Para aplicação de um filtro aos dados buscou-se um novo método univariado para decompor uma série temporal em uma tendência, uma componente cíclica e uma componente sazonal: um filtro para componente cíclica e tendência (Trend-Cycle filter – TC), e sua extensão incluindo uma componente sazonal (Trend-Cycle-Season filter – TCS).
Estes filtros podem ser vistos como extensões do filtro de Hodrick-Prescott (HP). Em particular, o modelo estocástico do filtro HP é estendido por modelos explícitos para as componentes cíclica e sazonal.
Um processo estocástico, segundo Chatfield (1989) pode ser descrito como um fenômeno estatístico que evolui no tempo de acordo a leis probabilísticas. O modelo pode ser considerado estocástico quando incorpora elementos probabilísticos não oferecendo soluções únicas, mas uma distribuição de soluções associadas a uma probabilidade. Diferencia-se de outros modelos matemáticos determinísticos que utilizam relações exatas e não funções de probabilidade.
O filtro HP (Hodrick-Prescott) e os demais filtros com uma componente são baseados apenas em um modelo implícito para a tendência tratando o ciclo como um resíduo da extração da tendência. O filtro HP é obtido minimizando a função objetivo para xtT na equação (2.21): σ ሺݔ௧െ ݔ௧்ሻଶ ߣ σ ሺሺݔ௧ே ்െ ݔ௧ିଵ் ሻ െ ሺݔ௧ିଵ் െ ݔ௧ିଶ் ሻሻଶ ௧ୀଶ ே ௧ୀଵ (2.21) Na forma matricial:
ሺܺ െ ்ܺሻᇱሺܺ െ ்ܺሻ ߣ்ܺᇲଶᇲଶ்ܺ (2.22)
Onde X e XT são vetores Tx1 dos dados originais e a solução desde problema de otimização segue na forma matricial mostrando que a componente cíclica XC é um resíduo da extração da componente da tendência XT dos dados X:
்ܺ ൌ ሺܫ െ ߣߘ̰ሺʹ̰Ԣሻߘ̰ʹሻିଵܺ (2.23)
ܺ ൌ ܺ െ ்ܺ (2.24)
O filtro HP foi estendido, permitindo tendências estocásticas de ordem arbitrária podendo ser ajustadas à série original (no caso do filtro HP somente são permitidas tendências de segunda ordem) e, adicionando um modelo estocástico para ciclo ao filtro. O filtro TC resultante proporciona estimativa simultânea das componentes cíclica e da tendência.
Inicialmente o modelo estocástico do filtro HP é estendido por um modelo explícito para o ciclo. O processo cíclico é considerado seguir um processo ARMA estacionário, o qual não é deixado implícito no filtro HP. Os modelos auto regressivos (AR), média móvel (MA) e a combinação dos dois (ARMA) podem ser vistos em literatura específica sobre séries temporais e não serão tratados neste texto devido ao objetivo somente de mostrar o conceito utilizado no filtro TCS e focar em sua aplicação como ferramenta.
No caso do modelo de ciclo implementado, dois parâmetros são importantes:
- o primeiro pode ser escolhido de um intervalo aberto ]0,1[. Ele amortece o ciclo, e seu valor menor do que 1 assegura que o processo cíclico é estacionário. Na prática é trabalhado com valor próximo a 1, neste caso 0,975, e nomeado “ρ”.
- o segundo define a frequência que domina o ciclo estocástico, é mais importante. Combinando o modelo de tendência e ciclo resulta no modelo do filtro TC cuja solução é obtida minimizando a função objetivo apresentada na equação (2.25) para componentes da tendência e do ciclo, XT e XC.
ሺܺ െ ܺെ ்ܺሻ
ǡெǡ ᇱሺܺ െ ܺെ ்ܺሻ ሺௗିଵሺ்ܺെ ܷܾሻሻᇱቀௗିଵሺ்ܺെ ܷܾሻቁ
ܺᇲ
ܣᇱሺܤܤᇱሻିଵܣܺ (2.25)
Diferente do filtro HP, o filtro TC preserva ciclos estacionário e determinístico e sua tendência é ciclicamente neutra quando o ciclo nos dados é consistente com o modelo cíclico
do filtro. Isto significa que aplicando o filtro nesta condição podem-se reproduzir completamente os dados de entrada no ciclo com uma tendência igual a zero.
O fato de ser ciclicamente neutra para a tendência é um avanço importante do filtro TC em relação ao HP, o qual não é ciclicamente neutro e que dependendo do valor do seu parâmetro de amortecimento, o filtro HP reproduz oscilações harmônicas parcialmente na tendência.
O filtro TC não pode ser aplicado diretamente às séries temporais com componentes sazonais em uma alta frequência devido aos problemas com a função ganho da tendência Além disso, deseja-se extrair a componente sazonal de forma consistente juntamente com o ciclo e a tendência. O comportamento sazonal pode ser modelado através de ciclos estocásticos adicionais nas frequências sazonais chegando ao filtro TCS.
Com o filtro TCS, uma componente cíclica, sazonal e de tendência podem ser simultaneamente extraídas de uma série temporal. Na prática, o filtro implementado no software Matlab® trabalha com a seguinte parametrização:
Parâmetros de entrada:
1) d: é um escalar que indica a ordem da tendência (usualmente entre 0 e 2). A especificação de d = 0 é possível. Isto implica XT = 0 (componente da tendência) e faz sentido apenas para séries sem tendência.
2) c: é um escalar para a ordem do primeiro processo cíclico (usualmente na faixa de 0 a 2). Para o filtro HP, c deve ser colocado igual à zero.
3) cp: é um escalar para o ciclo crítico do modelo AR estocástico (>0) ou o comprimento médio do ciclo. Se c = 0 e cp > 0, tem-se o filtro HP onde cp denota o parâmetro de amortecimento do filtro HP.
4) s: é um escalar para sazonalidade e deve ser ajustado igual a 4 para dados trimestrais, 12 para mensais, etc. s > 0 junto com c = 0, cp = 0 e d = 0 resulta em um filtro sazonal de 1 componente que pode ser usado para de-sazonalizar uma série estacionária.
5) ρ: parâmetro de amortecimento para o modelo estocástico AR, colocado padrão igual 0,975.
Parâmetros de saída:
Na seção dedicada à Metodologia e Discussão dos Resultados a parametrização do filtro TCS será apresentada entre parênteses como (d, c, cp, s) sendo que o parâmetro de amortecimento ρ será mantido constante. Para facilitar o entendimento segue a descrição desta parametrização para dois exemplos:
1) (1, 2, 28, 4): filtro com tendência de primeira ordem, ciclo de segunda ordem, comprimento médio do ciclo de 28 e sazonalidade trimestral, com ρ no valor padrão de 0,975;
2) (1, 2, 8, 0): filtro com tendência de primeira ordem, ciclo de segunda ordem, comprimento médio do ciclo de 8 e sem componente sazonal, com ρ no valor padrão de 0,975.
A componente da tendência resultante do filtro TCS tanto para a variável resposta quanto para as variáveis preditoras pode ser usada para se avaliar o padrão de comportamento e a forma de variação conjunta das mesmas. Para modelar este comportamento e suas relações optou-se pela utilização de um modelo neural.
2.4.3. Modelo Neural – Redes Neurais Artificiais