Barnet som subjekt

A análise da ação prática da professora Maria se deu em duas esferas: na sua interação com o G3 (grupo no qual Maria estava inserida), no momento do planejamento da prática (a produção de atividades), à luz da teoria do Campo Conceitual Multiplicativo; na prática de sala de aula (a aplicação dessas atividades) junto aos seus estudantes. A análise dessa ação nos forneceu alguns elementos que permitiram identificar, ao longo do processo formativo, avanços e limitações que a professora Maria teve na direção da ressignificação, tanto do planejamento da prática no G3, quanto na prática em sala de aula (ação prática), à luz da teoria (ação teórica).

Para abrirmos a análise, apresentamos três protocolos elaborados pelos G1, G3 e G4, respectivamente. Trata-se de situações elaboradas por esses grupos, depois da discussão teórica do eixo 1(proporção simples). É relevante ressaltar que, mesmo não sendo o objeto de nosso estudo, trouxemos o extrato do planejamento da prática do grupo das professoras das 1ª e 4ª séries (G1 e G4 respectivamente) para que possamos fazer algumas observações comparativas com o G3.

Acreditamos ser pertinente destacar que, diferentemente, do que ocorreu em seus prognósticos, nos quais as professoras de 1ª série (G1) mencionavam que os seus estudantes não seriam capazes de resolver situações do Campo Conceitual Multiplicativo, pelo fato de não terem aprendido formalmente tais situações, agora elas ousavam elaborar uma situação de divisão quotitiva. Tal fato evidencia que essas professoras, talvez impulsionadas pelas discussões teóricas já iniciadas, passaram a acreditar ser possível trabalhar esse tipo de situação desde a 1ª série. Além disso, a explicação de suas estratégias de ensino nos permitiu constatar certa preocupação dessas professoras em garantir o entendimento da situação pelos seus estudantes, fazendo a “leitura em voz alta”.

Apresentaremos a seguir um extrato da situação elaborada pelo G3 nesse mesmo eixo.

Extrato do planejamento da prática – eixo 1: 2ª situação elaborada pelo G3

Comparando os planejamentos da prática do G1 e G3, notamos que ambos consideram a possibilidade que seus estudantes utilizem outros esquemas de ação (VERGNAUD, 1988), além da operação matemática. Podemos pensar

nessa possibilidade de mudança, pois as justificativas dadas pelas professoras nos seus prognósticos foram que os estudantes não acertariam, por dois fatores: eu ainda não ensinei (G1) e erro na tabuada (G3). Estas justificativas dos prognósticos denotam que as professoras não admitiam outras estratégias de resolução além do algoritmo. Tal mudança de comportamento parece ser um dos efeitos positivos do processo formativo.

Quando os grupos se referem que a atividade será em dupla, e/ou propõe levantamento de hipóteses com intervenção do professor, parece quererem reproduzir o mesmo ambiente vivenciado no processo formativo (trabalho coletivo). Essa observação pode ser constatada na justificativa dada por uma das professoras, no momento da apresentação da atividade para as demais professoras do grupo. Após a leitura e explicitação do objetivo da atividade para o grupo, a professora 1P1, representando o G1 comenta:

1P1 – A ATIVIDADE SERÁ PROPOSTA EM DUPLA.ACREDITAMOS QUE OS ALUNOS PODERÃO COMPARAR AS SUAS ESTRATÉGIAS, DEBATER E CHEGAR À CONCLUSÃO QUE PODE TER DIFERENTES MANEIRAS PARA RESOLVER A SITUAÇÃO.NÃO É ASSIM

QUE ESTAMOS APRENDENDO?

A professora Maria, representando o G3, corrobora a fala da professora 1P1:

PROFA.MARIA – DEPOIS DA LEITURA DO PROBLEMA VAMOS PROVOCAR ALGUMAS DISCUSSÕES COM OS ALUNOS, PARA QUE ELES POSSAM LEVANTAR HIPÓTESES DE RESOLUÇÃO. DEIXAR QUE CADA ALUNO COMENTE SEU PENSAMENTO PARA O RESTANTE DA CLASSE DE COMO ELE PRETENDE RESOLVER O PROBLEMA.

