A atividade 1 será apresentada aos alunos da seguinte maneira:
Escolher um kit.
1) Classificar os polígonos em dois grupos. Que critério você utilizou para classificar os polígonos? Descreva-o.
2) Junte sobre a mesa polígonos com o mesmo número de lados de modo que a mesa seja preenchida com as peças do kit, não havendo falhas (espaço entre as peças) nem sobreposição de polígonos. Repita a atividade utilizando triângulos congruentes entre si (não regulares).
O que você acabou de fazer recebe o nome de Pavimentação.
Pavimentar é combinar as formas geométricas de modo a cobrir toda a superfície sem falhas e sem sobreposições.
A primeira parte da atividade foi elaborada para dar aos alunos a oportunidade de diferenciar polígonos regulares e não regulares. A segunda parte da atividade tem por finalidade a apropriação do conceito de pavimentação. Os alunos deverão descobrir empiricamente polígonos que pavimentam o plano. No caso dos polígonos serem regulares, temos 3 pavimentações possíveis com polígonos de um só tipo.
Apresentamos abaixo as pavimentações com polígonos regulares de um só tipo: triângulos eqüiláteros, quadrados e hexágonos regulares.
Quaisquer dos triângulos sempre podem pavimentar o plano desde que sejam todos congruentes entre si. Apresentamos duas pavimentações com triângulos não regulares e congruentes entre si.
Figura 37
Quaisquer quadriláteros pavimentam o plano desde que sejam congruentes entre si. Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Basta escolher o ponto médio M de um lado (por exemplo, DC) e obter os simétricos B’ e A’ dos pontos B e A em relação ao ponto médio. O quadrilátero DCA’B’ será justaposto ao quadrilátero ABCD conforme indica a figura abaixo.
Figura 38
Apresentamos 2 pavimentações com quadriláteros congruentes entre si.
Durante o desenvolvimento da atividade, poderão surgir dificuldades em função da nomenclatura dos polígonos. Neste caso, o professor pesquisador poderá orientar como atribuir a nomenclatura para os polígonos regulares e não regulares.
Após a atividade haverá uma teorização por parte do professor pesquisador. Será dada a definição de polígono regular e a nomenclatura associada a cada polígono (vértice, lado, ângulo interno e ângulo externo). Além disso, alguns comentários sobre as pavimentações obtidas com polígonos não regulares pertencentes ao kit.
A atividade 2 será apresentada ao aluno da seguinte maneira:
Utilize o kit da atividade 1.
a) Fazer uma pavimentação utilizando apenas triângulos eqüiláteros. Verifique se é possível.
b) Fazer uma pavimentação utilizando apenas quadrados. Verifique se é possível.
c) Fazer uma pavimentação utilizando apenas pentágonos regulares. Verifique se é possível.
d) Fazer uma pavimentação utilizando apenas hexágonos regulares. Verifique se é possível. e) É possível fazer uma pavimentação com polígonos regulares com o número de lados
maior que seis? Se sim, quais? Se não, tente dar uma explicação.
f) Descubra algumas pavimentações possíveis utilizando somente dois polígonos regulares. Quais polígonos você utilizou em cada pavimentação?
g) Descubra algumas pavimentações possíveis utilizando mais de dois polígonos regulares. Quais polígonos você utilizou em cada pavimentação?
O objetivo da atividade é desenvolver nos alunos a habilidade e percepção com o manuseio de polígonos regulares de mesma forma e de formas diferentes.
Nos itens (a) e (b), as pavimentações são de fácil compreensão pelos alunos, pois já foram realizadas anteriormente. No item (c) ao colocar os pentágonos regulares em torno de um ponto, o aluno pode perceber que é possível colocar até três pentágonos um ao lado do outro, sem sobreposição. Ao colocar o quarto pentágono regular haverá sobreposição. Não se espera nesse bloco que o aluno dê uma justificativa teórica para a sobreposição. Mas pode acontecer que alguns alunos justifiquem a sobreposição pela utilização da fórmula que fornece a medida de um ângulo interno de um polígono regular que é n 180 ). 2 n ( − 0
regulares ao redor de um ponto, obtém-se 3.108º = 324º, faltando 36º para completar 360º. Acrescentando mais um pentágono regular, temos 4.108º = 432º, concluindo-se que ficam sobrepostos. Neste caso, não é possível pavimentar somente com pentágonos regulares. Representamos a seguir a tentativa de pavimentação com pentágonos regulares utilizando 10 peças, o interior da figura é uma estrela de cinco pontas.
