O conceito de módulo pode ser abordado de diversas maneiras de acordo com o nível escolar. Friedlander e Hadas (1995) relatam que a maioria dos livros didáticos define valor absoluto de um número como a distância do ponto correspondente da reta real a origem, mas essa abordagem gráfica rapidamente é abandonada em favor de uma definição aritmética. Os autores ainda destacam que o valor absoluto é estudado em várias etapas do ensino de Álgebra, e em cada etapa é desenvolvida a capacidade do aluno em compreender e visualizar situações- problema de complexidade crescente.
Afirmam ainda que:
Traduzir em palavras e distância considerações sobre a reta numerada incentiva os alunos a ter em mente um quadro completo da questão, em vez de enveredar por manipulações mecânicas de sentenças algébricas.
A tradução da forma matemática em palavras é uma aptidão das mais necessárias, frequentemente negligenciada em sala de aula. Em geral, nosso enfoque se limita a problemas que requerem uma tradução para a álgebra e não vice-versa (Ibid., p. 248).
Outra forma de definição do valor absoluto de um número é apresentada por Lima (2009), o qual propõe que o módulo de um número x é o maior dos números x e – x. Segundo o autor, a interpretação de valor absoluto como distância no eixo
real, entre dois pontos de coordenadas estabelecidas permite visualizar intuitivamente o significado e as respostas de algumas questões envolvendo módulos, como a resolução de equações e inequações modulares.
Com o conceito de módulo é possível expressar algébrica e geometricamente a função modular. Abordaremos esse assunto a seguir.
2.3.1 Conceito de Função Modular
A definição de função modular permite a aplicação do conceito de módulo no plano cartesiano. Esta aplicação abre perspectivas para inúmeras relações e aplicações do conceito de módulo com o conceito de função, gráfico de uma função, função composta, translação de eixos, distância, resolução de equações e inequações na reta numérica e no plano cartesiano.
A definição de função modular decorre diretamente da definição de módulo. Portanto, a função f, de IR em IR, que a todo número x associa o seu módulo é denominada função modular, ou seja, f: IR→ IR então x ↦ |x|.
Torna-se essencial compreender que em certas funções é necessário o uso de duas ou mais sentenças. De forma abreviada, costuma-se dizer que a função modular9 é definida por y = |x| ou f(x) = |x|, no qual o seu domínio é IR.
Neste caso a função modular é descrita por:
x para x ≥ 0
f(x) = |x| =
-x para x<0
Por se tratar de uma função definida por duas sentenças, a representação gráfica desta função no plano cartesiano é para y=x, com x≥0, o gráfico dessa função é a bissetriz do 1º quadrante para valores positivos do domínio da função f e
9 As informações foram retiradas da obra: STEWART, J. Cálculo volume 1. 6 ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2009.
para y=-x, com x<0, o gráfico dessa função é a reta bissetriz do 3º quadrante para valores negativos do domínio da função f. Assim, o gráfico cartesiano de y=|x|, de domínio IR, é a reunião das bissetrizes do 1º e 2º quadrantes. Logo, a imagem da função é formada por todos os números reais não negativos. Portanto: Im(f)= IR+= [0, +∞[.
Figura 1: Gráfico da Função Modular f, dada por f(x)=|x|
Fonte: STEWART, 2009, p.120.
A função modular é aplicada em outras funções transformadas. Para estudar essas transformações é possível fazer a aplicação do conceito de valor absoluto de uma função. Se y=|f(x)|, então, de acordo com a definição de valor absoluto, y = f(x) quando f(x) ≥ 0 e y=-f(x) quando f(x)<0. Isso nos mostra como obter o gráfico de y=|f(x)| a partir de y=f(x): a parte do gráfico que está acima do eixo permanece a mesma, enquanto a parte que está abaixo do eixo x é refletida em torno do eixo de x10.
Para justificar a importância da construção do gráfico de uma função modular em outras funções transformadas, Friedlander e Hadas (1995) apontam suas aplicações na resolução de equações e inequações modulares por meio da
representação gráfica no plano cartesiano além da utilização significativa das habilidades em trabalhar com simetria, reflexão e translação.
