Transportpris

Segundo o Caderno do Professor (2009), o objetivo principal desta Situação de Aprendizagem é consolidar os conhecimentos de identificação da forma de um prisma, a representação no plano, o reconhecimento de seus elementos (vértices, faces e arestas) e a construção de sua planificação, sistematizá-los e torná-los referência para a construção dos outros sólidos que serão estudados, como o cilindro, a pirâmide, o cone e a esfera.

O Caderno (SÃO PAULO, 2010b) apresenta que o prisma é um sólido geométrico muito presente no nosso dia a dia. A maioria das embalagens e dos objetos que utilizamos possui essa forma. Assim, o Caderno propõe ao professor utilizar uma série de objetos, como: caixa de fósforos, de sapatos, de perfumes, embalagens de pizza, entre outras e que discuta alguns fatos como:

• As bases dos prismas são polígonos de mesma forma e tamanho e suas faces laterais são paralelogramos;

• O nome do prisma é dado pela forma de sua base, podendo ser triangular, quadran- gular, hexagonal, etc.;

• Se a aresta lateral for perpendicular às bases, o prisma é reto; caso contrário, é oblíquo;

• O paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos;

• Se todas as faces do paralelepípedo são retângulos, ele é chamado de paralelepípedo retângulo;

• Um prisma reto cuja base é um polígono regular chama-se prisma regular;

• Se o prisma tiver todas as faces quadradas, ele é um cubo, também chamado de hexaedro regular (do grego hexa - seis e hedros - apoiar-se, faces).

O objetivo das situações problemas apresentadas a seguir é explorar o cálculo de áreas e as relações métricas nos prismas em contextos que exijam análises e tomadas de decisões.

Atividade 1: Uma loja dispõe de dois tipos de embalagem de papelão: uma no formato

de um paralelepípedo oblíquo (Figura 2.5 A), outra no de um paralelepípedo reto re- tângulo (Figura 2.5 B). Considerando os valores indicados nas figuras a seguir, calcule qual das duas formas geométricas exigirá menos papelão para ser confeccionada. Resolução: São Paulo (2010b, p. 12).

Figura 5 –São Paulo(2010b, p. 12).

Atividade 2: Uma caixa de lápis tem o formato de um paralelepípedo reto-retângulo

com 3 cm de comprimento, 4 cm de profundidade e 12 cm de altura. Qual a medida do maior lápis que você pode guardar nessa caixa sem que a ponta fique para fora da borda? Ver figura 2.6.

Resolução: São Paulo (2010b, p. 13).

Atividade 3: Com base na atividade anterior, investigue a mesma situação para um

porta-lápis nos seguintes formatos:

1. Prisma regular triangular de aresta da base 12 cm e altura 16 cm. 2. Prisma regular hexagonal, com aresta de base 6 cm e altura 8 cm. Resolução: São Paulo (2010b, p. 14 - 15).

Atividade 4: A luminária de uma lanchonete tem a forma de um cubo. Contudo, ela só

possui] faces laterais. As bases foram subtraídas para iluminar melhor o ambiente. Uma mosca e uma formiga estão sobre o mesmo vértice do cubo, como indicado na figura 2.7 pelas letras M (mosca) e F (formiga). No vértice oposto da outra base, está uma gota de mel, que interessa a ambos os insetos. A mosca tem a vantagem de ter asas e poder voar. A formiga só pode andar pela superfície e pelas arestas da luminária.

Figura 7 –São Paulo(2010b, p. 15).

Indique qual o menor percurso que cada inseto deve fazer para alcançar a gota de mel. Admitindo que a aresta da base da luminária meça 3 dm, qual o tamanho do percurso feito por cada inseto?

Resolução: Nesta atividade o professor poderá abordar o caminho que a mosca faria, sendo a diagonal do cubo (3√3 ∼= 5, 19 dm ), pensando na formiga o professor deve analisar diferentes casos, pois se ela andar pela diagonal de uma face e depois por uma aresta teria (3√2 + 3 ∼= 7, 24 dm). Mas, se planificarmos a figura teria outra situação, vejamos:

3√5 ∼= 6, 71 dm, analisando os resultados, observamos que a formiga chegou depois, mas, um dos menores caminhos para ela chegar ao mel seria passando pelo ponto médio de uma aresta.

Podemos observar que com essas atividades o professor poderá trabalhar diferentes conceitos, entre eles o Teorema de Pitágoras. Essas situações exercitam a visualização e a interpretação.

Após essas atividades o caderno do professor apresenta informações sobre o cálculo do volume de prismas pela decomposição e contagem de cubinhos. Considerando um paralelepípedo reto podemos determinar quantos cubinhos de aresta de uma unidade de comprimento cabem no sólido. A quantidade de cubinhos no paralelepípedo reto é igual ao produto da área da base (que corresponde à quantidade de cubos apoiados na base) pela altura (que corresponde à quantidade de camadas de cubos que preenchem completamente o sólido).

Em seguida apresenta o Princípio de Cavalieri. Com o objetivo de caracterizar o volume do prisma como uma sobreposição de placas idênticas, o que será explorado nos cilindros e na comparação no volume de diferentes sólidos.

1.4.3 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 – CILINDROS: UMA MUDAN- ÇA DE BASE

Segundo os autores do Caderno do Professor, “os cilindros podem ser imaginados como uma generalização dos prismas, onde a base teve o número de lados sucessivamente aumentado, aproximando-se de um círculo”. Desta forma, sugere que se recorra novamente às embalagens e estruturas do cotidiano para identificar esse formato.

