O controlador avanço de fase discretizado é descrito pela função de transferência da Equação 4.16, assim como no projeto do controlador PD o método utilizado para se encontrar os valores dos parâmetros deste controlador é a alocação de polos. Como neste controlador temos três parâmetros (α, β e KD) não é possível determinar todos usando apenas as condições de módulo (Equação 4.24) e fase (Equação 4.25), por isso o parâmetro α será definido de modo a
eliminar um polo do função de transferência do sistema, desta forma = 0,8596. As especificações desejadas são: MP= 11, 22% e TR= 0, 003 s. Com as especificações definidas é possível obter o coeficiente de amortecimento, ζ = 0,5714, e a frequência natural, ωn= 600 rad/s, através das Equações 4.20 e 4.21, respectivamente. Depois de obtidos o coeficiente de amortecimento e a frequência natural de oscilação podemos encontrar os polos desejados do sistema através do par de Equações 4.22 e 4.23, obtendo então z1,2= 0, 0334 ± j0, 3560. Utilizando alocação de polos, com as condições descritas pelas Equações 4.24 e 4.25, obtiveram-se os valores de α = 0,8596, β = −0, 4475 e KD= −15, 1.
Logo, C(z) possui a seguinte forma: C(z) = −15, 1 z− 0, 8596
z+ 0, 4475. (4.29)
A função de transferência em malha fechada é: T(z) = GD(z)C(z)
1 + GD(z)C(z)
= 0.64855 (z + 1)
(z2− 0, 06728z + 0, 128). (4.30) O respectivo lugar das raízes está ilustrado na Figura 30
Figura 30 – Lugar de raízes do sistema com o contolador avanço de fase
Fonte: o autor.
A partir do lugar de raízes verifica-se que o sistema se tornou estável. Este fato é também observado através da resposta do sistema a uma entrada em degrau, como mostra a Figura 31.
Figura 31 – Resposta ao degrau do sistema com o contolador avanço de fase
Fonte: o autor.
Através do MATLAB é possível verificar que MP= 9, 83%, TR= 0, 003 s e erro de regime permanente de 22%. Conclui-se que o tempo de subida é igual ao pretendido, o overshoot é inferior ao máximo determinado e o sistema é estável, portanto o controlador avanço de fase projetado é adequado ao sistema.
A obtenção da equação de diferenças é efetuada da seguinte forma: U(z) E(z) = −15, 1 z− 0, 8596 z+ 0, 4475, U(z) E(z) = −15, 1 1 − 0,8596z−1 1 + 0,4475z−1,
u[ k ] = −0, 4475u[k − 1] − 15, 1(e[ k ] − 0, 8596e[k − 1]).
(4.31)
5 IMPLEMENTAÇÃO PRÁTICA DOS CONTROLADORES
5.1 Controlador PD
Esta seção tem como objetivo testar e validar o controlador PD projetado na seção 4.4. Inicialmente foi efetuada uma simulação no MATLAB/Simulink, conforme o diagrama de blocos da Figura 32.
Figura 32 – Diagrama de blocos do sistema de controle no Simulink
Fonte: o autor.
Na Figura 33 está representada a resposta ao degrau do sistema. Verifica-se que o sistema simulado tem um overshoot MP = 22, 58%, tempo de subida TR= 0, 006 s e erro em regime permanente de 24%, como já foi observado na seção 4.4.
Figura 33 – Resposta ao degrau simulada do sistema com o controlador PD
Este controlador foi testado no sistema real, tendo estabilizado para a referência de 6,5 mm e se mantido estável na posição de 7,8 mm, como mostra a Figura 34.
Figura 34 – Posição do objeto no sistema real
Fonte: o autor.
O erro em regime permanente no sistema real é de 20%, desta forma se aproximando bastante do modelo simulado no MATLAB. Além do teste com a referência constante também foram testadas mais duas referências, uma senoidal e uma onda quadrada, ambas de amplitude 1 mm e período 2 s. A referência senoidal está mostrada na Figura 35:
Figura 35 – Referência senoidal em torno do ponto de equilíbrio
Na Figura 36 é mostrada a resposta da posição do objeto para a referência senoidal e como se pode observar o objeto oscila em torno da posição 7,8 mm com amplitude de 1 mm.
Figura 36 – Posição do objeto no sistema real com referência senoidal
Fonte: o autor.
A referência em onda quadrada está mostrada na Figura 37:
Figura 37 – Referência em onda quadrada em torno do ponto de equilíbrio
Fonte: o autor.
