Flora

1.14-b mostramos tais singularidades conhecidas como singularidades de Van Hove. Para nanotubos zigzag (n, 0), a rela¸c˜ao de dispers˜ao ´e obtida da mesma maneira que a dos CNT armchair, entretanto, a condi¸c˜ao de periodicidade agora ser´a:

nkya = 2πq, q = 1, .., 2n. (1.16)

Ent˜ao, se substituirmos a equa¸c˜ao 1.16 na B.25, obtemos a rela¸c˜ao de dispers˜ao para os nanotubos zigzag.

εn,0_{q (k) = α ± β} s 1 + 4cos( √ 3ka 2 )cos( qπ n ) + 4cos 2₍qπ n ). (1.17)

onde q = 1, .., 2n corresponde `a parte do vetor de onda discreta, e a parte cont´ınua ´e dada por −_√π

3 < k < π √ 3.

1.5

Propriedades mecˆanicas

Os nanotubos de carbono s˜ao materiais com propriedades mecˆanicas bem interes- santes. Podemos notar essas caracter´ısticas quando comparamos suas propriedades com as do a¸co, por exemplo: notamos que os CNTs s˜ao mais resistentes por um fator de vinte e seis vezes mais leves. No entanto, quais s˜ao as propriedades mecˆanicas que fazem dos nanotubos materiais t˜ao especiais e promissores? O nanotubo de parede simples possui um m´odulo de Young da ordem de 1.0 TPa [5], um failure stress da ordem de 100 GPa e um failure strain da ondem de 11% [65]. Essas propriedades mecˆanicas bem pronunciadas s˜ao decorrentes do arranjo estrutural perfeito dos seus ´atomos de carbono, e tamb´em pela for¸ca de intera¸c˜ao entre estes ´atomos. Como foi dito na introdu¸c˜ao, os nanotubos vˆem sendo aplicados na produ¸c˜ao de cabos de alta resistˆencia e tamb´em como refor¸co em matriz de comp´ositos. Na literatura encon- tramos alguns trabalhos experimentais sobre propriedades mecˆanicas de nanotubos

1.5 Propriedades mecˆanicas 24

de carbono, no entanto existem dificuldades para realiza¸c˜ao dos experimentos. Este fato pode acarretar uma discrepˆancia dos resultados. Para termos uma id´eia do que estamos comentando, em um dos primeiros experimentos para medir o m´odulo el´astico [77] de nanotubos de parede m´ultipla, foram obtidos valores para esta pro- priedade na faixa de 0.4 − 4.15 TPa, e um valor m´edio de 1.81 TPa. Esta medida possui um desvio padr˜ao extremamente grande. Este fato ´e atribuido `a dificuldade das medidas experimentais bem como do procedimento utilizado. Para uniformizar a linguagem, vamos apresentar uma s´erie de ensaios mecˆanicos que podem ser reali- zados. Na figura 1.15 mostramos os tipos de ensaios mecˆanicos que podem ser feitos para nanotubos de carbono.

Figura 1.15: Apresentamos os tipos de caracteriza¸c˜oes das propriedades mecˆanicas

para nanotubos. (a) strain axial; (b) compress˜ao axial (diameter buckling); (c) flex˜ao sim´etrica (bending symmetrical); (d) compress˜ao radial; (e) flex˜ao el´astica (elastic deviation) e (f ) deforma¸c˜ao de Euler. A presente figura foi extra´ıda da referˆencia [78].

1.5 Propriedades mecˆanicas 25

O principal parˆametro que caracteriza a ruptura (figura 1.15-a) ´e o m´odulo de Young longitudinal E, definido da seguinte maneira:

E = σ ǫ =

N

2πRhǫ, (1.18)

onde σ representa a tens˜ao (stress) longitudinal, N ´e a for¸ca aplicada a ´area da se¸c˜ao transversa, ǫ ´e a tens˜ao relativa (associada `a mudan¸ca de comprimento) do nanotubo devido a a¸c˜ao da for¸ca, R ´e o raio do nanotubo e o h coresponde `a espessura da parede. Uma outra propriedade importante dos nanotubos ´e o chamado coeficiente de Poisson (ν), que ´e definido como a raz˜ao entre a compress˜ao transversal relativa ǫ′ _{e a tens˜ao longitudinal relativa ǫ:}

ν = ǫ′

ǫ. (1.19)

Uma for¸ca compressiva muito grande resulta em uma mudan¸ca brusca na estru- tura da parede do nanotubo (figura 1.15-f), e a forma dessa compress˜ao, acompa- nhada de uma mudan¸ca estrutural, ´e conhecida como “deforma¸c˜ao de Euler” e tem um car´ater de instabilidade. O m´odulo el´astico correspondente `a deforma¸c˜ao lateral - flex˜ao (bending), (figura 1.15-d-f), pode ser escrito em fun¸c˜ao do m´odulo de Young E e do coeficiente de Poisson ν. A rigidez de flex˜ao de um cilindro oco ´e dada pela seguinte rela¸c˜ao:

D = Eh

3

12(1 − ν2₎. (1.20)

O ´ultimo parˆametro que queremos comentar consiste na capacidade de um cilin- dro de resistir a uma tens˜ao lateral. Essa quantidade ´e definida por:

C = Eh. (1.21)

1.5 Propriedades mecˆanicas 26

rede simples. No entanto, do ponto de vista de aplica¸c˜ao, tanto em cabos de alta performace quanto em refor¸co em matriz de comp´ositos, s˜ao usados nanotubos na forma de feixes e nanotudos de paredes m´ultiplas. Em ambos os casos, quando estes nanotubos est˜ao na sua forma sem defeitos, as propriedades mecˆanicas s˜ao degradadas devido `a possibilidade dos tubos deslizar um contra os outros, dificul- tando eventuais aplica¸c˜oes. Como foi extensivamente comentado na introdu¸c˜ao, uma maneira para melhorar as propriedades mecˆanicas ´e atrav´es de interconex˜oes entre as paredes dos nanotubos. Ao criar conex˜oes entre as paredes destes sistemas ´e interessante estudar propriedades que, de certa forma, consigam quantificar essa degrada¸c˜ao mecˆanica provocada pelo deslizamento de um tubo em rela¸c˜ao a outro, por exemplo. Uma propriedade interessante que ser´a investigada ´e o m´odulo de cisalhamento (shear moduli), que consiste numa tens˜ao resultante de for¸cas aplica- das em nanotubos adjacentes. Estas for¸cas causam ou tˆem a tendˆencia de causar um deslizamento paralelo entre dois tubos vizinhos. Nos cap´ıtulos sobre proprieda- des mecˆanicas mostraremos esta propriedade para nanotubos de paredes m´ultiplas e para feixes. Um outro ponto importante que merece destaque consiste na trans- ferˆencia de tens˜ao entre dois tubos atrav´es de conex˜oes. Na literatura essa grandeza ´e conhecida como transferˆencia de tens˜ao (LT) (load transfer). Essa grandeza mede a eficiˆencia da conex˜ao, uma vez que existe uma valor m´aximo de tens˜ao que pode ser transferida. A transferˆencia de tens˜ao ´e definida com a raz˜ao entre a for¸ca interna pela for¸ca externa dos nanotubos MWCNT. Para nanotubos de parede m´ultipla faremos um estudo mostrando como caracterizar esta propriedade.

Na pr´oxima se¸c˜ao falaremos de algumas aplica¸c˜oes dos nanotubos de carbono baseadas em suas propriedades.