Hogskolen i Telemark

Hogskolen i Telemark

Fakultet for allmennvitenskapelige fag

SLUTTEKSAMEN

4100N

MATEMATIKK FOR OKOLOGAR

17.t2.20r2

Tid:

⁵

^timar

Milform: Bokmil/nynorsk

Sidetal:

⁷

(inkludert

denne)

Hjelpemiddel: Kalkulatorog formelsamling

Merknader: ^Alle

dei 24 deloppgivene

tel likt

ved evalueringa

Vedlegg:

mm-papir og

formelsamling

Sensuren

finn

du

pi

StudentWeb.

Bokmil

OPPGAVE

¹

a-

^Deriver funksjonene gitt ved

l)/(x)=fxa _-lx2 +5x-17

2) g(x) = ⁵ⁱ¹¹³ v

'cosr(x

^mdles i radianer) 3)

h('l

₌

-:-:-- -r+1 _x' -9

b. l)

Los likninga

e" -8e'

⁺¹⁵ = o

2) Regn ut eksakt verdi for summen av den uendelige geometriske rekka

-

^.

^{7({s -2)}

^.

ldt _-2)'

.

t(Ji _-z\'

3927 c.

^Regn ut integralene

u

_J(-30r1 ⁺ lx'z

- lx

⁺¹³⁾

^dr

2)

[-x.cosx&

^{(x mdles iradianer)}

3)l4f

2_ 4x4

+s&

0

a.

b.

OPPGAVE ²

Ved slutten av

l9l0

hadde Bo i Telemark et folketall pit 2636, og ved slutten av 1930 var dette skt

til

3209.

Hvor mange prosent okte folketallet med i denne perioden?

Hva var den giennomsnittlige prosentvise arlige okningen av folketallet

i

^denne

perioden?

Det forutsettes at den prosentvise

irlige

okningen av folketallet har

vert

konstant i den aktuelle tidsperioden. I hvilket ar passerte folketallet 2907?

OPPGAVE

³

En

funksjon/er

defrnert ved

f(x)= x'

_-10x2

+25x, D/:

_{[0, 6].}

Finn nullpunktene

til f.

Vis at

/'(x)

= 3(r

-

*)(x

-

^{5) .} Bestem monotoniegenskapene

till

^{og regn ut}

koordinatene

til

eventuelle topp- og bunnpunkter

pi

grafen

till

Underssk hvordan grafen

til/

^{krummer i de} ulike omridene. Finn koordinatene

til

vendepunktet

pi

^grafen

till

Tegn grafen

til funksjonen/

Grafen

tilf

og x-aksen avgrenser en flate. Finn arealet av denne flata.

OPPGAVE ⁴

I trekanten ABC er AC

:

_6,4,

_AB :

_I

_{I og}

_{IB.AC-- 39".}

a.

b.

d.

a.

^{Regn ut} lengda av sidene

AD

og CD i trekanten ADC.

b.

^Finn vinkelen

Z

CBA

pi

figuren, og regn ut lengda av BC.

OPPGAVE

⁵

I denne oppgava antas det at i perioden 1950-2000 okte innbyggertallet i Norge per ar

til

enhver tid proporsjonalt med innbyggertallet.

Tida r miles

i

^{hr, og}

t:0

^svarer

til

slutten av 1950. y(t) er innbyggertallet i millioner ved tida r.

a.

^{Sett opp} differensiallikninga som har losningen y(/).

Ved slutten av 1950 var innbyggertallet 3,25

millioner,

og ved slutten av 2000 var dette okt

til

4,50 millioner.

b.

^{Vis at} innbyggertallet ved tida r er gitt ved Y(t)=3,25'eo'wst'

c.

^{Hva var} innbyggertallet i Norge ved slutten av 1990?

d.

^{I hvilket ar passerte} innbyggertallet 3,80 millioner?

OPPGAVE ⁶

Funksjonen/er definert ved _"f ^(x, y) ₌ |

x' -

^{3xy + 5 y2}

-

^{3x + 8y + 5}

z.

Funksjonen har ett minimumspunkt. Finn ^dette minimumspunktet med tilhorende minimum.

b. Pi

en boligtomt skal det settes opp et gierde med en lengde pA 80 m. Flata innenfor gierdet skal vrcre rektangelformet. Hvor stor md lengda og bredda

til

rektanglet vere for at arealet skal

bli

storst mulig?

