Arbeidstid blant par av foreldre
3.2.5. Parets samlede arbeidstid
É importante que o estudante perceba que nas ciências e nas engenharias frequentemente desejamos descrever ou MODELAR o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. Esta descrição começa com:
i- a identificação das variáveis responsáveis por mudanças do sistema e ii- a elaboração de um conjunto de hipóteses razoáveis sobre ela.
Estas hipóteses incluem algumas leis empíricas que são aplicáveis aos sistema. A estrutura matemática de todas essas hipóteses, ou MODELO MATEMÁTICO do sistema, é muitas vezes representada por equações diferenciais ou por um sistema de equações diferenciais. Esperamos que um modelo matemático razoável do sistema tenha uma solução que seja consistente com o comportamento conhecido dele.
Um modelo matemático de um sistema físico, geralmente envolve a variável tempo. A solução do sistema representa, então, o ESTADO DO SISTEMA; em outras palavras, para valores apropriados de tempo t, os valores da variável dependente (ou variáveis) descrevem o sistema no presente, passado e futuro.
Desta forma, quando se estuda equações diferenciais, para estabelecimento de modelagem, iniciamos por:
1- Corpo em queda livre – com ausência de atritos
Utilização da 2a lei de Newton com a utilização de sua forma em derivadas de 2a ordem ou de 1a ordem – ratificação das equações estudadas no ensino médio. Importante lembrar que o aluno terá meios de comprovar a consistência, ou não, de seus estudos anteriores na determinação de
equações de deslocamento e velocidade para movimentos sem resistência do ar e com aceleração constante – integração vertical (passado) com a atual.
2- Sistema massa-mola
Deslocamento vertical de sistema massa-mola – utilização de leis empíricas de Newton e de Hooke – sistemas sem amortecimento ou existência de forças externas que serão vistos posteriormente (na própria disciplina). 3- Pêndulo simples
Apresentação de uma equação não linear, mas com a redução para uma linear numa simplificação para deslocamentos angulares pequenos.
Importante salientar neste caso, que existe experimento simples realizado com o sistema acima para determinação de aceleração de gravidade local, assim como cálculo de erros de determinação da progressão de erros (ligação com física básica e laboratório de física, assim como de cálculo e derivadas parciais).
4- Brincadeira de pular corda (ou corda giratória)
Preparação para estudo de curvas de deflexão, importantes para os alunos do curso de engenharia civil.
5- Circuitos em série
Utilização de circuitos R, R-L, R-C ou R-L-C para determinação de correntes elétricas variáveis. Importante ligação com física geral e eletricidade básica. Poderão ser feitos experimentos em laboratórios para comprovação.
6- Lei de resfriamento de Newton
Importante para que os alunos percebam a utilização desta lei para situações cotidianas. É possível trabalhar desde resfriamento de café em uma xícara, problemas em cozimento fica, e práticas com envolvimento da polícia científica.
7- Drenagem através de orifícios 8- Deflexões de vigas
Consideramos importante salientar ser imprescindível que o professor (ou grupo de professores envolvidos no trabalho) faça:
- discussão física e matemática da EXISTÊNCIA de uma determinada solução e como PODER EXIBIR tal solução;
- Discussão sobre condições SUFICIENTES e/ou NECESSÁRIAS;
- Discussão sobre o QUE É UMA FAMÍLIA DE SOLUÇÕES na solução de uma equação diferencial;
- Discussão sobre SOLUÇÃO PARTICULAR de uma equação diferencial e CONDIÇÕES INICIAIS.
Alguns aspectos novos, que esperamos que os estudantes achem INTERESSANTES e INSTIGANTES devem ser acrescentados aos trabalhos citados em aulas. Devemos aproveitar as oportunidades (e possibilidades) de apresentar aos alunos, ensaios de profissionais proeminentes em sua especialidade. Cada um dos ensaios reflete o pensamento, criatividade e opiniões de seu autor. Importante salientar que isto poderá despertar no estudante o interesse, encorajando-o a ler e se conscientizar de que os
assuntos tratados pelas diversas disciplinas comporão sua formação como engenheiro. O estudante poderá perceber que o estudo do cálculo, das geometrias, álgebras e física básica, não são simplesmente uma mera coleção de métodos e técnicas, fatos e fórmulas, mas de assuntos vibrantes e imprescindíveis como os quais os futuros engenheiros precisam trabalhar.
