Summary Results on Perceived risk

Existem tamb´em os chamados sistemas de equa¸c˜oes diferenciais (de primeira ordem), que envolvem simultaneamente duas ou mais fun¸c˜oes e suas respectivas primeiras derivadas. Por exemplo,



˙x = 3x2_{− y + 3}

˙y = sin x + yx3 .

Neste caso, achar uma solu¸c˜ao para o sistema significa encontrar duas fun¸c˜oes x(t) e y(t) que simultaneamente verifiquem



˙x(t) = 3x(t)2_{− y(t) + 3}

Esse tipo de problema parece ser bastante ´arido `a primeira vista, mas se torna mais atraente se o interpretarmos do ponto de vista geom´etrico.

Podemos olhar as fun¸c˜oes x(t) e y(t) como as coordenadas de uma curva γ : t 7→ (x(t), y(t)) no plano xy. A derivada da curva γ, dada por ˙γ(t) = ( ˙x(t), ˙y(t)), representa o vetor tangente `a curva. O sistema de equa¸c˜oes diferenciais diz ent˜ao que, em cada instante t, o vetor tangente `a curva γ(t) dado por ˙γ(t) = ( ˙x(t), ˙y(t)) tem que ser exatamente igual ao vetor (3x(t)2_{− y(t) + 3, sin x(t) + y(t)x(t)}3_).

(t)=(x(t),y(t)) γ . γ(t) y x

Perceba que esse sistema de equa¸c˜oes diferenciais j´a fixa, para cada ponto (x, y), qual ser´a o vetor tangente de uma solu¸c˜ao que por ali passar em algum instante: (3x2_{−y+3, sin x+yx}3_).

Essa fun¸c˜ao que associa para cada ponto um vetor (que deve ser sempre tangente `as solu¸c˜oes do sistema) ´e chamada de campo de vetores. Uma maneira de esbo¸car um campo de vetores ´e mostrando os vetores correspondentes a alguns pontos do plano (x, y).

y

x

Para um sistema de equa¸c˜oes diferenciais como esse tamb´em podemos estabelecer o pro- blema de Cauchy: dado um ponto (x0, y0) e um instante t0 achar uma solu¸c˜ao γ(t) tal que

γ(t0) = (x0, y0).

Modelos de crescimento populacional envolvendo mais do que uma esp´ecie s˜ao um t´ıpico exemplo de sistemas de equa¸c˜oes diferenciais. Cada vari´avel do sistema representa a po- pula¸c˜ao de uma esp´ecie. Por exemplo, se x(t) for a popula¸c˜ao de tartarugas e y(t) for a popula¸c˜ao de jacar´es, podemos tecer as seguintes considera¸c˜oes. Em primeiro lugar, a po- pula¸c˜ao de tartarugas n˜ao precisa dos jacar´es para sobreviver, mas tem suas limita¸c˜oes de espa¸co e alimento usuais. Como na Subse¸c˜ao 17.3.4, a taxa de crescimento proporcional da popula¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao parecida com A − Bx(t), mas deve-se descontar um termo tanto maior quanto maior for a popula¸c˜ao de jacar´es, por exemplo Cy(t). Ent˜ao ter´ıamos

x′_(t)

Por outro lado, supondo que os jacar´es precisem se alimentar das tartarugas para sobrevi- verem, sua taxa de crescimento proporcional na ausˆencia de tartarugas ´e negativa, e ser´a mais negativa ainda se sua popula¸c˜ao for muito grande, tamb´em por problemas relativos `a limita¸c˜ao do espa¸co. Por outro lado, quanto maior for a popula¸c˜ao de tartarugas, mais facilidade a popula¸c˜ao ter´a para crescer. Dessas considera¸c˜oes, ´e razo´avel supor que

y′_(t)

y(t) = −D − Ey(t) + F x(t) . Juntando tudo, ficamos com o sistema



˙x = (A − Bx − Cy)x ˙y = (−D − Ey + F x)y . ´

E claro que todo esse racioc´ınio ´e hipot´etico, pois carece de dados reais. No entanto, cada situa¸c˜ao onde duas ou mais esp´ecies se influenciam mutuamente, seja numa rela¸c˜ao predador-presa seja numa rela¸c˜ao de competi¸c˜ao pelo mesmo alimento ou espa¸co, esse tipo de modelagem pode ser feito.

