No início da década de 80 do século XX, era dada muita ênfase às heurísticas como orientações para resolver problemas. Isso pode ser visto nos artigos publicados no anuário do NCTM de 1980. A heurística pode ser entendida como um “método pedagógico que leva o aluno a aprender por si mesmo a verdade que se lhe quer ensinar” (KOOGAN/HOUAISS,1999, p.819).
Em sua obra A Arte de Resolver Problemas, escrita em 1945e traduzida no Brasil em 1978, Polya (1945, 1978) propõe uma sistematização da heurística de resolução de problemas. Segundo ele, “o objetivo da heurística é o estudo dos métodos e das regras da descoberta e da invenção” (POLYA, 1945, 1978, p. 86). Desse modo, seu intuito é sugerir um método que possa ser usado na resolução de problemas mais ou menos técnicos. As etapas descritas por Polya (1945, 1978) para resolver problemas são compreensão do problema, estabelecimento de um plano, execução do plano e retrospecto, detalhadas a seguir.
Segundo o item compreensão do problema, o resolvedor deve se questionar sobre a(s) incógnita(s), os dados e a condicionante: Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? É suficiente? Contraditória? Redundante?
Segundo o item estabelecimento de um plano, o autor sugere o estabelecimento de conexões entre os dados e a incógnita, a consideração de problemas auxiliares, caso não encontre conexões imediatas e o estabelecimento de um plano para a resolução.
Segundo o item execução do plano, o autor recomenda que se verifique cada passo da resolução. É possível saber se estão realmente corretos?
Segundo o item retrospecto, o exame da solução obtida é o último passo. É o momento em que se realiza a verificação do resultado. Nesta etapa, é importante também questionar sobre outros caminhos possíveis para chegar à resposta e sobre a possibilidade de utilização do plano na resolução de outros problemas.
Mas Polya (1945, 1978) alerta:
Regras de descoberta infalíveis, que levem à resolução de todos os problemas matemáticos, seriam mais preciosas do que a pedra filosofal, em vão procurada pelos alquimistas. Tais regras fariam milagres, mas não há milagres. Encontrar regras infalíveis, aplicáveis a toda sorte de problemas é um velho sonho filosófico, que nunca passará de sonho (POLYA, 1945, 1978, p.133).
De fato, em minicursos que, em geral, são apresentados em eventos, os participantes solicitam formas de ensinar a resolver problemas, como se existisse uma fórmula mágica. Às vezes, alunos fazem reclamações de questões da prova: “Esse problema, a senhora não resolveu em classe”.
D’Ambrosio (2008) parece concordar, ao comentar interpretações das sugestões de Polya, que, às vezes, são vistas como receita para resolver problema:
A interpretação muito limitada do trabalho de Polya resultou em propostas curriculares que (nos anos 1960 a 1990) transmitiam aos alunos uma visão da resolução de problemas como um procedimento seguindo passos determinados. As propostas curriculares incluíam a resolução de problemas como um capítulo ou como atividades independentes. A proposta decompunha a resolução de problemas em quatro subatividades (...) A análise mais profunda do trabalho de Polya nos mostra uma visão de resolução de problemas muito mais rica do que a que foi assumida nas propostas curriculares. Polya estudava o trabalho de investigação dos matemáticos e propunha um ensino que criasse oportunidades para que os alunos se comportassem como matemáticos, investigando problemas abertos e desafiantes para todos (D’AMBROSIO, 2008, p.1).
Schoenfeld (1997) também concorda, ao dizer que “Polya simplesmente afirma que um melhor entendimento dessas estratégias gerais de resolução de problemas poderia exercer uma influência positiva sobre ... o ensino de matemática” (SCHOENFELD, 1997, p.13). Em artigo publicado no anuário do NCTM de 1980 e traduzido no Brasil em 1997, o autor propõe um modelo heurístico, demonstrando a utilidade e as limitações para a resolução de problemas. Nesse trabalho, o autor declara que a heurística é “uma sugestão ou estratégia geral (...) que ajuda resolvedores de problemas a abordar e conhecer um problema e a dirigir eficientemente seus recursos para resolvê-lo” (SCHOENFELD, 1997, p.13).