Não basta aprender técnicas para a resolução de equações diferenciais. Mais do que métodos e técnicas, é necessário que o estudante perceba o processo físico que a equação (ou sua solução) representa. A apresentação de equações diferenciais por meio de problemas (ou situações problema) simples tornará mais fácil a compreensão de processos complexos.
“O conhecimento de sistemas naturais complexos é, em geral, conseguido através da combinação ou do refinamento de modelos mais simples e mais básicos. Assim, um conhecimento profundo desses modelos, das equações que os descrevem e de suas soluções constitui um primeiro passo indispensável para a solução de problemas mais complexos e realistas.” (Boyce, 1999, p.IX)
O autor expõe com clareza a importância da construção de soluções para fenômenos simples com o objetivo de extrapolação para fenômenos (ou sistemas) mais complexos e próximos do real.
Um dos momentos mais importantes da resolução de uma equação diferencial é a análise:
1- prévia, para responder à primeira grande indagação: Será que uma equação tem sempre uma solução? Como o estudante perceberá a existência de uma solução?
Se um problema não tem solução, é prudente conhecermos a situação antes de investirmos tempo e esforço em uma tentativa inútil de resolvê-lo. Desta forma, apresenta-se aqui uma situação ideal para ações
interdisciplinares. É necessário investigar o próprio problema (desde que apresentada sob a forma de um problema ou situação concreta). “...se um problema real de física é expresso matematicamente por uma equação diferencial, esta deve ter uma solução; se não tiver, é porque existe algo de errado na formulação do problema” (Boyce, 1999, p.3).
2- da equação: admitindo que a equação tenha solução, ela é única? Ela é necessária para responder ao problema?
As questões de EXISTÊNCIA e UNICIDADE, embora sejam de difícil compreensão aos estudantes que iniciam os estudos das equações diferenciais, poderão ser mais facilmente entendidas, se as equações forem apresentadas sob a forma de situações-problema. É importante que o estudante acostume-se a construir e interpretar as FAMÍLIAS DE SOLUÇÕES (para isso, quando necessário os alunos poderão fazer uso de meios tecnológicos) e sua interpretação geométrica (apresenta-se aí uma importante e imprescindível ligação com as geometrias).
A solução de uma curva, em particular, desta família de curvas é feita por identificações específicas: as condições iniciais devem ser exploradas pelo professor de cálculo, com aportes nas físicas e nas demais disciplinas que compõem o ciclo básico. A articulação entre as disciplinas é ponto fundamental para que o estudante sinta-se estimulado para continuar seus estudos.
A equação diferencial é um MODELO MATEMÁTICO de um processo. Para que ela seja identificada e estruturada é necessário a leitura atenta do problema proposto, sua tradução matemática do fenômeno físico. Uma vez que se tenha formulado matematicamente um problema, o estudante terá que resolver a equação diferencial ( ou diversas) ou, quando não for possível, descobrir o máximo acerca da solução. É possível que a resolução de uma equação diferencial seja difícil e, talvez, sejam indicadas aproximações para que o problema seja “matematicamente tratável”.
“...uma equação não linear pode ser aproximada por uma equação linear, ou uma função que varie lentamente pode ser aproximada pelo seu valor médio. Naturalmente, qualquer dessas aproximações deve ser examinada também sob o ponto de vista físico, a fim de que se tenha segurança de o problema matemático continuar a refletir os traços essenciais do processo físico que estiver investigando” (Boyce, 1999, pp 33;34)
Continua o autor enfatizando as intrínsecas relações entre os fenômenos físicos e a estruturação matemática da equação:
“... o conhecimento íntimo da física do problema pode sugerir aproximações matemáticas razoáveis que farão o problema matemático mais tratável pela análise. Esta interrelação da compreensão dos fenômenos físicos e do conhecimento das técnicas matemáticas e de suas limitações é uma característica da melhor matemática aplicada e é indispensável para a construção correta de modelos matemáticos de processos físicos complexos” (Boyce, 1999, p.34)
A citação apresentada a seguir, faz parte da apresentação de G. F. Simmons em sua obra Cálculo com Geometria Analítica, que é um respeitado autor de obras destinadas a estudantes de cálculo Ele resume, com propriedade, nossa opinião acerca do estudo de cálculo.