Ao compararmos as falas das professoras Maria e 1P1, notamos que ambas denotam a mesma concepção de que a aprendizagem pode ser construída de forma compartilhada. É razoável inferir ainda que elas, possivelmente, estariam vivenciando o processo de simetria invertida. Isso significa que a atitude da professora reflete um processo de espelhamento ou de vários espelhamentos, processo pelo qual a partir da experiência do papel de estudante, vivenciada no processo formativo, apreende e ressignifica o papel de professor (PCN, 1997).

Analisando, ainda, as atividades do G1 e G3, podemos observar a coerência existente entre a situação proposta e as possíveis estratégias de resolução que poderiam ser empregadas pelos estudantes. De fato, as quantidades apresentadas nas situações propostas (números relativamente pequenos) permitiriam aos estudantes empregar outros esquemas de ação, não necessariamente o algoritmo da divisão. Outra característica que pudemos notar nas situações propostas, foi a ausência de palavras-chave (dividir, repartir e distribuir) indicativa da operação matemática a ser realizada (MAGINA et al. 2010), observadas com muita frequência nas situações elaboradas pelas professoras no diagnóstico (Apêndice 3), já discutidas anteriormente.

Entretanto, queremos destacar ainda dois aspectos a respeito da situação proposta pelo G3 que consideramos importantes. O primeiro deles é que, ao propor essa situação, o G3 explicitou de maneira equivocada que se tratava do modelo de divisão quotitiva quando, na verdade, o modelo proposto é de divisão partitiva (FISCHBEIN et al, 1985). Quanto ao segundo aspecto, esse é relativo à semântica do enunciado: Em uma sala de aula há 28 alunos. A professora formará quatro grupos de estudo. Quantos alunos terão em cada grupo?A nosso ver o G3 estava admitindo, de forma implícita, que cada grupo teria, necessariamente, a mesma quantidade de alunos. Em outras palavras, entendemos que, nesta situação, a formação dos quatro grupos de estudos poderia conter, ou não a mesma quantidade de alunos, pois o enunciado não especificava que os grupos deveriam ser iguais. Estamos considerando que esses dois aspectos apontados foram alguns dos limites do processo formativo, que deveria ter sido mais discutido.

Na sequência, apresentamos a atividade elaborada pelo G4, retirado do extrato da atividade do relatório 1 (Apêndice 6).

Extrato do planejamento da prática – eixo 1: 2ª situação elaborada pelo G4

Observe que a situação elaborada pelo G4 apresenta o mesmo contexto e mesma estrutura matemática, a divisão por quota, daquela elaborada pelo G1. Assim como no G1 e G3, é possível notar, na explicitação das estratégias de ensino, a preocupação dessas professoras em garantir aos estudantes o entendimento da situação, por meio da leitura compartilhada, assim como o raciocínio compartilhado. Entretanto, o G4 deu um salto qualitativo no que diz respeito à estratégia de ensino, ao propor a relação entre as duas quantidades (grupos e alunos), envolvendo, dessa forma, o raciocínio multiplicativo no qual está em jogo uma relação fixa (invariante) entre essas duas quantidades (cada grupo terá cinco alunos).

Nesse ponto da discussão, é conveniente abrir um parêntese para sinalizar que essa preocupação, leitura da situação proposta, como uma estratégia de ensino foi recorrente no planejamento da prática em todos os grupos, variando apenas o momento em que ocorreu. Talvez agora possamos compreender melhor as justificativas apresentadas pela Maria e pelas demais professoras em seus prognósticos, no qual concernem as possíveis dificuldades dos estudantes relacionadas à leitura e à interpretação.

A comparação das situações propostas pelos três grupos (G1, G3 e G4) salienta, sobremaneira, as similaridades entre as situações propostas por G1 e G4, em que não há diferença na estrutura e no contexto. Estas três situações nos permitem considerar dois aspectos relacionados à ressignificação de saberes, os quais se farão presentes aos poucos nos demais grupos.