Nynorsk

OPPGAVE I

L

^Deriver funksjonane gitt ved l)

/(x)

=

|xa - lxz

^{+ 5x} -17

2) g(x) = ^{51f a 'cos}

r(r

ndlast i radianar)

3)h/x\=

-v+?

! ^-

x"

-9

b. ^l)

Loys likninga

et' _-8e'

+ 15 = ^o

2) Rekn ut eksakt verdi for summen av den uendelege geometriske rekka

- ^. ldi _-2)

.

l(Ji -l'z

^.

l(Ji -D' 3927

c.

^Rekn ut integrala

l)

_J(-30.x1

^+lx2 -\x+13)&

2) l-x-oosxdr

^{(x mdlast iradianar)}

2_

z1[tx'Jxo +sax

0

a.

b.

a.

b.

OPPGAVE ²

Ved slutten av 19l0 hadde Bs i Telemark eit folketal pL2636, og ved slutten av 1930 var dette auka

til

3209.

Kor mange prosent auka folketalet ^med i denne perioden?

Kva var den giennomsnittlege prosentvise arlege aukinga av folketalet

i

^denne

perioden?

Vi gir

ut

fri

^{at den} prosentvise d,rlege aukinga av folketalet har vore konstant i den aktuelle tidsperioden. I kva for ar passerte folketalet 2907?

OPPGAVE

³

Ein

funksjon/er

definert ved

f(x)

=

,t

_-10x2

+25x, D/:

_{[0, 6].}

Finn nullpunkta

till

Vis

atl'(.r)

= ^3(.r

- i)(x -

^{5) .} Bestem monotonieigenskapane

till

^{og rekn ut}

koordinatane

til

eventuelle topp- og botnpunkt

pi

grafen

till

Underssk korleis ^grafen

til/

^{krummar i de} ulike omrida. Finn koordinatane

til

vendepunktet pL ^grafen til

f.

Teikn ^grafen

til funksjonen/

Grafen

til/og

x-aksen avgrensar ei flate. Finn arealet av denne flata.

OPPGAVE ⁴

I trekanten ABC er AC

:

_6,4,

_AB:

_I

_{I oB ZBAC:}

_39o.

d.

a.

^{Rekn ut} lengda av sidene

AD

og CD i trekanten ADC.

b.

^{Finn vinkelen}

I

^{CB.ApA figuren, og rekn ut} lengda av BC.

OPPGAVE

5

I denne oppgdvablir det arftall at i perioden 1950-2000 auka innbyggiartalet i Noreg per 6r

til

^{ei kvar tid} proporsjonalt med innbyggiartalet.

Tida r milast i

ir,

^og

/:

^{0 svarar}

^til

^{slutten av 1950.}

^0

er innbygglartalet

i

millionar ved tida t.

a.

^{Sett opp} differensiallikninga som har loysningay(t).

Ved slutten av 1950 var innbyggiart alet 3,25

millionar,

^og ved slutten av 2000 var dette auka

til

4,50 millionar.

b.

^{Vis at} innbyggjartalet ved tida I er gitt ved

!(t)

= 3'25'eo'ws'

c.

^Kva var innbyggjartalet i Noreg ved slutten av 1990?

d.

^{I kva for}

^ir

^passerte innbyggiartalet 3,80 millionar?

OPPGAVE 6

Funksjonen/er definert ved _.f ^(x, y) ₌

l t' _-

^{3xy + 5 y2}

_-

^{3x + 8y + 5}

a.

Funksjonen har eitt minimumspunkt. Finn ^dette minimumspunktet med

tilhorande minimum.

b. ^Pi

ei bustadtomt skal det setjast opp eit glerde med ei lengde

pi

80 m. Flata innanfor gierdet skal vere rektangelforma. Kor stor

mi

lengda og breidda

til

rektanglet vere for at arealet skal bli stsrst mogleg?