“Meu propósito maior foi o de apresentar o cálculo como arte poderosa de resolver problemas, arte que é indispensável em todas as ciências quantitativas. Naturalmente, desejo convencer o estudante de que os instumentos-padrão de cálculo são razoáveis e legítimos, mas não à custa de transformar o assunto numa disciplina lógica enfadonha, dominada por definições supercuidadosas, apresentações formais de teoremas e provas meticulosas. É minha esperança que toda explicação matemática nestes capítulos pareça
ao estudante atento ser tão natural e inevitável quanto a água que flui no leito do rio. O objetivo principal do texto é explorar assuntos para os quais o cálculo é útil – o que ele nos possibilita fazer e compreender – e não por sua natureza lógica, quando encarado do ponto de vista especializado ( e limitado) do matemático puro moderno” (Simmons, 1987, p.XVI).
Num mundo em que somos cada dia mais desafiados, precisamos propor atividades que desenvolvam a tomada de decisões, a mobilização de recursos e saber agir. A docência pautada nas atividades envolvendo a resolução de problemas é um dos caminhos para atingir um melhor nível de aprendizagem. Simmons (1987), continua em sua apresentação, ao explicar a existência de um grande número de problemas em sua obra:
“Há grande número de problemas com “histórias” espalhados por todo o livro. Todos os professores sabem que os estudantes tremem diante desses problemas, pois usualmente exigem pensamento não rotineiro. Entretanto, a utilidade da matemática nas várias ciências demanda que tentemos ensinar nossos estudantes a penetrar no significado de um problema com história, julgar o que é relevante e traduzir as palavras para esboços e equações. Sem essas habilidades – que são igualmente valiosas para os estudantes que se tornarão doutores, advogados, analistas financeiros ou pensadores de qualquer natureza – não há educação matemática digna desse nome” (Simmons, 1987, p.XVII).
Ao sugerir situações desafiadoras em seus “problemas com histórias” o autor mostra que é necessário ter bastante claro o objetivo que se quer alcançar e saber a quem elas se dirigem. Para que esses problemas surtam efeito junto aos alunos, é necessário que:
- as atividades sejam reconhecidas pelos alunos como verdadeiros problemas;
- haja motivação dos alunos para a resolução das mesmas; - as atividades partam de conhecimento prévio dos alunos.
Mais do que a resolução de problemas envolvendo situações desafiadoras, deve-se considerar o planejamento, as decisões, o raciocínio e os procedimentos, ou seja, o processo para que elas sejam resolvidas. Entretanto, não deve ser esquecido pelo professor, que a aprendizagem não se dá somente por construção, mas também por associação (Pozo, 2002). Portanto, torna-se imprescindível, também, a utilização de exercícios. Algumas aprendizagens necessitam de um exercício massivo e contínuo que complemente (ou anteceda) a resolução de problemas.
“Um bom equilíbrio entre problemas e exercícios pode ajudar os alunos são só a consolidar suas habilidades, como também a conhecer seus limites, diferenciando situações conhecidas e já praticadas das novas e desconhecidas” (Pozo, 2002, p.256).
6- Considerações
É no contexto da escola, na prática docente e na presença dos alunos que acontecem as modificações no processo de ensinar e aprender. O docente cria condições para a construção do conhecimento superando o sistema de fragmentação do ensino, abordando um conteúdo voltado para a resolução de problemas de interesse para o aluno.
Importante que tenhamos em mente que nossa linguagem deve ser cuidadosamente modificada quando iniciamos nossas atividades na disciplina. O cálculo, a álgebra e a geometria apresentam, àqueles que iniciam, uma própria terminologia, nada familiar, muitas vezes consideradas “notações enigmáticas”. Acostumar-se a tudo isso exige tempo e prática, processo
semelhante a aprender uma nova língua. Entretanto, esse fato não deve nos impedir de ver no inteiro que os problemas centrais do assunto são realmente muito simples e claros, sem nada de estranho ou misterioso acerca deles.
Espera-se que o estudante perceba a estreita ligação do cálculo com as geometrias (de início) e como é mais fácil aprender o cálculo por meio delas e que lançam luz, de modo significativo, sobre a geometria. É surpreendente ao estudante, constatar que eles têm aplicações profundas e de longo alcance na sua futura formação. Especificamente o cálculo adquire importância no “mundo fora das matemáticas” por meio destas aplicações científicas e um de nossos principais objetivos é introduzir o estudante a uma variedade delas tão grande quanto possível.
