Fazemos, neste parágrafo, uma análise didática da situação “Resolver a inequação ...”, na qual é dada uma inequação do tipo “alguma coisa dependendo de x”<”outra coisa dependendo de x”, considerando uma abordagem funcional gráfica, com o uso de três registros de representação, à luz da teoria cognitiva de Fischbein (1993). Esta análise faz-se necessária, neste contexto, porque ao concebermos a seqüência didática, tínhamos em mente verificar, nas respostas dadas pelos indivíduos dos dois grupos que participaram da pesquisa, se aparecem os aspectos formais, algorítmicos e intuitivos de Fischbein (1993), à medida que os sujeitos utilizam os tratamentos e as conversões de registros, para responder as questões
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propostas. Ainda mais, gostaríamos de conseguir, ao final da aplicação da seqüência, que um número significativo de pesquisados tenha inter-relacionado aqueles aspectos, como defende aquele pesquisador. Como pesquisadores, acreditamos que o uso do registro gráfico, aliado ao algébrico e ao da língua natural, possa favorecer essa desejada inter-relação.
Para que o sujeito seja capaz de resolver uma inequação “alguma coisa dependendo de x”<”outra coisa dependendo de x”, na abordagem funcional gráfica, concordamos com Sackur (2004) de que o sujeito precisa realizar um esquema de trabalho que envolve pelo menos cinco etapas
inequação → 1 criação de duas funções → 2 identificação do y → 3 elaboração dos gráficos → 4 comparação dos valores de y → 5 leitura dos valores de x
e de que estas etapas não são espontâneas nem naturais. Precisam, portanto, ser trabalhadas pelo professor em sala de aula. Analisando cada uma delas, à luz dos registros de representação de Duval (2000) e dos aspectos de Fischbein (1993) vemos que exigem um conhecimento bem fundamentado de números reais, de função e de gráfico de função: diante de uma inequação, o sujeito precisa lê-la e interpretá-la, o que exige certa desenvoltura na língua natural e no registro algébrico, envolvendo aspectos intuitivos, algorítmicos e formais; na etapa 1, para criar as duas funções (aspecto algorítmico), é preciso ter familiaridade com estas (aspecto intuitivo), a ponto de abstrair o sinal de desigualdade (aspectos formal e algorítmico) para focar em cada um dos membros separadamente e enxergá-los como funções (aspecto formal), o que pressupõe novamente um certo domínio da língua natural e do registro algébrico; na etapa 2, a identificação do y exige o entendimento de função (aspectos algorítmico e formal), pois na verdade queremos identificar o primeiro membro com a variável dependente y1 de uma função e o segundo, com a variável dependente y2 de uma outra, para enfim comparar y1 com y2 por meio do sinal de desigualdade (aspectos algorítmico e formal), usando fortemente a língua natural e o registro algébrico para ler e interpretar uma expressão do tipo y1=f(x)<y2=g(x); na etapa 3, a elaboração dos gráficos pode ser a etapa menos complicada, pois podemos utilizar ou uma calculadora gráfica ou um software gráfico (que nos dão os gráficos a partir do registro algébrico) ou ainda fornecer os gráficos prontos, mas para que o processo não fique meramente
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algorítmico, é preciso que o sujeito tenha a idéia (aspecto intuitivo) de usar o registro gráfico para ajudar na resolução algébrica (aspectos algorítmico e formal); a etapa 4 parece-nos a mais difícil pois, na leitura e na interpretação de um gráfico, os aspectos intuitivos podem bloquear os aspectos algorítmicos e formais: o gráfico é definido matematicamente (aspecto formal) por meio de duas retas ortogonais que vão fazer o papel das variáveis (dependente e independente), numa certa ordem e com uma interpretação que podemos chamar simultaneamente de geométrica e aritmética porque um ponto sobre o eixo horizontal tem uma abscissa que corresponde ao valor da variável independente (o x da inequação) e um ponto sobre o eixo vertical tem uma ordenada que representa o valor da variável dependente (o y1 e o y2 da inequação). Duval (2000) classifica a conversão do registro algébrico de uma função para o registro gráfico de não congruente, porque cada componente do primeiro não é convertida necessariamente numa única componente do segundo e concordamos com ele de que conversões deste tipo não são naturais e, portanto, precisam ser trabalhadas pelo professor, em sala de aula. Na etapa 4, o sujeito precisa ainda comparar os valores de y1 e y2 (aspecto algorítmico) para decidir quais pontos do gráfico devem ser considerados para resolver a inequação; na etapa 5, é necessário conhecer os números reais (supostamente estudados no Ensino Fundamental e o professor pode aproveitar o momento para reforçar algumas noções que julgar importantes), as funções e os gráficos, para fazer a projeção vertical dos pontos escolhidos na etapa 4 e obter como resposta os valores de x, sobre o eixo horizontal, que são a solução do problema inicial.
