Modelos estatísticos não lineares foram discutidos em diversos artigos por A.R. Gallant, entre outros, a partir de meados dos anos 1970, e apresentados de modo mais sistemático por este autor em seu livro Nonlinear statistical models, publicado em 1987, o qual servirá de guia para a apresentação do INSUR no presente trabalho75.
Considere uma situação tal em que o efeito da variável independente sobre a variável dependente seja representado pela função-resposta expressa por ,
t , onde representa o verdadeiro, porém desconhecido, conjunto de
parâmetros.
Em forma vetorial, uma função-resposta linear nos parâmetros pode ser escrita como:
(3.17)
Onde, e são vetores coluna; é um vetor linha.
Transformando o modelo acima e adaptando-o para fins de estimação, GALLANT (1987) define como modelo de regressão linear simples aquele que pode ser expresso como:
(3.18)
Assume-se que os erros são independentes e identicamente distribuídos com média zero e variância igual a .
Similarmente, um modelo de regressão não linear simples é dado por:
73 Também referido como ITSUR – Iterative Nonlinear Seemingly Unrelated Regressions.
74 O importante trabalho de CONTADOR (1974) apresentado no início desta seção optara pelo modelo ARIMA. 75 Em especial, os capítulos um, cinco e seis de GALLANT (1987).
(3.19) Ou, simplesmente:
(3.20) Para variáveis dependentes o modelo de regressão não linear múltipla pode ser escrito como:
(3.21)
Resultando na estimação de equações não lineares que podem estar relacionadas de dois modos: i) a variável dependente ( ) representa realizações de variáveis dependentes diferentes num mesmo instante do tempo ( ), levando a uma possível correlação contemporânea, tal que:
≠ (3.22) Onde é a matriz de variância e covariância entre os erros .
Ou ainda, ii) as equações estimadas compartilham o mesmo conjunto de parâmetros , ou parte deles. Ambos os modos de relacionamento entre as equações justificam a estimação conjunta das equações.
Voltando-se para o objeto de pesquisa do presente estudo, a saber, obter as elasticidades de substituição entre ativos monetários a partir da estimação de suas demandas as quais, pressupõe-se, tenham sido geradas por funções de utilidade translogarítmicas, a função-resposta a ser estimada será do tipo:
(3.23) Onde,
Considerando as características e objetivos particulares deste estudo, serão estimadas as equações de demanda diretamente para o ativo Cadernetas de Poupança ( e para o ativo Fundos DI ( ). Sendo eliminada do modelo, portanto, a equação relativa ao terceiro ativo: Fundos RF ( ).
Expressando o modelo deste estudo em forma vetorial através da notação de GALLANT (1987), teria-se a seguinte descrição de variáveis:
Em notação matricial, tem-se:
Assim, os dados podem ser representados por um modelo do tipo
(3.24)
cuja especificação é dada pela forma funcional Translog, por suposição.
Em notação matricial, as duas equações a serem estimadas diretamente apresentam a seguinte forma geral:
(3.25) (3.26) (3.27) Onde
E se refere à i-ésima linha da matriz B, i.e.: = ( , , ); . Os vetores de parâmetros a serem estimados seriam:
Assume-se que os erros dados por
sejam independentes e identicamente distribuídos, possuindo média zero e matriz de variância e covariância .
A teoria do consumidor impõe duas restrições ao modelo que podem ser formuladas como hipóteses a serem mantidas quando da estimação. São elas:
H1: e são os mesmos em ambas as equações do modelo, como sugere a notação acima. Esta restrição tem por função garantir que a soma das parcelas será igual à unidade76;
H2: é uma matriz simétrica (Teorema de Young).
Uma terceira hipótese não configura uma exigência da teoria do consumidor, mas sua validade é bastante conveniente para a especificação do modelo, pois estabelece a condição de homogeneidade das funções de demanda:
H3: e , .
Portanto, considerando-se essas três hipóteses, o vetor de parâmetros a serem estimados diretamente é dado por
Os demais parâmetros são obtidos a partir de suas definições, geradas a partir das três hipóteses formuladas acima.