O conceito de derivada está intimamente ligado à determinação de velocidades. Desta forma, torna-se mais útil ao estudante de engenharias, construir os conceitos de derivada por meio de problemas (simples e usuais) que envolvam determinação de velocidades de corpos. Vale ressaltar que este foi o fato que tornou (historicamente) o Cálculo um instrumento essencial para Newton. Essas idéias poderão oferecer ao estudante uma introdução bastante simples ao conceito geral de taxas de variação.
O estudo de corpos em queda livre com ausência de resistência do ar é possível ser explorado por meio de problemas triviais (como o apresentado acima) tais como as questões de velocidade instantânea, velocidade média e a ampliação dos conceitos de limites. É importante partir de temas já conhecidos pelos estudantes, pois isto evitará que sejam feitas longas demonstrações matemáticas sobre o assunto. Muitas vezes a demonstração (que chamamos aqui de informal) é suficiente para que o estudante perceba a veracidade do tema apresentado.
Os assuntos relativos a máximos e mínimos, funções decrescentes e crescentes, concavidades e pontos de inflexão, podem, e devem ser,
exaustivamente explorados pelas demais disciplinas que compõem a estrutura curricular dos cursos de engenharia. As integrações horizontais ampliarão e solidificarão os conceitos, tornando a aprendizagem ampla e mais significativa, visto serem abordadas e aplicadas por diferentes referenciais.
Os cálculos e a álgebra só terão o real valor como ferramenta para as ciências se for possível ao futuro engenheiro aprender a compreender o problema e a traduzi-lo em linguagem matemática apropriada.
Nossa pesquisa a partir do próximo capítulo, visa a descrever e analisar todas as atividades feitas pelos alunos, tendo em vista a resposta a nosso questionamento.
CAPÍTULO 5
EXPERIÊNCIAS INTEGRATIVAS DAS DISCIPLINAS BÁSICAS
PELO CÁLCULO
CAPÍTULO 5
EXPERIÊNCIAS INTEGRATIVAS DAS DISCIPLINAS BÁSICAS
PELO CÁLCULO
1- Introdução
A articulação entre as diversas disciplinas que compõem a estrutura curricular do curso de engenharia, por meio de atividades integrativas, feita pelo professor de cálculo ou por grupo de professores de disciplinas do ciclo básico é, muitas vezes, deixada de lado por diversas dificuldades, tais como:
- formalizar reuniões com os professores para discussão dos programas de cada disciplina;
- criar atividades integrativas, tendo em vista a falta de tempo para reuniões de elaboração;
- resolver, quando questionados pelos estudantes, situações difíceis por falta de conhecimento nos assuntos das atividades integrativas das demais disciplinas envolvidas;
- considerar que as atividades implicarão perdas de tempo no cumprimento de seus planos de ensino;
- considerar, previamente, que o aluno não terá interesse em realizar as atividades.
As observações/informações citadas, podem, aparentemente, ser agentes que dificultam o trabalho, entretanto, não devem ser consideradas impeditivas de ações que, ao nosso entender, apresentam resultados muito bons no aprendizado dos estudantes. Em cada plano de ensino das disciplinas do curso, existem os objetivos (cognitivos, habilidades e atitudes) que fazem parte do projeto pedagógico do curso que se espera alcançar ao final do semestre. O aluno deverá ter sólidos conhecimentos em Cálculo, em Física, em Álgebra e Mecânica de forma a utilizar esses conhecimentos de forma abrangente e articulada nas disciplinas do ciclo profissionalizante.
Não deve assustar o professor tratar de mecânica geral, física geral, termodinâmica, resistência dos materiais, eletromagnetismo ou mecânica dos fluidos numa aula sobre equações diferenciais. É justamente com estas disciplinas que deve haver maior articulação para que se possa trabalhar o cálculo através de atividades integrativas.
