Ulikhetsmål

O Radio Latino não é um instrumento de fácil construção e uso. Além de conhecimentos matemáticos, outros, relativos ao manuseio de materiais e ao posicionamento do observador ao utilizá-lo, são essenciais para o processo de medição. A leitura e a compreensão das instruções, portanto, não garantem ao leitor êxito na construção do instrumento, tampouco no processo de medição. Mesmo acompanhando as imagens fornecidas pelo autor (Figura 3), o leitor pode se frustrar em sua empreitada, pois a forma como interpretamos as imagens,

hoje, é diferente daquela que devemos utilizar para a interpretação das imagens daquele período, uma vez que as concepções de espaço, por exemplo, também não são as mesmas.15

Pode ser observado nas Figuras 3 e 4 que o Radio Latino é constituído por dois braços, duas pernas, uma haste, quatro miradas, uma guia e um fio de prumo.

Figura 3. As partes do Radio Latino

Fonte: Figura modificada (ORSINI, 1586, p. 3)

As articulações existentes entre os braços e as pernas possibilitam o movimento da guia sobre a haste e, consequentemente, a formação de duas representações de triângulos congruentes com os braços e pernas do

15 _{Para mais informações sobre a noção de espaço geométrico no século XVI ver Saito (2015),}

“Alguns aspectos da noção de espaço geométrico no século XVI a partir de um estudo preliminar de duas obras de Francesco Patrizi da Cherso”, Anais do XI Seminário Nacional de História da Matemática, UFRN.

instrumento. Além disso, a movimentação da guia (Figura 3) permite que o instrumento seja “fechado” e guardado em uma guaina, cuja tradução, bainha, refere-se a um compartimento para guardar espada, o que nos permite inferir que ele também era utilizado para fins militares.

Figura 4. As partes do Radio Latino esquematizadas

Fonte: Figura modificada (ORSINI, 1586, p. 4)

A construção do instrumento foi descrita por Orsini da seguinte maneira:

𝐶𝐵 ̅̅̅̅ = Braço direito 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ = Braço esquerdo 𝐶𝐸 ̅̅̅̅ = Perna direita 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ = Perna esquerda 𝐵𝐴 ̅̅̅̅ = Haste Guida = Guia Traguardo = Mirada

A primeira coisa a ser considerada é como devem ser colocadas as miradas nos quatro ângulos do instrumento LBMH e que a mirada H deve ter o encaixe feito com parafuso, para firmar a guia sobre a haste no ponto E a cada vez que se queira.

No ponto F é colocado o fio de prumo, o qual se prende ordinariamente ao cabo da mirada.

No ponto R, se vê a articulação dos braços na cabeça B da haste, feita com parafuso para poder afastar os braços da haste, como mais abaixo se dirá. (ORSINI, 1586, p.14, tradução nossa)16

A mirada era o orifício pelo qual o sujeito que mede deveria olhar de modo a alinhar o instrumento com um ponto do objeto que se queria medir, como consta na Figura 3. As miradas são utilizadas para encontrar o ponto mais alto de uma construção ou o ponto mais profundo de um poço, ou ainda, um ponto em uma das margens de um rio etc. Vale observar que o alinhamento entre elas define a representação da semi-reta cuja origem encontra-se no olho do observador. Na Figura 3, as miradas B e M correspondem aos pontos A e B da Figura 5. O alinhamento de B e M (portanto, de A e B) garantiria que o instrumento estivesse devidamente posicionado, já que as duas miradas e o ponto E (E, B e A) estavam alinhados (Figura 5).

Além disso, Orsini observa que o fio de prumo deve ser preso nas miradas M ou L (Figura 3), e deve ser utilizado para garantir que os braços estejam em posição vertical e a haste na posição horizontal, independentemente da posição em que o sujeito realiza a medição. O fio de prumo era utilizado para conferir a vertical do lugar no qual o sujeito realiza a medição. Ademais, os braços e as pernas do Radio Latino eram móveis e Orsini observa que sua articulação deve ser feita de tal modo que seja possível encaixar ali um parafuso (ponto E – Figura 4) a fim de que os braços possam se mover sobre a haste.

Observa-se na Figura 4, que Orsini nomeia, pela tradução, o segmento 𝐶𝐵

̅̅̅̅ como braço direito e ao segmento 𝐵𝐷̅̅̅̅ como braço esquerdo. Os segmentos maiores indicados por _𝐷𝐸̅̅̅̅ e 𝐶𝐸̅̅̅̅ são chamados de perna direita e perna esquerda,

16 _{La prima cosa faccisi consideratione, come si mettono li traguardi alli quatro angoli}

dell’istrumento LBMH. & che il traguardo H. deve havere il manico fatto à vite per fermare la guida sopra l’aste nel punto E. ogni volta che si vuole.

