Betydningen av empati og emosjonelt arbeid

Como exemplo para desenvolver a teoria de bifurca¸c˜ao, trataremos uma equa¸c˜ao de amplitude muito conhecida, usada em nosso trabalho, que ´e a equa¸c˜ao de Landau- Ginzburg. Ela ´e do tipo

∂Ak

∂t = ω(k)Ak− σ(k)A

3

k (3.21)

Na equa¸c˜ao acima, Ak representa α e ω ´e o parˆametro λ da 3.20. A solu¸c˜ao

da 3.21 ´e Ak = · σ(k) ω(k) + µ 1 A2 o − σ(k) ω(k) ¶ e−2ω(k)t ¸−1/2 (3.22) Na qual ω(k) representa uma taxa de crescimento da amplitude e σ(k), que ´e o coeficiente que acompanha o termo c´ubico na equa¸c˜ao, devido ao tipo de bifurca¸c˜ao

que ocorre em nosso experimento, assume valor positivo. Nosso objetivo ´e estudar a solu¸c˜ao estacion´aria dessa equa¸c˜ao como fun¸c˜ao do parˆametro de controle, ω(k). Os estados estacion´arios desta equa¸c˜ao diferencial s˜ao

Ak = 0

Ak = ±

r ω

σ (3.23)

Assumimos, por ora, que estamos olhando somente para solu¸c˜oes reais da 3.21. Quando ω(k) < 0, existe somente uma solu¸c˜ao real, mas quando ω(k) > 0, existem trˆes solu¸c˜oes, como mostrado na Fig.3.2. As novas solu¸c˜oes para ω(k) > 0 se ramificam `a partir de Ak = 0, e o valor de ωc(k) no qual essas novas solu¸c˜oes se

originam ´e chamado de ponto de bifurca¸c˜ao. Na Fig.3.2, ωc(k) = 0 ´e o ponto

de bifurca¸c˜ao. Este tipo de bifurca¸c˜ao ocorre com frequˆencia em equa¸c˜oes n˜ao- lineares, seja uma simples equa¸c˜ao como acima, um conjunto de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias acopladas ou equa¸c˜oes diferenciais parciais mais complicadas. Mesmo que uma equa¸c˜ao dependa suavemente do parˆametro ω(k), nas vizinhan¸cas do ponto de bifurca¸c˜ao, as solu¸c˜oes n˜ao podem ser expandidas em uma s´erie de potˆencias desse parˆametro, pois elas dependem dele de um modo n˜ao anal´ıtico e isso ´e consequˆencia da mudan¸ca qualitativa do comportamento do sistema introduzida pelo fenˆomeno da bifurca¸c˜ao.

Voltando `a quest˜ao da estabilidade, mostraremos agora que a solu¸c˜ao Ak = 0

se torna inst´avel no ponto onde as novas solu¸c˜oes Ak = ±pω_σ surgem. J´a vimos

que uma solu¸c˜ao estacion´aria Ask ´e localmente est´avel se uma pequena perturba¸c˜ao

δ(t) existente na solu¸c˜ao decai para um estado estacion´ario. Portanto, precisamos fazer a evolu¸c˜ao temporal de Ak = Ask + δ(t) para determinar se Ask ´e est´avel ou

n˜ao. Substituindo Ak = Ask+ δ(t) na equa¸c˜ao 3.21, e mantendo somente termos de

primeira ordem em δ(t), obtemos dAsk dt + dδ dt = −σ(k)(Ask+ δ(t)) 3_{+ ω(k)(A} sk+ δ(t)) dδ dt = −3σ(k)A 2 skδ(t) + ω(k)δ(t) (3.24)

Para o estado estacion´ario Ask = 0, vemos que a solu¸c˜ao ´e est´avel se ω(k) < 0,

porque δ(t) decai exponencialmente. Por outro lado, se ω(k) > 0, a solu¸c˜ao ´e localmente inst´avel, j´a que δ(t) cresce exponencialmente. Ao mesmo tempo, se

Figura 3.2: Bifurca¸c˜ao das solu¸c˜oes Ak como fun¸c˜ao do parˆametro ω(k). A linha

pontilhada representa a solu¸c˜ao que ´e inst´avel.

usarmos a equa¸c˜ao 3.24 para analisar a estabilidade dos estados estacion´arios Ask =

±pω

σ, vemos que eles s˜ao est´aveis. Essas propriedades de estabilidade de estados

estacion´arios significam que, quando δ(t) se desloca de um valor menor que zero para um valor maior que zero, a solu¸c˜ao Ak = 0 se torna inst´avel e o sistema faz

uma transi¸c˜ao para uma das duas novas solu¸c˜oes que bifurcam em ω(k) = 0. Mas, para qual desses dois poss´ıveis estados o sistema evoluir´a n˜ao ´e determin´ıstico; isto depende das flutua¸c˜oes aleat´orias no sistema. A perda de estabilidade implica que uma flutua¸c˜ao aumenta e dirige o sistema para um dos dois estados, Ask = +pω_σ ou

Ask = −pω_σ. A bifurca¸c˜ao para novas solu¸c˜oes no exato ponto onde uma solu¸c˜ao

perde estabilidade n˜ao ´e coincidˆencia, ela ´e uma propriedade geral das solu¸c˜oes de equa¸c˜oes n˜ao-lineares.

