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Regra geral, os problemas estão agrupados em categorias diferenciadas, com o objetivo de, tal como refere Pinto (2010), ajudar quem aprende a resolver problemas e apoiar na seleção de quem os ensina, pois com a categorização dos problemas já é mais fácil perceber quais os mais adequados para explorar a perspetiva de resolução de problemas que é pretendida. Uma das tipologias existentes é a defendida por Charles e Lester (1986). A classificação utilizada pelos autores tem “(…) a ver com o público a que se destina e também com as concepções pessoais do professor em relação à natureza dum problema de matemática e à sua resolução de problemas” (Vale & Pimentel, 2004, p. 19). Charles e Lester (1986) classificam os problemas em cinco tipos: problemas de um passo, de dois ou mais passos, de processo, de aplicação e tipo puzzle, considerando que um mesmo problema poderá encaixar-se em mais do que um dos tipos.

Os problemas de um passo são os que se podem resolver através da utilização direta de uma das quatro operações básicas da aritmética. Nestes o aluno terá de utilizar diversas estratégias para perceber qual a operação correta. Por sua vez, os problemas de dois passos

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podem-se resolver através da utilização direta de duas ou mais das quatro operações básicas da aritmética. Existem ainda os problemas de processo que não podem ser resolvidos através da aplicação de um conteúdo ou um algoritmo aprendido anteriormente que possa ser usado. Estes problemas são desafiadores e exigem que haja processos complexos de pensamento. Desta forma, são considerados como sendo os mais apropriados para serem utilizados nas aulas. Ainda os problemas de aplicação requerem, geralmente, uma recolha de dados sobre a vida real e a tomada de decisões. Por vezes é necessário aplicar uma ou mais estratégias de resolução, bem como empregar uma ou mais operações. Por fim, os problemas tipo puzzle “são problemas que necessitam como que de um “flash” para chegar à solução” (Vale & Pimentel, 2004, p. 19). Para além de despertarem o interesse no aluno, ajudam-no a ver os problemas segundo diversas perspetivas.

A tipologia de problemas de Charles e Lester (1986) exibida anteriormente “(…) tem-se mostrado suficiente para a categorização dos problemas a utilizar com os alunos do primeiro ciclo” (Vale & Pimentel, 2004, p. 19). Para além desta, existem ainda muitas outras. A apresentada por Fernandes, Lester, Borralho e Vale (1997) é considerada como sendo mais ampla do que a defendida pelos dois autores. Nesta tipologia, à semelhança da anterior, não se supõem que os problemas estejam englobados num e apenas num dos tipos, podendo o mesmo problema inserir-se em mais do que uma das categorias. Ao contrário do que expõe Charles e Lester (1986), não são contemplados os problemas tipo puzzle, surgindo então uma repartição em quatro tipos de problemas: de processo, de conteúdo, de aplicação e de aparato experimental.

Fernandes et al. (1997) intitulam os problemas de processo como os que muito dificilmente se resolvem com a aplicação direta de um algoritmo, ou seja, é importante a utilização de estratégias de resolução de problemas. Podem não estar relacionados com os conteúdos programáticos, mas, em caso afirmativo, a sua resolução pode apenas necessitar de conhecimentos básicos de aritmética e geometria e não da aplicação direta dos conteúdos programáticos. Consideram como problemas de conteúdo aqueles que requerem a utilização de conteúdos programáticos, conceitos, definições e técnicas matemáticas. Sem estes, a resolução torna-se complicada. No que diz respeito aos problemas de aplicação, são utilizados dados da vida real que podem ser já fornecidos, ou então recolhidos pelo sujeito que resolve. Nesta situação, a análise de dados irá influenciar a tomadas de decisões, sendo este um procedimento crucial neste tipo de problemas. Estes são ainda problemas que requerem a utilização de uma ou

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mais estratégias de resolução e que podem possuir várias soluções, podendo a sua resolução demorar várias horas ou até dias. Finalmente, nos problemas de aparato experimental para se encontrar a solução é indispensável a utilização de métodos de investigação próprios das ciências experimentais (planificar, organizar e interpretar dados, contar, pesar, medir). Para resolver problemas destes é imprescindível a realização de um aparato experimental, pois de outra forma a resolução complica-se.

Há ainda a tipologia de Palhares (1997) onde este defende que se deve considerar “a intenção pedagógica do formulador, do apresentador ou do investigador e do seu conhecimento acerca da classe de indivíduos a que se destina o problema”, uma vez que o enunciado de um mesmo problema pode ser “de um tipo para uma determinada classe, de outro tipo para outra classe, ou não ser mesmo problemas para outros indivíduos” (p. 167). Assim, este autor considera sete tipos de problemas: de processo, de conteúdo, de capacidade, de tipo puzzle, de aplicação, de aparato experimental e abertos.

Se por um lado os problemas tiverem como objetivo a utilização de estratégias de resolução, não havendo a aplicação de um conteúdo ou algoritmo anteriormente estudado, são designados como problemas de processo, por outro lado, se os problemas necessitarem da utilização de conhecimentos matemáticos alcançados há muito pouco tempo ou ainda não adquiridos totalmente, intitulam-se por problemas de conteúdo. Aqueles problemas que necessitam do uso de capacidades matemáticas designam-se por problemas de capacidades. Nestes, tal como menciona o autor, faz mais sentido apelidar o problema conforme a dificuldade existente, como por exemplo, problema de cálculo ou estimativa. Os problemas que requerem o alargamento do espaço de resolução e do pensamento, ou seja, os problemas tipo puzzle e os que exigem a recolha e tratamento de informação são os problemas de aplicação. Nestes, por vezes é preciso o uso de uma ou mais estratégias de resolução. Por sua vez, os problemas de aparato experimental necessitam da criação de esquemas investigativos, possibilitando desenvolver habilidades que outros problemas não possibilitam. Finalmente, os problemas abertos requerem a escolha refletida entre vários caminhos possíveis.

Durante toda a investigação utilizei a tipologia de Palhares (1997), pois esta acaba por ser uma compilação das tipologias anteriores, uma vez que aborda os tipos de problemas mencionados nas tipologias anteriores, acrescentando ainda um novo tipo, os problemas abertos. Assim considerei que era a mais indicada e a mais completa para ser trabalhada com os alunos. Foi também tido em conta que, tal como alude Palhares (1997), um mesmo problema pode, de

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acordo com a intenção pedagógica e o conhecimento do investigador sobre o grupo de alunos a quem se destina, ser classificado de diferentes maneiras.