Del 7.1 Min anbefaling
7.2 Videre arbeid
Nesta seção, com o intuito de unificar as teorias de cadeias de Markov fuzzy intuicionista, PFI denotará qualquer uma das funções de probabilidade fuzzy intuicionista PFIR ou PFI.
Nesta seção serão consideradas apenas cadeias de Markov fuzzy intuicionistas finitas com tempo discreto, ou seja aquelas nas quais os estados mudam em certos instantes de tempo discreto, indexados por uma variável inteira n. A cada passo de tempo n, a cadeia de Markov tem um estado, denotado por Xn, que pertence a um conjunto finito S de possíveis estados. Sem perda de
generalidade, suponha que o conjunto de estados é S = {1,...,m}, onde m é um inteiro positivo. A cadeia de Markov é descrita em termos de suas probabilidades fuzzy intuicionistas de transição PFIi j: sempre que o estado passa a ser i, existe uma probabilidade fuzzy intuicionista PFIi j que o próximo estado seja j. Matematicamente, se i, j ∈ S,
PFIi j= PFI(Xn+1= j | Xn= i).
A principal suposição que norteia os processos de Markov é que as probabilidades fuzzy in- tuicionista de transição PFI estão definidas sempre que o estado i seja visitado, independente do
Capítulo 7. Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista
que aconteceu no passado e de como o estado i foi atingido. Matematicamente, suponha a seguinte propriedade de Markov, que demanda:
PFI(Xn+1= j | Xn= i, Xn−1= in−1, . . . , X0= i0) = PFI(Xn+1= j | Xn= i) = PFIi j
para todos os tempos n, todos os estados i, j ∈ S e todas as sequências possíveis i0, . . . , in−1 de
estados passados. Em outras palavras, a lei de probabilidade fuzzy intuicionista do estado seguinte Xn+1depende do passado apenas através do valor do estado presente Xn.
Defina a probabilidade fuzzy intuicionista de transição de n-passos PFIi j(n) como a probabi-
lidade fuzzy intuicionista de um processo no estado i estar no estado j após n transições adicionais. Matematicamente,
PFIi j(n) = PFI(Xn= j | X0= i).
Note que, pelo Teorema da probabilidade total fuzzy intuicionista tem-se que PFI(Xn= j) ⊆ m
∑
i=1 PFI(X0= i) · PFI(Xn= j | X0= i) = m∑
i=1 PFI(X0= i) · PFIi j(n).Além disso, das equações (7.10) e (7.11) tem-se que
(PFIi j(n))(α,β)= (PF(α,β))i j(n) para todo n ∈ N, (7.13)
onde a probabilidade intervalar do lado direito é considerada com respeito da família de intervalos F(α,β).
Observação 7.5.1 Note que, pela Observação 7.4.2 os processos Markovianos fuzzy intuicio- nistas podem ser vistos como famílias de processos Markovianos clássicos. Mais precisamente, pode-se olhar os (α,β)-níveis das probabilidades de transição fuzzy intuicionistas PFIi jcomo uma
família de probabilidades de transição clássica da seguinte forma (PFIi j)(α,β)= n P(a,α,β)(X1= j | X0= i) : a ∈ F(α,β) o =nPi j(a,α,β): a ∈ F(α,β) o se PFI = PFI ou (PFIi j)(α,β) = P(a,α,β)(X1= j | X0= i) : a ∈ F(α,β)e r ∑ i=1 ai= 1 = Pi j(a,α,β): a ∈ F(α,β)e ∑r i=1 ai= 1 ,
se PFI = PFIR, onde P(a,α,β)(A | B) é definido como na Observação 7.4.2
Da mesma forma, pode-se caracterizar os (α,β)-níveis da probabilidade fuzzy intuicionista de transição de n-passos PFIi j(n) como uma família de probabilidades de transição de n-passos
Capítulo 7. Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista
clássica, da seguinte forma
(PFIi j(n))(α,β) = P(a,α,β)(Xn= j | X0= i) : a ∈ F(α,β)
= nPi j(a,α,β)(n) : a ∈ F(α,β)o, se PFI = PFI
ou (PFIi j(n))(α,β) = P(a,α,β)(Xn= j | X0= i) : a ∈ F(α,β)e r ∑ i=1 ai= 1 = Pi j(a,α,β)(n) : a ∈ F(α,β)e ∑r i=1 ai= 1 , se PFI = PFIR.