Como primeiro aspecto, destacamos a ressignificação do currículo, pois ao propor uma situação de divisão, admitindo que os seus estudantes fossem capazes de resolvê-la, utilizando diferentes esquemas de ação, as professoras do G1e do G3 romperam com a ideia do desenvolvimento do currículo de forma linear (PIRES, 1999). Por um lado é possível supor que o G1 rompeu com a ideia de que a divisão só poderá ser apreendida com êxito pelos estudantes se eles já dominarem as outras operações matemáticas. Nesse sentido, Nunes e Bryant (1997) apresentam uma ampla discussão15. Por outro lado, o G3 admite que os estudantes utilizem outros esquemas de ação, permitindo solução através de pictograma, além do algoritmo já ensinado formalmente.

Como segundo aspecto, o que nos chamou a atenção foi a proposição das estratégias de ensino explicitadas pelo G4. Conforme já denominamos, anteriormente, de “salto qualitativo” esse se justifica porque a estratégia de ensino proposta revela nuances da teoria que, possivelmente, estavam sendo apropriados pelo grupo.

Ao sugerirem e exporem como estratégia de ensino a análise horizontal entre as quantidades envolvidas na situação, elas poderiam não só explorar a conexão existente entre o raciocínio multiplicativo e o conceito de proporção, como também poderiam potencializar o início da construção da estrutura do pensamento funcional (f(x) = 5x) (VERGNAUD, 1991 e MAGINA et al. 2010). Tais conceitos matemáticos são importantes para a construção de estruturas superiores de pensamento nas séries mais avançadas do processo de escolarização.

Acreditamos ser oportuno destacar ainda, com base na observação dos protocolos desses grupos, que alguns aspectos tão presentes na concepção das _______________

15

A esse respeito o leitor encontrará uma ampla discussão em Nunes e Bryant “Crianças Fazendo Matemática”, obra publicada em 1997.

professoras, identificados na primeira fase da pesquisa começam a ser repensados. Esses aspectos seriam: o Campo Conceitual Multiplicativo só é possível de ser trabalhado a partir das 3as _{e 4}as _{séries do Ensino Fundamental; os}

esquemas de ação mais apropriados para trabalhar tais situações se apoiam nas relações ternárias (VERGNAUD, 1991) e centrado nessas ideias procedia-se a algoritmização precoce das operações (MAGINA et al. 2010). Há indícios de que tais concepções começaram a ser ressignificadas e pouco a pouco foram cedendo lugar para outras em que é possível trabalhar situações do Campo Conceitual Multiplicativo em todas as séries, desde que se levem em consideração as capacidades cognitivas dos estudantes e ainda a possibilidade de se explorar diferentes esquemas ação na resolução de tais situações.

Esse último aspecto nos leva a compartilhar as ideias defendidas por Pires (1999), quando assevera afirmando que currículo como práxis é encarado como um “processo de ação e reflexão, e não como um objeto emanado do sistema educativo, porque é na prática que se estabelece o diálogo entre a sociedade, os políticos, os técnicos, os alunos e os professores que o modelam” (PIRES, 1999, p. 4).

Ainda com relação ao planejamento do G3 referente ao eixo 1, destacamos a seguir a outra situação elaborada pelo grupo:

Extrato do planejamento da prática – eixo 1: 1ª situação elaborada pelo G3

Conforme já descrevemos, na ação prática, que ocorria na sequência da ação teórica, o G3, assim como os outros, elaborava duas situações pertinentes

ao eixo discutido. Na ocasião da discussão do eixo 1 (proporção simples) não foi diferente. Conforme o combinado o G1, G2, G3 e G4 expuseram as duas situações em um grande painel para serem lidas, debatidas e, caso necessitasse, modificadas pelas demais professoras. Ao lerem a situação 1 do G3, as demais professoras argumentaram que se deixassem aquelas quantidades (67 brigadeiros e 4 latas), possivelmente, os estudantes resolveriam utilizando o esquema de ação da adição das quatro parcelas (67 + 67 + 67 + 67). Desse modo, algumas professoras sugeriram que o G3 alterasse para 64 brigadeiros e 7 (sete) latas, uma vez que o intuito era trabalhar com o Campo Conceitual Multiplicativo. Prontamente o G3 acatou a sugestão e alterou as quantidades, conforme podemos observar nas rasuras do relatório 1 (Apêndice 6). No nosso entendimento, essa atitude do G3 aponta para a importância que as professoras atribuíram às práticas compartilhadas durante o processo formativo.