Para ilustrar a utilização de sua heurística na resolução de problemas, descreve quatro pontos norteadores, interpretados e sintetizados nesta pesquisa da seguinte forma:
1) Analisando e entendendo um problema.
Sugere-se ao aluno, se for possível, fazer um diagrama, examinar casos particulares do problema dado, explorar as possibilidades, exemplificar e buscar padrões de indução, fazendo parâmetros inteiros iguais, sucessivamente, a 1, 2, 3, etc.
2) Delineando e planejando uma solução.
Sugere-se ao aluno planejar uma solução e saber o que está fazendo e para quê está utilizando determinadas operações.
3) Explorando soluções para problemas difíceis.
Sugere-se ao aluno considerar problemas equivalentes, considerar ligeiras mudanças no problema original e considerar mudanças amplas do problema original.
4)Verificando uma solução.
Sugere-se ao aluno usar testes específicos e também testes gerais.
Shoenfeld (1980, 1997) afirma que “tais estratégias são usadas muitas vezes, e sem dúvida com vantagens, por pessoas experientes em resolução de problemas” (SCHOENFELD, 1997, p.15). No entanto alerta que a heurística é incompleta, pois certamente não serve para todos os problemas. Essas estratégias se adequam a apenas um grupo limitado de problemas, não sendo possível prever as particularidades que cada problema apresenta. Assim, não se podem usar as heurísticas como uma sequência de passos memorizados, para se obterem todas as resoluções. “Podemos pensar na ampla coleção de estratégias, (...) como uma série de chaves, das quais um pequeno número pode servir para abrir um problema particular” (SCHOENFELD, 1997, p.19). Nada adianta memorizar regras que não tiverem utilidade prática, por falta do conhecimento de como aplicá-las.
Portanto o processo da Resolução de Problemas apresenta-se mais complexo do que apenas seguir uma sequência de instruções. Assim, a aula deve permitir que o aluno contribua de forma dinâmica e produtiva, sob a orientação do professor.
Schoenfeld, em artigo de 1996, intitulado “Por que toda esta agitação acerca da resolução de problemas?”, apresenta o que pensa sobre a Resolução de Problemas. Ele emprega o problema como ponto de partida, como introdução a importantes ideias matemáticas. Seu objetivo é fazer com que o aluno pense matematicamente e não que apenas resolva problemas:
o pensar matematicamente significa (a) ver o mundo de um ponto de vista matemático (tendo predileção por matematizar: modelar, simbolizar, abstrair, e aplicar ideias matemáticas a uma larga gama de situações), e (b) ter os instrumentos para tirar proveito para matematizar com sucesso (SCHOENFELD, 1996, p.8).
Schoenfeld (1996) considera que a Resolução de Problemas pode ilustrar estratégias para se resolverem outros, servindo como “terreno de treino” para o desenvolvimento de instrumentos heurísticos do estudante. Assim, deve possibilitar a ele perceber o mundo, sentir e ver que a matemática faz com que as coisas tenham sentido. Mas o aluno também deve ser capaz de comunicar-se, usando a linguagem matemática:
modelar e simbolizar, comunicar, analisar, explorar, conjecturar e provar – ou, seja, atividades com sentido matemático (mathematicalsensemaking), é aquilo que a Matemática realmente é. Na verdade, fazer sentido deveria ser a principal actividade da escola. Das artes à literatura, à Física, o que deveria ser aprendido são múltiplos caminhos de ver o mundo, e os variados instrumentos interdisciplinares e perspectivas que nos ajudam a entendê-lo. Isto é, em resumo, a minha esperança para a resolução de problemas (SCHOENFELD, 1996, p.12, grifo do autor e tradutor).