Uma das aplicações do conceito de função modular consiste em resolver geometricamente equações e inequações modulares no plano cartesiano. Sobre este tipo de resolução os autores afirmam que:
O sistema de coordenadas cartesianas, contudo tem algumas vantagens: Permite-nos resolver inequações com valor absoluto de maior complexidade [...]. Utiliza mais ou menos a mesma estratégia em todos os casos. Ademais, ela poderá ser utilizada posteriormente para resolver inequações de qualquer tipo [...]. É um dos poucos casos do currículo matemático em que uma resolução gráfica é menos tediosa e consome menos tempo que a resolução algébrica [...]. Utiliza de maneira significativa a habilidade em trabalhar com simetria, reflexão e translação (FRIEDLANDER; HADAS, 1995, pp.252-253).
Para resolver uma inequação modular, os autores propõem separar cada desigualdade em duas partes, separadas pelo sinal da desigualdade e representar o gráfico das funções individualmente. A partir dos pontos de interseção entre os gráficos, caso existam, se determina a solução. Se não existir ponto de interseção, basta fazer uma comparação direta entre as funções e determinar se ambas satisfazem a inequação modular.
Quanto à aplicação do conceito de módulo e função modular na reta numérica possibilitada em equações do tipo |x-a|= b com b≥0, destacamos que na reta real, esta igualdade significa que o número x está a uma distância b do número a. Nesta linha de aplicação, Lima (2009, pp.73-74) afirma que: “Se tivermos uma desigualdade, como |x-a|<ε, com ε>0, isto significa que a distância de x ao ponto a é
menor do que ε, logo x deve estar entre a - ε e a+ε. Portanto, o conjunto {x ϵ IR; |x-a|< ε} é o intervalo aberto (a-ε, a+ε)”.
A partir da interpretação na reta real de problemas que envolvem igualdades e desigualdades modulares, é possível determinar o conjunto solução de equações e inequações que envolvem adição de módulos sem a necessidade de recorrer à resolução algébrica por casos. Abordagens geométricas, tanto na reta real como no plano cartesiano contribuem ao estudo de definições e aplicações em Matemática, tais como: conceito de distância na Geometria Analítica e suas aplicações para casos como distância entre um ponto e uma reta, a definição de limite de uma
função e a interpretação geométrica da solução de sistemas lineares em IR2 e IR3 (JÚNIOR, 2008).
Desta forma, o estudo do conceito de módulo e função modular é uma oportunidade para estabelecer ligações entre as funções estudadas, em especial, no primeiro ano do Ensino Médio, e aplicação de propriedades de função e as propriedades geométricas, como simetria, reflexão e translação, usadas também em Geometria Analítica. Ao associar a Álgebra e a Geometria, especialmente pela construção de gráficos e sua análise interpretativa, a função modular estabelece um conhecimento que se interliga as diversas funções, suas aplicações e propriedades geométricas à definição de valor absoluto de um número real (Ibid., 2008).
Dentre outros assuntos sobre o estudo gráfico de funções, tais reflexões de função modular encontramos na obra de Silva et al. (2002): Atividades para o estudo de Funções em ambiente computacional. O objetivo dos autores é explorar as concepções de professores e alunos do Ensino Médio e do Ensino Superior quanto às suas dificuldades relacionadas à função. Desta forma, propõem atividades envolvendo funções (domínio, contra-domínio, distinção entre a variável dependente e a independente, registros de representação quanto à linguagem natural, simbólica e gráfica, bem como à mudança entre os registros) que podem ser exploradas em um ambiente informático, favorecendo a formulação de conjecturas, os questionamentos e a validação ou não dos resultados, por parte do sujeito.
Para auxiliar na compreensão de função modular, propomos o uso das tecnologias, mas especificamente, a utilização do software GeoGebra como uma estratégia pedagógica para o ensino algébrico e geométrico do tema em questão.