Na Figura 38 é mostrada a resposta da posição do objeto para a referência em onda quadrada e como se pode observar o objeto oscila em torno da posição 7,8 mm com amplitude de 1 mm.
Figura 38 – Posição do objeto no sistema real com referência em onda quadrada
Fonte: o autor.
Como foi possível observar as respostas em posição para as referências quadrada e senoidal são centradas em 7,8 mm, assim como ocorreu para a referência fixa em 6,5 mm, como era de se esperar, pois estes sinais de referência são centrados em 6,5 mm.
5.2 Controlador avanço de fase
O objetivo desta seção é testar e validar o controlador em avanço projetado na seção 4.5. Inicialmente foi efetuada uma simulação no MATLAB/Simulink, conforme o diagrama de blocos da Figura 39.
Figura 39 – Diagrama de blocos do sistema de controle no Simulink
Fonte: o autor.
Na Figura 40 está representada a resposta ao degrau do sistema. Verifica-se que o sistema simulado tem um overshoot MP = 9, 83%, tempo de subida TR = 0, 003 s e erro em regime permanente de 22%, como já foi observado na seção 4.5.
Figura 40 – Resposta ao degrau do sistema com o controlador avanço de fase
Fonte: o autor.
Este controlador foi testado no sistema real, tendo estabilizado para a referência de 6,5 mm e se mantido estável na posição de 7,6 mm, como mostra a Figura 41.
Figura 41 – Posição do objeto no sistema real
Fonte: o autor.
O erro em regime permanente no sistema real é de 17,5%, se aproximando bastante do modelo simulado no MATLAB. Assim como foi feito com o controlador PD, além do teste com a referência constante também foram testadas as referências senoidal e em onda quadrada, ambas de amplitude 1 mm e período 2 s, como nas Figuras 35 e 43.
Na Figura 42 é mostrada a resposta da posição do objeto para a referênia senoidal e como se pode observar o objeto oscila em torno da posição 7,6 mm com amplitude de 1 mm.
Figura 42 – Posição do objeto no sistema real com referência senoidal
Fonte: o autor.
Na Figura 43 é mostrada a resposta da posição do objeto para a referência em onda quadrada e como se pode observar o objeto oscila em torno da posição 7,6 mm com amplitude de 1 mm.
Figura 43 – Posição do objeto no sistema real com referência em onda quadrada
Fonte: o autor.
Como foi possível observar as respostas em posição para as referências quadrada e senoidal também são centradas em 7,6 mm, assim como ocorreu para a referência fixa em 6,5 mm. Com os resultados obtidos nesta seção é possível constatar que o controlador em avanço
de fase se comporta de maneira muito parecida com o controlador PD, porém tem uma melhor atenuação de transitórios e isto é notório na resposta em posição para a referência em onda quadrada, no qual o sistema com controle PD apresenta maior oscilação do que o sistema com o controlador em avanço de fase.
6 CONCLUSÃO
Ao longo desta monografia foi desenvolvido um controle de posição para um objeto demonstrando assim o funcionamento de um sistema de levitação magnética. O princípio usado neste tipo de levitação é o mesmo utilizado em trens Alemães (TRANSRAPID) conhecidos como MAGLEVs.
Este projeto é composto por cinco partes principais, sendo elas: modelagem, projeto do controlador, simulação, implementação no sistema real e comparação de resultados. A modelagem foi feita de maneira fenomenológica, baseada na aplicações de princípios físicos fundamentais. O projeto do controlador foi realizado a partir do método de alocação de polos, trazendo os polos instáveis de malha aberta para dentro do circulo unitário. As simulações foram feitas no simulink/MATLAB. A implementação dos controladores no sistema físico real se deu através do microcontrolador AVR 328p embarcado na plataforma de prototipagem Arduino UNO. A comparação entre os resultados simulados e obtidos mostrou que apesar de haverem pequenas diferenças, devido a erros de modelagem, o modelo do sistema obtido representa bem o sistema real, a parte do projeto mais suscetível a erros de modelagem é o levantamento da curva do sensor, já que é um processo manual e extremamente delicado.
O experimento tem sua importância por apresentar diversos assuntos abordados no curso de engenharia elétrica, tais como conversão eletromecânica, microcontroladores e controle de sistemas dinâmicos. Além de sua característica didática, o tema levitação magnética gera curiosidade e admiração do público em geral.