No caso do rastreamento de referência para a realimentação de saída é utilizada a equação 5.15, os resultados são mostrados nas figuras 6.26, 6.27 e 6.28, usando uma referência igual a 1 e x(0) = 0 0 . 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tempo(s) Amplitude Saída do Sistema Referência
Figura 6.22: Rastreamento de Referência com Realimentação de Saída
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 x1 x2 Ponto de Equilíbrio Trajetória dos Estados Conjunto de Restrições Máximo Conjunto Invariante Controlado
Figura 6.23: Trajetória dos Estados para o Rastreamento de Referência com Realimenta- ção de Saída
6.2. REALIMENTAÇÃO DE SAÍDA 39 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 Tempo(s) Amplitude Sinal de Controle
Figura 6.24: Sinal de Controle u para o Rastreamento de Referência para Realimentação de Saída
Neste caso, com os parâmetros conhecidos, o sistema tem ótimo desempenho, conse- guindo chegar até a referência.
6.2.3
Rastreamento Robusto de Referência
Supondo da mesma forma que para a realimentação de estados que A = 0.9347 + α 0.5194 0.33835 0.831 , B= −1.4462 −0.7012 + β e C = 0.5 0.5 , para −0.03 ≤ α ≤ 0.03 e −0.05 ≤ β ≤ 0.05. Os valores das matrizes do modelo utilizado são os valores nominais Ao=
0.9347 0.5194 0.33835 0.831 e Bo= −1.4462 −0.7012
e do processo real são A = 0.9647 0.5194 0.33835 0.831 e B = −1.4462 −0.7512 . Usando a equação 5.15 obtemos o seguinte resultado:
0 5 10 15 20 25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Saída do Sistema Referência
Figura 6.25: Controle com Modelo Incerto para Realimentação de Saída
Como é possível observar, também não consegue atingir a referência, ficando com um pequeno erro depois que atinge o ponto de equilíbrio. Também será necessário utilizar a reidentificação do sistema junto com o poliedro ∆-invariante. Assim, utilizando a equa- ção 5.30 e a reidentificação do sistema dadas pelas equações 5.31 e 4.8 para os mesmos
40 CAPÍTULO 6. SIMULAÇÕES E RESULTADOS valores de G, ρf, Aa e Bacalculados na sessão de realimentação de estados, obtemos o
seguinte resultado: 0 5 10 15 20 25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo(s) Amplitude Saída do Sistema Referência
Figura 6.26: Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Saída
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 x1 x2 Ponto de Equilíbrio Trajetória dos Estados Conjunto de Restrições Conjunto Invariante Controlado Conjunto ∆−Invariante Controlado
Figura 6.27: Trajetória dos Estados para o Rastreamento Robusto com Realimentação de Saída 0 5 10 15 20 25 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 Tempo(s) Amplitude Sinal de Controle
Figura 6.28: Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentação de Saída
6.2. REALIMENTAÇÃO DE SAÍDA 41 Testando também para o sistema com uma variação nos seus parâmetros em k = 10, onde A = 0.9047 0.5194 0.33835 0.831 e B = −1.4462 −0.6512
obtemos o seguinte resultado:
0 5 10 15 20 25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tempo(s) Amplitude Saída do Sistema Referência
Figura 6.29: Controle com modelo reidentificado com mudança de parâmetros em k = 10 com Realimentação de Saída
0 5 10 15 20 25 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 Tempo(s) Amplitude Sinal de Controle
Figura 6.30: Sinal de Controle u para controle com reidentificação e mudança de parâme- tros com Realimentação de Saída
Assim como na Realimentação de Estados, o sistema consegue voltar à referência depois da mudança dos parâmetros.
Testando para o caso em que a saída fica próxima dos limites das restrições do polie- dro, ou seja, a referência igual à 3, obtemos:
42 CAPÍTULO 6. SIMULAÇÕES E RESULTADOS 0 5 10 15 20 25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Tempo(s) Saída do Sistema Referência
Figura 6.31: Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Saída com refe- rência igual à 3 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 X1 X2 Ponto de Equilíbrio Trajetória dos Estados Conjuntos de Restrições Conjunto Invariante Controlado Conjunto ∆−invariante Controlado
Figura 6.32: Trajetória dos Estados com Rastreamento Robusto com Realimentação de Saída com referência igual à 3
0 5 10 15 20 25 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo(s) Amplitude Sinal de Controle
Figura 6.33: Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentação de Saída com referência igual à 3
Já quando a referência ultrapassa os limites do poliedro, com a referência igual à 4, obtemos:
6.2. REALIMENTAÇÃO DE SAÍDA 43 0 5 10 15 20 25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Tempo(s) Amplitude Saída do Sistema Referência
Figura 6.34: Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Saída com refe- rência igual à 4 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 X1 X2 Ponto de Equilíbrio Trajetória dos Estados Conjunto de Restrições Conjunto Invariante Controlado Conjunto ∆−invariante Controlado
Figura 6.35: Trajetória dos Estados com Rastreamento Robusto com Realimentação de Saída com referência igual à 4
0 5 10 15 20 25 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo(s) Amplitude Sinal de Controle
Figura 6.36: Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentação de Saída com referência igual à 4
44 CAPÍTULO 6. SIMULAÇÕES E RESULTADOS do pior caso dos estados. No caso da referência igual à 4, o sistema não ultrapassa os limites do poliêdro.
Capítulo 7
Conclusões
Neste trabalho foram mostradas as características e fundamentos teóricos dos con- juntos invariantes controlados, em específico o poliedro. Em seguida, o controle com rastreamento de referência para sistemas com restrições e como deve ser resolvido para o caso de utilização do poliedro invariante. É mostrado como é possível utilizar o poliedro invariante para manter o sistema dentro das restrições tanto para o caso de realimenta- ção de estados quanto para o de realimentação de saída, além de utilizar os conjuntos invariantes para modelos com incertezas e o controle robusto utilizando estes conjuntos.
Como pôde ser observado nas simulações, em ambos os casos foram obtidos resul- tados satisfatórios nos exemplos explorados, o que prova que a utilização dos conjuntos invariantes é bastante eficiente no controle de sistemas lineares com restrição, inclusive para os casos com perturbações e incertezas. Porém, para a sua utilização, existe a ne- cessidade de se saber o modelo do sistema para que se possa ter um controle adequado. Como também há a necessidade da utilização de métodos de otimização, os quais exige um grande custo computacional, o que pode levar a demorar um longo tempo para que seja calculado o sinal de controle em resposta ao sistema. Dependendo deste tempo, pode ser inviável a utilização desse procedimento de controle, principalmente para o caso de processos muito rápidos. O método proposto para contornar o problema dos modelos incertos também utiliza um método de otimização que também aumenta o custo compu- tacional do controle.
Este trabalho contribuiu na área de controle de sistemas com restrição para casos de sistemas com realimentação de saída e com realimentação de estados utilizando os conceitos de conjuntos invariantes. Em particular, a realimentação de saída para sistemas incertos, por ser um assunto não abordado em trabalhos publicados anteriormente, é a maior contribuição deste trabalho.
Além dos pontos já abordados neste trabalho, ainda existem outros pontos que po- dem ser explorados, como fazer comparações com solução já existentes no contexto de controle preditivo, a adição de perturbações aditivas de amplitude limitada e procurar no- vas formas além da reidentificação para reduzir o erro em regime permanente no caso de sistemas com incertezas.
Os resultados e estudos deste trabalho foram submetidos e apresentados no DINCON 2015 em 27 de outubro. [Silveira & Dórea 2015]
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