A seguir será provado a versão fuzzy intuicionista da importante equação de Chapman-Kolmogorov, pois ela fornece um método eficaz para computar as probabilidades fuzzy intuicionistas de transi- ção de n-passos PFIi j(n).
Teorema 7.5.2 Sejam s,t ∈ N. Então PFIi j(s + t) ⊆
m
∑
k=1PFIik(s) · PFIk j(t).
Prova: Seja(α, β) ∈ L∗. Será provado que
(PFIi j(s + t))(α,β)⊆ m
∑
k=1(PFIik(s))(α,β)· (PFIk j(t))(α,β).
Mas, isto segue do Teorema 3.6.2 e da equação (7.13).
Um estado j é dito fuzzy intuicionista acessível a partir do estado i, e é escrito i → j, se existir n∈ N tal que PFIi j(n) > 0. Isto significa que ao iniciar-se com o estado i, existe uma probabilidade
fuzzy intuicionista positiva (mas não necessariamente igual a 1) que a cadeia estará no estado j após n passos. Como, pela equação (7.13) tem-se que
(PFIi j(n))(α,β)= (PF(α,β))i j(n) para todo n ∈ N,
então, j é fuzzy intuicionista acessível a partir do estado i se, e somente se, j é acessível interva- larmente a partir do estado i com respeito da probabilidade intervalar PF(α,β)para todo (α,β) ∈ L
∗.
Se um estado j é fuzzy intuicionista acessível a partir de i e i é fuzzy intuicionista acessível a partir de j, diz-se que i e j se comunicam no sentido fuzzy intuicionista, e é escrito i ↔ j. Esta relação de comunicação fuzzy intuicionista é uma relação de equivalência, ou seja satisfaz as seguintes propriedades:
Capítulo 7. Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista
(2) (Simetria) Se i↔ j então j ↔ i.
(3) (Transitividade) Se i↔ k e k ↔ j então, i ↔ j.
Prova: Como PFIii(0) = PFI(X0= i|X0= i) = 1 > 0, tem-se a propriedade (1). A propriedade (2)
segue trivialmente da definição. Resta provar a propriedade (3). Como i ↔ k e k ↔ j então, exis- tem inteiros s,t ∈ N tais que PFIik(s) > 0 e PFIk j(t) > 0. Em particular,
m
∑
k=1
PFIik(s)·PFIk j(t) > 0.
Portanto, pelo Teorema 7.5.2 tem-se que PFIi j(s + t) > 0. Assim, i ↔ j.
Como esta relação de comunicação fuzzy intuicionista é uma relação de equivalência, tem-se que o espaço de estados S pode ser decomposto em uma união finita disjunta de classes de equiva- lência módulo a relação "↔", ou seja, existem subconjuntos C1, . . . ,Csde S, dois a dois disjuntos,
tais que S = Ss
i=1
Cie tais que todos os estados em Ci se comunicam entre si no sentido fuzzy intui-
cionista. Os conjuntos C1, . . . ,Cssão chamados de classes de comunicação fuzzy intuicionista da
cadeia de Markov.
Seja i um estado e AFI(i) o conjunto de todos os estados que são acessíveis no sentido fuzzy intuicionista a partir de i. Diz-se que i é recorrente no sentido fuzzy intuicionista se para todo j que é fuzzy intuicionista acessível a partir de i tem-se que i é fuzzy intuicionista acessível a partir de j, ou seja, i satisfaz a propriedade que se j ∈ AFI(i) então i ∈ AFI( j). Em particular, tem-se que i é recorrente no sentido fuzzy intuicionista se, e somente se, i é recorrente intervalarmente com respeito da probabilidade intervalar PF(α,β) para todo (α,β) ∈ L
∗.
Quando a cadeia de Markov começa no estado recorrente no sentido fuzzy intuicionista i, so- mente podem ser visitados os estados j ∈ AFI(i) a partir dos quais i é fuzzy intuicionista acessível, ou seja, dado qualquer estado futuro, existe sempre alguma probabilidade fuzzy intuicionista de retornar ao estado i e após um certo tempo, tem-se a certeza que isto de fato vai acontecer. As- sim, repetindo este argumento indefinidamente, pode-se concluir que, se um estado recorrente no sentido fuzzy intuicionista i é visitado alguma vez, ele será revisitado uma infinidade de vezes.