Para superar a etapa 1, em ambos os grupos de sujeitos, consideramos atividades realizadas anteriormente, sobre funções e gráficos.
Com o grupo de alunos, este trabalho foi desenvolvido nos quatro meses que antecederam a aplicação da seqüência, como parte integrante da disciplina Cálculo 1.
Com o grupo de professores, de uma forma similar à que havia sido feita com o grupo de alunos, realizamos três atividades (SOUZA; CAMPOS, 2007; LIMA; SOUZA, 2007), cujos principais objetivos são: trabalhar o tratamento do registro gráfico e as conversões entre os registros algébrico, gráfico e da língua natural; estimular a visualização global dos gráficos (DUVAL, 1999), não como um conjunto de pontos com coordenadas numéricas, mas como uma trajetória sobre a qual
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podemos ver a relação entre as variáveis dependente e independente. A construção destas três atividades fundamentou-se na existência de um conjunto de funções básicas (chamadas funções de referência), a partir das quais podemos criar outras funções, chamadas associadas e, em cada atividade, o professor podia usar o software Cabri-géomètre II para obter os gráficos das funções de referência ou das associadas, que já estavam à disposição no menu (ver mais detalhes no parágrafo IV.1.4, página 74).
Consideramos como funções de referência: f(x) = x, g(x) = x2, h(x) = | x |, j(x) = x
3, k(x) = 1
x, l(x) = x , porque são funções cujos gráficos podem ser facilmente obtidos pela análise da expressão algébrica e, com isto, podem ser visualizados globalmente, tanto no papel e lápis como numa calculadora ou num computador. E como “funções associadas” as que podem ser obtidas destas pelas operações “somar uma constante”, “multiplicar por uma constante”, “colocar o módulo” ora na variável independente, ora na dependente.
Os professores, então, precisavam responder as questões propostas, que envolvem o domínio, a imagem, a simetria do gráfico e a expressão algébrica, tanto das funções de referência, como das associadas.
Com o uso concomitante da expressão algébrica, da língua natural e do gráfico, não pretendíamos que os sujeitos “aprendessem” a fazer as conversões, como Duval (1995, 2000) propõe, mas acreditávamos que seria possível conseguir que estes sujeitos, mais maduros matematicamente do que os alunos da Educação Básica, fossem estimulados a fazer as conexões e as inter-relações entre os aspectos formais, algorítmicos e intuitivos ligados ao conceito de função. Ainda mais, que conseguissem ampliar grandemente o arquivo pessoal de funções e de gráficos, no que Duval (1999) chama de imagens mentais,
“A representação é a conseqüência de um acesso direto ao objeto [...] (da visão para a memória) [...] disponibilidade interna daquilo que foi visto (imagens mentais)”22 (DUVAL, 2000, p.1-66, tradução nossa).
na direção do que estamos chamando de abordagem genérica.
22
“The representation IS THE OUTCOME of a direct access to object [...] (from vision to memory) [...] internal availability of what has been SEEN [...] (mental images).” (DUVAL, 2000, p.1-66).
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Com este trabalho, acreditamos ser possível superar as dificuldades da etapa 1 da abordagem funcional gráfica da resolução de inequações, porque pode ficar entendido tanto o significado de uma expressão algébrica do tipo f(x)= ... =y quanto o significado global do gráfico de uma função.
A etapa 2 envolve o tratamento do registro algébrico e a conversão do registro algébrico para o da língua natural. Aceitamos e defendemos a tese proposta pela Teoria das Representações Semióticas (DUVAL, 1995, 2000), pela qual o professor é o responsável por implementar o trabalho com diferentes sistemas de representação, respectivos tratamentos e conversões, pelo menos uma destas não congruente, para que o sujeito não confunda a representação com o objeto representado. Além disso, acreditamos, como Fischbein (1993), que o aluno precisa inter-relacionar os aspectos formais, algorítmicos e intuitivos envolvidos num certo conhecimento matemático para adquiri-lo e julgamos necessário que o professor promova, em suas atividades, a oportunidade para que isso ocorra.
Acreditamos que a etapa 3, como já dissemos no parágrafo IV.1.4, página 74 era a menos problemática, porque nossos sujeitos já estavam acostumados a utilizar tanto o Cabri-géomètre II, como o GRAPHMATICA, em ambiente informático. Tínhamos, a nosso favor, o fato de que o trabalho com o computador ainda desperta o interesse da maioria dos indivíduos, só não daqueles que tiveram uma formação básica em Matemática baseada apenas nos algoritmos e nos procedimentos e, por razões que não nos interessa discutir aqui, sempre tiveram “êxito” e acreditam que não precisam nada mais além disso.