Do exposto, conclui-se que, de fato, é necessário que as aulas de Matemática contribuam para que o aluno possa desenvolver a capacidade de resolver problemas. Mas um ponto importante no processo é que o aluno deve, inicialmente, entender o problema que deseja resolver.
No entanto experiências mostram que, muitas vezes, nas aulas de Matemática, o aluno não compreende o que se pede no problema. A dificuldade pode estar na linguagem ou até mesmo na má formulação do problema: se o aluno não sabe ler, não tem condições de interpretar o texto.
A resolução de problemas, como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática, pode ser resumida nos seguintes princípios: a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na História da Matemática; um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se afirmar que o aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido num campo de problemas, e não um conceito isolado em resposta a um problema particular; a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se podem apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas (BRASIL, 1998, p.40-41).
Assim, é importante estimular o aluno a questionar suas soluções e o problema em si, com o intuito de criar uma visão crítica e gerar aprendizagem pela ação refletida, que pode levar à construção do conhecimento.
Por isso, de acordo com Campbell (1996), apud Alevatto (2005), cabe ao professor:
propiciar a construção do conhecimento a partir de conhecimentos anteriores, focalizar no pensamento e não na obtenção de respostas esperadas, dar tempo aos alunos para pensar, levar os alunos a explicar ou justificar suas respostas ou raciocínios, questionar os alunos, ouvi-los e ensiná-los a ouvir os colegas, explorar conceitos matemáticos em termos de resolução de problemas, promover o trabalho em grupos sempre diversificados de alunos (ora individualmente, ora em duplas, ora com a classe toda, etc.) (CAMPBELL,1996, apud ALEVATTO, 2005, p.63).
De fato, tem de haver o protagonismo do aluno, isto é, uma atitude ativa, de cooperação, no trabalho em equipes ou até mesmo no trabalho individual, buscando caminhos, estratégias e comparação de suas soluções com a dos pares.
Mesmo havendo estudos que consideram e defendem a eficácia da Resolução de Problemas para a aprendizagem da Matemática, ainda há controvérsias.
Onuchic e Alevato (2010), apoiando-se em Schroeder e Lester (1989), afirmam que, no fim da década de 80 do século XX, havia três concepções sobre a resolução de problemas: ensinar sobre resolução de problemas, ensinar Matemática para a resolução de problemas e ensinar Matemática através da resolução de problemas.
Segundo Onuchic (1999), ao ensinar sobre a resolução de problemas, o professor procurava utilizar o modelo de Polya, enfatizando os quatro passos: compreender o problema,
criar um plano, seguir o plano e retornar ao problema inicial. No caso em que o foco era ensinar a resolver problemas, o professor enfatizava o modo como a Matemática era ensinada e buscava aplicá-la em problemas rotineiros e não rotineiros. Dessa forma, eram dados ao aluno exemplos de estruturas e conceitos matemáticos e a possibilidade de aplicar esses conceitos em problemas.
Terminada a década de 80 do século XX, os pesquisadores passaram a fazer questionamentos sobre os aspectos didático-pedagógicos da Resolução de Problemas. Dessa forma, ela passou ser vista como uma metodologia de ensino e o problema passou a ser considerado como o ponto de partida para se ensinar Matemática através da resolução de problemas. Portanto o problema passou a ser o propulsor do processo de construção do conhecimento numa metodologia onde o foco estava centrado na ação do estudante (ONUCHIC, 1999; ALEVATO e ONUCHIC, 2010).
A última concepção tem se firmado a partir das reflexões desenvolvidas sobre investigações e explorações que o aluno pode realizar para aprender matemática. Como já foi dito, os PCN (BRASIL, 1998) consideram a Resolução de Problemas um meio de se ensinar e aprender Matemática, no entanto a abordagem feita se limita ao ensino de Matemática para resolver problemas, ou seja, a situação-problema deve ser o ponto de partida da atividade matemática.
Nesta pesquisa espera-se que o aluno participe ativamente na construção do conhecimento, que o professor seja o elo entre o aluno e o conhecimento, e que a aprendizagem ocorra através da resolução dos problemas.