Um estado i que não é recorrente no sentido fuzzy intuicionista é dito transiente no sentido fuzzy intuicionista. Assim, o estado i é transiente no sentido fuzzy intuicionista se existirem es- tados j ∈ AFI(i) tais que i não é acessível a partir de j. Em particular, tem-se que i é transiente no sentido fuzzy intuicionista se, e somente se, i é transiente intervalarmente com respeito da probabilidade intervalar PF(α,β)para algum (α,β) ∈ L∗.
Após a cadeia ter visitado o estado transiente no sentido fuzzy intuicionista i, há uma pro- babilidade fuzzy intuicionista positiva de visitar o estado j e, após algum tempo, isto de fato vai acontecer, e quando aconteça, o estado i nunca mais vai ser visitado. Pode-se concluir, que um estado transiente no sentido fuzzy intuicionista será visitado somente um número finito de vezes.
Note que, uma cadeia de Markov fuzzy intuicionista finita sempre possue pelo menos um estado recorrente no sentido fuzzy intuicionista pois, se todos os estados forem transiente no sen- tido fuzzy intuicionista então, pelo comentado acima, após um numero finito de passos (tempo) a cadeia deixará todos os estados e nunca mais os visitará. Para onde irá?
Capítulo 7. Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista
Pode-se dividir os estados transientes no sentido fuzzy intuicionista em dois tipos: os forte- mente transientes no sentido fuzzy intuicionista, ou seja aqueles que são fortemente transientes intervalarmente com respeito da probabilidade intervalar PF(α,β)para todo (α,β) ∈ L∗, e os fraca-
mente transientes no sentido fuzzy intuicionista, ou seja aqueles que são fracamente transientes intervalarmente com respeito da probabilidade intervalar PF(α,β)para algum (α,β) ∈ L
∗.
As propriedades de recorrência e transiência fuzzy intuicionista são propriedades solidárias, no seguinte sentido:
Proposição 7.5.4 Se i↔ j então
(1) i é recorrente no sentido fuzzy intuicionista se, e somente se, j também é.
(2) i é fortemente transiente no sentido fuzzy intuicionista se, e somente se, j também é.
(3) i é fracamente transiente no sentido fuzzy intuicionista se, e somente se, j também é.
Prova: O item (3) é uma consequência imediata dos itens anteriores, portanto será provado somente os itens (1) e (2).
Foi visto que, i é recorrente (resp. fortemente transiente) no sentido fuzzy intuicionista se, e somente se, i é recorrente (resp. transiente) intervalarmente com respeito da probabilidade inter- valar PF(α,β)para todo (α,β) ∈ L∗. Portanto, o resultado segue da Proposição 3.6.4
Segue desta proposição que se i é um estado recorrente no sentido fuzzy intuicionista, então o conjunto de estados AFI(i) que são acessíveis no sentido fuzzy intuicionista de i formam uma classe de comunicação fuzzy intuicionista, a qual é recorrente no sentido fuzzy intuicionista, no sentido que todos os estados em AFI(i) são recorrentes no sentido fuzzy intuicionista. Além disso, segue também que um estado transiente no sentido fuzzy intuicionista não pode ser fuzzy intuici- onista acessível de um estado recorrente no sentido fuzzy intuicionista, ou seja, se i é recorrente no sentido fuzzy intuicionista e i → j então j é recorrentes no sentido fuzzy intuicionista.
Com o intuito de entender o comportamento a longo prazo das cadeias de Markov fuzzy in- tuicionistas é importante entender o que acontece com cadeias que consistem somente de uma classe recorrente de comunicação fuzzy intuicionista. Por este motivo, é importante caracterizar as classes recorrentes de comunicação fuzzy intuicionista de acordo com a presença ou ausência de padrões de periodicidade nos tempos que um estado é visitado. Por isto, diz-se que uma classe recorrente de comunicação fuzzy intuicionista é periódica no sentido fuzzy intuicionista se seus estados podem ser agrupados em d > 1 subconjuntos disjuntos S1, . . . , Sd de tal forma que todas
as transições fuzzy intuicionistas de um subconjunto levam ao seguinte subconjunto. Matematica- mente,
Se i ∈ Sk e PFIi j > 0 então
(
j∈ Sk+1, se k = 1,...,d − 1,
j∈ S1, se k = d.