Figura 40
A pavimentação do item (d) não apresentará dificuldades aos alunos, pois é considerada de fácil compreensão, já que necessita apenas de 3 hexágonos regulares. Para desenvolver o item (e) o aluno deve notar que não será possível realizar a pavimentação com um só polígono regular de lado maior que 6. Tais polígonos apresentam medida do ângulo interno maior que 120º o que mostra que não pavimentam o plano, pois haverá sobreposição. A seguir vamos mostrar possíveis tentativas.
Figura 41
Agora, vamos verificar a possibilidade de pavimentação com dois polígonos regulares, como está descrito no item (f). Primeiro vamos encontrar as pavimentações mais simples depois tentar fazer as demais combinações. Pretende-se que o aluno inicie com triângulos eqüiláteros e quadrados.
Acreditamos que os alunos, por tentativa e erro, terão sucesso nesta atividade, mas sem ter a percepção de que a soma das medidas dos ângulos internos dos polígonos em torno de um ponto é 360º, pois refere-se a uma atividade empírica.
Pretendemos levar os alunos a perceber que estão encontrando valores inteiros m e n de modo que m.60º + n.90º = 360º, sendo m o número de triângulos eqüiláteros e n o número de quadrados que podem ser utilizados
para pavimentar o plano. Assim, temos: m.60º + n.90º = 360º, dividindo a equação por 30º, obtemos: m.2 + n.3 = 12.
Três triângulos eqüiláteros e dois quadrados pavimentam a superfície. Existem mais de uma posição para combinar estes polígonos regulares. Apresentamos a seguir uma delas.
Figura 42
Prosseguindo, vamos reunir triângulos eqüiláteros e o hexágonos regulares de modo que m.60º + n.120º = 360º. Neste caso, podemos fazer m = 2 e n = 2 ou m = 4 e n = 1. Vamos apresentar uma das pavimentações.
Figura 43
Outra forma de pavimentar o plano é com triângulos eqüiláteros e dodecágonos regulares. Para isso, devemos ter m.60º + n.150º = 360º o que se verifica fazendo m = 1 e n = 2, portanto é possível pavimentar o plano com triângulos eqüiláteros e dodecágonos regulares. A seguir indicamos a pavimentação possível.
Figura 44
A pavimentação poderá ser feita também com quadrado e o octógonos regulares, ou seja, devemos ter m.90º + n.135º = 360º, basta fazer m = 1 e n = 2. Logo é possível pavimentar o plano com esses polígonos regulares. Segue a representação da pavimentação.
Figura 45
Esperamos que os alunos respondam o item (g) por tentativa e erro. Vamos descrever as possibilidades de pavimentação com três polígonos regulares. Podemos ter uma pavimentação do tipo (3, 4, 4, 6) com estes polígonos, o quadrado será utilizado duas vezes; (3, 3, 4, 12) neste caso, o triângulo eqüilátero será utilizado duas vezes e uma pavimentação do tipo (4, 6, 12).
Para pavimentar o plano com o triângulo eqüilátero, quadrado e hexágono regular deveremos ter m.60º + n.90º + p.120º = 360º, com isso devemos ter m = 1, n = 2 e p = 1. Outra pavimentação é do triângulo eqüilátero, quadrado e dodecágono, ou seja, devemos ter m.60º + n.90º + p.150º = 360º para isso devemos atribuir m = 2, n = 1 e p = 1. A última pavimentação utiliza o quadrado, hexágono regular e o dodecágono regular, assim m.90º + n.120º +
p.150º = 360º para isso devemos ter m = 1, n = 1 e p = 1. Segue a representação das pavimentações citadas; não é, porém, a única possibilidade.
Figura 46
Há a possibilidade de os alunos não conseguirem visualizar a junção das peças em torno de um só vértice. Nesse caso, será necessária a intervenção do professor pesquisador.