Angel Gutiérrez, professor do Departamento de Didática da Matemática na Universidade de Valência, Espanha, é um dos vários pesquisadores preocupados com a visualização geométrica.
Em seu estudo, Gutiérrez (1998a) utilizou os módulos multicubos, que são sólidos formados pela sobreposição de vários cubos iguais. Segundo o autor, é vantajoso utilizar os módulos multicubos em detrimento dos sólidos geométricos habituais, como pirâmides, prismas, cones, esferas, cilindros e mesmo o próprio cubo, uma vez que os mesmos possibilitam que se trabalhem os diversos problemas de construção a partir de representações planas, além de ser um material mais acessível.
Tomando como referência o trabalho de Parzysz (1988), o autor fundamenta-se nas propostas do “visto” e “sabido”, tendo como hipótese as dificuldades comuns no ensino da Geometria Espacial apresentada pelos estudantes de todos os níveis. Aponta, ainda, a importância da aprendizagem das técnicas de projeção como meio para se compensar as perdas de informações inerentes a cada nível de representação e, dessa forma, possibilitar o processo de “restituição do significado” (PARZYSZ, 1988) das representações planas de objetos geométricos tridimensionais.
O experimento descrito em Gutiérrez (1998a) foi dividido em duas etapas. Na primeira são propostas atividades de desenhos livres, sem a intervenção do pesquisador, a não ser para dar as instruções para a execução das tarefas. Em cada uma das três atividades desta etapa, um estudante deveria dar instruções aos seus colegas para construírem um módulo igual ao que somente ele via. Na segunda etapa, o pesquisador interagia diretamente com os alunos, auxiliando-os e instruindo-os na realização dos desenhos representativos dos módulos de multicubos, utilizando diferentes formas de projeção (perspectiva central e paralela) usuais no estudo da Geometria Espacial. Os alunos participantes não tiveram nenhuma experiência escolar prévia com os tipos de atividades propostas neste trabalho.
A primeira etapa, que consistia na construção de um módulo multicubo, foi dividida em três atividades (p.199):
1ª Atividade – O primeiro estudante (que tinha em sua frente um módulo multicubo) teria que fazer as descrições dando as instruções oralmente. Este aluno podia ver, através de monitor de televisão, o que seus colegas faziam.
2ª Atividade - Esta atividade se diferenciava da primeira apenas pelo fato de ser suprimido o uso do monitor de televisão.
3ª Atividade – Nesta última atividade, os alunos forneciam as instruções de construção de um módulo utilizando lápis e papel.
Quanto às representações em papel, foram identificados três tipos básicos de representações de sólidos:
1) Representações gráficas (Figura 16a), nas quais o desenho é suficiente para transmitir as informações necessárias, sendo dispensáveis textos que nada agregam ao desenho. 2) Representações verbais (Figura 16b), nas quais os desenhos, se aparecem, têm valor
secundário e podem ser omitidos sem perda de informação.
3) Representações mistas (Figura 16c), que são constituídas de um desenho e um texto que se complementam.
Figura 16. Representações dos módulos multicubos (GUTIÉRREZ, 1998a, p.201)17
Gutiérrez (1998a) ressalta que ao se ensinar e aprender Geometria Espacial, o processo de compreensão do conceito concernente a uma representação plana se complica ainda mais que em outros ramos da Geometria, por ser necessário percorrer dois passos:
1) interpretação da figura plana para convertê-la em um objeto tridimensional;
2) interpretação deste objeto (que em muitos casos só existe nas mentes dos estudantes) para convertê-lo no objeto geométrico objeto de estudo. Por outro lado, sempre que manipulamos objetos espaciais e somos obrigados a representá-los mediante figuras planas, encontramos um problema relacionado com a capacidade de visão espacial dos estudantes e com sua habilidade para desenhar representações planas de objetos tridimensionais ou para interpretar corretamente as representações feitas por outras pessoas (GUTIÉRREZ, 1998a, p.194-195).
Com base nesses passos necessários para a compreensão dos conceitos geométricos intrínsecos à Geometria Espacial, pesquisadores, dentre estes, psicólogos, e, mais recentemente, educadores matemáticos, vêm voltando suas atenções para a importância da visualização como etapa de construção do pensamento geométrico e como um dos pilares para a aprendizagem da Matemática e, em particular, da Geometria.
17 Estas são representações intuitivas que não correspondem às formas técnicas apresentadas no
Uma representação plana perfeita seria aquela que conseguisse transmitir ao observador as mesmas informações que ele teria ao observar o corpo tridimensional que ela representa. Entretanto, segundo Gutiérrez (1998a), “[...] nenhuma forma de representação plana de corpos espaciais é perfeita, tornando-se necessário que os alunos possam manipular/manejar várias delas, para poder selecionar a mais adequada a cada caso” (p.198).
Direcionando seu olhar especificamente para o ensino da Geometria Espacial, Gutiérrez (1998a) afirma que
para o ensino da geometria espacial, a habilidade de alunos e professores para produzir representações planas adequadas e para interpretá-las é um elemento básico necessário para alcançar êxito na aprendizagem. Por outro lado é importante prestar atenção ao desenvolvimento das destrezas de realização e interpretação de representações planas dos estudantes e potencializá-las desde as séries iniciais, sem esquecer as duas direções de passagem entre o plano e o espaço: desenho de representações planas de sólidos e construção de sólidos a partir de suas representações planas. Embora, obviamente, ambas as ações tenham muitos pontos em comum, também têm diferenças importantes quanto à sua aprendizagem e utilização pelos estudantes de geometria. (p.197).
Em seus experimentos, Gutiérrez (1998a) destacou a importância de utilizar representações planas de corpos geométricos espaciais adequadas aos estudantes de diferentes idades. Apontou, ainda, as dificuldades apresentadas pelos alunos ao desenhar e interpretar desenhos associados às diferentes formas de representação plana de objetos tridimensionais.