Outra classe de exemplos relevante vem das equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem (isto ´e, que envolvem a segunda derivada), por exemplo, qualquer equa¸c˜ao do tipo ¨x = Γ(x, ˙x). Com um pequeno truque podemos transformar essa equa¸c˜ao num sistema de duas equa¸c˜oes de primeira ordem. Basta definir uma segunda vari´avel (na verdade, uma segunda fun¸c˜ao do tempo) v(t) = ˙x(t), de forma que ¨x(t) = ˙v(t). Ent˜ao ficamos com as duas equa¸c˜oes



˙x = v

˙v = Γ(x, v) , onde a primeira equa¸c˜ao vem simplesmente da defini¸c˜ao de v.

Por exemplo, tomemos a equa¸c˜ao do pˆendulo ¨

θ = −g_l sen θ . Chamando ω(t) = ˙θ(t), ficamos com



˙θ = ω ˙ω = −glsen θ

Solu¸c˜ao num´erica de equa¸c˜oes

diferenciais

Neste Cap´ıtulo estudaremos algumas maneiras de se resolver numericamente uma equa¸c˜ao diferencial do tipo ˙x = f (t, x), e veremos no final como generalizar as id´eias para dimens˜oes mais altas.

18.1

Equa¸c˜oes separ´aveis

Para come¸car, veremos nesta Se¸c˜ao que j´a dispomos dos m´etodos necess´arios para resolvermos as equa¸c˜oes separ´aveis. Os m´etodos propostos posteriormente ser˜ao, entretanto, muito mais gerais e, inclusive, mais pr´aticos.

Como vimos no Cap´ıtulo anterior, se ˙x = g(t)X(x) for a equa¸c˜ao, F for uma primitiva de 1

X e G for uma primitiva de g, ent˜ao

x(t) = F−1(F (x0) + G(t) − G(t0)) .

Acontece que nem sempre ´e poss´ıvel obter integrais expl´ıcitas, e aqui temos que resolver duas. Resolvendo ou n˜ao, uma delas ainda ter´a que ser invertida, o que tamb´em ´e dif´ıcil ou imposs´ıvel, na maioria dos casos.

Todos esses problemas poderiam ser solucionados numericamente. A primitiva de g pode ser definida como

G(t) = Z t

t0

g(s)ds ,

de forma que G(t0) = 0 e, da mesma forma, a primitiva de _X1 se define naturalmente como

F (x) = Z x x0 1 X(u)du , resultando em F (x0) = 0, e portanto x(t) = F−1(G(t)) . 191

As duas primitivas podem ser obtidas nos pontos que se quiser, usando os m´etodos de in- tegra¸c˜ao num´erica discutidos na Parte V. J´a ao problema de invers˜ao da fun¸c˜ao F pode-se aplicar o M´etodo de Newton.

Para sermos mais precisos, imagine que queiramos calcular x(t) num determinado instante t, e todas as opera¸c˜oes mencionadas acima tenham que ser feitas numericamente. Em primeiro lugar, calculamos G(t) usando integra¸c˜ao num´erica (com a melhor precis˜ao poss´ıvel, ´e claro), e depois teremos que achar x(t) tal que

F (x(t)) = G(t) ,

tomando-se os cuidados necess´arios para que seja buscada a solu¸c˜ao que nos interessa. Ou seja, x(t) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao

f (x) = F (x) − G(t) = 0 . Como F′_{(x) =} 1

X(x), a fun¸c˜ao de itera¸c˜ao para o M´etodo de Newton fica

ϕ(x) = x − X(x) (F (x) − G(t)) .

Com um palpite inicial x0 temos que iterar a fun¸c˜ao ϕ, de forma a obter x1, x2, etc, at´e

chegar pr´oximo `a raiz com a precis˜ao desejada. Ent˜ao xk+1= xk− X(xk)  −G(t) + Z xk x0 1 X(u)du  ,

isto ´e, em cada etapa da itera¸c˜ao ´e preciso estimar F (xk) usando algum m´etodo de integra¸c˜ao

num´erica. O erro pode, em tese, ser controlado, usando-se estimativas de erro das duas integra¸c˜oes e tamb´em do M´etodo de Newton.

Se o procedimento acima for implementado no computador e x(t) for calculado para v´arios valores de t, em seq¨uˆencia, o melhor palpite para a condi¸c˜ao inicial x0 do M´etodo de Newton

´e o valor de x(t) obtido na etapa anterior, pois a fun¸c˜ao x(t) ´e cont´ınua.