Dentre os diversos assuntos tratados em cálculo diferencial e integral de forma integrada às demais disciplinas de formação básica dos cursos de engenharia, escolhemos, para a apresentação no trabalho, temas abrangentes em equações diferenciais e derivadas parciais. Na apresentação da atividade, explicitamos toda a abrangência, o tempo gasto no seu desenvolvimento, observações feitas por nós sobre o andamento do problema e todas as indicações de possíveis dificuldades no desenvolvimento da tarefa. Em todos os casos, após a aplicação dos trabalhos, que são descritos pormenorizadamente, foi feita pesquisa junto aos alunos que fizeram as tarefas. Os resultados da pesquisa são descritos no anexo 2.2.
2- Atividade no 1: Equação de aquecimento e resfriamento, de Newton
Por ser uma atividade inicial, é necessário oferecer ao aluno um grande número de informações a respeito das equações diferenciais, ou seja, o estudante precisará saber o que é uma equação diferencial, para que é necessário aprender tal conteúdo dentro de seu curso. Foi disponibilizado um texto geral sobre equações diferenciais ordinárias, por meio de cópias fotocopiadas e na plataforma Blackboard5, antes da discussão presencial sobre o assunto. Já com o texto lido, o assunto é debatido pela professora e alunos em encontro presencial, quando são discutidos os motivos pelos quais estudamos uma equação diferencial e o que ela representa. Em seguida, são apresentadas técnicas de solução de um tipo de equação diferencial: AS EQUAÇÕES SEPARADAS E SEPARÁVEIS. Só então são apresentadas técnicas de como estruturar uma equação diferencial. Neste momento são abordados, por meio de muitos exemplos originados em outras disciplinas, formas de equacionamento. Cabe salientar a importância deste tópico na articulação entre as disciplinas, pois assuntos já tratados em Física, Mecânica, Eletricidade e Fenômenos de Transporte são retomados pelo professor de Cálculo, para oferecer visibilidade e aplicabilidade a tão importante conteúdo.
A atividade prossegue envolvendo a Lei de Aquecimento e Resfriamento, de Newton, com a aplicação de um problema simples sobre o resfriamento de uma xícara de café. O tempo gasto para a realização da discussão é de 200 minutos (correspondentes a 4 horas-aula).
Após essa atividade, finalizamos com um problema de aplicação da mesma lei de Newton para resfriamento e aquecimento, com aplicação diferente da anterior. O problema de aplicação envolve um assassinato, e os alunos disporão, além das condições iniciais (a que o aluno foi submetido no problema do resfriamento do café) , de condições de contorno, não discutidas
até então. O aluno terá que refletir sobre estas condições para responder à questão apresentada.
O assunto que é tratado na atividade (equações diferenciais ordinárias), nesta atividade, tem:
PRÉ-REQUISITO: derivação e integração (assuntos abordados em Cálculo
Diferencial e Integral).
LIGAÇÕES COM DISCIPLINAS DA SÉRIE ANTERIOR: Mecânica Geral , Física Geral e Experimental I, Cálculo Vetorial e Álgebra Linear.
LIGAÇÕES COM DISCIPLINAS DA MESMA SÉRIE: Fenômenos de Transporte, Física Geral e Experimental II, Eletricidade, Resistência dos Materiais.
LIGAÇÕES COM DISCIPLINAS DE SÉRIES POSTERIORES: Fenômenos de Transporte,
Eletromagnetismo.
TEXTO DISPONIBILIZADO AOS ALUNOS ANTES DA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE
O QUE SÃO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS?
Às vezes não conhecemos uma função-chave para a resolução imediata de um problema, mas temos informações sobre a sua taxa de variação. Dessa forma é possível, na maioria das vezes, escrever um tipo de equação, agora com derivadas, chamadaEQUAÇÃODIFERENCIAL.
As equações diferenciais apresentam interesse para quem também não é da área de ciências exatas, visto que têm uma ampla possibilidade de utilização na investigação dos mais diversos tipos de fenômenos ligados às ciências físicas, biológicas e sociais. Para tanto, é necessário:
a- traduzir, em termos matemáticos, a situação presente no fenômeno, o que se faz, em geral, através das hipóteses em torno do que está acontecendo.
b- Observar que as equações matemáticas são, na maioria das vezes, descrições aproximadas dos processos reais. São aproximações, já que baseiam-se em observações. “Por exemplo, os corpos que se movem a velocidades comparáveis à velocidade da luz não são governados pelas leis de Newton, (...) a transferência de calor é também influenciada por outros fatores que não a diferença de temperatura”.
c- Descobrir o máximo sobre a solução do problema, quando já de posse da