( − 0) = 0
+ 5 + 3 = 0
d)
= −2,1, −1 = 1, −2,3 å (2,3, −2)
: : = 2 − 2 +
= 3 + − 2
= −2 − + 3
e)
= 2 − 4,3 − 1, −2 − (−3) = −2,2,1
å (4,1, −3)
: : = 4 − 2
= 1 + 2
= −3 +
7 Oppgave 4
a)
b)
( ) =10 30=1
3
( ∩ ) = 5 30=1
6
( ∪ ) =5 + 5 + 17
30 =27
30= 9 10
( | ) = 5 22
=17 20
c)
Antall måter det går å velge 5 viner av 7 mulige på er 75 =( !)!∙ != 21 Hvis det 〖er 22 deltakere må minst to velge de samme vinene.
Det maksimale antall deltakere blir da 21
8 Oppgave 5
Trekk linjestykket mellom B og D. Trekanten til venstre for dette linjestykket har areal =6,0 ∙ 3,4 ∙ sin 65°
2 9,2
Lengden BD får vi fra cosinussetningen = 6,0 + 3,4 − 2 ∙ 6,0 ∙ 3,4 ∙ cos 65° 5,5
Vi kan nå finne vinkelen α som spennes opp av DB og DC ved hjelp av sinussetningen
= sin 7,1 ∙ sin 50°
5,5 81° ∨ = 180° − 81° = 99°
Vinkelen som spennes opp mellom BD og BC er da
= 180° − 81° − 50° = 49° ∨ = 180° − 99° − 50° = 31°
Arealet til trekanten til høyre for BD blir
=5,5 ∙ 7,1 ∙ sin 49°
2 14,7 ∨ =5,5 ∙ 7,1 ∙ sin 31°
2 10,1
= + = 9,2 + 14,7 = 23,9 eller
= + = 9,2 + 10,1 = 19,3
Oppgave 6
( ) = (1 − ) ( )
= (1 − )
9
= (1 − )
= (1 − )
ln| | = −1
2 +
| | =
| | = ∙
= ± ∙ = ± ∙
Siden starttempraturen er positiv og > 0 kan vi se bort i fra den negative løsningen.
(0) = ∙ ∙ = 10 ⇒ = 10
= 10 ∙
b)
Største verdi av x får vi for (0) eller når = 0
= 10(1 − ) = 0 1 − = 0 ∨ = 0
= 1 ∅
(1) = 10 ∙ ∙ = 10 ∙ > 10
Fortegnsskjema eller den dobbeltderiverte viser at (1) = 10 ∙ er maksverdi for .
c)
→ 10 ∙ = → ∙ = 0 dominerer fullstendig over for store . ( ) → 0 å → ∞
10