Uma classe recorrente de comunicação fuzzy intuicionista que não é periódica é denominada de aperiódica no sentido fuzzy intuicionista, ou seja, em uma classe recorrente de comunicação fuzzy
Capítulo 7. Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista
intuicionista periódica os estados são visitados no sentido fuzzy intuicionista seguindo a sequência de subconjuntos e, depois de d passos, termina no mesmo subconjunto.
Um aspecto importante em cadeias de Markov fuzzy intuicionistas é o estudo dos seus esta- dos estacionários, pois eles representam uma característica crucial das cadeias de Markov fuzzy intuicionistas uma vez que elas controlam em vários aspectos o comportamento a longo prazo da cadeia. Mais precisamente, o interesse em estudar as probabilidades fuzzy intuicionista de transição de n-passos PFIi j(n) quando n é suficientemente grande.
Se a cadeia de Markov fuzzy intuicionista possui duas ou mais classes de estados recorrentes é claro que o valor fuzzy intuicionista limite de PFIi j(n) dependerá do estado inicial i pois, visitar
ja longo prazo vai depender se j está ou não na mesma classe recorrente de comunicação fuzzy intuicionista que i. Por esta razão, este estudo será restringido a cadeias de Markov que consistem somente de uma classe recorrente de comunicação fuzzy intuicionista e possivelmente alguns es- tados transientes no sentido fuzzy intuicionista. Esta suposição não é restritiva como em princípio possa parecer, pois sabe-se que se um estado entra numa classe recorrente de comunicação fuzzy intuicionista particular, ele permanecerá nessa classe para sempre.
Observe que, a sequência fuzzy intuicionista PFIi j(n) pode não convergir, mesmo que a cadeia
de markov fuzzy intuicionista possua uma única classe recorrente de comunicação fuzzy intuici- onista. Isto decorre da equação (7.13) e do fato que Pi j(n) pode não convergir. Por exemplo,
considere a classe recorrente com dois estados, 1 e 2, tais que PFI12= PFI21= 1, ou seja a partir
do estado 1 somente pode-se ir para o estado 2, e vice-versa.
Portanto, começando em um desses estados, se permanecerá nesse mesmo estado após um número par de transições e em um outro estado após um número ímpar de transições. O que está por trás deste fenômeno é que a classe de comunicação fuzzy intuicionista é periódica e, para esta classe, PFIi j(n) oscila. A seguir será provado que para qualquer estado j, as probabilidades fuzzy
intuicionistas de transição de n-passos PFIi j(n) se aproximan de um valor fuzzy intuicionista
limite, o qual é independente do estado inicial i, desde que exclua as duas situações descritas acima: classes recorrentes multiplas e/ou classes periódicas.
Teorema 7.5.5 (Teorema da Convergência Estacionária Fuzzy Intuicionista) Considere uma ca- deia de Markov fuzzy intuicionista com uma única classe recorrente de comunicação fuzzy in- tuicionista, a qual é aperiódica. Então, dado qualquer estado j existe um único número fuzzy intuicionista
A
jque satisfaz as seguintes propriedades:(1) lim
n→∞(PFIi j(n))(α,β)= (
A
j)(α,β)para todo i, j ∈ S e para todo (α, β) ∈ L ∗.(2)
A
j⊆ ∑mk=1
A
k· PFIk j para todo j∈ S.(3) 1 ⊆ ∑m
k=1
A
k.Capítulo 7. Teoria de Probabilidade Fuzzy Intuicionista
(a)
A
j= 0, se j é fortemente transiente no sentido fuzzy intuicionista.(b) 0 ∈ S(
A
j), se j é fracamente transiente no sentido fuzzy intuicionista. (c)A
j> 0, se j é recorrente no sentido fuzzy intuicionista.Prova: Sabe-se pelo Teorema 3.6.5 que dado qualquer(α, β) ∈ L∗e qualquer estado j existe um único intervalo π(α,β)j = [π(α,β)j , π(α,β)j ] que satisfaz as seguintes propriedades:
(1) lim n→∞(PF(α,β))i j(n) = π (α,β) j , para todo i, j ∈ S. (2) π(α,β)j ⊆ ∑m k=1 π(α,β)k · (PF(α,β))k j para todo j ∈ S. (3) ∑m k=1 π(α,β)k ≤ 1 ≤ ∑m k=1 π(α,β)k . (4) têm-se que
(a) π(α,β)j = [0], se j é fortemente transiente intervalarmente.