O sistema que estudamos obedece a equa¸c˜ao de Landau-Ginzburg para o crescimento da amplitude depois da bifurca¸c˜ao. Estamos interessados nos valores positivos para ω(k), admitindo a solu¸c˜ao n˜ao trivial Ask = +

p_ω

σ, que ´e assintotica-

dessa bifurca¸c˜ao conhecida como bifurca¸c˜ao supercr´ıtica.

Figura 3.3: a)Bifurca¸c˜ao supercr´ıtica ilustrada para a equa¸c˜ao de Landau-Ginzburg.

Este tipo de bifurca¸c˜ao ´e um fenˆomeno dinˆamico na qual a amplitude da solu¸c˜ao cresce suavemente de zero quando o parˆametro ω(k) se afasta de seu ponto de bifurca¸c˜ao, como visto na Fig.3.3. A amplitude da instabilidade ´e intr´ınseca ao sistema e ela depende somente dos valores de ω(k), que s˜ao inerentes `a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao. Isto ´e marcantemente diferente de sistemas conservativos, onde as caracter´ısticas das solu¸c˜oes dependem das condi¸c˜oes iniciais.

Instabilidade do Impressor

4.1

A Equa¸c˜ao de Movimento de um Fluido Vis-

coso

Como nesse trabalho trataremos de fluido em movimento, faremos uso de duas das equa¸c˜oes fundamentais da dinˆamica de fluidos. Usaremos a equa¸c˜ao que expressa a conserva¸c˜ao da mat´eria:

∇ · (ρ−→v ) +∂ρ

∂t = 0 (4.1)

que ´e conhecida como equa¸c˜ao da continuidade.

A outra equa¸c˜ao leva em conta a dissipa¸c˜ao de energia que ocorre durante o movimento do fluido e que se deve, particularmente, `as fric¸c˜oes internas(viscosidade). A forma mais geral de uma equa¸c˜ao de movimento para um fluido viscoso ´e, (cf.[19]),

ρ· ∂−→v ∂t + (−→v · − →_∇)−→v ¸ = −−→∇p + µ∇2−→v + µ ζ + 1 3µ ¶ −→_{∇∇ · −→v (4.2)}

onde ρ ´e a densidade do fluido e µ e ζ s˜ao coeficientes de viscosidade.

Se a condi¸c˜ao de incompressibilidade for satisfeita, ou seja, se a velocidade de escoamento do fluido, num fluxo estacion´ario, for pequena em rela¸c˜ao `a velocidade do som nesse mesmo fluido, vescoamento≪ vsom, a Eq.4.1 se torna

∇ · −→v = 0 (4.3)

Levando em conta esse resultado, podemos modificar a Eq.4.2, j´a que seu ´ultimo termo `a direita ´e zero. Portanto, a equa¸c˜ao de movimento de um fluido viscoso

incompress´ıvel ´e ρ· ∂−→v ∂t + (−→v · − →_∇)−→v ¸ = −−→∇p + µ∇2−→v (4.4) Essa equa¸c˜ao ´e chamada de equa¸c˜ao de Navier-Stokes.

Estamos interessados no regime estacion´ario, assim a derivada temporal se anula, ficando

ρh(−→_{v ·}−→_∇)−→vi _{= −}−→_{∇p + µ∇}2−→v (4.5) Os fluidos podem ser caracterizados por um parˆametro adimensional, chamado n´umero de Reynolds que ´e dado por:

R = ρvL

µ =

vL

ν (4.6)

onde L ´e um comprimento caracter´ıstico do sistema, v ´e a velocidade e ν ≡ (µ/ρ) ´e a viscosidade cinem´atica. A raz˜ao entre o termo n˜ao-linear, ρ(−→_{v ·}−→_∇)−→v que ´e da ordem de (ρv2_{/L), e o termo viscoso, µ∇}2−→_{v , que ´e da ordem de (µv/L}2_{), nos d´a o}

n´umero de Reynolds. Como em nossos experimentos o n´umero de Reynolds ´e muito pequeno, podemos desprezar o termo n˜ao-linear na Eq.4.5 e ficamos com

−

→_{∇p = µ∇}2−→_{v (4.7)}

Em nosso trabalho, estamos interessados na dinˆamica da interface, que na Fig.4.1, est´a situada no lado direito.