Como citamos anteriormente, a ação prática da professora Maria também se deu em outra esfera, qual seja na sua prática de sala de aula. Sendo assim, nesse momento, conduziremos a análise de dois episódios que aconteceram durante a aula na qual ela trabalhou o eixo 1 (proporção simples). O primeiro episódio relatado descreve, de maneira geral, a prática de sala de aula da professora Maria, para a introdução e discussão dos três eixos com seus estudantes.

Ao planejar o seu agir em suas aulas, Maria acrescentava e apresentava outras situações, assim como outras estratégias de ensino, que iam além daquelas estabelecidas no planejamento, colocadas no relatório (Apêndice 6) pelo G3. Resumidamente, vamos relatar, de maneira geral, sua conduta em sala de aula. Nas aulas observadas, Maria iniciava suas discussões a respeito do eixo que planejara trabalhar, trazendo aos seus estudantes outras situações, às vezes, já vivenciadas por eles em outros momentos. Em seguida, apresentava e discutia com sua classe as situações elaboradas pelo G3. Após a discussão, proporcionava um determinado tempo para que seus estudantes pudessem registrar as suas resoluções. Ao encerrar suas aulas, comumente, ela colocava no quadro outras, três ou quatro, situações que eram lidas e discutidas com seus estudantes para que eles fizessem, posteriormente, como tarefa a ser

desenvolvida em casa. Destacamos que essas situações dadas como tarefa de casa eram, comumente, pertinentes ao eixo recém trabalhado na aula.

Para ilustrar a atuação prática da professora Maria, escolhemos a aula em que ela discutiu o eixo 1 (proporção simples) com os estudantes. Nessa ocasião ela iniciou com uma situação já vivenciada pela classe (episódio dos canteiros e flores), em seguida apresentou e discutiu a primeira situação desenvolvida pelo G3, que ora destacamos:

Descrevemos a seguir o início da aula na qual Maria apresentou aos seus estudantes as situações referentes ao eixo 1 (proporção simples), planejadas pelo G3. Nesse episódio Maria apresentou uma situação já vivenciada pelos seus estudantes anteriormente, que consideramos como sendo prototípica, ou seja, de transição entre a estrutura aditiva e a estrutura multiplicativa.

PROFA.MARIA – VOCÊS SE LEMBRAM QUE, HÁ ALGUM TEMPO ATRÁS, A ESCOLA PREPAROU ALGUNS CANTEIROS, E QUE CADA SALA FICOU RESPONSÁVEL PARA SEMEAR UM CANTEIRO, E QUE NELE NÓS PLANTAMOS OITO MUDAS DE FLORES? ESTUDANTE 1– SIM, NÓS PLANTAMOS MUDAS DE MARGARIDA.

PROFA. MARIA – ISSO MESMO. POIS BEM, VAMOS IMAGINAR QUE AGORA NÃO TEREMOS MAIS UM CANTEIRO, MAS SIM DOIS CANTEIROS ONDE TAMBÉM PLANTAREMOS OITO MUDAS DE FLORES EM CADA UM DELES. QUANTAS MUDAS PLANTAREMOS?

ESTUDANTE 1– 16.

PROFA.MARIA –COMO VOCÊ PENSOU?QUE CONTA VOCÊ FEZ PARA CHEGAR NO

16?

ESTUDANTE 1–NÃO FIZ CONTA NENHUMA, EU SÓ SOMEI OITO MAIS OITO,16 MUDAS.

PROFA. MARIA – MAS VAMOS PENSAR ENTÃO NUMA QUANTIDADE MAIOR DE CANTEIROS, POR EXEMPLO: SE CADA SALA TIVESSE CINCO CANTEIROS E, EM CADA UM DELES, TERÍAMOS QUE PLANTAR OITO MUDAS, QUANTAS MUDAS TERÍAMOS QUE PLANTAR?