(b) π(α,β)j = [0, π(α,β)j ] com π(α,β)j > 0, se j é fracamente transiente intervalarmente . (c) π(α,β)j > 0 se j é recorrente intervalarmente.
Portanto, o resultado segue se considerado
A
jcomo o número fuzzy intuicionista cujos (α,β)-Capítulo 8
Conclusão
Segundo George Klir [83]
‘‘An important new concept (and mathematical theories formalizing its
various facets) that emerged from this cognitive tension was a broad concept of uncertainty, liberated from its narrow confines of probability theory.’’
Essas incertezas, nesse sentido amplo que se refere Klir [83], estão presentes no dia a dia, e podem emergir de diversas formas e fontes [110].
A teoria da probabilidade clássica considera eventos bem definidos e valores exatos (um nú- mero real entre zero e um) para as probabilidades desses eventos, isto permitiu lidar com probabili- dades com um rigor matemático, erguindo-la como uma das teorias matemáticas sobre algum tipo de incerteza (neste caso a probabilística), porém bem consolidadas. No entanto, assim, como se tem a incerteza probabilística num determinado problema real, outros tipos de incertezas também podem co-existir nesse problema, o que torna-se inviável usar esta teoria.
Isto tem motivado diversos pesquisadores a considerar incertezas seja nos eventos como nos próprios valores das probabilidades, considerando diversos tipos de incertezas de forma rigorosa. Isto motivou Peter Walley em [148] a propor uma teoria unficada de probabilidades com incertezas que denominou de probabilidades imprecisas.
À luz das probabilidades imprecisas, nesta tese foram formuladas novas teorias de probabili- dade intervalar, fuzzy e fuzzy intuicionistas.
As duas probabilidades intervalares propostas visam contribuir com probabilidades intervala- res ao apresentar conceitos e propriedades próximas dos respectivos conceitos e propriedades da teoria das probabilidades convencionais, como por exemplo, probabilidade condicional e cadeias de Markov. Assim, como em matemática intervalar algumas propriedades álgebricas do corpo dos reais (distributividade e inverso aditivo) são relaxados substituindo a igualdade pela inclusão, aqui as propriedades da teoria de probabilidade convencional, como teorema de Bayes, são relaxa- das nessas teorias de probabilidades intervalares por considerarem inclusão em vez da igualdade. A probabilidade intervalar (irrestrita) permite considerar atribuição de probabilidades para cada evento que sejam independentes entre si, ou seja, sem restrição, que é algo inédito nas teorias de
Capítulo 8. Conclusão
probabilidades intervalares que podem ser encontradas na literatura (veja por exemplo [62]). Um outro aspecto que é importante destacar, é que aqui fica explicíto que a noção de probabilidade intervalar fundamental que antecede a probabilidade fuzzy no espírito de Buckley [20], o qual fica escondido (não há qualquer referência a probabilidade intervalar) nesse livro.
Os parâmetros dos modelos de cadeias de Markov muitas vezes não são conhecidos com precisão. Em vez de ignorar este problema, a melhor maneira de lidar com isso é incorporar a imprecisão nos modelos. A idéia básica é que, precisamente conhecidas distribuições iniciais e matrizes de transição são substituídas por outras imprecisas, o que efetivamente significa que conjuntos de possíveis candidatos são considerados.
Algumas aplicações das cadeias de Markov intervalares são: problemas relacionados a Gené- tica [29], problemas de tomada de decisão [40].
As duas probabilidades fuzzy introduzidas aqui, que são inspiradas na probabilidade fuzzy do Buckley [20], também contribuem para um melhor entendimento das probabilidades fuzzy que consideram números fuzzy como valores de probabilidades. A diferença do Buckley é a ordem usada nesta tese para números fuzzy não permite que o suporte do número fuzzy contenha valores negativos. Além disso, ao analisar as propriedades de probabilidade condicional e total fuzzy, considerou-se a inclusão entre números fuzzy para relaxar a relação de igualdade presente nas respectivas propriedades da probabilidade convencional e total usual, enquanto que Buckley usa sua ordem que além de ser pouco intuitiva, nos seus α-níveis não garante a corretude no sentido de [65] e [132]. Uma outra contribuição aqui foi adaptar a axiomática de Walley para as probabilidades intervalares e para as probabilidades fuzzy.