Utilizamos o software Graphmatica for Windows, version 1.60, desenvolvido por Keith Hertzer - Copyright (c) 1997 kSoft, Inc. (http://www.pair.com/ksoft/), que tínhamos à disposição no laboratório de informática. Escolhemo-lo para o traçado rápido e eficiente de gráficos, pois se trata de um software amigável, bastando digitar, na linha de comando, as expressões algébricas das funções na forma y=. Só o usamos para agilizar a obtenção de gráficos em algumas questões da seqüência que, na verdade, poderiam ser feitas apenas com papel e lápis, se tivéssemos incorporado os gráficos a estas questões.
O software Cabri-géomètre II Plus, ao qual tínhamos fácil acesso no Laboratório de Matemática, foi utilizado por duas razões. Primeiro, por causa da dinamicidade, pois movimentando os pontos, por exemplo em cima de um gráfico,
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os usuários podiam elaborar conjecturas sobre o comportamento das coordenadas, antes de pensar na formalização do problema. Segundo, porque permite a construção de macros; com isto, o instrutor pode modificar o menu, aumentando-o, diminuindo-o ou modificando-o. No caso de nossa seqüência, pudemos deixar à disposição os gráficos de algumas funções que iríamos utilizar, bem como uma edição numérica, que permitia a movimentação destes gráficos por translações horizontais ou translações verticais.
Diríamos que as etapas 4 e 5 são o foco da nossa pesquisa. Como despertar nos sujeitos a necessidade de entender realmente a abordagem funcional gráfica? O que ela pode trazer de novo e de interessante? Por que é importante apreender o que está por trás da resolução de uma inequação? Como o registro gráfico pode ajudar? Por que é (ou não é) importante aprender “tudo” sobre a função afim, antes de qualquer outra função? Por que não tentar uma abordagem mais genérica das funções, uma vez que os gráficos podem ser obtidos facilmente com a ajuda de qualquer software gráfico e daí é possível levá-los para a sala de aula? Por que insistir numa abordagem ponto a ponto das funções, com as tabelas ou com o cálculo de alguns valores, que tem-se mostrado ruim e até mesmo danosa para a aprendizagem posterior da Matemática, como deixam entrever pesquisas e experiências já realizadas (DUVAL, 1993; KIERAN, 1993; DA SILVA et al., 2002a, 2002b, 2002c)?
Assim, pusemos como hipótese para a elaboração de nossa seqüência didática, uma abordagem funcional gráfica, fazendo uso de três tipos de registros, o da língua natural, o algébrico e o gráfico.
À luz dessas considerações, fomos analisar alguns livros didáticos de Matemática que tratam os assuntos função, gráfico e inequação, para verificar se é feita uma abordagem funcional, se são utilizados os registros da língua natural, o algébrico e o gráfico e se, quando o são, promovem a inter-relação entre os aspectos formais, algorítmicos e intuitivos envolvidos nestes conhecimentos (ver detalhes desta análise no parágrafo IV.1.5, página 75).
A partir da análise desses livros didáticos, pudemos perceber que, na maioria deles, os aspectos formais ligados ao assunto função não aparecem e os aspectos algébricos também não são devidamente explorados, pois as funções são tratadas separadamente por tipo (afim e quadrática com muita ênfase, trigonométrica,
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exponencial e logarítmica), quase sempre a partir de sua expressão algébrica e sem nenhuma proposta de discussão sobre o significado desta. Por exemplo, no início do tópico “Estudo do sinal da função afim”, é apresentado um problema, seguido da frase “Observe que o resultado final é dado por ...” e a resolução completa aparece. O parágrafo seguinte é “Em situações como esta, dizemos que foi feito o estudo do sinal da função, ...” e o tópico termina aí. Os tópicos seguintes são “Raiz ou zero da função afim” (definição e aspecto algorítmico), “Interpretação geométrica” (aspecto algorítmico, do tipo faça assim) e “Estudo do sinal pela análise do gráfico” (aspecto algorítmico, com um exemplo).
Com relação ao assunto gráfico de função, em geral, o aspecto formal não aparece, ficando só com os aspectos algorítmicos e intuitivos. Vemos aí muitos problemas, uma vez que o aspecto formal, no caso dos gráficos, é importante pois trata-se de uma representação sofisticada e a conversão entre os registros gráfico e algébrico é não congruente. Quando a conversão é não congruente, o professor precisa trabalhá-la com cuidado, deixando bem claro o que significa cada componente em cada registro, para que o sujeito perceba como se realiza essa conversão.