ESTUDANTE 1– OITO MAIS OITO, MAIS OITO, MAIS OITO E MAIS OITO.

PROFA.MARIA – MAS, AO SOMAR OITO MAIS OITO, MAIS OITO, MAIS..., SERÁ QUE EU NÃO PODERIA PERDER A CONTA?QUE OUTRA FORMA EU PODERIA RESOLVER ESTA SITUAÇÃO?

ESTUDANTE 2– A GENTE PODE FAZER A CONTA DE VEZES.CINCO VEZES O OITO, QUE DÁ 40 MUDAS DE FLORES.

Destacamos esse episódio por dois motivos que julgamos serem relevantes. O primeiro diz respeito à situação escolhida pela professora Maria para fomentar a discussão. Ela poderia ter escolhido qualquer situação, mas preferiu escolher uma situação que fora vivenciada pelos estudantes, na própria escola, em uma atividade coletiva que, na ocasião, aparentemente, não estava ligada a nenhum contexto matemático. Em outras palavras, a professora Maria valorizou o elo entre uma situação vivenciada na prática pelos estudantes e o conceito matemático que queria desenvolver naquela aula.

O segundo motivo do destaque desse episódio refere-se à atitude da professora Maria coerente com a estratégia de ensino do G3 (levantamento de hipóteses). Mesmo após o Estudante 1 ter respondido de maneira correta o seu questionamento, ela quer saber como é que ele pensou e que conta ele fez para chegar nesse resultado, ou seja, ela buscou identificar o esquema de ação utilizado por esse estudante. Nesse momento, ela possibilitou que ele expressasse seu pensamento, sua estratégia de resolução, de tal forma que, dependendo da sua resposta, ela pudesse reestruturar seus questionamentos e assim intervir adequadamente, o que de fato aconteceu.

A resposta do estudante: Não fiz conta nenhuma, eu só somei oito mais oito, dezesseis mudas, nos faz pensar que aquela solução é tão obvia para ele que parece que nem houve necessidade de se fazer algum cálculo para chegar à resposta. Diante disso, a professora Maria problematizou a situação, aumentando a quantidade de canteiros, talvez na intenção de forçar o estudante a abandonar a estratégia aditiva (8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40), passando assim a utilizar uma estratégia multiplicativa (5 x 8 = 40).

É oportuno destacar dois pontos positivos nessa ação de Maria. O primeiro deles diz respeito ao tipo de situação que ela problematizou, o qual comporta tanto um esquema de ação aditivo (8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40), como multiplicativo (5 x 8= 40).

O segundo ponto a enfatizar é que esse tipo de situação é o protótipo da multiplicação cuja resolução se apoia, comumente, em uma relação ternária: a x b = c (5 x 8 = 40), que também dá conta de resolvê-la. Porém, o trabalho com o Campo Conceitual Multiplicativo, na perspectiva das relações quaternárias,

possibilita aos estudantes compreender a relação fixa entre as duas quantidades distintas. Ela, ao mesmo tempo, possibilita o entendimento do porquê de ao se multiplicar uma quantidade pela outra (nesse exemplo, especificamente, as quantidades são canteiros e mudas de plantas) o resultado é dado por uma determinada quantidade e não pela outra (nesse caso em mudas de plantas e não em canteiros). Além disso, as relações quaternárias ampliam os procedimentos de resolução, podendo pensar no fator escalar como estratégia ou, ainda, no fator funcional (conhecimento de base que é central para o trabalho com as funções nas séries mais avançadas da escolaridade), já discutido detalhadamente no capítulo III.