Existem várias aplicações das cadeias de Markov fuzzy, tais como: interpretação de imagens [1], tomada de decisão [3], sistemas dinâmicos complexos [2], imagens de ressonância magnética [130], potência de processadores [89], predição de erros de redes neurais [100].
A probabilidade fuzzy intuicionista, é a mais importante contribuição desta tese, pois incor- pora no seio das probabilidades imprecisas um novo tipo de imprecisão (híbrida) o qual não apenas abre espaço para o aprofundamento desta nova classe de probabilidade imprecisa, mas também motiva o estudo de outras classes de probabilidades imprecisas como fuzzy intervalar, fuzzy in- tuicionista intervalar, conjuntos rough, conjuntos rough fuzzy, conjuntos soft, etc. Também nesta classe de probabilidades imprecisas contribui-se com duas probabilidades fuzzy intuicionistas e estudou-se os conceitos de probabilidades condicionias e totais, entre outras coisas e suas pro- priedades. Aqui também foram considerados axiomas análogos aos axiomas de probabilidade intervalar de Walley.
Como dito na secão 1.4 existem poucas contribuições em probabilidade fuzzy intuicionista e a maioria delas só trabalham com eventos fuzzy intuicionistas, mas para o caso de cadeia de markov não há precedente, nem de trabalhos que considerem eventos fuzzy intuitcionistas nem de trabalhos que usem probalidades fuzzy intuicionistas. Assim, a proposta de cadeias de Markov fuzzy intuicionistas propostas na seção 7.5.1 pode-se considerar o primeiro trabalho que integra
Capítulo 8. Conclusão
cadeias de Markov com conjuntos fuzzy intuicionistas.
Outras contribuições secundárias são alguns novos elementos que foram introduzidos em nú- meros fuzzy e números fuzzy intuicionistas, como por exemplo uma nova noção de ordem.
8.1
Artigos Publicados
No caminho percorrido para se concluir esta tese, foi necessária aprofundar alguns conceitos de teoria dos conjuntos fuzzy e fuzzy intuicionistas, que permitiram ganhar maturidade no tema e que levaram à publicação dos seguintes artigos que não façam parte direta do escopo desta tese:
1. DA COSTA, C. G., BEDREGAL, B.R.C. O Corpo Local dos Números Fuzzy com Opera- ções Baseadas emα-Cortes. VIII ERMAC, Natal-RN, Novembro de 2008.
2. DA COSTA, C. G., BEDREGAL, B.R.C. Uma Aritmética Contínua para Números Fuzzy Trapezoidais. VIII ERMAC, Natal, Novembro de 2008.
3. DA COSTA, C. G., BEDREGAL, B.R.C. Relacionando t-normas com t-normas intuicio- nistas. VIX ERMAC, João Pessoa, Outubro de 2009.
4. DA COSTA, C. G., BEDREGAL, B.R.C.; DORIA NETO, A. D. Automorphisms, Pseudo- Uninorms and their Atanassov‘s Intuitionistic Extensions. Congresso Brasileiro de Siste- mas Fuzzy. Sorocaba, Novembro de 2010.
5. DA COSTA, C. G., BEDREGAL, B.R.C.; DORIA NETO, A. D. Relating De Morgan Tri- ples with Atanassov’s Intuitionistic De Morgan triples via automorphisms. International Journal of Approximate Reasoning. Novembro de 2010.
Os artigos publicados com versões preliminares de parte desta tese estão descritos abixo: 1. DA COSTA, C. G., BEDREGAL, B.R.C.; DORIA NETO, A. D. Intuitionistic Fuzzy Pro-
bability. XX Simpósio Brasileiro de Inteligência Artificial. São Bernardo dos Campos, Outubro de 2010.
2. DA COSTA, C. G., BEDREGAL, B.R.C.; DORIA NETO, A. D. Atanassov´s Intuitionistic Fuzzy Probability and Markov Chains. Knowledge-Based Systems. (Aceito em janeiro de 2013).
Mas ainda pretende-se publicar pelo menos outros dois artigos que apresentem as contribui- ções desta tese em probabilidade intervalar, probabilidade fuzzy e probabilidade fuzzy intuicio- nista.
Capítulo 8. Conclusão