O docente pode abordar o cilindro como um sólido de revolução, apresentando exemplos de como fazer essa representação e explorar o movimento de revolução. A seguir apresentamos uma das atividades do Caderno do Professor que explora o conceito já trabalhado em sala:

Atividade 1: Quais dos sólidos a seguir podem ser considerados sólidos de revolução?

Atividade 2: Analisando a relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torne-

ada, temos que os sólidos de revolução resultam da rotação de figuras plana em torno de um eixo. O caderno apresenta duas colunas para serem feitas correspondências entre as figuras planas que girando em torno de uma haste indicada e os sólidos de revolução obtidos.

Figura 10 – São Paulo(2010b, p. 23).

Como sugestão para explorar o volume do cilindro, o Caderno do Professor traz o uso de um porta-CDs. De forma intuitiva pode-se considerar o cilindro como uma figura espacial formada pela sobreposição ou empilhamento em uma mesma direção, de círculos iguais. Trabalhando de forma análoga ao que foi explorado no volume do prisma, conclui-se que o volume de um cilindro é o produto da área da sua base pela altura. O professor pode aplicar o Princípio de Cavalieri. As atividades a seguir têm por objetivo explorar situações que envolvem área e volumes de cilindros, procurando ainda uma combinação entre conteúdos tratados em outros bimestres.

Atividade 3: Um consumidor encontrou duas marcas de seu interesse e observou os

seguintes fatos:

(i) A embalagem da marca A possuía o dobro da altura da embalagem da marca B.

(ii) A embalagem da marca B possuía o dobro do diâmetro da embalagem da marca A.

Sabendo que a primeira custa R$ 2,30 e a segunda R$ 3,40, qual será a compra mais econômica?

Figura 11 – São Paulo(2010b, p. 24).

Resolução: Realizando o cálculo temos que o volume da marca B tem o dobro do volume da marca A. Como o preço da marca A é maior que a metade do preço da marca B, é mais vantajoso comprar a marca B. Essa atividade tem o objetivo de explorar uma situação que envolve o cálculo do volume realizando uma combinação entre os conteúdos tratados em outros bimestres.

Atividade 4: Os reservatórios de gasolina dos postos geralmente são tanques no formato

de um cilindro reto. Para avaliar o volume de combustível que ainda resta no cilindro enterrado no solo, o funcionário do posto utiliza uma régua que é colocada verticalmente na boca do tanque até atingir o nível do combustível. Ao retirar a régua do tanque, o funcionário lê a graduação e determina a altura do nível do combustível consumido. Admitindo que o tanque tenha sido enterrado no sentido vertical, como ilustra a figura, e que tenha raio da base R = 1 m e altura H = 2 m, qual é o volume de combustível do tanque quando a régua registra altura d = 40 cm?

Realizando os cálculos temos que o volume de combustível do tanque é de aproxima- damente 1, 6π ∼= 5, 024m3 ∼

= 5024 litros.

Atividade 5: Com base na atividade anterior:

(a) Encontre a expressão que relaciona o volume V do combustível contido no tanque com a medida d da régua.

(b) Construa e analise o gráfico da função V (d).

(c) É possível graduar uma régua para que sua leitura converta a medida em centímetros para o volume litros armazenados no tanque? Se afirmativo, explique como fazê-lo.

Na atividade seguine o Caderno do Professor traz uma situação semelhante à atividade 4, mas agora considerando o tanque (cilindro) na posição horizontal, que é como geralmente é encontrado nos postos de gasolina. Essa atividade vai exigir dos alunos alguns conhecimentos sobre fatos referentes ao círculo e sobre razões trigonométricas, sendo assim uma boa situação para o professor rever o conteúdo do 1o

bimestre (funções trigonométricas) e iniciar a exploração de áreas de setores circulares, necessários na planificação do cone.

Atividade 6: Vamos agora, considerar um tanque de armazenamento de álcool com o

mesmo formato indicado na atividade anterior. Contudo, agora ele está colocado na posição horizontal, como indica a figura 2.12 (a). Do mesmo modo, para medir a quantidade de álcool do tanque, utiliza-se uma régua e o procedimento é o mesmo da atividade anterior. Suponha que o tanque tenha o formato de um cilindro com 1 m de raio de base e 4 m de altura. Qual o volume de álcool consumido quando a régua registra a marca d = 30 cm?

Figura 13 – São Paulo(2010b, p. 26).

Resolução: Realizando os cálculos temos que o volume de álcool consumido foi de 1.140 litros.

O caderno também apresenta algumas considerações sobre a avaliação:

Após as primeiras Situações de aprendizagem, a expectativa é que os alunos tenham adquirido um método de exploração de figuras no espaço com as características de prismas e cilindros. A seleção das atividades foi feita considerando-se um contexto e uma possibilidade de articulação com outros conceitos geométricos. O trabalho com o círculo e a circunferência, iniciado com os cilindros, aprofunda-se no estudo dos cones. Portanto, alguns aspectos tratados nesta Situação de Aprendizagem retornarão mais à frente, o que merecerá a atenção do professor (SÃO PAULO, 2010b, p. 31).

1.4.4 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 – O MOVIMENTO DE ASCEN-