A estimação conjunta dos parâmetros das equações via a versão do SUR para modelos não-lineares se apresenta bastante adequada por também permitir incorporar a solução para outra característica comum aos modelos que tratam de ativos monetários, a saber: a correlação serial ou autocorrelação. EWIS e FISHER (1984), EWIS e FISHER (1985), SIMS et al. (1987), GAUGER e SCRHOETER (1990), DRAKE et al. (1999), FLEISSIG e SERLETIS (2002), JONES et al. (2002) e ZAGAGLIA (2009)77 assumiram que o termo de erro de cada uma das equações seguia um processo autorregressivo de primeira ordem, compactamente expresso por AR(1). De modo que a matriz de variância e covariância entre os erros considerando a autocorrelação e a correlação contemporânea é expressa por , onde
Procedimento análogo será empregado neste trabalho, assumindo-se que no modelo dado por
(3.28)
o termo do erro ( ) pode ser assim escrito:
(3.29)
76 É importante salientar que GALLANT (1987) traduz em termos de hipóteses a serem testadas, as restrições referidas por CHRISTENSEN et al. (1975) discutidas no capítulo anterior. Vale dizer que oferece a formulação para a verificação empírica dos argumentos teóricos propostos por estes três autores relativos à forma funcional Translog.
77 DAVIS e GAUGER (1996) assumiram que os termos de erro seguiam um processo autorregressivo de segunda ordem, AR(2). BARNETT et al. (1992) não trataram a autocorrelação em seu modelo; embora admitam que ela possa existir.
Onde,
O parâmetro é desconhecido e representa o coeficiente de correlação serial do termo do erro das equações de demanda. Por restrição do modelo, esses coeficientes devem ser iguais para cada uma das equações de demanda.78 EWIS e FISHER (1985) observam que esta restrição adicional deve ser adotada para evitar que as estimações ou testes de hipóteses sejam sensíveis à equação eliminada do sistema; problema associado à singularidade do sistema. Consequentemente, as elasticidades de substituição, principal objetivo quando da estimação das demandas monetárias, também serão invariantes à equação omitida do sistema (FLEISSIG e SERLETIS (2002)).
Os termos são considerados não autocorrelacionados, têm média zero e variância constante.
DRAKE et al. (1999) argumentam que a correlação serial dos resíduos – autocorrelação – é um problema comum na estimação de um sistema estático de equações de demanda devido, possivelmente, à má especificação dinâmica. Considerando-se a improbabilidade de que os agentes consigam ajustar completamente dentro de um período a alocação entre os ativos que compõem seu portfólio (ou sua carteira de ativos), os autores argumentam que a correção via processo autorregressivo de primeira ordem – AR(1) – constituiria uma aproximação parcial adequada dos ajustes nos portfólio dos agentes. 79
Ainda tratando do termo estocástico, GAUGER e SCHROETER (1990) relatam que a singularidade do sistema de equações de demanda expressas como parcelas do dispêndio total, juntamente com as condições de simetria e homogeneidade implicam que , para todo período de tempo ( , para o presente estudo).80
BINSWANGER (1974) esclarece que a exigência colocada pela singularidade do sistema em estimar equações torna seus erros não independentes, dado que as mesmas variáveis que poderiam afetar as parcelas (além dos preços, já considerados) foram excluídas do modelo (correlação contemporânea). Ademais, a necessidade de impor a restrição de simetria entre as equações de demanda, dada por , torna a estimação por mínimos quadrados ordinários não mais eficiente. Recomenda, então, o autor que a estimação seja feita
78 W.H. Greene argumenta que a imposição de que o coeficiente de correlação seja o mesmo para todas as equações, embora ainda seja uma restrição, é uma restrição menos severa do que a homocedasticia. (Ver GREENE, 1997, p.664)
79 FLEISSIG e SERLETIS (2002) acrescentam que a autocorrelação encontrada nos modelos de demanda por bens monetários poderia ser causada ainda por restrições institucionais que impedissem os agentes de promoverem os ajustes em seu portfólio dentro de um período. Seria uma espécie de rigidez institucional. 80 Ver GAUGER e SCHROETER, 1990, p.252. Problema já citado acima por BINSWANGER (1974).
por meio de sistemas de equações de demanda aparentemente não relacionadas através de mínimos quadrados generalizados.
Entretanto, de acordo com GREENE (1997) e JUDGE et al. (1988), o método de mínimos quadrados generalizados não é adequado para esse caso porque a solução do sistema de equações dada pela técnica do SUR não é invariante à equação eliminada. Orientam estes autores que, para garantir que a solução do sistema independerá de quais equações são estimadas diretamente, deve-se adotar o método da máxima verossimilhança.
Assim sendo, as equações de demanda e , serão estimadas por máxima verossimilhança, como indicado também por GALLANT (1987)81. Procedimento seguido por SIMS et al. (1987), DAVIS e GAUGER (1996), DRAKE et al. (1999) e ZAGAGLIA (2009).82 Cabe a ressalva de que a escolha deste método se baseia na pressuposição de distribuição normal.