I

FOR}IELSAMLING TIL''MATEMATIKK FOR OKOLOGAR''

LIKNINGER FOR RETTE LINJER

Y=ax+b

Rett linje giennom

(rr,/r

₎ og med stigningstall ^{a er}

! - lt

^{= a(x}

-

^x,)

v--v,

Rett linje gfennom punktene (x,,y,) og(xr,yr) et

! - lt

^{= !-r---r}

_xz-xt

^L(x

-

^xt't

ANNNNGRADSLIKNING

ax2

+bx+c =0

^<+

^x=

DERIVASJON

AT

f(x+h)- f(x)

Definisjon av den deriverte:

Derivasjonsresler:

lk.f(x)l'= k.f'(x)

lf ^(x)t

^{s@)]' =}

f'(x)x

^g'(x)

f

^(x) =

x' >

_.f '(x) ₌ r ^. x'-1

/'(')

⁼

_I's

.f

(x)=

_e@)'

+ f'(x) =r.e(x)"-' ^.s'(x) (u+v)' =y'+v'

(u'v)'=11''r*u'u'

(u\ _u'.v-u.v'

l- |

⁼

---;-

\v,/ ^v'

Kjemereselen:

Gitt en tunksjon fls@)1, ^der g(x) _{= u. Da} er

f

^'[s(x)l =

f

^{' (u)' u'}

POTENSER

dd ao

=l

d€f 1

a''

₌

-:- a' a, ZtJa' (a'

^. at1=

o'*t

|

!-l=

"'-'

\o')

(a.b)' =a' '6'

(oY a'

l-l =-

r.b/ ^b'

(a')t =ot't

EKSPOI\TENTIALFIJNKSJOIYf, R

f(x)=e'+ f'(x)=e' f(x)=a'+ f'(x)=a'.lna

LOGARITMEFT'I{KS.IONER

Logaritmen til et positivt tall a er eksponenten i den potensen vi me opphsye l0 i for

[

fil a.

lltq'

₌ ^a

Den naturlige logaritnen til et positivt tall a er eksponenten i den potensen vi mi opphoye ^e

i

for A fll a.

e-'=a

lne" ₌ a

I (ln x)'

= '

x

I

Irnlxl)

=:

ln(a'b)=tuaa116

ln9=lna-ln6

b

lna'

₌

x.lna

INTEGRALREGNING

lx'&= ' .l x*'+C.r+-l J

_r

_+l

ll*=^1.1*,

[UQ)

^x

s@)* :

!

r<4* ⁺

_{[ s@)tb}

l*.y1"1*

⁼

t.I t<'la;

Delvis integrasjon ^:

lu.v'dx=u.r-lu'.udt

TUNKStrONER MED TO VARIABLE

Dersom en funksjonfxy) enten har et maksimumspunkt sllsl et minimumspunlit for

(x$=(a,b),$Lq

*1o.t1=s"t ?(a't)=o 44 _&

ott

DIFFERENSIALLIKI\'INGER

Differensiallikningen

y'

₌ k. y har lsffiirrylen )t =

(

^. st'r Differensiallikni ngerr

y'

_{= ay} + bhar losningen y _{= C} ' eo'

-

^D

Differensiallikningen

y'=ny'

+ by + c har lo*ingen y ₌

At

_'

^B-

^A

l+

C:e'{+4'^

'

der

.l

og B er losningene av likningen ay2

+by+c=0.

.t

TRIGONOMETRI

I en rettvinklet trekant glelder folgende definisjoner:

Sinus til en vinkel er forholdet mellom den motstiende kateten til vinkelen og hlpotenusen.

Cosinus til en vinkel er forholdet mellom den hosliggende kateten til vinkelen og hlpotenusen.

Tangens til en vinkel er forholdet mellom den motstAende og hosliggende kateten til vinkelen.

(sinr)'=

ss5a (cosr)' _{= -51n}

t

(tzm

.r)

₌ I

-

cos'.r

Dersom sinus eller cosinus til en vinkel x er kient, kan vi finne vinkelen x ved 6 bruke inv sin eller inv cos:

sinx

=a e

^x

=inv

^sin

a og

cosx

=6 € x=inv

^{cos 6, der x er en vinkel i} l.kvadrant.

PROSENTVISVEKST

/ ,\"

A-=A".1 " " |. l+'-

100/^|

GEOMETRISKE REKKER

Det nte leddet i en geometrisk rekke har uttrykket a n = ^ar

'k'

¹

Summen av de n fsrste leddene i en seometrisk rekke er

t.="''!-rt)

Summen av en uendelig konvergent geometrisk rekke er

s=

^o'

1-k