Nel punto F. è segnato il piombino con il filo, il quale si attaca ordinariamente al manichetto del traguardo M. overo L.

Nel punto R. si vede la consiccatura delle braccia nella testa B. dell’asta, fatta à vite per potere spiccare le braccia dall’aste, come piu abasso si dirà.

respectivamente. O segmento mais longo _𝐴𝐵̅̅̅̅ é chamado de haste, e é dividido em duas partes pelo ponto E - parte superior e inferior do instrumento. A canaleta que une as duas pernas no ponto E, indicado na figura com os pontos G, K, F, E, H, I e que se movimenta pela haste, chama-se guia.

Conforme pode ser observado na Figura 5, cada parte do instrumento tem uma função na obtenção de medida. As relações geométricas constantes no instrumento devem estar adequadamente dimensionadas de modo fornecer a medida da altura da torre.

Figura 5. Uso do Radio Latino para medir a altura de uma torre

Fonte: Orsini (1586, p. 39)

Nessa imagem as miradas são representadas pelos pontos A e B e alinhadas com o ponto E (ponto mais alto do edifício). O fio de prumo, representado pelo segmento _𝐵𝐶̅̅̅̅, está posicionado verticalmente ao solo. A distância do ponto A ao segmento _𝐹𝐺̅̅̅̅ corresponde à altura do observador.

Observa-se, pela figura 5, a congruência entre os triângulos formados pelo instrumento e a proporcionalidade existente entre as dimensões das partes do Radio Latino. Além disso, para que o instrumento possa ser utilizado em

medições, outras relações angulares apresentadas por ele também precisam ser consideradas. Essa é a razão pela qual Orsini atribui ao instrumento o nome "isogonio", pois o Radio Latino tem como propriedade essencial a “[...] igualdade que sempre há entre os ângulos dos dois triângulos que forma, os quais, por serem de lados iguais, consequentemente formarão ângulos iguais”. (ORSINI, 1586, p. 2, tradução nossa)17_.

Em outros termos, os triângulos BDA e CDA (figura 5) que Orsini apresenta, possuem lados com medidas iguais e, por isso, também serão congruentes os pares de ângulos _{𝐵𝐷̂𝐴 e 𝐶𝐷̂𝐴; 𝐴𝐵̂𝐷 e 𝐴𝐶̂𝐷; 𝐵𝐴̂𝐷 e 𝐶𝐴̂𝐷.}

Esse instrumento, porém, teve seu nome alterado por Danti, que passou a designá-lo "radio". A razão dessa mudança de nome foi justificada pelo próprio Danti, que observou que o "isogônio" tinha propriedades muito semelhantes ao radio grego (isto é, o báculo). Assim, para homenagear o seu inventor, Latino Orsini, Danti decidiu chamá-lo de Radio Latino. (DANTI, 1586)

No que diz respeito ao material, na primeira parte do Capítulo II as anotações de Danti explicam que o instrumento deveria ser, sempre que possível, feito em metal; caso fosse feito de madeira, esta deveria ser semelhantemente dura. Isto é, o instrumento deveria ser fabricado com material que fosse duro e resistente, para que não envergasse.

Danti observa, ainda, que a haste do instrumento não deveria ter menos de seis palmos de comprimento, se o instrumento fosse usado para a astronomia; caso seu uso se limitasse às demais operações geométricas, a haste poderia ter dois palmos e meio de comprimento. Muito embora não explique o motivo pelo qual a medida de comprimento dos instrumentos varia de acordo com a finalidade de seu uso, está implícito nessa orientação que quanto maior fossem suas dimensões, maior seria também sua precisão, sobretudo para as medidas relativas à astronomia.

17 _{[...] l’equalità che viene viene a far sempre de gli angoli delli due triangoli che forma, li quali per}

Nota-se, portanto que o Radio Latino era um instrumento que sintetizava conhecimentos não apenas matemáticos, mas também práticos, relacionados ao oficio de artesãos do período renascentista.

3 CONSTRUÇÃO E USO DO INSTRUMENTO

Neste capítulo, trataremos da construção do instrumento e de três situações relativas ao seu uso, destacando os conhecimentos matemáticos presentes nas orientações de Orsini, bem como nos comentários de Danti. Em relação à construção do instrumento, serão descritas as duas tentativas de reconstrução do instrumento. Já nas situações de uso serão analisadas situações de medição de altura, largura e profundidade.