O segundo episódio acontecido nessa mesma aula também cabe ser destacado e discutido. A professora Maria ao final da apresentação, discussão e resolução por parte dos estudantes das duas situações planejadas pelo G3, propôs aos seus estudantes uma situação desenvolvida pelo G2 (professoras de 2ª série) que denominamos como o “problema da promoção” que, de comum acordo, os outros três grupos também a aplicariam. A situação era a seguinte:

João foi ao supermercado com sua mãe. Ficou empolgado com a seguinte promoção em cartaz:

“PROMOÇÃO: Compre 5 barras de chocolate e ganhe 3 chicletes de bola.” Se João comprar 15 barras de chocolate, quantos chicletes de bola ganhará?

A partir da apresentação do “problema da promoção” seus estudantes começaram a pensar e discutir como poderiam resolvê-lo. Minutos depois, alguns estudantes começaram a apresentar suas soluções, e Maria pediu que um deles fosse ao quadro e colocasse sua estratégia de resolução. O estudante desenhou três grupos de cinco retângulos, um grupo debaixo do outro, representando as 15 barras de chocolate e, do lado direito de cada um desses grupos, três pequenas circunferências representando os chicletes de bola, como representaremos a seguir:

Figura 5.1: Representação feita pelo estudante do problema da promoção

Feito isso o estudante respondeu prontamente que nessa compra João ganharia nove chicletes de bola. Indagado pela professora Maria sobre como ele havia pensado, que conta ele utilizou para chegar naquele resultado, ele respondeu:

ESTUDANTE 1– EU NÃO FIZ CONTA NENHUMA, EU SÓ SOMEI TRÊS MAIS TRÊS MAIS TRÊS.NOVE CHICLETES.

Novamenteo estudante faz menção que para esse cálculo (adição das três parcelas) ele não necessitaria fazer conta. Parece que esse estudante não tinha consciência que, ao relacionar (na sua ação) cinco chocolates a três chicletes, ele estava estabelecendo a proporcionalidade de cinco para três (a cada cinco chocolates correspondem três chicletes). Em outras palavras, trata-se de um teorema em ação, em que na prática (na ação) o estudante resolve o problema por meio do conceito de proporcionalidade (teorema) sem estar consciente do uso de tal conceito.

Nesse momento, aproveitando o desenho feito no quadro pelo estudante 1, a professora Maria tenta trabalhar com a classe com o escalar multiplicativo (vertical), porém, de maneira geral, as respostas advindas eram relacionadas ao escalar aditivo. Para ilustrar, vamos transcrever parte das falas dos estudantes e da professora Maria, em que discutem tal situação:

PROFA. MARIA – ENTÃO SE COMPRARMOS 15 BARRAS DE CHOCOLATE GANHAREMOS 9 CHCLETES?VOCÊS CONCORDAM?

CLASSE –SIM, CONCORDAMOS.

PROFA. MARIA – MUITO BEM. E SE AO INVÉS DE 15 BARRAS DE CHOCOLATE, COMPRARMOS 20 BARRAS, QUANTOS CHICLETES GANHARÍAMOS?

ESTUDANTE 1 – É FÁCIL, QUANDO A GENTE AUMENTA CINCO BARRAS, A GENTE GANHA MAIS TRÊS CHICLETES.NOVE MAIS TRÊS DÁ 12 CHICLETES.

ESTUDANTE 1–ESPERE UM POUCO.[NESSE ÍNTERIM OBSERVAMOS QUE ELE ESTÁ FAZENDO CONTAS] JÁ SEI,18 CHICLETES.

PROFA. MARIA – COMO VOCÊ CHEGOU NESSE RESULTADO? QUE CONTA VOCÊ EFETUOU?

ESTUDANTE 1 – EU JÁ SABIA QUANTO SERIA COM 20 BARRAS, ACRESCENTANDO MAIS CINCO E MAIS CINCO TENHO 30 BARRAS, ENTÃO ERA FAZER A MESMA COISA DO OUTRO LADO, 12 MAIS 3 MAIS 3, DEZOITO CHICLETES, “TÁ” CERTO, PROFESSORA?

Pareceu-nos nesse momento que a professora Maria, aproveitando a estratégia de resolução pictórica do estudante 1, abriu-lhe uma perspectiva de explorar essa situação na relação quaternária, uma vez que a relação ternária não daria conta de resolvê-la. Porém, de forma espontânea, seus estudantes insistiam

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